9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014. Chuyên đề 1 RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI VÀ CÁC BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN CĂN THỨC BẬC HAI Mọi liên hệ xin gửi về địa chỉ gmail : taiminh1978@gmail.com. A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ : 1. Các phép toán biến đổi căn bậc hai. +) Hằng đẳng thức căn bậc hai : ( ) 2 x 2 1 x 1 5 x 2 0 ⇔ − + + + − − = ; +) Khai phương một tích và nhân các căn bậc hai : ( ) A.B A. B A 0,B 0= ≥ ≥ . +) Khai phương một thương và chia hai căn bậc hai : ( ) A A A 0,B 0 B B = ≥ > . +) Đưa thừa số ra ngoài dấu căn bậc hai : ( ) 2 A B A B B 0 = ≥ .; +) Đưa một thừa số vào dấu căn bậc hai : ( ) ( ) 2 2 A B A B A 0,B 0 ; A B A B A 0,B 0 = − < ≥ = ≥ ≥ ; +) Khử mẫu của biểu thức lấy căn : ( ) A 1 AB AB 0,B 0 B B = ≥ ≠ ; +) Trục căn thức ở mẫu : ( ) A A B B 0 B B = > ; ( ) ( ) C A B C A 0, B 0,A B A B A B − = ≥ ≥ ≠ − + . B. MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1. Cho biểu thức : Cho biểu thức : a 2a a P a 1 a a - = - - - a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của P với a 3 8= - c) Tìm a để P < 0. (Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2000 – 2001). Gợi ý a) ĐKXĐ : a > 0, a 1≠ ; P a 1= - b) Ta có ( ) ( ) 2 2 a 3 8 3 2 2 2 2 2 1 2 1= - = - = - + = - ( ) 2 a 3 8 2 1 2 1 2 1Þ = - = - = - = - Î ĐKXĐ Thay a 2 1= - vào P, ta được : P = ( ) P 2 1 1 2 2= - - = - . Vậy P = P 2 2= - khi a 3 8= - . c) P < 0 Û a 1 0 a 1 0 a 1- < Û < Û £ < . Kết hợp với ĐKXĐ, P < 0 khi 0 < a < 1. Ví dụ 2. Cho biểu thức : x 2 x 1 A x 1 x( x 1) - = - - - a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn A. b) Tính giá trị của A với x =36. c) Tìm x để A A> . (Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2001 – 2002). Đáp án gợi ý : a. ĐKXĐ : P có nghĩa ( ) x 0 x 0 x 1 0 x 1 x x 1 0 ì ï ³ ï ï ì ï > ï ï ï Û - ¹ Û í í ï ï ¹ ï ï î ï - ¹ ï ï î . ĐS : x 1 A x - = b. Biến đổi x = 36 Î ĐKXĐ Þ x = ( ) 2 36 6 6 6= ± = ± = . Thay x = 36 vào biểu thức A , ta được A = 36 1 5 6 36 - = . Vậy 5 A 6 = khi x = 36. c. Ta có A A A 0> Û < Û x 1 x - < 0 Với x Î ĐKXĐ thì x 0> . Để x 1 x - < 0 thì x 1 0 0 x 1- < Û £ < . Kết hợp với ĐKXĐ, A A> khi 0 < x < 1. Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn) 1 9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014. Ví dụ 3. Cho biểu thức: 1 1 1 A 1 x 1 x 1 x æ öæ ö ÷ ÷ ç ç = + + ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç è øè ø - + a) Rút gọn A. b) Tính giá trị của A khi x = 1 4 . c) Tìm giá trị của x để: A A= . (Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2003 – 2004). Gợi ý. a) ĐKXĐ : x > 0, x 1¹ ; A = 2 x 1- . b. Ta có x = 1 4 Î ĐKXĐ. Thay vào A ta được : 2 A 4 0,5 1 = =- - . c. Ta có : A 0 A A A 1 é = ê = Û ê = ë . Suy ra 2 0 2 2 x 1 x 9 2 x 1 x 1 1 x 1 é ê = ê - ê = Û Û = ê - - ê = ê - ë . Kết hợp ĐKXĐ, A A= khi x = 9. Ví dụ 4. Cho biểu thức: 1 1 3 M : x 3 x 3 x 3 æ ö ÷ ç = - ÷ ç ÷ ÷ ç è ø - + - a) Rút gọn M. b) Tìm x để M > 1 3 . c) Tìm x để biểu thức M đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó. (Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2002 – 2003). Đáp án gợi ý : a) ĐKXĐ : x 0 ; x 9³ ¹ ; 2 M x 3 = + . b) Ta có M > 1 3 Û 2 1 3 x 0 3 x 3 x 3 - > Û > + + . Với x Î ĐKXĐ thì x 3+ > 0. Để 3 x 0 x 3 - > + cần 3 x 0 0 x 9- > Û £ < . Kết hợp ĐKXĐ, M > 1 3 khi 0 x 9£ < . c) Ta có M = 2 2 3 x 3 £ + với x Î ĐKXĐ. Đẳng thức xảy ra Û x 0 x 0= ⇔ = (x Î ĐKXĐ). Vậy maxM = 2 3 khi x = 0. LUYỆN TẬP 1. Cho biểu thức: 1 1 P 1 . x 1 x x æ ö ÷ ç = + ÷ ç ÷ ÷ ç è ø - - . a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của A với x = 25. c) Tìm x để : 2 P. 5 2 6.( x 1) x 2005 2 3+ - = - + + (Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2004 – 2005). 2. Cho biểu thức : ( )   + = +  ÷ − − −   2 1 1 x 1 P x x 1 x 1 x a) Rút gọn P ; b) Tìm x để P > 0. (Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2006 – 2007) 3. Cho biểu thức A = x 1 1 : x 1 x x x 1   −  ÷  ÷ − − −   a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0. c) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình A x m x= − có nghiệm. (Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2007 – 2008) 4. Cho biểu thức: 3 1 1 P : x 1 x 1 x 1 æ ö ÷ ç = + ÷ ç ÷ ÷ ç è ø - + + a) Rút gọn P ; b) Tìm các giá trị của x để 5 P 4 = . c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 12 1 M . P x 1 + = - Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn) 2 9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014. (Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2008– 2009) 5. Cho biểu thức : x x 1 x 1 A x 1 x 1 + − = − − + . a) Rút gọn biểu thức A ; b) Tính giá trị của biểu thức A khi 9 x 4 = . c) Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1. (Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2009 – 2010) 6. Cho biểu thức = − − − − + x 2 2 A x 1 x 1 x 1 . a) Rút gọn biểu thức A ; b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9. c) Khi x thoả mãn điều kiện xác định. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất cuả biểu thức B, với B = A(x – 1). (Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2010 – 2011) 7. Cho biểu thức : ( ) 2 1 1 x 1 A : x x x 1 x 1   + = +  ÷ − −   − a) Nêu ĐKXĐ và rút gọn A ; b) Tìm giá trị của x để 1 A 3 = . c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = A - 9 x . (Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2011 – 2012) 8. Cho biểu thức : 1 1 x 2 A . x 2 x 2 x −   = +  ÷ + −   a) Nêu ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A ; b) Tìm tất cả các giá trị của x để A 1 2 > . b) Tìm tất cả các giá trị của x để 7 B A 3 = là một số nguyên. (Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2012 – 2013). 9. Cho biểu thức : 2 1 1 P : x 4 x 2 x 2   = +  ÷ − + +   a) Tìm ĐKXĐ và rút biểu thức P. b) Tìm x để P = 3 2 . (Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2013 – 2014). HƯỚNG DẪN GIẢI 1. a) ĐKXĐ : x 0 x 0 x 1 x x 0 ì ³ ì ï > ï ï ï Û í í ï ï ¹ - ¹ ï ï î î ; ( ) ( ) ( ) 2 1 1 x 1 1 1 x 1 1 P 1 . x 1 x x x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 1 æ ö - + ÷ ç = + = × = × = ÷ ç ÷ ÷ ç è ø - - - - - - - b) Ta có x = 25 Î ĐKXĐ. Thay x = 25 vào biểu thức ( ) 2 1 P x 1 = - , ta được P = ( ) 2 2 1 1 1 P 4 16 5 1 = = = - . Vậy P = 1 16 khi x = 25. c. Với 2 P. 5 2 6.( x 1) x 2005 2 3+ - = - + + , ( ) 2 1 P x 1 = - Ta có phương trình : ( ) ( ) ( ) 2 1 2 3 x 1 x 1 + - - . = x – 2005 + ( ) 2 3+ Û x – 2005 = 0 Û x = 2005 Î ĐKXĐ. Vậy 2 P. 5 2 6.( x 1) x 2005 2 3+ - = - + + khi x = 2005. 2. a) ĐKXĐ : x 0 ; x 1> ¹ ; : ( )   + = +  ÷ − − −   2 1 1 x 1 P x x 1 x 1 x ( ) ( ) ( ) ( )   − + − −  ÷ = + × = × =  ÷ − + + − −  ÷   2 2 1 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 x x 1 x Vậy - = 1 x P x khi x 0 ; x 1> ¹ b) Với x Î ĐKXĐ, suy ra x 0> . Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn) 3 9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014. Để 1 x 0 x - > thì 1 x 0 x 1 0 x 1- > Û < Û £ < . Kết hợp ĐKXĐ, suy ra P > 0 khi 0 < x < 1. 3. a) ĐKXĐ : ; > ≠x 0 x 1 . :   = −  ÷  ÷ − − −   x 1 1 A x 1 x x x 1 ( ) ( ) ( ) .   − − − −  ÷ = − = × =  ÷ − − −  ÷   2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 x 1 x x x 1 x x 1 Vậy − = x 1 A x khi ; > ≠x 0 x 1 b) A < 0 ⇔ x 1 0 x − < ⇔ x - 1 < 0 (vì x 0 > ) ⇔ x < 1. Kết hợp với điều kiện ta có kết quả 0 < x < 1. c) Với x > 0, x ≠ 1 thì A x = m - x trở thành x 1 x m x x − × = − ⇔ x x m 1 0 + − − = (1) Đặt x = t, vì x > 0, x ≠ 1 nên t > 0, t ≠ 1. Phương trình (1) qui về t 2 + t - m - 1 = 0 (2). Phương trình (1) có nghiệm ⇔ phương trình (2) có nghiệm dương khác 1. Nhận thấy b 1 0 a − = − < . Nên phương trình (2) có nghiệm dương khác 1. ⇔ m 1 0 m 1 1 1 m 1 0 m 1 − − < > −   ⇔   + − − ≠ ≠   Kết luận: m > -1 và m ≠ 1. 4. a) ĐKXĐ : P có nghĩa x 0 x 0 x 1 0 x 1 ≥ ≥   ⇔ ⇔   − ≠ ≠   . ( ) ( ) 3 1 1 3 1 x 1 P : x 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1   +    ÷ = + = + ×  ÷  ÷ − + + +   − −   ( ) ( ) 3 x 1 x 1 x 2 1 x 1 x 1 x 1 + − + + = × = − − − Vậy x 2 P x 1 + = − với x 0≥ , x ≠ 1. b) ( ) ( ) 5 x 2 5 P 4 x 2 5 x 1 x 13 x 169 4 4 x 1 + = ⇔ = ⇔ + = − ⇔ = ⇔ = − Kết hợp với ĐKXĐ ta có kết quả x = 169. c) Với x 0³ và x ¹ 11, x 12 1 M . P x 1 + = - , trở thành : ( ) 2 x 2 x 12 x 1 x 12 M . 2 2 x 1 x 2 x 2 x 2 − + − + = = = + ≥ − + + + . Đẳng thức xảy ra khi x 2 0 x 4− = ⇔ = . Kết hợp với ĐKXĐ ta có kết quả minP = 2 khi x = 4. 5. a) ĐKXĐ : A có nghĩa x 0 x 0 x 1 0 x 1 ì ì ³ ³ ï ï ï ï Û Û í í ï ï - ¹ ¹ ï ï î î . ( ) ( ) x x 1 x 1 x x 1 x 1 A x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 + − + − = − = − − + + + − ( ) ( ) ( ) ( ) x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 + − − − = + − ( ) ( ) ( ) x x 1 x x x x 1 x 1 x 1 + − − − + = + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x 1 x x x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 + + = = = − + − + − Vậy A = x A x 1 = - với x 0≥ , x ≠ 1. b) 9 x 4 = ∈ ĐKXĐ. Thay vào A ta được : A = 9 3 3 4 A : 1 3 2 2 9 1 4 æ ö ÷ ç = = - = ÷ ç ÷ ÷ ç è ø - . Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn) 4 9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014. c) A < 1 ⇔ x x 1- < 1 x 1 1 0 0 x 1 0 x 1 x 1 x 1 ⇔ − < ⇔ < ⇔ − < ⇔ < − − Kết hợp với ĐKXĐ ta có kết quả 0 x 1£ < . 6. a) ĐKXĐ : A có nghĩa x 0 x 0 x 1 0 x 1 x 1 0 ì ³ ï ï ï ì ³ ï ï ï ï Û - ¹ Û í í ï ï ¹ ï ï î ï - ¹ ï ï î . ( ) ( ) = − − = − − − − + − + − + x 2 2 x 2 2 A x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x 1 2 x 1 2 x x x 1 x 1 x 1 x 1 + − − − − = = − + − + ( ) ( ) ( ) x x 1 x x 1 x 1 x 1 − = = + − + Vậy = + x A x 1 với x ≥ 0, x ≠ 1. b) x = 9 Î ĐKXĐ. Suy ra x 9 3= = . Thay x 3= vào biểu thức A = + x x 1 , ta có kết quả : A = = + 3 3 3 1 4 . c) Với x 0 ≥ và x 1≠ , ta có: ( ) ( ) x B A. x 1 (x 1) x x 1 x x x 1 = − = − = − = − + 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( x) 2. x. ( x ) 2 2 4 2 4 4 æö æ ö ÷ ÷ ç ç = - + - = - + - ³ - ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç è ø è ø Dấu bằng xảy ra khi 2 1 1 1 ( x ) 0 x 0 x 2 2 4 − = ⇔ − = ⇔ = Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là 1 4   −  ÷   đạt được khi 1 x 4 = . 7. a) ĐKXĐ: x > 0, x ≠ 1 . Rút gọn: A = 1 − x x b) ( ) 1 x 1 1 9 A 3 x 1 x x 3 3 4 x − = ⇔ = ⇔ − = ⇒ = (thỏa mãn) c) x 1 1 x xP A 9 1 9 x x 9 x   − = = − += −   − ÷  Áp dụng BĐT Côsi : 1 9 x 2.3 6 x + ≥ = => P ≥ -5. Vậy MaxP = - 5 khi x = 1 9 8. a) ĐKXĐ: x 0, x 4> ≠ . ( ) ( ) 1 1 x 2 x 2 x 2 x 2 A . . x 2 x 2 x x x 2 x 2 − − + + −   = + =  ÷ + −   + − ( ) 2 x 2 x 2 x x 2 = = + + . Vậy 2 A x 2 = + với x 0, x 4 > ≠ . b) 1 2 1 A 4 x 2 x 2 x 4 2 2 x 2 > ⇒ > ⇔ > + ⇔ < ⇔ < + Kết hợp với ĐKXĐ ta có : 1 A 2 > khi 0 x 4< < . c) 7 7 2 14 B .A 3 3 x 2 3 x 6 = = = + + Do x > 0 => 3 x 6 0+ > => 0 < 14 3 x 6+ < 7 3 Vì B là một số nguyên => B = 1 hoặc B = 2 Với B = 1 => x = 1 9 ; Với B = 2 => x = 64 9 Vậy 1 64 x ; 9 9   ∈     thì B là một số nguyên. Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn) 5 9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014. 9. a) ĐKXĐ: x x x x ì ì ³ ³ ï ï ï ï Û í í ï ï - ¹ ¹ ï ï î î 0 0 4 0 4 P = 2 1 1 2 x 2 x : .( x 2) x 4 x 2 x 2 ( x 2)( x 2) x 2 + −   + = + =  ÷ − + + − + −   Vậy x P x 2 = − với x 0, x 4≥ ≠ . b) = Û 3 P 2 x x = - 3 2 2 x x x xÛ = - Û = Û =2 3 6 6 36 (TMĐKXĐ) Vậy = 3 P 2 khi x = 36. BÀI TẬP TỰ LUYỆN I. Năm học 2013 – 2014. 1. Rút gọn các biểu thức sau: a a a 1 A a 1 a 1 − − = − − + (a 0;a 1)≥ ≠ ; 4 2 3 6 8 B 2 2 3 + − − + = + − (Thi vào 10 THPT Tỉnh Hà Nam) 2. Cho biểu x 2 x 2 x A : x 1 x 2 x 1 x 1   + − = −  ÷  ÷ − + + +   . a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A có giá trị là số nguyên. (Thi vào 10 THPT Tỉnh Nam Định) 3. Cho biểu thức: P = 1 1 a 1 a 2 : a 1 a a 2 a 1     + + − −  ÷  ÷  ÷ − − −     với a 0;a 1;a 4> ≠ ≠ a) Rút gọn P b) So sánh giá trị của P với số 1 3 . (Thi vào 10 THPT Tỉnh Lào Cai) 4. Cho biểu thức 1 1 x 1 P : x x x 1 x 2 x 1     + = +  ÷  ÷  ÷ − − − +     a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của P khi x 3 2 2= − . (Thi vào 10 THPT Tỉnh Thanh Hóa) 5. Cho biểu thức: x 2 x 1 x 1 P x 1 x x 1 x x 1 + + + = + − − − + + a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P đạt giá trị nguyên. (Thi vào 10 THPT Tỉnh Quảng Ninh) 6. Cho biểu thức x 1 x 2 1 P : x 1 x 1 x x   + − = +  ÷  ÷ − − −   a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm x để 9 P 2 = . (Thi vào 10 THPT Tỉnh Thái Bình) 7. Cho biểu thức : 1 1 a 1 M : a a a 1 a 2 a 1   + = +  ÷ − − − +   a) Tìm điều kiện của a để M có nghĩa và rút gọn M. b) So sánh M với 1. (Thi vào 10 THPT Tỉnh Thừa Thiên Huế) II. Năm học 2012 – 2013. 1. Cho biểu thức 1 x x 9 M . x 9 3 x 3 x + = + − − − + a) Tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa. Rút gọn biểu thức M. Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn) 6 9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014. b) Tìm các giá trị của x để M > 1. 2. Cho biểu thức: 2 4a a a 1 P . a 1 a a a   − = −  ÷  ÷ − −   a) Rút gọn biểu thức P. b) Với những giá trị nào của a thì P = 3. (Thi vào 10 THPT Tỉnh Hà Tĩnh) 3. Cho biểu thức : 1 1 x 1 P 2 : x 1 x 1 1 x x 1 1 −   = −  ÷ − − + + − −   a) Tìm x để biểu thức P có nghĩa; Rút gọn P. b) Tìm x để P là một số nguyên. 4. Cho biểu thức: ( ) 2 x 4 x 8 P x 3 x 4 x 1 x 4 + = + − − − + − a) Rút gọn B. b) Tìm x để giá trị của B là một số nguyên. (Thi vào 10 THPT Tỉnh Thái Bình) II. Năm học 2011 – 2012. 1. Thu gọn các biểu thức sau: 3 3 4 3 4 A 2 3 1 5 2 3 − + = + + − x x 2x 28 x 4 x 8 B x 3 x 4 x 1 4 x − + − + = − + − − + − ( 0, 16) ≥ ≠ x x (Thi vào 10 THPT Thành phố Hồ Chí Minh) 2. Cho x 10 x 5 A x 25 x 5 x 5 = − − − − + a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A khi x = 9. c) Tìm x để 1 A 3 < . (Thi vào 10 THPT Thành phố Hà Nội) 3. Rút gọn biểu thức 6 3 5 5 2 Q : 2 1 5 1 5 3   − − = +  ÷  ÷ − − −   (Thi vào 10 THPT Thành phố Đà Nẵng) 4. Cho biểu thức a a 4 a 1 1 P : a 4 a 2 a 2 a 2   − = − +  ÷  ÷ − + − +   a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của P tại a = 6 + 4 2 (Thi vào 10 THPT Tỉnh Thanh Hóa) 5. Cho biểu thức: 1 1 2 P 1 2 a 2 a a    = − +  ÷ ÷ − +    a) Rút gọn P b) Tìm a để P > 1 2 (Thi vào 10 THPT Tỉnh Hà Tĩnh) 6. Cho biểu thức x 1 1 2 A : x 1 x 1 x x x 1     = + +  ÷  ÷  ÷ − − − +     a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm các giá trị của x sao cho A < 0. (Thi vào 10 THPT Tỉnh Tây Ninh) Chuyên đề 2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN, HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN. Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn) 7 9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014. 1. Kiến thức cần nhớ : * Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng : ax + b = 0 ( a 0≠ ) ; a, b ∈¡ , x là ẩn. Phương trình có duy nhất một nghiệm b x a = − . * Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn : ax by c a 'x b'y c' + =   + =  Trong đó : a, b, c, a', b', c' ∈¡ ; a, b không đồng thời bằng 0, a' và b' không đồng thời bằng 0 và x, y là ẩn. 2. Các phương pháp giải hệ phương trình : a) Phương pháp thế : +) Từ một trong hai phương trình rút ra một ẩn theo ẩn kia, thế vào phương trình thứ hai ta được phương trình bậc nhất một ẩn +) Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai. b) Phương pháp cộng. +) Quy đồng hệ số một ẩn nào đó (làm cho ẩn nào đó của hệ số có hệ số bằng nhau hoặc đối nhau). +) Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai. 3. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số. Để xác định số nghiệm của hệ phương trình ta có thể sử dụng tính chất sau : Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn : ax by c a 'x b'y c' + =   + =  +) Có nghiệm duy nhất ⇔ a b a ' b' ≠ . +) Có vô số nghiệm ⇔ a b c a ' b' c' = = . +) Vô nghiệm ⇔ a b c a ' b' c' = ≠ . B. VÍ DỤ. Dạng 1. Phương trình chứa ẩn ở mẫu. Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: a) x x 2 x 1 x 2 + = − + b) 3 3 2x 1 2 x x 1 − = + + . Phương pháp. Đây là phương trình chứa ẩn ở mẫu để giải bài toán này người ta thường làm như sau : Biến đổi phương trình về dạng : ax + b = 0 hoặc ax 2 + bx + x = 0 bằng cách : + Tìm ĐKXĐ. + Quy đồng và khử mẫu. + Giải phương trình vừa tìm được. + Kết hợp với ĐKXĐ để trả lời. Giải. a) ĐKXĐ : x ≠ 1, x 2≠ − . x 4 0 x 4⇒ − − = ⇔ = − , thỏa mãn. b) ĐKXĐ : 3 x x 1 0+ + ≠ (*) 3 2x 3 0 x 2 − ⇒ + = ⇔ = . Với 3 x 2 − = thay vào (*) ta có 3 3 3 31 1 0 2 2 8 − − −   + + = ≠  ÷   . Vậy 3 x 2 − = là nghiệm. Ví dụ 2. Tìm m nguyên để phương trình sau đây có nghiệm nguyên : ( ) 2 m 2 x 2m m 2 0− + + − = (1) Giải. Với m nguyên thì 2m 3 0− ≠ vậy phương trình 1 có nghiệm : ( ) ( ) 2 2m m 2 4 x m 2 2m 3 2m 3 − + − = = − + − − − Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn) 8 9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014. Để phương trình có nghiệm nguyên thì 2m - 3 phải là ước của 4 hay 2m - 3 { } 1, 2, 4∈ ± ± ± . Giải ra ta được m = 2 và m = 1. Dạng 2. Giải hệ phương trình dạng tổng quát Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình sau : a) 2x + 3y = 2 1 x y = 6    −   b) 4x + y = 5 3x 2y = 12   − −  ; Lời giải. a) 1 2x + 3y = 2 10 5 4x + 6y = 4 2 1 1 1 6x 6y = 1 x y = x y = 6 6 3  = =       ⇔ ⇔ ⇔     − − −     =     x x y Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất :  =     =   1 x 2 1 y 3 b) 2 x = 4x + y = 5 8x 2y = 10 11x = 2 11 3x 2y = 12 3x 2y = 12 4x + y = 5 63 y = 11 −   + −     ⇔ ⇔ ⇔     − − − −       ; Dạng 4. Xác định tham số m thỏa mãn điều kiện cho trước. Ví dụ 4. Cho hệ phương trình : 2x 3y a 5x 3y 2 + =   − =  1) Giải hệ phương trình với a = 1. 2) Tìm giá trị của a để hệ phương trình có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x > 0, y < 0. Giải. 1) Với a = 1, ta có hệ phương trình : 3 x 2x 3y 1 2x 3y 1 7 5x 3y 2 7x 3 1 y 21  =  + = + =    ⇔ ⇔    − = =    =   2) Lấy phương trình đầu cộng với phương trình thứ hai ta có : a 2 a 2 5a 4 7x a 2 x 2. 3y a y 7 7 21 + + − = + ⇒ = ⇒ + = ⇒ = Hệ có nghiệm : a 2 a 2 0 x 0 4 7 2 a 4 y 0 5a 4 5 a 0 5 21 +  > − >   >    ⇔ ⇔ ⇔ − < <    < − <    <    Vậy với 4 2 a 5 − < < hệ phương trình có nghiệm x > 0, y < 0. Ví dụ 5. Cho hệ phương trình : ( ) ( ) x m 3 y 0 m 2 x 4y m 1  − + =   − + = −   1) Giải hệ khi m = -1. 2) Giải và biện luận hệ phương trình đã cho theo m. Giải. 1) Với m = -1 hệ phương trình đã cho có dạng : x 2y 0 x 2 3x 4y 2 y 1 − = =   ⇔   − + = − =   2) Xét hệ phương trình : ( ) ( ) x m 3 y 0 (1) m 2 x 4y m 1 (2)  − + =   − + = −   Từ (1) ta có : ( ) x m 3 y= + thay vào (2) ta có : ( ) ( ) m 2 m 3 y 4y m 1− + + = − ( ) ( ) ( ) 2 m m 2 y m 1 m 1 m 2 y m 1⇒ + − = − ⇒ − + = − (3) *) Nếu m = 1 ta có : (3) ⇔ 0 = 0 hay phương trình có nghiệm với mọi y ⇒ hệ có vô số nghiệm. *) Nếu m = - 2 từ (3) ⇒ 0 = - 3 hay hệ phương đã cho trình vô nghiệm. Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn) 9 9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014. *) Nếu m 1,m 2≠ ≠ − từ (3) ⇒ 1 m 3 y x m 2 m 2 + = ⇒ = + + Vậy hệ có nghiệm duy nhất : m 3 x m 2 1 y m 2 +  =   +   =  +  Ví dụ 3. Cho hệ phương trình 3x + my = 5 mx - y = 1    a) Giải hệ khi m = 2 b) Chứng minh hệ có nghiệm duy nhất với mọi m. Lời giải a) Với m = 2 ta có hệ 3x + 2y = 5 y = 2x - 1 y = 2x - 1 x = 1 2x - y = 1 3x + 2(2x - 1) = 5 7x = 7 y = 1     ⇔ ⇔ ⇔         Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 1). b) Hệ có nghiệm duy nhất 2 3 m m 1 m 3≠⇔ ≠ −⇔ − với mọi m Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m. LUYỆN TẬP 1. Giải các hệ phương trình sau : a) 4x + 7y = 18 3x y = 1   −  b) 3x 2y 6 x 3y 2 + =   − =  ; c) x y 4 2x 3 0 − =   + =  d) 3x + y = 9 x 2y = 4   − −  ; e) 2x y = 1 2y 3x + y = 3 x − −   −  ; f) 3x 2y 1 2x y 4 − =   + = −  2. Cho hệ phương trình : 3x 2y 6 ax y 3 − =   + = −  (x, y là ẩn ; a là tham số) a) Giải hệ phương trình với a = 4. b) Tìm giá trị của a sao cho nghiệm (x ; y) của hệ thỏa mãn y = 3 x 4 . 3. Cho hệ phương trình : ax y 3 x ay 1 + =   + = −  a) Giải hệ phương trình với a = 3. b) Với giá trị nào của a thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. 4. Cho hệ phương trình : ( ) a 1 x ay 3a 1 2x y a 5  − − = −   − = +   a) Giải hệ phương trình với a = 3. b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho : S = x 2 + y 2 đạt giá trị nhỏ nhất. 5. Cho hệ phương trình: mx – y 2 3x my 5 =   + =  a) Giải hệ phương trình khi m = 2. b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm:(x, y) sao cho x + y = 0. 6. Cho hệ phương trình : mx y 3 (1) 2x my 9 (2) − =   + =  a) Giải hệ phương trình khi m = 1. b) Tìm các giá trị nguyên của m để hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho biểu thức A = 3x – y nhận giá trị nguyên. 7. Cho hệ phương trình: 2x y 5m 1 x 2y 2 + = −   − =  (m là tham số) a) Giải hệ phương trình với m = 1 b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x ; y) thỏa mãn: x 2 – 2y 2 = 1. HƯƠNG DẪN GIẢI. Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn) 10 [...]... = 11( a + b + c ) Theo bài ra ta có phương trình : ⇔ 100 a + 10b + c = 11a + 11b + 11c ⇔ 89a = b + 10c = cb Do 0 ≤ cb ≤ 99 và 89a = cb ⇒ a = 1 , c = 8 , b = 9 Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn) 24 9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT Năm học 2013 – 2014 Ta có a = 1, b = 9, c = 8 thỏa mãn điều kiện bài toán Vậy số cần tìm là : 198 6 Cách 1 Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình Gọi x, y (ngày) lần... giá trị nhỏ nhất 1 2 1 2 (Thi vào 10 THPT Thành phố Hồ Chí Minh) 2 Cho phương trình x2 – 2x – 3m2 = 0, với m là tham số a) Giải phương trình khi m = 1 x1 x2 8 b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x 1, x2 khác 0 và thỏa điều kiện x − x = 3 2 1 (Thi vào 10 THPT Thành phố Đà Nẵng) Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn) 15 9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT Năm học 2013 – 2014 3... (HSG Huyện Yên Thành V1 2 010 - 2011) 2 7) x + 9x + 20 = 2 3x + 10 ; 8) 2x − 3 + 5 − 2x = 3x 2 − 12x + 14 (HSG Huyện Nghĩa Đàn 2011 - 2012) 2 9) x + 2x + 15 = 6 4x + 5 ; 10) x + 17 − x 2 + x 17 − x 2 = 9 (HSG Huyện Yên Thành V2 2 010 - 2011) LG ĐK: − 17 ≤ x ≤ 17 Đặt y = 17 − x 2 ( y ≥ 0 ) Ta có hệ PT : Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn) 30 9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT Năm học 2013 – 2014 2... ⇔ ⇔  x − 2y = 2 x − 2y = 2   y = m − 1 b) Ta có ⇔ ≠ luôn có nghiệm duy nhất 2 2 Ta có : x 2 – 2y 2 = 1 ⇔ ( 2m ) − 2 ( m − 1) = 1 2 ⇔ 2m 2 + 4m − 3 = 0 , ∆ ' = 2 − 2 ( −3) = 10 Phương trình có nghiệm : m1 = −2 + 10 2 ; m2 = −2 − 10 2 Chuyên đề 3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn) 12 9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT Năm học 2013 – 2014 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 Giải phương... 26 9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT Năm học 2013 – 2014 ( x + 20 ) ( y − 1) = xy − x + 20y = 20  x = 40  ⇔ ⇔  x − 10y = 10 x − 10 ) ( y + 1) = xy  y = 3 (  x = 40, y = 3 thỏa mãn điều kiện bài toán Vậy vận tốc dự định là 40 km/h ; thời gian dự định là 3 giờ 14 Gọi vận tốc xe lửa thứ nhất, xe lửa thứ hai lần lượt là x, y (km/h) ĐK : x, y > 0 Theo bài ra ta có hệ phương trình: 10x + 10y... bài toán và kết luận Cần lưu ý ki giải bài toán này - Đọc kĩ đề toán - Chọn ẩn (thường chọn trực tiếp - Tóm tắt đề bài (chú ý các đại lượng đã biết và các đại lượng chưa biết và mố quan hệ giữa các đại lượng đó) B CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1 DẠNG TOÁN VỀ QUAN HỆ CÁC SỐ TỰ NHIÊN Những kiến thức thường vận dụng ab = 10. a + b ( 0 < a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9 ; ; a, b ∈ N) abc = 100 .a + 10. b + c ( 0 < a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9. .. biệt 2 2 c) Giả sử x1 và x 2 là hoành độ các giao điểm của (d) và (P) Tìm a để x1 + x 2 = 6 Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn) 19 9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT Năm học 2013 – 2014 Chuyên đề 5 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH A NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình Bước1 Lập hệ phương trình - Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng - Biểu diễn các... + x 2 = 16 2 (Đề thi vào 10 THPT tỉnh Nghệ An Năm học 2012 – 2013) Giải a) Khi m =3 ta có phương trình : x 2 − 4x + 3 = 0 Do a + b + c = 1 + ( −4 ) + 3 = 0 , suy ra x1 = 1, x 2 = 3 Vậy với m=3 phương trình có hai nghiệm x1 = 1, x 2 = 3 b) Ta có : ∆ ' ≥ 0 ⇔ (m − 1)2 − (m 2 − 6) = m 2 − 2m + 1 − m 2 + 6 = −2m + 7 Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn) 14 9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT Năm học 2013... thì được 25% công việc Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu ? Lời giải Đổi 25% = 1 4 Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn) 20 9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT Năm học 2013 – 2014 Cách 1 Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình Gọi x (giờ) là thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc (x > 0) ; y (giờ) là thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc (y... 2 − 4 x + 2 = 3x − 10 ( 1) ĐKXĐ: x ≥ −2 (1) ⇔ x 2 − 3x − 4 x + 2 + 10 = 0 ( 1 ( x + y + z) 2 (HSG Huyện Diễn Châu 2 010 - 2011) (HSG Huyện Nghĩa Đàn 20 09 - 2 010) ) ⇔ ( x 2 − 4x + 4 ) + x + 2 − 4 x + 2 + 4 = 0 ⇔ ( x − 2) + 2 ( x+2−2 ) 2 =0 ( x − 2 ) 2 = 0   x − 2 = 0 ⇔ ⇔ ⇔x=2 2   x+2−2 =0  x+2 =2  ( ) Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn) 31 9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT Năm học 2013 – . 2 1 2 x x+ ) – x 1 x 2 . (Thi vào 10 THPT Tỉnh Bến Tre) Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn) 16 9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014. Chuyên đề HÀM SỐ Y = AX + B VÀ HÀM. 0. (Thi vào 10 THPT Tỉnh Tây Ninh) Chuyên đề 2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN, HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN. Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn) 7 9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. . 1 9 ; Với B = 2 => x = 64 9 Vậy 1 64 x ; 9 9   ∈     thì B là một số nguyên. Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn) 5 9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014. 9.