Các dạng bài tập tích phân thường gặp trong đề thi đại học

19 2.2K 7
Các dạng bài tập tích phân thường gặp trong đề thi đại học

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com http://edufly.vn Biên soạn: Đỗ Viết Tuân Chủ đề 3: CÁC DẠNG TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC Dạng 1: Tích phân các hàm phân thức và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối Kỹ thuật phân tích hệ số bất định Loại 1: 2 1 2 1 ( ) mx n A B dx dx dx ax bx c a x x x x           với x 1 , x 2 là nghiệm của mẫu số (A, B tìm theo đồng nhất hệ số) Loại 2: 2 2 2 ( ) ( )( ) mx nx p A Bx C dx dx qx t ax bx c qx t ax bx c              (A, B, C tìm theo đồng nhất hệ số) Ví dụ 1: Tính tích phân sau: 4 2 1 2 3 2 4 ( 2)( 3 2) x x I dx x x x        Giải: Ta có 4 4 4 2 1 2 2 3 3 3 4 4 4 3 3 3 3 2 2 1 1 ( 2)( 3 2) 2 3 2 1 1 6 ln( 2) | ( ) ln (ln | 2| ln | 1|) | 2 1 5 6 4 8 ln ln ln 5 3 5 x x x I dx dx dx x x x x x x x dx x x x x                                Ví dụ 2: Tính tích phân sau: 1 2 3 0 3 1 I dx x    Giải: Phân tích: 3 2 2 3 1 1 1 3 ( ) ( ) 1 A Bx C x x x x A B x B C A x A C x                   http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com http://edufly.vn Biên soạn: Đỗ Viết Tuân Từ đó suy ra: 0 1 0 1 3 2 A B A B C A B A C C                       Vậy tích phân viết lại dưới dạng 1 1 1 1 1 0 3 2 2 0 0 0 0 3 1 2 2 ln( 1) | 1 1 1 1 x x dx dx dx x dx x x x x x x                    Lại đặt 2 ' 2 (1 ) x M x x N       , ta viết được tích phân 1 1 2 1 1 0 0 2 2 0 0 1 2 1 3 2 2 2 ln(1 )| arctan( ) | 1 2 2 1 3 3 3 3 2 x x dx dx x x x x x x                  Vậy 2 ln2 3 3 I    . Bài tập luyện tập Bài 1: Tính các tích phân sau: 1)   2 1 2 2 127 dx xx x 2)   3 1 2 3 16x dxx 3) 2 2 0 | x 2x 3|dx    4) 3 3 2 0 2 x x x dx     5) 1 2 2 1 (1 ) dx x    6)   2 2 3 2 dx x x   2 2 2 3 1 1 7) x I dx x x     4 2 8) 4 3 dx x x    Hướng dẫn: 5) Đặt x = tant 2 2 2 2 1 1 2 1 6). 3 2 ( 1) ( 1)( 2) ( 2) x x x x x x                http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com http://edufly.vn Biên soạn: Đỗ Viết Tuân Dạng 2: Tích phân các hàm số vô tỷ Kiểu 1: Đặt ẩn phụ ( ) t f x  Ví dụ 3: Tính tích phân 2 3 3 0 1 ( 1) dx I x x      Giải Đặt 1 2 . 2 1 dx x t dt dx tdt x        Khi đó ta có 3 3 3 3 2 1 1 2 2 1 tdt dt I t t t       . Đặt 2 tan cos dy t y dt y    Vậy 3 3 3 2 2 4 4 1 2 2 . (1 tan ) cos 6 dy I dy y y            Kiểu 2: Lượng giác hóa +) Nếu tích phân dạng 2 2 ( , ) n m R x a x dx   thì đặt sin cos x a t x a t      +) Nếu tích phân dạng 2 2 ( , ) n m R x a x dx   thì đặt tan x a t  Ví dụ 4: Tính tích phân sau 3 2 3 4 6 3 2 9    ( ) x I dx x Giải: Đặt 3sin 3cos x t dx tdt    . Đổi cận lấy tích phân ta có http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com http://edufly.vn Biên soạn: Đỗ Viết Tuân   3 2 4 4 2 2 2 4 6 6 2 6 4 2 6 6 6 2 4 5 2 6 6 9 9sin 3cos cos 1 cos 3 sin 3 sin 9 sin sin 1 1 3 cot cot cot | . 9 45 5 t tdt tdt tdt I t t t t td t t                        Kiểu 3: Kỹ thuật nhân liên hợp Ví dụ 5: Tính tích phân /4 5 2 /4 sin 1 x I dx x x        Giải Nhân cả tử và mẫu của biểu thức dưới dấu tích phân với ( 2 1 x x   ) ta có: /4 4 2 5 2 /4 4 4 4 2 ' '' 5 5 4 4 sin ( 1 )sin 1 1 sin sin x I dx x x xdx x x x xdx x xdx I I                            +) Tính ' 5 I . Đặt x = -t, khi đó ta có: 4 4 ' 2 2 ' ' 5 5 5 4 4 1 sin( ) ( ) 1 sin 0. I t t d t t tdt I I                    +) Tính '' 5 I . Dùng công thức tích phân từng phần với sin x cos u x du dx dv dx v x             http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com http://edufly.vn Biên soạn: Đỗ Viết Tuân 4 '' 4 4 5 4 4 4 cos cos sin 2 I x x xdx x                 Vậy 5 2 I  Bài tập luyện tập Bài 2: Tính các tích phân sau: 9) 2 3 1 1 1 dx x x  10) 1 3 2 0 1 x x dx   11) 2 1 x dx 1 x 1    12) 1 2 0 x dx (x 1) x 1    13) 1 2 2 0 2 1 xdx x x     14) 2 0 xdx x 2 2 x     15) 2 1 dx x 2x 1   16) 2 3 0 x 1 dx 3x 1    17) 2 2 2 2 0 1 x dx x  18) 3 0 3 3. 1 3 x dx x x      19) 3 5 3 2 0 2 1 x x dx x    20) 1 2 2 0 1 4 x dx x    Hướng dẫn: 9) Đặt 3 1 x t   10) Đặt 2 1 x t   hoặc x = sint 11) Đặt 1 x t   12) 1 , x t   13) Nhân liên hợp 14) Nhân liên hợp 15) Đặt 2 1 x t   16) 3 3 1 x t   17) Đặt x = sint 18) Đặt 1 , x t   19) Đặt 2 1 x t   20) Đặt x = 2sint Dạng 3: Tích phân các hàm số mũ và logarit Loại 1: Biến đổi và sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com http://edufly.vn Biên soạn: Đỗ Viết Tuân Ví dụ 6: Tính tích phân 1 2 2 0 2 1 2 x x x x e x e dx e     Giải: 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 0 0 0 0 2 (1 2 ) 1 2 1 2 1 2 x x x x x x x x x e x e x e e e dx dx x dx dx I I e e e                 +) Tính 1 1 3 2 1 0 0 1 3 3 x I x dx     +) Tính 1 1 1 2 0 0 0 1 (1 2 ) 1 2 ln(1 2 )| ln 1 2 2 1 2 3 x x x x x e d e e I dx e e e            Vậy 1 1 2 1 ln 3 2 3 e I    Loại 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 7: Tính tích phân sau: 2 1 ln (2 ln ) e x dx x x  Giải: Đặt 2 ln ln 2 dx x t x t dt x        Đổi cận: Với 3 x e t    Với 1 2 x t    3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 ( 2) 2 3 1 2 ln ln 2 3 t dt dt I t dt t t t t                    Ví dụ 8: Tính nguyên hàm 1 (1 ) x x dx x xe    http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com http://edufly.vn Biên soạn: Đỗ Viết Tuân Giải: Đặt 1 (1 ) (1 ) x x x dt xe t e x dx dt x dx e         1 1 (1 ) ( 1) ( 1) x x x dt dt t t dx dt x xe xe t t t t t               ( 1) 1 ln 1 ln ln 1 d t dt t t t C C t t t              ln 1 x x xe C xe    Ví dụ 9: Tính tích phân 3 1 ln (ln 1) (ln 1) e x x dx I x x      Giải: Chia cả tử và mẫu cho x 3 , ta được: 2 3 3 1 1 ln ln 1 ln (ln 1) (ln 1) ln 1 1 e e x x x x dx x x x I dx x x x x x                       Đặt 2 ln 1 ln 1 x x t dt dx x x x       2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 1 1 1 ( 1) 1 1 3 1 1 ( ) 2 2 2 8 1 2(1 ) e e e t dt I t t dt t t t e e                            Loại 3: Sử dụng công thức tích phân từng phần Ví dụ 10: Tính tích phân sau: 2 1 3 x 0 I x e dx   Giải: http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com http://edufly.vn Biên soạn: Đỗ Viết Tuân Đặt 2 2 2 2 2 1 2 x x x du xdx u x v xe dx e dv xe dx                  Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có 2 2 2 1 2 1 1 0 0 0 1 1 1 | | . 2 2 2 2 x x x e I x e xe dx e       Bài tập luyện tập Bài 3: Tính các tích phân sau: 23) ln2 2 0 1 x x e dx e   ; 24). 2 1 1 ln e x dx x   ; 25) 1 2 0 (1 ) x x e dx e   ; 26). 3 0 2 4 x dx   27) 10 2 1 lg x xdx  28) ln8 x 2x ln3 e 1.e dx   ln2 2 0 29) x x dx e e   30)   1 2 0 ln 1 x dx 1 x    31)             e dxxx xx x I 1 2 ln3 ln1 ln 32) ln3 x x 3 0 e dx (1 e )   33) 2 1 3 x 0 x e dx  34) 1 2 2 0 ln( 1 ) 1 x x x dx x     35) 1 3 2ln 1 2ln e x dx x x    36) 4 1 ln(1 ) x dx x x    37) 0 2x 3 1 x(e x 1)dx     Hướng dẫn: http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com http://edufly.vn Biên soạn: Đỗ Viết Tuân 23) Đặt 1 x e t   27) Dùng công thức từng phần 2 2 2 2 1 lg ln 10 2 du dx u x x dv xdx x v                28) 1 x e t   29) x t e  30) tan x t  và 4 t u    31) Kết hợp từng phần và đặt ẩn phụ 32) 1 x e t   33) 2 x t  và dùng tích phân từng phần 34) dùng từng phần với 2 ln( 1 ) u x x    35) Đặt 1 2ln x t   36) Đặt 1 x t   Dạng 4: Tích phân các hàm số lượng giác Loại 1: Dùng công thức nguyên hàm hàm số hợp Ví dụ 10: Tính tích phân 2 2 2 cos 4 sin x x I dx x        Giải: ) 2 2 1 2 2 2 2 2 cos 4 sin 4 sin x x I dx dx I I x x               +) Tính I 1 Ta có: 0 2 1 2 2 0 2 4 sin 4 sin x x I dx dx x x          (1) Xét 0 2 2 4 sin x J dx x      http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com http://edufly.vn Biên soạn: Đỗ Viết Tuân Đặt x t dx dt      Đổi cận: Với 2 2 x t       Với 0 0 x t    0 0 0 2 2 2 2 2 2 4 sin 4 sin 4 sin x t x J dx dt dx x t x                (2) Thay (2) vào (1) 1 0 I   +) Tính 2 I Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 cos (sin ) 1 (2 sinx) (2 sinx) (sin ) 4 sin (2 sin )(2 sinx) 4 (2 sin )(2 sinx) x d x d x I dx x x x                        2 2 2 2 2 2 1 (sin 2) 1 (2 sin ) 1 (ln sinx 2 ln 2 sinx ) 4 2 sinx 4 2 sin 4 d x d x x                      2 2 1 2 sinx 1 ln ln9 4 2 sinx 4        Vậy 1 ln9 4 I  Bình luận: Trong tích phân này chúng ta nhận dạng tích phân ( ) 0 a a f x dx    nếu f(x) là hàm số lẻ (Chứng minh bằng cách đặt x = -t). Loại 2: Dùng công thức tích phân từng phần Tính:   ( ) lg b a f x bt dx  [...]...  2 ln 2 2 1 3 Bài tập luyện tập Bài 4: Tính các tích phân sau:  4 1  sin 2 x 40)  dx cos2 x 0  2 1 41)  e x sin 2 ( x) dx 42) 0 cos3 x dx   1  sin x 4  2  4 43)  sin 4 xdx 0 44)     2 4sin x  (sin x  cos x) 3 dx 0 45)  2 sin xdx 0 Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com http://edufly.vn Biên soạn: Đỗ Viết Tuân http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn... thức từng phần 51) Đặt cosx = t và dùng cttp Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com http://edufly.vn Biên soạn: Đỗ Viết Tuân http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 53) 3 1  sin 2 x  t 52) Đặt tanx = t Dạng 5: Ứng dụng tích phân Ví dụ 14: a) Tính diện tích của hình tạo bởi y  4  x 2 , x  y  2  0 2 b) Tính diện tích của hình tạo bởi y  2 x  2 và y   x  2... a) Tính thể tích tròn xoay sinh bởi các đường sau khi quay quanh Ox: y  1  2 x  x 2 và y  1 b) Tính thể tích tròn xoay sinh bởi các đường sau y  x ln(1  x)3 ; y  0 và x = 1 Giải: a) Hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là nghiệm của phương trình: Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com http://edufly.vn Biên soạn: Đỗ Viết Tuân http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề ôn thi cấp tốc...  3 2 0 3 2 3 1 Vậy V  ln 2  (đvtt) 2 3 Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 trong các đường sau: a) y  x 3  3 x và tiếp tuyến với đường cong tại điểm có hoành độ x   b) y  x sin x, y  0, x  0, x  1 2 2 4 Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com http://edufly.vn Biên soạn: Đỗ Viết Tuân http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 1 c) y  ln x ,... 2 3   ln =  ln  ln  ln  ln  ln  ln 2 2 2 2 2  2 2 2 3   Vậy I  4 2 3  ln 3 2 3 Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com http://edufly.vn Biên soạn: Đỗ Viết Tuân http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 Loại 3: Đặt ẩn phụ Ví dụ 12: Tính các tích phân sau  2 sin 2 x a)  2 cos x  4 sin 2 x 0   sin  x   dx 4  b)  sin 2 x  2(1  s inx  cos... inx  cos x  t Đổi cận: Với x  0  t  1 Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com http://edufly.vn Biên soạn: Đỗ Viết Tuân http://baigiangtoanhoc.com Với x   2 I 2 2  1 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013  t 2 4 dt  2  2 2 (t  1) 2  1 2 2 (t  1) d (t  1) 2(t  1) 2  1 2 2( 2  1)  2 2 2  4 4( 2  1) Loại 4: Dạng tích phân đưa về tanx và cotx  4 Ví dụ 13: Tính cos 2... x  y  2  0 f) y  2 x  2 , y   x 2  2 x  2 g) x  y , x  y  2  0, y  0 Bài 6: Tính thể tích của các vật thể tròn xoay tạo bởi các đường sau khi quay quanh Ox a) y  sin 4 x  cos 4 x , y  0, x    , x  2  b) x 2  y 2  8, y 2  2 x d) y = xex, y = 0, x =e c) y  x ln 1  x 3 , x  1, y  0 Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com http://edufly.vn Biên soạn: Đỗ Viết Tuân...http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013  u  f ( x)  du  f '( x)dx Phương pháp:   dv  bt lg dx v   bt lg dx    3 Ví dụ 11: Tính tích phân: I  x sin x dx 2 x  cos   3 Giải: u  x du  dx   Đặt   sin xdx 1 dv  v  cos x 2  cos x  I x cos x  3 ... độ giao điểm của hai đường đã cho là nghiệm của phương trình: Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com http://edufly.vn Biên soạn: Đỗ Viết Tuân http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 x ln(1  x3 )  0 x  0 x  0 x  0     x0 3 3 3  ln(1  x )  0  ln(1  x )  0 1  x  1  Thể tích tròn xoay cần tính được cho bởi 1 1 V    x 2 ln(1  x3 ) dx ... chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 Vậy S    2 (đvdt) b) Hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là nghiệm của phương trình: 2x  2  x2  2x  2 +) Nếu 2 x  2  0  x  1 thì (1) (1)  2 x  2   x 2  2 x  2 x  0  x2  4 x  0    x  4(l ) +) Nếu x  1 thì (1)  2 x  2  x 2  2 x  2 x  2  x2  4  0    x  2 (l ) Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 0 hoặc x = -2 Diện tích . 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 20 13 Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com http://edufly.vn Biên soạn: Đỗ Viết Tuân Chủ đề 3: CÁC DẠNG TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ THI ĐẠI. x   3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2                      (sinx ) ( sinx) ln sinx ln sinx sinx sinx d d = 1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3    . được tích phân 1 1 2 1 1 0 0 2 2 0 0 1 2 1 3 2 2 2 ln(1 )| arctan( ) | 1 2 2 1 3 3 3 3 2 x x dx dx x x x x x x                  Vậy 2 ln2 3 3 I    . Bài tập luyện tập Bài

Ngày đăng: 07/05/2014, 20:52

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan