KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐẠO HÀM A. MỤC TIÊU BÀI GIẢNG  Dành cho các học sinh ôn thi ĐH, ôn thi HSG  Tổng kết các dạng bài tập về hệ sử dụng phương pháp đạo hàm ( hàm số)  Định hướng cách tiếp cận 1 bài hệ bằng phương pháp đạo hàm B. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN Tính chất 1: Giả sử hàm số ()y f x là đơn điệu trên khoảng ( , )ab và , ( , )x y a b thì ( ) ( )f x f y x y   . Tính chất 2: Giả sử ()fx là hàm số đồng biến trên khoảng ( , )ab và ()gx là hàm số nghịch biến trên khoảng ( , )ab , khi đó nếu phương trình ( ) ( )f x g x có nghiệm trên khoảng ( , )ab thì nghiệm đó là duy nhất. Nhận xét: Nếu ()fx là hàm số đơn điệu trên khoảng ( , )ab thì phương trình ()f x c nếu có nghiệm trên khoảng ( , )ab thì nghiệm đó là duy nhất. Tính chất 3: Cho hàm số ()y f x trên khoảng ( , )ab . Nếu phương trình '( ) 0fx có 1n ()nN nghiệm thuộc ( , )ab thì phương trình ( ) 0fx có nhiều nhất n nghiệm thuộc ( , )ab . C. PHÂN LOẠI HỆ SỬ DỤNG ĐẠO HÀM Dạng 1: Giải hệ bằng phƣơng pháp sử dụng hàm đặc trƣng Kiểu 1: Một phƣơng trình của hệ có dạng phƣơng trình đặc trƣng Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau 22 3 3 3 ( 1)( 1) 1 ( 1)( 1) 3 ( 4) (( 1) 0 x y x x y y x x x y x y                     Giải: Ta viết phương trình 2 về dạng sau:   3 3 3 3 1 ( 1) 3 ( 1) ( ) 3( )x y x y x y x x           (*) Xét hàm đại diện 3 ( ) 3 ( )f t t t t R   , khi đó f’(t) = 3t 2 + 3 > 0. Vậy hàm số đồng biến trên R. Phương trình (*) tương đương với 3 3 3 2 ( 1) ( ) 1 1( 0)f x y f x x y x y x x x              Ví dụ 2: Giải hệ phƣơng trình 2 22 (4 1) ( 3) 5 2 0 ( , ) 4 2 3 4 7 x x y y x y R x y x                Bài tập tự luyện: Giải các hệ phương trình sau: 1.     22 2 1 . 4 2 ( , ) 3 1 4 x x y y x y R x y x               2. c) 3 3 2 2 2 2 3 3 2 0 1 3 2 1 0 x y y x x x y y                 Đs: (1, 2), (1, 0), ( 1, 2), ( 1, 0). 3. 3 2 3 2 22 3 9 22 3 9 ( , ) 1 2 x x x y y y x y R x y x y                 4. 3 2 2 . log log 4 10 2 xy e e x y x y          Đs:   2;2 . 5. 5 4 10 6 2 4 5 8 6 x xy y y xy             Đs:   1; 1 . 6.   4 4 22 1 1 2 ( , ) 2 1 6 1 0 x x y y x y R x x y y y                   7. Kiểu 2: Biến đổi 2 phƣơng trình của hệ để đƣa về hàm đặc trƣng Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: 2( 1) (4) 1 (5) x y x y xy e e x e x y            Lời giải Lấy phương trình (4) –(5) theo vế ta có hệ phương trình ban đầu tương đương với 1 (4') 1 (5') xy xy e x y e x y            Lấy (4’)-(5’) theo vế, ta được ( ) ( ). x y x y e x y e x y       (6) Xét hàm số ( ) ( ) t f t e t t R   , ta có '( ) 1 0 t f t e   nên ()ft là hàm số đồng biến trên R Theo tính chất 1, phương trình (6) ( ) ( ) 0.f x y f x y x y x y y          Với 0y  thay vào (4), ta có : 10 x ex   (7) Xét hàm số ( ) 1, x g x e x   với '( ) 1 x g x e thì '( ) 0 0.g x x   Lập bảng biến thiên x  0  '( )gx - 0 + ()gx Từ bảng biến thiên, ta suy ra ( ) 0gx , dấu  xảy ra khi và chỉ khi 0.x  Vậy nghiệm của hệ phương trình là (0; 0) . Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: 23 23 log (1 3cos ) log (sin ) 2 (8) log (1 3sin ) log (cos ) 2 (9) xy yx          Lời giải Điều kiện: cos 0 sin 0 x y      Lấy phương trình (8) trừ (9) theo vế, ta có: 2 3 2 3 log (1 3cos ) log cos log (1 3sin ) log sinx x y y     (10) Xét hàm số 33 ( ) log (1 3 ) log ( 0)f t t t t    , ta có:   0 ' 31 ( ) 0 ( 0) (1 3 )ln2 ln3 f t t tt       Vậy theo tính chất 1, phương trình (cos ) (sin ) cos sinf x f y x y   . Thay sin cosyx vào (8), ta có: 23 23 log (1 3cos ) log (cos ) 2 log (1 3cos ) log (9cos ) (11) xx xx       . Đặt 2 3 3cos 2 1 3cos 2 1 log (1 3cos ) log 9cos 9cos 3 t t t x x xt xt x                 . Vậy phương trình (11) tương đương với 1 3(2 1) 3 3 2 1 0 t t t t       (12) Xét 1 ( ) 3 2 1 tt gt     , ta có '1 ( ) 3 ln3 2 ln2. tt gt   Khi đó 3 2 3 3ln2 3ln2 '( ) 0 log ( ) 2 ln3 ln3 t g t t         . Theo tính chất 3, phương trình (12) có nhiều nhất hai nghiệm. Dễ thấy (12) có hai nghiệm là 1 2 t t      . +) Nếu 1t  thì 2 1 log (1 3cos ) 1 cos 3 xx    , từ đó 1 sin 3 y  . Trong trường hợp này hệ có 4 nghiệm 1 1 1 1 (arccos 2 , arcsin 2 ), (arccos 2 , arcsin 2 ) ( , 3 3 3 3 k m k m k m           Z ) 1 1 1 1 ( arccos 2 , arcsin 2 ), ( arccos 2 , arcsin 2 ) ( , ) 3 3 3 3 k m k m m k             Z +) Nếu 2t  thì 2 log (1 3cos ) 2 cos 1,xx    từ đó sin 1y  . Trong trường hợp này hệ có nghiệm ( 2 , 2 ) ( , ). 2 k m k m   Z Bài tập luyện tập: Giải các hệ phƣơng trình sau 1. 21 21 2 2 3 1 2 2 3 1 y x x x x y y y                  Đs: (1,1) 2. Dạng 2: Đƣa một phƣơng trình của hệ về phƣơng trình 1 ẩn và sử dụng đạo hàm Ví dụ 5: (Thi thử trƣờng Ams-lần 2) Giải hệ phƣơng trình 2 1 43 1 1 9( ) 2 1 42 2 x xy x y x y x y                   Ví dụ 6: Giải hệ phương trình 12 2 (1 4 )5 1 3 (6) 1 3 1 2 (7) x y x y x y x y y y x                  Lời giải Biến đổi phương trình (6) về dạng: 14 5[ ] 1 9.3 55 xy xy xy          Đặt t x y , khi đó phương trình trên có dạng: 14 5 1 9.3 55 tt t                    Dễ thấy vế trái là hàm số nghịch biến và vế phải là hàm số đồng biến nên theo tính chất 2 phương trình có nghiệm duy nhất 0t  . Vậy yx , thay vào (7), ta có: 2 1 3 1 2x x x x x     Chia cả hai vế cho x ta được 11 3 2 0xx xx      (8) Đặt 1 ( 0)u x u x    , thì 2 1 (8) 3 2 0 2 u uu u           Với 15 2 1 15 2 x u x            . Với 25 2 25 x u x        Vậy hệ có 4 nghiệm 1 5 1 5 1 5 1 5 ( ; ), ( ; ), (2 5; 2 5), (2 5; 2 5) 2 2 2 2         Bài tập luyện tập tổng hợp Giải các hệ phƣơng trình sau 1) Giải hệ phương trình: 2 1 43 1 1 9( ) 2 1 42 2 x xy x y x y x y                   2) Giải hệ phương trình 2 1 1 ( , ) 3 2 4 x y x y x y R xy             3) Tìm các giá trị của a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất 2 2 2 2 2 2 6 4 13 4 10 8 4 40 x y a x y x y a x y a                4) Giải hệ phương trình 4 3 1 0 4 (1 )(1 ) 6 1 1 0 x y y x y x                5) Giải hệ phương trình 7 2 4 2 2 5 8 2 x y x y x y x              6) Giải hệ phương trình     22 2 1 . 4 2 ( , ) 3 1 4 x x y y x y R x y x               7) giải hệ phương trình 22 2 2 11 x y x y x xy y x x y x                 8) Giải hệ phương trình 3 2 3 2 22 3 9 22 3 9 ( , ) 1 2 x x x y y y x y R x y x y                 9) Giải hệ phương trình 2 2 22 3.4 6 2.3 ( , ) 4 6 3 log log 3 x x x y y y x y R xy         10) Giải hệ phương trình 2 3 2 2 3 5 3 3 3 x y x xy x x y y          11) Giải hệ phương trình 2 1 1 4( ) 3 3 2 2 x y x y x y xy              12) Giải hệ phương trình 3 2 3 2 2 3 5.6 4.2 0 ( 2 )( 2 ) x y x x y x y y y x y x               13) giải hệ phương trình 10 6 5 4 2 22 5 2 1 6 x x y x y xy             14) giải hệ phương trình 2 22 30 ( , ) ( 1) 3( 1) 2( 2 ) 0 x xy x x y P x y xy x y y                  15) 2 2 2 2 2 ( )( 3) 3( ) 2 ( , ) 4 2 16 3 8 x y x xy y x y x y R x y x                   16) Giải Hpt 2 2 2 3 3 3 log 3 log log log 12 log log x y y x x x y y          17)   2 32 3 2 2 4 8 3 12 4 0 4 3 4 36 0 x y xy y x x xy y               1 10 2 18) 1 22 1 xy xy xy xy                         22 22 6 6 8 19) 3 8 6 x x y x y y x y x y              20 3 6.2 11 4 2 4.3 7 9 x y y y x x          21       2 1 1 1 6 2 1 4 x x y y x x y                22 2 1 2013 1 ( 0, 0) 2 4 .log 0 xy y x y xy x            18)       2 2 3 2 22 5 4 3 2 0 ( , ) 2 x y xy y x y x y R xy x y x y                19)   4 19 20 22 y x y x x y            20)      2 2 1 2 1 ( , ) 2 2 3 2 4 xy xy x y R x y x y x y                 21)   2 2 2 2 1 0 2 4 5 0 y x y x x y y m              22)        2 22 4 4 4 51 3 0 ( , ) 2 7 1 0 x xy y x y x y R x x y                 23)         2 2 2 2 2 .3 3 6 3 ( , ) log 1 log 2 2 2 1 log x x x x x y R x xy y              24) 23 23 log 3 5 log 5 3 log 1 log 1 xy xy             25) 22 22 14 15 4 24 12 0 7 12 4 36 8 32 6 x xy y x y x x xy x x                   26)   22 4 8 2 3 3 2 1 xy y x x x y y              27)     22 1 1 1 ( , ) 6 2 1 4 6 1 x x y y x y R x x xy xy x                 28) 2 2 2 log 2 4 1 4 0 y x x xy y            29) 22 22 2 12 12 x y x y y x y           30)       22 1 1 1 2 1 1 3 x x y y x y x               31)   32 42 42 ( , ) 3 4 2 3 x x y x y R x y x y x             32)     3 2 4 3 1 2 1 0 2 2 1 0 x x y y x x y y                33) 2 33 1 2 4 2 4 2 6 2 xy x y x y x y x y             34)     22 3 23 4 1 2 12 10 2 2 1 x x y y y y x               . THUẬT GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐẠO HÀM A. MỤC TIÊU BÀI GIẢNG  Dành cho các học sinh ôn thi ĐH, ôn thi HSG  Tổng kết các dạng bài tập về hệ sử dụng phương pháp đạo hàm ( hàm số). phƣơng trình của hệ để đƣa về hàm đặc trƣng Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: 2( 1) (4) 1 (5) x y x y xy e e x e x y            Lời giải Lấy phương trình (4) –(5) theo vế ta có hệ phương. 10) Giải hệ phương trình 2 3 2 2 3 5 3 3 3 x y x xy x x y y          11) Giải hệ phương trình 2 1 1 4( ) 3 3 2 2 x y x y x y xy              12) Giải hệ phương trình