Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm chọn lọc Định nghĩa: Ba vectơ gọi đồng phẳng ba đường thẳng chứa chúng ⊂ // với mặt phẳng Định lí: Cho vectơ ⃗, ⃗, ⃗ ⃗, ⃗ khơng phương Khi vectơ ⃗, ⃗, ⃗ đồng phẳng I PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN khi tồn số m, n cho ⃗= ⃗+ ⃗ → Định lí: Cho vectơ ⃗, ⃗, ⃗ khơng đồng phẳng Khi với vectơ ⃗ ta có: = Biểu thức tọa độ điểm vectơ: ( ; ; ), → = ( ; ; → → * M(x;y;z)⇔ ⃗ = ⃗ + + → * → ± = ( ± ; ± ; ± ) * → = ( ; ; = → ⎯ = *→= ⇔ * = ( − ; − ; − ) = * Điểm M chia đoạn AB theo tỷ số k ⇔ ⃗ = ⃗ → * Tích vô hướng vectơ: → = + + * Độ dài vectơ : → = + + ), số m, n, k = ( → * Góc vectơ khác khơng: cos → ; = * Khoảng cách điểm A,B * Lưu ý, góc đường thẳng : cos( → * ⃗ ⊥ ⃗ ⇔ → = ⟺ ; − →.→ ) +( →.→ = ) = cos ⎯ ; − ⎯ ) → =( ; ⇔ ) +( = ; ⎯ ⎯ ⎯ − ⎯ = ) ⎯ ) ⃗= ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ = = = ⃗+ ⃗+ → ⃗ − 1− − 1− − 1− ⎯ ⃗ ( ℎá →) ⇔ → = → * ⃗ ù ℎươ → Tích có hướng vectơ ứng dụng: Cho vectơ → = ( ; ; ), = ( ; ; ) Tích có hướng vectơ ⃗ ⃗ vectơ → tính cơng thức sau: + →= ⃗; ⃗ = − ⃗; ⃗ * ⃗ ù Tính chất:* ℎươ ⃗ ⇔ + ⃗; ⃗ = ⃗ ⃗; ⃗ = = Ứng dụng: * Diện tích hình bình hành ABCD : * Diện tích tam giác ABC: = * = ⃗; ⃗ * Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ : ⃗; * Thể tích tứ diện ABCD : = * ⃗ , ⃗, → đồng phẳng ⇔ * , , , ; ⃗; ⃗ → = * = ⃗ ; ⃗; ⃗ ⊥ ⃗, ⃗; ⃗ ⊥ ⃗ ⃗; → ⃗; ⃗ = | ⃗| ⃗ sin → ; ⃗ ⃗ ⃗; ⃗ ⃗ không đồng phẳng (là đỉnh tứ diện) ⇔ ⃗, ⃗, ⃗ không đồng phẳng F Số Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D Xóm Hành P An Tây 054.3931305 054.3811471 0935961321 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm chọn lọc II PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Vectơ pháp tuyến mặt phẳng: → a - Vectơ → ≠ gọi vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) → vng góc với (P), kí hiệu → ⊥ ( ) [a;b] giá vectơ - Vectơ → gọi vectơ phương mặt phẳng (P) b → song song trùng với (P) giá vectơ (P) → = ( ; ; ), - Nếu mặt phẳng (P) có vectơ phương → → = ( ; ; ) khác , khơng phương Lúc mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến → = ⃗; ⃗ = ; ; Phương trình tổng quát mặt phẳng: Phương trình tổng quát mặt phẳng (P) có dạng: + + + = 0, ( + + ≠ 0) Chú ý: *Từ phương trình tổng quát mp (P) ta xác định vectơ pháp tuyến ⃗ = ( ; ; ) * Mặt phẳng (P) qua điểm ( ; ; ) nhận → = ( ; ; ) làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng qt là: ( − ) + ( − ) + ( − ) = , ( + + ≠ 0) * Mặt phẳng (P) qua điểm ( ; 0; 0), (0; ; 0), (0; 0; ) có phương trình: + + = ( ℎươ Vị trí tương đối mặt phẳng: Cho mặt phẳng (P): + + + a (P) cắt (Q)⇔ ( c (P) ≡(Q)⇔ = : : = )≠( = : : ) ì ℎ = 0, (Q): ặ ℎẳ + ℎắ ) đ + d (P) ⊥(Q)⇔ b (P) // (Q)⇔ + = = Lúc đó: = + ≠ + =0 *Chùm mặt phẳng: Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến (P) (Q) có phương trình: ( + + + )+ ( + + + )= 0( + ≠ 0) *Phát nhanh: mp: 2x+3y+7=0 mặt phẳng //oz, mp:3y+2z+9=0 //ox, mp:2y+9=0//mặt phẳng(xoz) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Cho mặt phẳng (P): + + + = 0, ( + + ≠ 0), điểm ( ; ; ) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) tính cơng thức: + + + = 0, (P’): + + ,( ) = + ′ = | ( ); ( ) = | | | * Chú ý: Theo công thức ta chứng minh khoảng cách mặt phẳng song song (P): III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG: Phương trình tham số đường thẳng: Đường thẳng (D) qua điểm ( ; ; ) có vectơ = + → = ( ; ; ) có phương trình tham số là: = + ( + + phương ≠ 0) = + Phương trình tắc đường thẳng: Đường thẳng (D) qua điểm ( ; ; ) có vectơ ( ≠ 0) phương → = ( ; ; ) có phương trình tắc là: = = F Số Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D Xóm Hành P An Tây 054.3931305 054.3811471 0935961321 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm chọn lọc Phương trình tổng quát đường thẳng: Đường thẳng (D) giao tuyến mặt phẳng cắt (P) (Q) có phương trình (P): + + + = 0, (Q): + + + = + + + =0 Điểm ( ; ; ) ∈ ( ) ⇔ Tọa độ ( ; ; ) thỏa hệ phương trình (1) + + + =0 Hệ phương trình (1) gọi phương trình tổng quát đường thẳng (D) Từ phương trình tổng quát đường thẳng (D) ta xác định vectơ phương → = [ ⃗; ⃗] = ; ; Vị trí tương đối đường thẳng: Cho đường thẳng (Δ ) qua diểm , (Δ ) qua diểm có vectơ phương Ta có trường hợp sau: ⃗ = * (Δ ) (Δ ) nằm mặt phẳng ⇔ , * (Δ ) (Δ ) chéo ⇔ * (Δ ) (Δ ) cắt ⇔ * (Δ ) song song (Δ ) ⇔ * (Δ ) ≡ (Δ ) ⇔ , , , , , , ⃗ ≠ ⃗ ≠0 ↔ ⃗ =0 ⃗ ⃗ ≠0 ⃗ =0 ⇔ ⃗ ⃗ =0 ⃗=0 ⇔ ∥ ∦ ∦ ∥ có vectơ phương ⃗ ⃗ ∥ Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng: Cho đường thẳng : (Δ) qua diểm có vectơ phương → mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến → Ta có trường hợp sau: →.→ = * Đường thẳng (Δ) ∥ ( ) ⇔ ∉( ) →.→ = * Đường thẳng (Δ) ⊂ ( ) ⇔ ∈( ) * Đường thẳng (Δ) cắt mặt phẳng ( ) ⇔ → → ≠ * Đường thẳng ( ) ⊥ ( ) ⇔ → ∥ → Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đường thẳng chéo nhau: * Cho đường thẳng : (Δ) qua diểm có vectơ phương → Lúc khoảng cách từ điểm A đến , đường thẳng (Δ)được tính cơng thức: ,( ) = * Cho đường thẳng chéo nhau: +(Δ ) qua ⎯ → , → có VTCP (Δ ) qua ( , )= , , ⃗ 7.Góc: *Góc đường thẳng: Cho đường thẳng (Δ ) có VTCP → (Δ ) có VTCP →→ →;→ = = | đường thẳng tính cơng thức sau: = → → khoảng cách đường thẳng tính theo cơng thức sau: Lúc có VTCP → Lúc góc | * Góc đường thẳng mặt phẳng: Cho đường thẳng (Δ) có VTCP → = ( ; ; ) mặt phẳng (P) có VTPT ⃗ = ( ; ; ) Lúc góc hợp (Δ) (P) tính theo công thức sau: F Số Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D Xóm Hành P An Tây 054.3931305 054.3811471 0935961321 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com →.→ | + + | = → → = √ + + √ + + * Góc mặt phẳng: Cho mặt phẳng (P) (Q) có vectơ pháp tuyến là: ⃗ = ( ; ; ) Lúc góc hợp (P) (Q) tính theo cơng thức sau: =| = →;→ Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm chọn lọc ( ⃗; ⃗)| = | = ⃗| | ⃗ ⃗| ⃗|.| | | IV PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU: Phương trình mặt cầu: có dạng 1: ( − ) + ( − ) + ( − ) = Tâm ( ; ; ) bán kính 2: + + − − − + = 0, với điều kiện + + − ⃗=( ; ; ), > Lúc tâm mặt cầu có tọa độ ( ; ; ) bán kính = √ + + − Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu: Cho mặt cầu (S) mặt phẳng (P) có phương trình: ( ): ( − ) + ( − ) + ( − ) = , ( ): + + + = Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) bán kính R Ta có trường hợp sau: a) , ( ) > : (P) không cắt (S) b) , ( ) = : (P) tiếp xúc với (S) , ( ) < : (P) cắt (S) theo đường trịn (C) có phương trình là: ( − ) +( − ) +( − ) = + + + =0 , với Đường trịn (C) có tâm H hình chiếu vng góc I lên mặt phẳng (P) bán kính = √ − = ,( ) Chùm mặt cầu: *Cho mặt cầu giao (giao tuyến đường trịn điểm) có phương trình: ( ): + + −2 −2 −2 + =0 ( ): + + −2 −2 −2 + =0 Lúc phương trình mặt cầu ( ) qua giao tuyến ( ) ( ) : ( ): ( + + −2 −2 −2 + )+ ( + + −2 −2 −2 + )=0 với + ≠ Tương tự ta suy phương trình mặt cầu chứa đường tròn ( ) = ( ) ∩ ( ) (với (S) có phương trình dạng 2, (P) có phương trình trên) có dạng: ( ): + + −2 −2 −2 + + ( + + + )=0 * Chú ý: Từ vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng ta giải tốn sau: Tìm GTLN, GTNN biểu thức : = | + + + | ( , , ) ℎỏ ã đề ệ : + + − − − + = 0, ( + + − > 0) c) F Số Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D Xóm Hành P An Tây 054.3931305 054.3811471 0935961321 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm chọn lọc ⃗, N Một vài phương pháp giải dạng toán đường thẳng mặt phẳng : N ⃗, VTPT: ⃗ = ⃗, → ⃗, Bài toán 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A, B, C Giải: Tính ⃗ Từ phương trình tổng quát (P): phẳng (P) cần tìm mặt phẳng qua điểm A (hoặc B, C) có cặp vectơ phương ⃗, ⃗ Mặt ⃗ Do (P) có *lưu ý: Nếu A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) phương trình (ABC): + + = 1(pt mặt phẳng đoạn chắn) [ ⃗, ⃗ ] Mặt phẳng (P) cần tìm mặt phẳng qua điểm A (hoặc B) có cặp vectơ phương Bài tốn 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A, B, (P) //CD Giải: Tính ⃗, (P) có VTPT: ⃗ = ⃗, trình đường thẳng (∆) suy vectơ phương: ∆ Sau tính tích có hướng ⃗ ⃗ ∆ ⃗, ⃗, → ⃗ Do ⃗ Từ phương trình tổng qt (P): (kiểm tra lại (P) có thoả ycbt khơng?) ⃗ ∆ Bài tốn 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A, B, (P) //(∆) Giải: Tính ⃗, ⃗, cần tìm mặt phẳng qua điểm A (hoặc B) có cặp vectơ phương ⃗, ⃗ ∆ ⃗ , từ phương Do (P) có VTPT: ⃗ = Mặt phẳng (P) Bài tốn 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (đi qua) đường thẳng (∆ ) (P) //(∆ ) Giải: Từ Từ phương trình tổng qt (P): (kiểm tra lại (P) có thoả ycbt khơng?) phương trình đường thẳng (∆ ), (∆ ) suy (∆ ) qua ⃗ Sau tính tích có hướng [ ⃗, ⃗] Mặt phẳng (P) cần tìm mặt phẳng qua điểm ⃗ Do (P) có VTPT: ⃗ = [ ⃗, vectơ phương ⃗, phương ,vectơ phương: ⃗, (∆ ) có vectơ ⃗] Từ phương trình tổng qt (P): có cặp Bài tốn 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (∆ ) (∆ ) Giải: Trước hết kiểm tra xem vị trí tương đối ( * Nếu ( ), ( ) * Nếu ( )≡( ) chéo ( ) có vơ số mặt phẳng thoả yêu cầu toán * Nếu ( )∥( ) ℎì ( ) đ * Nếu ( qua ( ) ó ∈( ) cắt ( ⃗ [ ⃗, ⃗] = ) ℎ ặ ⃗= ( ) khơng tồn mặt phẳng thoả ycbt ) tồn mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ( ⃗, )//( ∈( ) , ó ặ ∈( ⃗ ⃗ = ) ) ℎ ặ ⃗, ⃗, ⃗ ⟹ ⃗ = [ ⃗, ∈( ) ó ặ ⃗] ) à( ⃗ Tuyệt đối không dùng ⃗, ) Mặt phẳng (P) ⃗ ⇒ ⃗ = [ ⃗, ⃗], lúc Bài tốn 6: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (đi qua) đường thẳng (∆ ) (P) ⊥ ( ) Giải: Từ phương trình đường thẳng (∆ ), suy (∆ ) qua suy (Q) có VTPT ⃗ Sau tính tích có hướng ⃗, ,vectơ phương: ⃗, từ phương trình mp( ) ⃗ Mặt phẳng (P) chứa (∆ ) nên (P) có vectơ F Số Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D Xóm Hành P An Tây 054.3931305 054.3811471 0935961321 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com phương ⃗, (P) ⊥ ( ) nên (P) có thêm vectơ phương ⃗, ⃗ Do (P) có VTPT: ⃗ = Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm chọn lọc ⃗ Từ phương trình tổng qt (P): Bài tốn 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A (P) ⊥ ( ), (P) ⊥ ( ) Giải: Từ phương trình mp( ), mp(R) suy (Q) có VTPT ⃗ , (R) có VTPT: ⃗ Ta có (P) ⊥ ( ), (P) ⊥ ( ) nên (P) có ⃗, ⃗ Do (P) có VTPT: ⃗ = ⃗, ⃗ Từ phương trình tổng qt (P): Bài tốn 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A (P) chứa đường thẳng (∆) Giải: Từ vectơ phương phương trình (∆), suy ∆ qua ) có cặp vectơ phương quát (P): có vectơ phương: ∆ Khi mặt phẳng (P) qua điểm A (hoặc ⃗ ⃗, ∆ Do (P) có VTPT: ⃗ = ⃗ ⃗, ∆ Từ phương trình tổng ⃗ Bài tốn 9: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua (chứa) giao tuyến mặt phẳng (Q), (R) (P) ( ) + ( ) = 0, ( + ≠ 0) Cho (P) qua điểm A ta qua A Giải: Do mặt phẳng (P) qua (chứa) giao tuyến mặt phẳng (Q), (R) nên phương trình (P) có phương trình: ? dạng chùm : +? ? ể =0→ =? ?? → ℎọ ế , Bài tốn 10: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A, B ( chứa đường thẳng ∆) khoảng Từ phương trình tổng qt (P): (P) hợp với (Q) góc cho trước, ) Giải: Viết phương trình tổng quát đường thẳng AB (hoặc ∆) (tức cách từ điểm I cho trước đến mặt phẳng (P) số cho trước ( thay điều kiện khác: “ AB hay ∆ giao tuyến mặt phẳng (Q), (R)) Do mặt phẳng (P) qua A,B (hoặc chứa) ∆ nên ( ) + ( ) = 0, ( + ≠ 0) Sử dụng thêm điều kiện ( , ∆) = , điều kiện (P) hợp với (Q) góc cho trước, ta phương trình: ? phương trình (P) có dạng chùm : ? ?? → ℎọ , Bài tốn 11: Viết phương trình hình chiếu ( +? ? =0→ ) vng góc đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P) Giải: Từ phương trình tổng quát (P): = Từ phương trình (d) suy (d) qua A có VTCP: ⃗, từ phương trình (P) suy (P) có VTPT: ⃗ Gọi (Q) mặt phẳng chứa (d) ( ) ⊥ ( ) Lúc (Q) qua A có cặp VTCP ⃗, ⃗ , suy (Q) có VTPT: ⃗ = [ ⃗, ⃗] Do ta viết phương trình tổng qt (Q) Hình chiếu (d) lên mặt phẳng (P) giao tuyến (P) (Q) Phương trình tổng quát hình chiếu( PTTS, PTCT đề yêu cầu ( ), ( ) Giải: Từ phương trình ( ), ( ), suy ( ) qua ) ì ℎ ì ℎ ( ) , đổi ( ) có VTCP: ⃗, ( ) qua Bài tốn 12: Viết phương trình đường thẳng (D) qua điểm A vng góc với đường thẳng F Số Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D Xóm Hành P An Tây 054.3931305 054.3811471 0935961321 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com có VTCP ⃗ Ta có (D) vng góc với ( ), ( ) nên (D) có VTCP: ⃗ = [ ⃗, ⃗] → phương trình tham Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm chọn lọc Bài tốn 13: Viết phương trình đường thẳng (D) qua điểm A vng góc với đường thẳng ( số (D): // (P) Giải: Từ phương trình ( ⃗ Ta có ( )⊥( ) → ( )∥( ) ) suy ( ) qua ⃗⊥ ⃗ Do ta chọn ⃗⊥ ⃗ ) (D) có VTCP: ⃗, từ pt (P) suy (P) có VTPT ⃗ = [ ⃗, ⃗] → phương trình tham số (D): ⃗⊥ ⃗ Do ta ⃗⊥ ⃗ ( )∥( ) → ( )∥( ) Bài tốn 14: Viết phương trình đường thẳng (D) qua điểm A, (D) //mp(P) (D)//mp(Q) Giải: Từ phương trình ( ), (Q) suy VTCP tương ứng là: ⃗ = [ ⃗, ⃗] → phương trình tham số (D): ⃗, ⃗ Ta có Bài tốn 15: Viết phương trình đường thẳng (D) qua điểm A,cắt đường thẳng ( chọn Cách1: Viết phương trình đường thẳng ( (∗ +? ′;∗ +? ′; ? + ∗ ′) ∈ ( ) Tính ), ( ⃗, ) PTTS, Từ gọi ⃗, ⃗, ⃗ Giải hệ ẩn phương trình ta t t’, suy ( )= ( ; ), ( ) = MN qua A có VTCP ), ( (∗ +? ;∗ +? ; ? + ∗ ) ∈ ( ! ) , ⃗ Ta có A, M, N thẳng hàng ⇔ (∆) qua A, cần kiểm tra lại (∆) có cắt ( ⃗ ∆ ∦ ⃗ ∆ ∦ ⃗ xong) ⃗ ) à( ) khơng ( (∆), ( (∆), ( ( ) lưu ý rõ ràng ( ) )⊂( ) nên cần kiểm )⊂( ) Bài tốn 16: Viết phương trình đường thẳng (D) qua điểm A, cắt đường thẳng ( Giải: Từ phương trình đường thẳng ta suy ( phương trình đường thẳng ( Ta có AM⊥ ( )⇔ ) PTTS, Từ gọi ⃗⊥ ⃗⇔ ⃗ = ) Giao tuyến (∆) mặt phẳng ( ) ( ) đường thẳng nghi ngờ (99% (∆) đường thẳng cần tìm) Ta thu phương trình tổng quát (∆): tra ⃗, ⃗ Đường thẳng (D) cần tìm đường thẳng ⃗ → phương trình tham số (D): Cách 2: Gọi mặt phẳng ( ; ) Giải: ) qua có VTCP: ⃗, ( ⃗ ⃗ = Giải phương trình ẩn ta t , suy ) có VTCP ⃗ Viết ⃗, ⃗ Đường thẳng ⃗ → phương trình tham số (D): Bài tốn 17: Viết phương trình đường thẳng (D) cắt đường thẳng ( ) ( )//( ) (∗ +? ;∗ +? ; ? + ∗ ) ∈ ( ! ) , (1 ẩn t) Tính (D) cần tìm đường thẳng AM qua A có VTCP Cách1: Gọi (P) mặt phẳng chứa ( ) ( ) ⊥ ( ) ,( )và ( )//( ) Gọi (Q) mặt phẳng chứa ( ) Giải: ) ( )//( ) Viết phương trình mặt phẳng Giao tuyến mặt phẳng (P) (Q) đường thẳng (D) cần tìm F Số Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D Xóm Hành P An Tây 054.3931305 054.3811471 0935961321 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Cách 2: Từ phương trình đường thẳng ta suy ( thẳng ( Tính ) có VTCP ⃗ Viết phương trình đường Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm chọn lọc ), ( ) PTTS, Từ gọi ⃗, ⃗, ⃗ Ta có M N//( (∗ +? ;∗ +? ; ? + ∗ ) ∈ ( ! ) , (∗ +? ′;∗ +? ′; ? + ∗ ′) ∈ ( ) ⃗ ⃗ , ⃗ = Giải hệ ẩn phương trình ta t t’, suy ) ⇔ ⃗ Đường thẳng (D) cần tìm đường thẳng MN qua M (hoặc N) có VTCP ⃗ → phương trình tham số (D): Giải: Gọi (P) mặt phẳng qua A ( ) ⊥ ( ) Lúc (P) qua A, có VTPT ⃗ = ⃗⟹ Bài tốn 18: Tìm tọa độ hình chiếu H( điểm đối xứng A’ A qua (D) ) điểm A lên đường thẳng (D) ( ) , muốn tìm A’ đối xứng với A qua (D), A’ đối ( ) mặt phẳng(P) Tọa độ điểm H thỏa hệ: − = ⋯, =2 xứng với A qua (D) nên H trung điểm AA’⟹ − = ⋯, =2 Giải: Gọi (D) mặt phẳng qua A ( ) ⊥ ( ) Lúc (D) qua A có VTCP = ⋯, = ⃗= ⃗⟹ Bài tốn 19: Tìm tọa độ hình chiếu H( điểm đối xứng A’của A qua (P) ) điểm A lên mặt phẳng (P) số đường thẳng (D) Tọa độ điểm H thỏa hệ: − tổng quát − = ⋯, ( ) , muốn tìm A’ đối xứng với A qua (P), A’ ( ) đối xứng với A qua (P) nên H trung điểm AA’⟹ =2 − = ⋯, =2 − tham = ⋯, = Bài tốn 20: Cho phương trình đường thẳng ( ), tọa độ điểm A Tìm điểm M thuộc ( ) cho MA nhỏ Giải: Cách1: Từ pttsố ( ) suy ( ) = + = ( )( ý + (∗ +? ;∗ +? ;∗ +? ) (1 ẩn t) Tính ↔ ( ) > 0) Ta có: ↔ =− =( ) +( ) + ( ó ℎể ℎả ( )) từ suy tọa độ điểm M Cách 2: Điểm M cần tìm hình chiếu A lên đường thẳng (D) Để tìm Bài tốn 21: Cho phương trình đường thẳng ( ), tọa độ điểm A B Tìm điểm M thuộc ( ) cho tọa độ điểm M ta làm giống Bài toán 18 − + =⋯= nhỏ Giải: Cách1: Từ pttsố ( ) suy ( ó ℎể ℎả + + + = ( )( ý > 0) Ta có: (∗ +? ;∗ +? ;∗ +? ) (1 ẩn t) Tính + nhỏ ↔ ( ) ↔ = + ( )) từ suy tọa độ điểm M Cách 2: Gọi H trung điểm AB suy tọa độ nhỏ ↔ điểm H Theo công thức đường trung tuyến tam giác MAB ta có: + =2 + Do điểm M ta làm giống Bài tốn 18 Ta tổng qt tốn lên: Cho phương trình đường thẳng ( ), tọa đó: nhỏ nhất↔ M hình chiếu H lên đường thẳng (D) Để tìm tọa độ độ điểm A, B C.tìm M thuộc ( ) cho +2 +3 nhỏ F Số Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D Xóm Hành P An Tây 054.3931305 054.3811471 0935961321 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Bài toán 22: Cho phương trình mặt phẳng ( ), tọa độ điểm A, B Tìm điểm M thuộc ( ) cho Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm chọn lọc + + =2 + Do đó: + nhỏ ↔ nhỏ Giải: Gọi H trung điểm AB suy tọa độ điểm H Theo công thức đường trung tuyến tam giác MAB ta có: nhỏ tổng qt tốn lên: Cho phương trình mặt phẳng ( ), tọa độ điểm A, B,C Tìm điểm M thuộc ( ) nhất↔ M hình chiếu H lên mặt phẳng (P) Để tìm tọa độ điểm M ta làm giống Bài tốn 19 Ta +2 +3 + 2009 cho − 2012 nhỏ tìm M thuộc ( ) cho + 2009 + 2010 nhỏ hay Bài tốn 23: Cho phương trình mặt phẳng ( ), tọa độ điểm A, B Tìm điểm M thuộc ( ) cho ế + lớn ( giảng lớp ) nhỏ Giải: Kiểm tra điểm A, B có nằm phía hay trái phía ( ) đặt ( , , ) = ( ) Nếu ( ) ( ) < ↔ , thỏa hệ + ( ) ≥ , ℎí ( ), + ℎí Trường hợp 1: nhỏ M nằm A B hay M Trường hợp 2: Nếu A, B phía so với (P) ta gọi A’ điểm đối xứng A qua mặt + = + ≥ nhỏ ↔M nằm A’ B hay M giao điểm ′ phẳng (P), tìm tọa độ A’ (Bài tốn 18) Ta có M ta viết phương trình đường thẳng A’B, tọa độ M thỏa hệ | ℎì ù ượ ( ) Để tìm tọa độ điểm M ta viết phương trình đường thẳng AB, tọa độ M Nếu A, B trái phía so với (P) giao điểm + ′ ( ) , + nhỏ ↔ ( ) Để tìm tọa độ điểm Bài tốn 24: Cho phương trình mặt phẳng ( ), tọa độ điểm A, B Tìm điểm M thuộc ( ) cho − | lớn Giải: Kiểm tra điểm A, B có nằm phía hay trái phía ( ) đặt ( , , )= ế ( ) Nếu ( ) ( ) < ↔ , á Trường hợp 1: Nếu A, B phía so với (P) ta có | , , − ℎí |≤ thẳng hàng M nằm đoạn AB ↔ M giao điểm ta viết phương trình đường thẳng AB, tọa độ M thỏa hệ ( ) ( ), ,| − ượ | ℎì ù = ( ) Để tìm tọa độ điểm M Trường hợp 2: Nếu A, B trái phía so với (P) gọi A’ điểm đối xứng A qua mặt phẳng (P), tìm tọa độ A’ (Bài tốn 18) Lúc | | ′− đoạn ’ | ≤ ′ ,| − | ↔ M giao điểm ′ ′ , tọa độ M thỏa hệ ′ ( ) =| ′− | = ′ ↔ ↔ ℎí , ′, − |= ( ) Để tìm tọa độ điểm M ta viết phương trình đường thẳng thẳng hàng M nằm F Số Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D Xóm Hành P An Tây 054.3931305 054.3811471 0935961321 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Bài tốn 25: Viết phương trình đường thẳng (D) qua A , cắt đường thẳng ( ) ( ) ⊥ ( Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm chọn lọc ) Giải: Thực tốn viết phương trình đường thẳng qua A qua hình chiếu H A lên đt ( Bài toán 26: Cho mặt phẳng (P) đường thẳng ( ), ( toán 18) mặt phẳng(P) (D) cắt đường thẳng ( ( ) , gọi ( ) =( )∩( ), ( ), tọa độ B thỏa hệ: : ) nằm mặt phẳng (P) , ( ⃗, ⃗ Do =( )∩( ) qua A ( =( )∩( ), tọa độ A thỏa hệ: : ( ) Đường thẳng cần tìm đt AB ( ) = ( ) ∩ ( ) Viết phương trình đường thẳng ) ⊥ ( ) Giải: Từ phương trình (P) , (D) ta suy ( ) Ta có ( ) ), tọa độ A thỏa hệ: : ⃗ = [ ⃗, ⃗] , Đường thẳng ( ) Viết phương trình đường thẳng (D) nằm ) Giải: Gọi Bài toán 27: Cho mặt phẳng (P) đường thẳng ( ), gọi ( ) qua A có VTCP ⃗ ⊥ ⟺ ⊂( ) ⃗⊥ ⃗ Ta ⃗ ⊥ ⃗ Bài toán 28: Cho mặt phẳng (P), điểm A đường thẳng ( ) Viết phương trình đường thẳng ( chọn ) (Bài = ( ) ∩ ( ) Đường thẳng cần tìm đường thẳng AB ) qua A song song với (P) đồng thời cắt đường thẳng (D) Giải: Gọi (Q) mặt phẳng qua A song song với (P), Bài toán 29: Cho đường thẳng chéo ( gọi thẳng ( ), ( ), ( ) dạng tham số Gọi Giải: Cách 1: Từ phương trình( Tính ), ( ).Viết phương trình đường thẳng vng góc chung ) suy VTCP tương ứng là: (∗ +? ;∗ +? ; ? + ∗ ) ∈ ( ! ) , ⃗ , MN đường vng góc chung ( ), ( )⟺ ⃗, ⃗ Viết phương trình đường ⊥ ⊥ (∗ +? ′;∗ +? ′; ? + ∗ ′) ∈ ( ⟺ ⃗⊥ ⃗ ⟺ ⃗⊥ ⃗ ⃗ ⃗ = Giải hệ ( bấm máy) ta dược t t’, suy tọa độ điểm M, N, ọ độ ⃗ ⃗ = vng góc chung đường thẳng MN, phương trình tham số: ) ⃗ Đường thẳng Bài toán 30: Cho điểm A B Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A cho khoảng cách từ ≤ , = ↔ ≡ ↔ ( ) qua A vuông ↔ ( ) chứa (D) vng góc với B đến mặt phẳng (P) lớn Giải: Gọi H hình chiếu A lên mặt phẳng (P) Ta ln có đường vng góc bé đường xiên: Bài tốn 31: Cho điểm A phương trình đường thẳng (D) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (∆) góc với AB suy phương trình mặt phẳng (P) (hay qua (∆)) cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) lớn Giải: Gọi H hình chiếu A lên mặt phẳng (P), gọi đường xiên: ≤ , = ↔ ≡ hình chiếu A lên đường thẳng (D) Ta ln có đường vng góc bé F Số Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D Xóm Hành P An Tây 054.3931305 054.3811471 0935961321 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com hay ⃗ làm vectơ pháp tuyến Như ta cần tìm tọa độ hình chiếu vng góc Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm chọn lọc (P) qua nhận ⃗ suy phương trình (P) cần tìm A Bài tốn 32: Cho phương trình mặt cầu (S), phương trình đường thẳng (∆) Viết phương trình mặt phẳng lên đường thẳng (D) ( Bài tốn 17 ), sau tính (P) chứa (∆) (hay qua (∆)) cho mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) đường trịn có bán kính cho trước Giải: Từ phương trình (S) suy (S) có tâm ( ; dạng tổng quát: (∆) + + )+ ( + + + + ( , ) = Theo Pytago ta có: + + + ; ) bán kính Viết phương trình (∆) + =0 , suy mặt phẳng (P) thuộc chùm nên có dạng: + =0 )=0( ,( ) = √ + − ≠ 0) ↔ ( , ) + ( , ) + ( , ) + =∗↔ | √ , từ xác định phương trình (P) cần tìm Đặc biệt: Nếu bán kính tâm ( ; ; ( | =∗↔? = +? ? + = →chọn ) mặt cầu, yêu cầu tốn trở thành viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (∆) qua ( ; ; ) mặt phẳng (P) qua F Số Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D Xóm Hành P An Tây 054.3931305 054.3811471 0935961321 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com ... phẳng (P), tìm tọa độ A’ (Bài tốn 18) Ta có M ta viết phương trình đường thẳng A’B, tọa độ M thỏa hệ | ℎì ù ượ ( ) Để tìm tọa độ điểm M ta viết phương trình đường thẳng AB, tọa độ M Nếu A, B trái... trình mặt phẳng ( ), tọa độ điểm A, B Tìm điểm M thuộc ( ) cho Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm chọn lọc + + =2 + Do đó: + nhỏ ↔ nhỏ Giải: Gọi H trung điểm AB suy tọa độ điểm H Theo công thức... Cho phương trình đường thẳng ( ), tọa đó: nhỏ nhất↔ M hình chiếu H lên đường thẳng (D) Để tìm tọa độ độ điểm A, B C.tìm M thuộc ( ) cho +2 +3 nhỏ F Số Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D Xóm Hành