http://onluyentoan.vn PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Đậu Thanh Kỳ 12 Bài toán xác định tọa độ điểm trong mặt phẳng thường xuất hiện trong kỳ thi Đại học, Cao đẳng trong những năm gần đây và không ít học sinh lúng túng khi gặp bài toán này. Trong bài viết này chúng tôi đề cập đến cách thức để giải quyết dạng toán này. 1 Phương pháp Để xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng ta dựa vào hai nhận xét sau: • Tọa độ của điểm A thuộc đường thẳng ∆ :  x = x 0 + bt y = y 0 + at (t ∈ R) có dạng A(x 0 + bt, y 0 + at). • Tọa độ của điểm A thuộc đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 có dạng A  t, − at+c b  với b = 0 hoặc A  − bt+c a , t  với a = 0. 2 Các ví dụ Ví dụ 1. Cho đường thẳng ∆ : 3x −4y −12 = 0. (a) Tìm điểm A thuộc ∆ sao cho OA = 4. (b) Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M(1, 2) lên đường thẳng ∆. Lời giải. (a) Dễ thấy B(0, −3) thuộc đường thẳng ∆ và −→ u (4, 3) là một vector chỉ phương của ∆ nên có phương trình tham số là  x = 4t y = −3 + 3t (t ∈ R). 1 Trường THPT Diễn Châu 4, Nghệ An. 2 Bài viết được trình bày lại bằng chương trình soạn thảo LaTeX bởi can_hang2007. Đề nghị các bạn ghi rõ nguồn của http://onluyentoan.vn khi đăng tải trên các trang web khác. 1 http://onluyentoan.vn 2 Đậu Thanh Kỳ Điểm A thuộc ∆ nên tọa độ của điểm A có dạng A(4t, −3 + 3t) suy ra OA = 4 ⇔  (4t) 2 + (−3 + 3t) 2 = 4 ⇔ 25t 2 − 18t − 7 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = − 7 25 . Vậy ta tìm được hai điểm là A 1 (4, 0) và A 2  − 28 25 , − 96 25  . (b) Gọi H là hình chiếu của M lên ∆ khi đó H ∈ ∆ nên H(4t, −3 + 3t). Ta có −→ u (4, 3) là vector chỉ phương của ∆ và vuông góc với −−→ HM (4t − 1, 3t −5) nên −−→ HM · −→ u = 0 ⇔ 4(4t − 1) + 3(3t − 5) = 0 ⇔ t = 19 25 . Suy ra H  76 25 , − 18 25  . Ví dụ 2 (Đề thi Đại học khối B năm 2007). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2, 2) và các đường thẳng: d 1 : x + y −2 = 0, d 2 : x + y −8 = 0. Tìm toạ độ các điểm B và C lần lượt thuộc d 1 và d 2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lời giải. Ta có B ∈ d 1 , C ∈ d 2 nên tọa độ B, C có dạng B(a, 2 −a), C(b, 8 −b), suy ra −→ AB = (a − 2, −a), −→ AC = (b − 2, 6 − b). Tam giác ABC vuông cân tại A nên  AB = AC −→ AB · −→ AC = 0 ⇔  (a − 2) 2 + a 2 = (b − 2) 2 + (6 − b) 2 (a − 2)(b − 2) − a(6 − b) = 0 ⇔  (a − 1)(b − 4) = 2 (a − 1) 2 − (b − 4) 2 = 3 Giải hệ này dễ dàng tìm được  a = −1 b = 3 ∨  a = 3 b = 5 Từ đó suy ra B(−1, 3), C(3, 5) hoặc B(3, −1), C(5, 3). Ví dụ 3 (Đề thi Đại học khối A năm 2010). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6, 6). Đường thẳng ∆ đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y −4 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1, −3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho. Lời giải. Gọi H  là chân đường cao xuất phát từ đỉnh A, H là giao điểm của đường thẳng ∆ và AH. Vì H ∈ ∆ nên H(a, 4 − a). Dễ thấy −→ u (−1, 1) là vector chỉ phương của ∆ nên ta có −−→ AH · −→ u = 0 ⇔ −1 · (a − 6) + 1 · (−2 − a) = 0 ⇔ a = 2 ⇒ H(2, 2). Do H là trung điểm của đoạn thẳng AH  nên H  (−2, −2). Đường thẳng chứa cạnh BC đi qua H nhận −→ u làm vector chỉ phương nên BC :  x = −2 − t y = −2 + t (t ∈ R). http://onluyentoan.vn Phương pháp xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ 3 A B C H  H E Gọi B(−2 −t, t −2) thì ta có C(t −2, −2 −t). Do E nằm trên đường cao đi qua đỉnh C nên ta có −−→ EC · −→ AB = 0, hay (t − 3)(−8 − t) + (1 − t)(t − 8) = 0 ⇔ t 2 − 2t − 8 = 0 ⇔ t = 4 ∨ t = −2. Vậy B(−6, 2), C(2, −6) hoặc B(0, −4), C(−4, 0). Ví dụ 4 (Đề thi Đại học khối A năm 2005). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d 1 : x −y = 0 và d 2 : 2x + y −1 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d 1 , đỉnh C thuộc d 2 và các đỉnh B, D thuộc trục hoành. Lời giải. Ta có A ∈ d 1 , C ∈ d 2 , B, D thuộc trục hoành suy ra A(a, a), C(c, 1 −2c), B(b, 0), D(d, 0). Vì ABCD là hình vuông và B, D thuộc trục hoành nên A và C đối xứng nhau qua trục hoành. Do đó  a = c a = 2c − 1 ⇔ a = c = 1. Suy ra A(1, 1), C(1, −1). Do ABCD là hình vuông nên suy ra BA ⊥ BC và trung điểm của AC trùng với trung điểm của BD. Ta có BA ⊥ BC ⇒ −→ BA · −−→ BC = 0 ⇔ (1 − b) 2 − 1 = 0 ⇔ b = 0 ∨ b = 2. (1) Và vì trung điểm của AC trùng trung điểm của BD nên b + d = 2. (2) Từ (1) và (2), ta có  b = 0 d = 2 ∨  b = 2 d = 0 Vậy có hai hình vuông thỏa mãn có tọa độ các đỉnh là A(1, 1), B(2, 0), C(1, −1), D(0, 0) và A(1, 1), B(0, 0), C(1, −1), D(2, 0). Ví dụ 5. Cho hình bình hành ABCD có D(−6, −6), đường trung trực của đoạn DC có phương trình là ∆ 1 : 2x + 3y + 17 = 0 và đường phân giác góc  BAC có phương trình là ∆ 2 : 5x + y − 3 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình bình hành. http://onluyentoan.vn 4 Đậu Thanh Kỳ Lời giải. Gọi I là trung điểm của CD, do I ∈ ∆ 1 nên I(3a −1, −2a −5). Ta có −→ u · −→ DI = 0, trong đó −→ DI(3a + 5, −2a + 1) và −→ u (−3, 2) là vector chỉ phương của ∆, suy ra a = −1. Vậy I(−4, −3), suy ra C(−2, 0). Vì A ∈ ∆ nên tọa độ điểm A có dạng A(a, 3 −5a). Chú ý rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi −−→ DA, −−→ DC không cùng phương và −→ AB = −−→ DC. Ta có −→ AB = −−→ DC ⇔  x B − a = 4 y B − 3 + 5a = 6 ⇔  x B = a + 4 y B = 9 − 5a ⇒ B(a + 4, 9 − 5a). Còn −−→ DA, −−→ DC không cùng phương khi và chỉ khi a + 6 4 = 9 − 5a 6 ⇔ a = 0. Đường thẳng ∆ 2 là phân giác góc  BAC nhận vector −→ u = (−1, 5) làm vector chỉ phương nên cos  −→ AB, −→ u  = cos  −→ AC, −→ u  ⇔ −→ AB · −→ u    −→ AB    | −→ u | = −→ AC · −→ u    −→ AC    | −→ u | ⇔ 26 √ 52 = 26a − 13  (2 + a) 2 + (5a − 3) 2 ⇔ a = 1 (thỏa mãn). Vậy ta tìm được tọa độ các điểm A, B là A(1, −2), B(5, 4). Bài toán được giải quyết xong. Nhận xét. Sau khi tìm tọa độ điểm C, ta thấy C  (3, 1) là điểm đối xứng C qua ∆. Đường thẳng chứa cạnh AB đi qua C  nhận −−→ DC làm vector chỉ phương nên có phương trình  x = 3 + 4t y = 1 + 6t (t ∈ R), từ đó ta cũng suy ra được A(1, −2) và B(5, 4). Ví dụ 6 (Đề thi Đại học khối A năm 2002). Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết phương trình đường thẳng ∆ chứa cạnh BC là √ 3x − y − √ 3 = 0; điểm A, B thuộc trục hoành. Xác định toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC biết bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 2. Lời giải. Dễ thấy B(1, 0). Vì C ∈ ∆ nên C  a, √ 3(a − 1)  . Ta có A, B thuộc trục hoành và tam giác ABC vuông nên A(a, 0), suy ra −→ AB = (a − 1, 0), −→ AC =  0, √ 3(a − 1)  . Chú ý rằng ABC là tam giác khi và chỉ khi −→ AB, −→ AC không cùng phương hay a = 1. Theo công thức tính diện tích tam giác ta có S ABC = pr = 1 2 · AB ·AC, suy ra 2(AB + BC + CA) = AB · AC. Mặt khác, AB = |a − 1|, BC = 2|a − 1|, CA = √ 3|a − 1| nên ta có 2  3 + √ 3  |a − 1| = √ 3(a − 1) 2 , suy ra a = 1 (loại) hoặc a = 3 + 2 √ 3 hoặc a = −1 −2 √ 3. Vậy có hai trường hợp xảy ra và ta tìm được trọng tâm trong hai trường hợp đó là G 1  7+4 √ 3 3 , 2 √ 3+6 3  , G 2  − 1+4 √ 3 3 , − 2 √ 3+6 3  . http://onluyentoan.vn Phương pháp xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ 5 Nhận xét. Ngoài cách trên, ta còn có cách khác như sau: Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC. Vì r = 2 nên y I = ±2. Từ phương trình đường thẳng BC suy ra  B = 60 ◦ , do đó ta có BI : y = x−1 √ 3 . Suy ra x I = 1 ± 2 √ 3 ⇒  x A = x C = 3 + 2 √ 3 x A = x C = −1 − 2 √ 3 Từ phương trình BC ta suy ra được y C , từ đó tìm được tọa độ ba đỉnh rồi suy ra tọa độ trọng tâm của tam giác. Ví dụ 7. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD (AB  CD, AB < CD). Biết A(0, 2), D(−2, −2) và I nằm trên đường thẳng x + y − 4 = 0 sao cho  AID = 45 ◦ (với I = AC ∩ BD). Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình thang. Lời giải. Do I thuộc đường thẳng x + y − 4 = 0 nên I(x 0 , 4 − x 0 ). Ta có AD = 2 √ 5, IA =  2x 2 0 − 4x 0 + 4, ID =  2x 2 0 − 8x 0 + 40. Sử dụng định lý hàm số cos cho tam giác IAD, ta được IA 2 + ID 2 − AD 2 2IA · ID = cos  AID ⇔ x 2 0 − 3x 0 + 6  x 2 0 − 4x 0 + 20 ·  x 2 0 − 2x 0 + 2 = 1 √ 2 ⇔  x 2 0 − 3x 0 + 6 > 0 x 4 0 − 6x 3 0 + 12x 2 0 − 24x 0 + 32 = 0 ⇔  x 2 0 − 3x 0 + 6 > 0 (x 0 − 2)(x 0 − 4)(x 2 0 + 4) = 0 ⇔  x 0 = 2 x 0 = 4 • Với x 0 = 2, ta có I(2, 2). Khi đó dễ dàng tính được IA = 2, ID = 4 √ 2, suy ra −→ ID = − ID IB · −→ IB = −2 √ 2 −→ IB. Từ đây suy ra B  2 + √ 2, 2 + √ 2  , C  2 + 4 √ 2, 2 + 4 √ 2  . • Xét x 0 = 4. Tương tự ta tìm được B  4 + 3 √ 2, √ 2  , C  4 + 4 √ 2, −2 √ 2  . 3 Bài tập tự luyện Bài tập 1 (Đề dự bị Đại học khối B năm 2006). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2, 1), đường cao qua đỉnh B có phương trình x − 3y − 7 = 0 và đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x + y + 1 = 0. Xác định toạ độ các đỉnh B và C của tam giác. Đáp số. B(−2, −3), C(4, −5). Bài tập 2 (Đề dự bị Đại học khối A năm 2007). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(−2, 0). Phương trình các cạnh AB : 4x + y + 14 = 0, AC : 2x + 5y − 2 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh A, B , C. Đáp số. A(−4, 2), B(−3, −2), C(1, 0). Bài tập 3 (Đề dự bị Đại học khối D năm 2007). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2, 1). Trên trục Ox lấy điểm B có hoành độ x B  0, trên trục Oy lấy điểm C có tung độ y C  0 sao cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm các điểm B, C sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất. http://onluyentoan.vn 6 Đậu Thanh Kỳ Đáp số. B(0, 0), C(0, 5). Bài tập 4. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm I  5 2 , 5 2  , đỉnh A thuộc đường thẳng x + y − 3 = 0 và đỉnh B thuộc đường thẳng x + y −4 = 0. Tính toạ độ các đỉnh của hình vuông. Đáp số. A(2, 1), B(1, 3), C(3, 4), D(4, 2) hoặc A(1, 2), B(3, 1), C(4, 3), D(2, 4). Bài tập 5. Cho đường thẳng ∆ : x − 2y + 3 = 0 và hai điểm A(2, 5), B(−4, 5). Tìm M trên ∆ sao cho: (a) 2MA 2 + MB 2 đạt giá trị nhỏ nhất. (b) MA + M B đạt giá trị nhỏ nhất. (c) |MA − M B| đạt giá trị lớn nhất. Bài tập 6. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD tâm I. Biết A(0, 1) và B(3, 4) thuộc parabol (P ) : y = x 2 − 2x + 1, I nằm trên cung AB của (P ) sao cho IAB có diện tích lớn nhất. Tính toạ độ hai đỉnh C và D. Đáp số. C  3, − 1 2  , D  0, − 7 2  . Bài tập 7. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC. Biết C  4 3 , 2  , phương trình đường phân giác trong BK và đường phân giác ngoài Ax lần lượt là 2x −y + 4 = 0 và x −y +10 = 0. Tính toạ độ hai đỉnh A và B. Đáp số. A(−4, 6), B(−1, 2). Bài tập 8. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD tâm I. Biết hai cạnh AB và AD lần lượt có phương trình là 2x − y − 1 = 0 và x − 2y − 5 = 0, tâm I thuộc oarabol y 2 = x. Tính toạ độ các đỉnh của hình thoi. Đáp số. B  1 3 , − 1 3  , D  5 3 , − 5 3  , C(3, 1) hoặc B  7 3 , 11 3  , D  17 3 , 1 3  , C(9, 7). Bài tập 9. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có C(−2, 0). Đường phân giác trong góc A có phương trình là 5x + y −3 = 0 và −→ AB = 2 −−→ OM với M(2, 3). Tìm tọa độ điểm A, B. Đáp số. A(1, −2), B(5, 4). Bài tập 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích S = 3 2 , tọa độ các đỉnh A(2, −3), B(3, −2) và trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng có phương trình 3x − y − 8 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C. Đáp số. C(−2, −10) hoặc C(1, 1). . http://onluyentoan.vn PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Đậu Thanh Kỳ 12 Bài toán xác định tọa độ điểm trong mặt phẳng thường xuất hiện trong kỳ thi Đại học, Cao đẳng trong những. tâm trong hai trường hợp đó là G 1  7+4 √ 3 3 , 2 √ 3+6 3  , G 2  − 1+4 √ 3 3 , − 2 √ 3+6 3  . http://onluyentoan.vn Phương pháp xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ. 1 (thỏa mãn). Vậy ta tìm được tọa độ các điểm A, B là A(1, −2), B(5, 4). Bài toán được giải quyết xong. Nhận xét. Sau khi tìm tọa độ điểm C, ta thấy C  (3, 1) là điểm đối xứng C qua ∆. Đường thẳng