LUYỆN TẬP ø TIẾP TUYẾN 1/ Cho (O,R) đường kính AB, tiếp tuyến Bx, trên Bx lấy BM=R, kẻ tiếp tuyến MC, AM cắt (O) tại E. a) Chứng minh: OCMB là hình vuông b) Chứng minh:MA.ME= R 2 c) Chứng minh: ∆ CME ~ ∆ AMC d) Tính độ dài CE và S OEB theo R 2/ Cho (O,R) đường kính BC, kẻ dây AD vuông góc OB tại trung điểm của OB> Vẽ BM, CN là tiếp tuyến của (A) (M và N là tiếp điểm). a) Chứng minh:OBAC là hình thoi. b) Chứng minh:BM + NC = BC. c) Chứng minh:M, A, N thẳng hàng. d) Tính S BMNC theo R 3/ Cho nửa(O) đường kính AB, C thuộc (O), kẻ OH vuông góc BC, OH cắt tiếp tuyến tại B ở E. Gọi D là giao điểm của OE với (O), M là giao điểm của AD với BC. a) Chứng minh: EBABCA ˆ ˆ = và H là trung điểm của BC. b) Chứng minh: AD là phân giác của BAC ˆ . c) Chứng minh: EC là tiếp tuyến của (O). d) AD cắt BE tại I, IH cắt BD tại K. Chứng minh: KH.BI=IK.BH 4/ Cho AB và AC là 2 tiếp tuyến của(O,R) . Kẻ đường kính CM, kẻ OH vuông góc BC tại H, AM cắt (O) tại N. a) Chứng minh: BCACBA ˆ ˆ = b) Chứng minh: O, H, A thẳng hàng. c) Chứng minh: AB 2 =AM.AN. d) Chứng minh: OMANHA ˆˆ = . e) Biết OA= 3R. Tính BC và S AOM theo R. 5/ Cho (O) đường kính AB, kẻ bán kính OI vuông góc BC tại H, gọi M là giao điểm của BC và AI. Vẽ (I) bán kính IB,AC cắt (I) tại K. a) Chứng minh: H là trung điểm của BC. b) Chứng minh: AI là phân giác của BAC ˆ . c) Chứng minh: B, I, K thẳng hàng. d) Gọi E là trung điểm của AM, chứng minh: CE là tiếp tuyến của (I) 6/ Cho (O,R) đường kính AB,Trên tiếp tuyến tại A lấy AD=2R, trên (O) lấy điểm C sao cho AD = DC . vẽ (I) đường kính OA cắt AC tại M. a) Chứng minh: hai đường tròn tâm O và I tiếp xúc. b) Chứng minh: OM // BC và 3 điểm O, M, D thẳng hàng. c) Chứng minh: DC là tiếp tuyến của (O). d) Kẻ AI // OC ( I thuộc AD). Chứng minh: AOCI là hình thoi và tính S AOCI theo R. 7/ Cho (O,R) đường kính AB, tiếp tuyến Ax, trên Ax lấy điểm M sao cho OM=2R, kẻ tiếp tuyến MC, kẻ CH vuông góc AB và OK vuông góc AC. Tiếp tuyến tại B cắt AC tại D a) Chứng minh: O, K, M thẳng hàng. b) Chứng minh: AC.AD = 4R 2 . c) Kẻ CE vuông góc AM cắt OM tại P. Chứng minh: OCPA là hình thoi. d) Gọi I làtrung điểm của CH, AI cắt BD tại N. Chứng minh: CN là tiếp tuyến của(O). 8/ Cho (O) đk AB, dây AC < CB.Tia phân giác COA ˆ cắt tiếp tuyến ở A tại M, kẻ CH vuông góc AB. a) Chứng minh: MC là tiếp tuyến của (O). b) Chứng minh: OM // BC. c) OM.CH = MC.BC d) Gọi I là giao điểm của CH và MB. Chứng minh: I là trung điểm của CH. 9/ Cho (O) đường kính AB, lấy C thuộc (O), kẻ bán kính OI // AC , BI cắt AC tại D, AI cắt tiếp tuyến ở B tại O’. Vẽ (O’) bán kính O’B . a) Chứng minh: O’B 2 =O’A.O’I b) Chứng minh:AO’ là phân giác BAD ˆ . c) Chứng minh: AD là tiếp tuyến của (O’). d) Kẻ dây cung EF của (O’) đi qua I. Chứng minh: IE.AF = IF.AE 10/ Cho (O) đường kính AB, dây cung AD > DB, kéo dài AD một đoạn DM = AD. BM cắt (O) tại C, gọi H là giao điểm của AC và BD. a) Chứng minh:AB = BM. b) Chứng minh: AH.BC = HC.AB. c) Chứng minh:MH vuông góc AB tại I. d) Chứng minh: AC.AH + BH.BD = 4R 2 . e) Gọi K là trung điểm MH. Chứng minh: DK là tiếp tuyến của(O). 11/ Cho ∆ ABC có 3 góc nhọn , vẽ (O) đường kính BC cắt AB và AC tại M và N. Gọi H là giao điểm của BN và CM. a) Chứng minh: AH vuông góc BC tại D. b) Chứng minh: 4 điểm B, M, H, D cùng thuộc 1 đường tròn, xác đònh tâm K của đường tròn này. c) Chứng minh: AH.AD + BH.BN = AB 2 . d) Chứng minh: hai tiếp tuyến tại M và N cùng gặp nhau tại 1 điểm trên AH. I Gãc ë t©m – liªn hƯ gi÷a cung vµ d©y. Bµi 1. Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O’) c¾t nhau t¹i hai ®iĨm A, B. D©y AC cđa ®êng trßn (O) vu«ng gãc víi AO’; d©y AD cđa ®êng trßn (O’) vu«ng gãc víi AO. So s¸nh c¸c gãc ¼ ¼ AOD , AO'D . Bài 2. Trên một đờng tròn (O) có cung ằ AB bằng 140 o . Gọi A. B lần lợt là đối xứng của A, B qua O; lấy cung ằ AD nhận B làm điểm chính giữa; lấy cung ằ CB nhận A làm điểm chính giữa. Tính số đo cung nhỏ ằ CD . Bài 3. Cho hai đờng tròn bằng nhau (O) , (O) cắt nhau tại A, B. Kẻ các đờng kính AOC và AOD. Gọi E là giao điểm thứ hai của đờng thẳng AC với (O). a) So sánh các cung nhỏ ằ CB , ằ BD . b) Chứng minh rằng B là điểm chính giữa cung ẳ EBD . Bài 4. a) Cho đờng tròn (O, R) với hai điểm A, B. Tìm quỹ tích trung điểm của các dây trên đờng tròn có độ dài bằng dây AB. b) Cho đờng tròn (O, R) với hai tiếp tuyến AB, AC. Một tiếp tuyến di động của đờng tròn (O) cắt các đoạn thẳng AB, AC tại các điểm tơng ứng P, Q. Gọi P, Q theo thứ tự là giao điểm của các đoạn thẳng OP, OQ với đờng tròn (O). Chứng minh rằng cung nhỏ ẳ P'Q' có số đo không đổi. Tìm quỹ tích trung điểm I của PQ. Bài 5. Cho đờng tròn (O), dây AB. Gọi M là điểm chính giữa cung ằ AB . Vẽ dây MC cắt dây AB tại D. Vẽ đờng vuông góc với AB tại D, cắt OC tại K. KCDV là tam giác gì ? Bài 6. Cho M, N, P, Q là bốn điểm tùy ý trên đờng tròn (O). Các tiếp tuyến của (O) tại bốn điểm trên cắt nhau tạo thành tứ giác ABCD. Tính số đo tổng các góc AOB + COD ? Bài 7. Cho đờng tròn (O), dây AB. Trên dây AB lấy D rồi nối D với C trên đờng tròn (C khác A, B; A, O, C không thẳng hàng). Các đờng trung trực của AD và DC cắt nhau ở M. CMR: đờng thẳng MO đi qua điểm chính giữa cung ằ AC . Bài 8. Cho hai đờng tròn đồng tâm (O;R) và (O;2R). P là một điểm ngoài (O;2R). Vẽ đờng tròn (P;PO) cắt đờng tròn (O;2R) tại C và D, cắt đờng tròn (O;R) ở E và F. OC và OD cắt (O;R) ở A và B. CMR: a) CD // EF. b) PA và PB là hai tiếp tuyến của (O;R). Bài 9. Cho hình thoi ABCD có cạnh AB =5 cm và đờng chéo AC=8 cm. Đờng tròn tâm A bán kính R=5 cm tiếp xúc với đờng tròn tâm C tại M thuộc đoạn AC. Đờng tròn này cắt CB tại E và cắt CD tại F. Tính tỉ số độ dài của cung ằ BD và cung ằ EF II góc nội tiếp. Bài 10. Cho góc xOy bằng x và một độ dài l . Hai điểm A,B di động trên hai cạnh tơng ứng sao cho độ dài AB luôn bằng l . Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác OAB. a) CMR: Tam giác IAB có các kích thớc không đổi. b) Tìm quỹ tích điểm I. Bài 11. Cho hai đờng tròn (O) và (O) cắt nhau tại A, B. Qua A kẻ cát tuyến cắt các đờng tròn (O), (O) tại các điểm thứ hai C, D. Tia DB cắt (O) tại điểm thứ hai là M. Các tia OB, BO lần lợt cắt (O) tại các điểm thứ hai là N, P. a) So sánh hai góc ACB và BOO' . b) So sánh hai góc CAM và PAN . Bài 12. Cho hai đờng tròn (O) và (O) cắt nhau tại A, B. Hai dây AC và BD cắt nhau ở I và cắt (O) tại C, D. Chứng minh rằng CD // CD. Bài 13. Cho tam giác ABC nội tiếp (O), các đờng cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Các tia AD, BE, CF cắt (O) tại các điểm thứ hai tơng ứng A, B, C. a) CMR: AB, BC, CA là trung trực của các đoạn thẳng tơng ứng HC, HA, HB. b) CMR: H là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF. c) CMR: Tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF. Từ đó so sánh bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác DEF và bán kính đờng tròn (O). Bài 14. Cho góc vuông xOy vuông, điểm A cố định trên Ox, một điểm B di động trên cạnh Oy. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa O ngời ta vẽ hình vuông ABCD tâm I. Tìm quỹ tích điểm I. Bài 15. Cho đờng thẳng d và đoạn thẳng AB cắt nhau tại C. Dựng điểm M trên d sao cho MC là phân giác góc AMB . Bài 16. Cho hai đờng tròn (O) và (O) tiếp xúc với nhau tại A. Qua A vẽ một cát tuyến cắt (O) tại B, cắt (O) tại C. Một cát tuyến thứ hai qua A cắt (O) tại D, cắt (O) tại E. Chứng minh rằng CE // BD. Bài 17. Cho nửa đờng tròn đờng kính AB. Gọi O là điểm chính giữa cung ằ AB và M là một điểm bất kì của nửa đờng tròn đó. Tia AM cắt đờng tròn (O;OA) tại điểm thứ hai là N. Chứng minh rằng MN = MB. Bài 18. Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và một điểm C chạy trên một nửa đờng tròn. Vẽ đờng tròn (I) tiếp xúc với (O) tại C và tiếp xúc với đờng kính AB tại D, đờng tròn này cắt CA, CB lần lợt tại các điểm thứ hai là M, N. CMR: a) Ba điểm M, I, N thẳng hàng. b) ID MN. c) Đờng thẳng CD đi qua một điểm cố định. d) Suy ra cách dựng đờng tròn (I) nói trên. Bài 19. Cho (O), đờng kính AB, điểm D thuộc đờng tròn. Gọi E là điểm đối xứng với A qua D. a) Tam giác ABE là tam giác gì ? b) Gọi K là giao điểm của EB với (O). Chứng minh rằng OD AK. Bài 20. Cho hai đờng tròn (O) và (O) cắt nhau ở A, B, O nằm trên (O). Dây AC của (O) cắt (O) ở D, dây OE của (O) cắt (O) ở F. Chứng minh : a) OD BC. b) Điểm F cách đều ba cạnh của tam giác ABE. Bài 21. Cho hai đờng thẳng song song. Một đờng tròn tiếp xúc với một đờng thẳng tại A và cắt đ- ờng thẳng kia tại B, C. Trên đờng tròn lấy một điểm D ( không trùng A, B, C ). Chứng minh rằng A cách đều hai đờng thẳng BD và CD. Bài 22. MA và MB là hai tiếp tuyến của (O). Vẽ (M;MA), C là một điểm nằm trên cung AB của (M) ( cung AB nằm trong đờng tròn (O) ). Tia AC, BC cắt (O) ở P, Q. Chứng minh rằng : P và Q đối xứng với nhau qua O. Bài 23. Trên cạnh CD của hình vuông ABCD ta lấy một điểm M khác C, D. Các đờng tròn đờng kính CD và AM cắt nhau tại điểm thứ hai N ( khác D ). Tia DN cắt BC tại P. Chứng minh rằng: AC PM. III góc giữa tiếp tuyến và một dây. Bài 24. Hai tiếp tuyến tại A và B của đờng tròn (O 1 ) cắt nhau tại C. Vẽ đờng tròn (O 2 ) đi qua C, tiếp xúc với đờng thẳng AB tại B và cắt đờng tròn (O 1 ) ở M. Chứng minh rằng đờng thẳng AM chia đoạn BC thành hai phần bằng nhau. Bài 25. Cho hai đờng tròn (O;R) và (O;r) với R > r tiếp xúc trong tại A. Dây BC của (O;R) tiếp xúc với (O;r) tại M ( ba điểm o, A, M không thẳng hàng ). Chứng minh rằng tia AM là phân giác của góc BAC . Bài 26. Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính EF. Vẽ đờng tròn (O) tiếp xúc trong với nửa đờng tròn tâm O tại A. Kẻ đờng thẳng vuông góc với EF cắt nửa đờng tròn tâm O tại B và tiếp xúc với (O) tại M. Chứng minh rằng tia AM đI qua một đầu của đờng kính EF. Bài 27. Cho ABC vuông tại A, đờng cao AH. Vẽ đờng tròn tâm I đờng kính BH, nó cắt AB ở M. Vẽ đờng tròn tâm K đờng kính CH, nó cắt AC tại N. a) Tứ giác AMHN là hình gì ? b) CMR: MN là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn (I) và (K). c) Vẽ tiếp tuyến Ax của đờng tròn ngoại tiếp ABC. CMR: Ax // MN. Bài 28. Cho hai đờng tròn (O) và (O) cắt nhau tại B, C. Tiếp tuyến tại C của đờng tròn (O) cắt (O) tại điểm thứ hai là M. Vẽ cát tuyến MBA ( A thuộc đờng tròn tâm O ). Từ M vẽ tiếp tuyến xy của đờng tròn (O). CMR: a) MC 2 = MA.MB b) AC // xy. Bài 29.Cho hai đờng tròn (O) và (O) cắt nhau tại A, B. Vẽ dây BC của (O) tiếp xúc với (O). Vẽ dây BD của (O) tiếp xúc với (O). CMR: a) AB 2 = AC.AD b) BC AC BD AD = . Bài 30.Cho ABC ngoại tiếp đờng tròn (O). Gọi D, E, F là các tiếp điểm trên các cạnh AB, BC, CA. Gọi M, N, P lần lợt là giao điểm của (O) với các tia OA, OB, OC. Chứng minh rằng các điểm M, N, P lần lợt là tâm của các đờng tròn nội tiếp các tam giác ADF, BDE và CEF. Bài 31.Cho hai đờng tròn (O) và (O) cắt nhau ở A, B. Một đờng thẳng tiếp xúc với (O) tại C và tiếp xúc với (O) tại D. Vẽ đờng tròn (I) qua ba điểm A, C, D cắt đờng thẳng AB tại điểm thứ hai là E. CMR: a) CAD + CBD = 180 o . b) Tứ giác BCED là hình bình hành. Bài 32.Cho đờng tròn (O) và một điểm M ở bên ngoài đờng tròn. Tia Mx quay quanh M cắt (O) tại A, B. Gọi I là một điểm trên Mx sao cho MI 2 = MA.MB. Tìm quỹ tích của I. Bài 33.Cho đờng tròn (O) ngoại tiếp ABC. Gọi I và J lần lợt là giao điểm của hai phân giác trong và ngoài của góc B và góc C của ABC. Đờng thẳng IJ cắt (O) tại M. a) CMR: MBI = BIM. b) Bốn điểm I, B, J, C cùng nằm trên một đờng tròn. Bài 34.Cho điểm A cố định trên đờng tròn cố định tâm O. Một góc xAy = x không đổi quay quanh A, Ax cắt (O) tại B, Ay cắt (O) tại C. Các đờng thẳng qua B và C lần lợt vuông góc với Ay và Ax, cắt (O) theo thứ tự tại P và Q. a) Chứng minh P, Q cố định. b) Tìm tập hợp những điểm H là giao của BP và CQ. Bài 35.Cho ABC cân tại A và một dây di động AM của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ấy. Đờng thẳng qua B, vuông góc với AM tại A, cắt CM tại P. a) Chứng tỏ DMB = BMP. b) Chứng minh P thuộc đờng tròn cố định. IV góc có đỉnh bên trong-bên ngoài đ ờng tròn. Bài 36. Cho ABC nội tiếp (O), Các tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại I và cắt (O) theo thứ tự tại M và N a) Chứng minh : ẳ ẳ MB MC= , ằ ằ NA NC= . b) Chứng minh : MB = MI = MC. c) Gọi k là điểm đối xứng với I qua M. CMR: K là tâm đờng tròn bàng tiếp ABC. Bài 37.Cho đờng tròn (O), đờng kính AB vuông góc với dây CD. Qua M thuộc cung ằ AD kẻ tiếp tuyến với đờng tròn cắt CD tại I. Gọi E là giao điểm của BM và CD. a) Chứng minh rằng : IM = IE. b) Gọi F là giao điểm của AM và CD. Chứng minh rằng AFC= ABM. Bài 38.Từ một điểm A bên ngoài đờng tròn (O) ta vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD. Vẽ dây BM vuông góc với tia phân giác của góc BAC, dây này cắt CD tại E. Chứng minh rằng : a) Tia BM là phân giác của góc CBD. b) MD 2 = ME.MB Bài 39. Ba điểm A, B, C thuộc đờng tròn tâm O sao cho tiếp tuyến tại A cắt tia BC tại D. Tia phân giác của góc BAC cắt đờng tròn ở M, tia phân giác của góc D cắt AM ở I. Chứng minh DI AM. Bài 40. Cho ABC cân tại B. Qua B kẻ đờng thẳng xy song song với AC. Gọi O là một điểm trên xy. Vẽ đờng tròn tâm O tiếp xúc với AC ở D, cắt các cạnh AB và BC ở E và F. Chứng minh rằng số đo cung ẳ EDF không đổi khi O di chuyển trên xy. Bài 41. Cho ABC nội tiếp (O). Gọi CM, AN, BP lần lợt là các phân giác của ABC chúng giao nhau tại I. MN cắt AB tại E. a) BNI là tam giác gì ? b) CMR: AE.BN = EB.AN c) CMR: EI // BC. d) Gọi D là giao của AN và BC. CMR: AN AB BN BD = Bài 42.Cho hình thang vuông ABCD ( BC // AD ). Trên AB lấy hai điểm M, N sao cho M, N nhìn CD dới các góc vuông. CMR: S ABCD = S MCD + S NCD . Bài 43. Cho các điểm A 1 , A 2 , , A 19 , A 20 đợc sắp xếp theo thứ tự đó trên cùng một đờng tròn (O). Chúng chia đờng tròn thành 20 cung bằng nhau. Chứng minh rằng dây A 1 A 8 vuông góc với dây A 3 A 16 . Bài 44. Cho ABC nội tiếp trong đờng tròn (O); A 1 , B 1 , C 1 là các điểm đối xứng của A, B, C qua O; A 0 , B 0 , C 0 là trung điểm các cạnh BC, CA, và AB tơng ứng. CMR: A 1 A 0 , B 1 B 0 , C 1 C 0 đồng quy. Bài 45. Cho ABC nội tiếp trong (O). D là điểm chính giữa cung BC. Một đờng tròn thay đổi đi qua A và D cắt các đờng thẳng AB, BD, AC theo thứ tự E, F, G. Chứng minh : a) D là điểm chính giữa cung ằ EG . b) EF luôn song song với một đờng thẳng cố định. Bài 46. Cho góc nhọn xAy, lấy B và C trên Ax và Ay. Dựng đờng tròn qua B và C cắt Ax tại P, Ay tại Q sao cho PQ = m ( m là độ dài cho trớc ). Bài 47. Cho hai đờng tròn (O) và (O) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi TT' là tiếp tuyến chung ngoài của (O) và (O), T và T là các tiếp điểm tơng ứng của (O) và (O). Đờng thẳng OO cắt (O) tại B (khác A) và cắt (O) tại C (khác A). BT cắt CT tại D. Chứng minh BCD và ATT đồng dạng. Bài 48. Cho ABC nhọn ; các chân đờng cao xuất phát từ A, B, C trên các cạnh BC, CA, AB là D, E, F. Chứng minh rằng trực tâm ABC trùng với tâm dờng tròn nội tiếp DEF. Bài 49.Cho ABC nội tiếp (O). BD và CE là hai đờng cao xuất phát từ B và C. (d) là tiếp tuyến của (O) tại A. CMR: d // DE. V cung chứa góc. Bài 50. Cho ABC nội tiếp (O). D là một điểm chuyển động trên cung BC không chứa A. Nối A với D. Kẻ CH vuông góc với AD. Tìm quỹ tích điểm H. Bài 51. Cho BC là một dây cung cố định của (O), A là một điểm chạy trên cung lớn BC sao cho ABC luôn có ba góc nhọn. Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ BC của (O). Tìm quỹ tích trung điểm I của AM. Bài 52. Cho nửa đờng tròn đờng kính AB và cung ằ EF của nửa đờng tròn (E nằm trên cung ằ AF ) sao cho số đo cung ằ EF = 60 0 .Hai tia AE và BF cắt nhau tại M. Tìm quỹ tích các điểm M khi cung ằ EF di chuyển trên nửa đờng tròn. Bài 53. Cho ABC vuông tại A. Vẽ hai nửa đờng tròn đờng kính AB và AC ra phía ngoài tam giác. Qua A vẽ cát tuyến MAN (M thuộc nửa đờng tròn đờng kính AB, N thuộc nửa đờng tròn đờng kính AC). a) Tứ giác BMNC là hình gì ? b) Tìm quỹ tích trung điểm I của MN khi cát tuyến MAN quay quanh A. Bài 54. Cho ABC đều nội tiếp (O). Trên cung nhỏ ằ AC lấy một điểm D. Trên dây BD lấy điểm M sao cho DM = DC. a) MCD là tam giác gì ? b) Tìm quỹ tích điểm M khi D di động trên cung nhỏ ằ AC . Bài 55. Cho cung một phần t đờng tròn với hai bán kính OA, OB vuông góc với nhau. Trên cung này lấy một điểm C tùy ý không trùng với A và B. Vẽ CH OA. Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp HOC. a) Tính số đo góc OIC. b) Chứng minh AIO = CIO. c) Tìm quỹ tích I khi C di động trên cung ằ AB . Bài 56. Cho đờng tròn cố định (O) và điểm A cố định trên đó. Một góc nhọn xAy = x không đổi quay quanh A, cạnh Ax cắt (O) tại B, cạnh Ay cắt (O) tại C. Gọi H là trực tâm ABC. a) Tính số đo góc nhọn mà BH và CH tạo ra. b) Tìm quỹ tích H. Bài 57. Cho đờng tròn (O) và P cố định ở ngoài (O). Qua P vẽ cát tuyến thay đổi cắt (O) tại A, B. Gọi I là trung điểm của AB. Trên đờng thẳng OI lấy hai điểm M và M sao cho IM = IP. Tìm quỹ tích M khi cát tuyến PAB thay đổi. Bài 58. Cho đờng tròn (O) ngoại tiếp ABC với B, C cố định. Gọi B, C lần lợt là đối xứng của B qua AC và của C qua AB. BC cắt CB tại M. Tiếp tuyến của (O) tại B và C cắt nhau tại P. Chứng tỏ rằng khi A di chuyển trên (O) thì M di chuyển trên đờng tròn ngoại tiếp BPC. Bài 59. Cho hai đờng tròn (O) và (O) cắt nhau tại A, B. Một đờng thẳng qua B cắt (O) tại C và (O) tại D. Tiếp tuyến của (O) tại C và tiếp tuyến của (O) tại D cắt nhau ở I. Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp ICD luôn đI qua một điểm cố định khi cát tuyến CBD thay đổi. Bài 60. Dựng hình vuông ABCD biết đỉnh A và hai điểm : M thuộc cạnh BC, N thuộc cạnh CD. VI tứ giác nội tiếp. Bài 61. Cho ba đờng tròn cùng đi qua điểm P. Gọi các giao điểm còn lại của chúng là A, B, C. Từ một điểm D trên đờng tròn (PBC) kẻ các tia DB, DC cắt các đờng tròn (PAB) và (PAC) tại M và N. CMR: M, A, N thẳng hàng. Bài 62. Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB và tiếp tuyến Bx của nửa đờng tròn. Trên tia Bx lấy hai điểm C, D ( C nằm giữa B và D). Các tia AC, AD lần lợt cắt đờng tròn tại E và F. Hai dây AE , BF cắt nhau tại M. Hai tia AF, BE cắt nhau tại N. Chứng minh rằng : a) Tứ giác FNEM nội tiếp. b) Tứ giác CDFE nội tiếp. Bài 63. Cho ABC. Hai đờng cao BE và CF cắt nhau tại H. Gọi D là điểm đối xứng của H qua trung điểm M của BC. a) Chứng minh rằng tứ giác ABDC nội tiếp. Tìm tâm O của đờng tròn đó. b) Đờng thẳng DH cắt (O) tại điểm thứ hai là I. Chứng minh rằng A, I, F, H, E cùng nằm trên một đờng tròn. Bài 64. Cho hai đờng tròn (O) và (O) cắt nhau tại A và B. Tia OA cắt (O) tại C. Tia OA cắt (O) tại D. CMR: O, O, B, C, D cùng nằm trên một đờng tròn. Bài 65. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy một điểm M. Đờng thẳng qua C vuông góc với CM cắt các tia AB, AD lần lợt tại E và F. Tia CM cắt đờng thẳng AD tại N. Chứng minh rằng : a) Các tứ giác AMCF và ANEC nội tiếp. b) CM + CN = EF. Bài 66.Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn đờng kính AD. Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại E. Vẽ EF vuông góc với AD. Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng : a) Các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp. b) Tia CA là phân giác của góc BCF. c) * Tứ giác BCMF nội tiếp. Bài 67. Cho hai đờng tròn (O) và (O) cắt nhau tại M và P. Kẻ dây MA của (O) tiếp xúc với (O) tại M. Kẻ dây MB của (O) tiếp xúc với (O) ở M. Trên tia MP lấy H sao cho PH=PM. CMR: Tứ giác MAHB nội tiếp. Bài 68. Cho hình thang ABCD nội tiếp trong (O). Các đờng chéo AC, BD cắt nhau tại E, các cạnh AD, BC kéo dài cắt nhau tại F. CMR: a) A, D, O, E cùng nằm trên một đờng tròn. b) Tứ giác AOCF nội tiếp. Bài 69. Cho ABC vuông tại C. Trên AB dựng hình vuông ABMN có tâm I. Chứng minh rằng CI là phân giác của góc tạo bởi AC và BC. Bài 70. Hai cạnh AB và DC của tứ giác ABCD kéo dài cắt nhau tại E, AD và BC kéo dài cắt nhau tại F. Chứng minh các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác AED, EBC, ABF và CDF cùng đi qua một điểm. Bài 71. Cho góc vuông xOy và ABC vuông ở A và góc B bằng 30 0 , BC=a. Tam giác ABC di chuyển trong góc vuông xOy sao cho đỉnh B chạy trên Ox, đỉnh C trên Oy, A và O khác phía đối với BC. Tìm quỹ tích điểm A. Bài 72. Hai đờng tròn (O) và (O) cắt nhau tại A và B. Một cát tuyến qua A cắt các đờng tròn này tại M, N. Các tiếp tuyến tại A của (O), (O) theo thứ tự cắt BN và BM ở P và Q. Chứng minh PQ // MN. Bài 73. Cho ABC đều. Một nửa đờng tròn có tâm O trên cạnh AB, tiếp xúc với AC, BC tại K và I. Kẻ một tiếp tuyến với nửa đờng tròn cắt các cạnh BC và AC tại M và N. Đoạn thẳng KI cắt OM và ON tại P, Q. CMR: MN=2PQ. Bài 74. Cho đờng tròn (O) có đờng kính AB cố định. Một điểm C chạy trên đờng tròn. Kẻ CD vuông góc với AB. Trên OC lấy M sao cho OM = CD. Tìm tập hợp điểm M khi C di chuyển trên (O). Bài 75. Cho đờng tròn (O) có đờng kính AB cố định. (d) là tiếp tuyến của (O) tại A. M là điểm di động trên (d); MB cắt (O) tại C. N là trung điểm của cung ằ BC . ON cắt BC tại P. a) Chứng minh tứ giác MAOP nội tiếp. b) Tìm tập hợp điểm P khi m di động trên (d). Bài 76. Cho ABC vuông tại A. Trên đoạn AB lấy D. Đờng tròn đờng kính BD cắt BC tại E và CD tại F. Chứng minh rằng : a) Tứ giác ACBF nội tiếp. b) D là tâm đờng tròn nội tiếp AEF. c) B là tâm đờng tròn bàng tiếp của AEF. Bài 77. Cho hai đờng tròn (O) và (O) cắt nhau tại B và C. A là điểm trên (O). AB cắt (O) tại D, AC cắt (O) tại E. AO cắt DE tại H. I là trung điểm của BC. a) Chứng minh tứ giác OIDH nội tiếp. Suy ra AH DE. b) (d) là tiếp tuyến của (O) tại A. Chứng minh (d) // DE. Bài 78. Cho đờng tròn (O;R) và điểm A ở ngoài (O). Qua A vẽ tiếp tuyến AB của (O), B là tiếp điểm; vẽ cát tuyến ACD thay đổi cắt (O) tại C và D. Gọi H là hình chiếu của B lên AO. a) Chứng minh AB 2 = AC.AD b) Gọi I là giao điểm của BH và CD, J là trung điểm của CD. Chứng minh : AI.AJ = AH.AO Bài 79. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có đờng trung bình bằng một cạnh bên. Chứng minh ABCD có đờng tròn nội tiếp. Bài 80.Cho đờng tròn (O) và một tiếp tuyến tại A. Trên tiếp tuyến lấy một điểm C (khác A). Gọi B là trung điểm của AC. Kẻ cát tuyến BEF (E và F thuộc (O) ). Các tia CE và CF cắt (O) tại M và N. Chứng minh MN // AC. VII độ dài diện tích cung tròn đ ờng tròn. Bài 81. Cho ngũ giác đều ABCDE, AD và BE cắt nhau tại O. Chứng minh: DO 2 = AO.AD Bài 82. Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Lấy điểm M trên AB. Vẽ dây CD AB tại M. Giả sử AM=1cm, CD= 2 3 cm. Tính : a) Độ dài đờng tròn. b) Độ dài cung ẳ CAD . Bài 83. Một tam giác đều và một hình vuông có cùng chu vi là 72 cm. Hỏi độ dài đờng tròn ngoại tiếp hình nào lớn hơn ? Lớn hơn bao nhiêu ? Bài 84. Trên hình dới có nửa đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R. C là điểm chính giữa của nửa đ- ờng tròn. Cung ằ AD có tâm B bán kinh 2R. Cung ằ BE có tâm C bán kính CD. a) Chứng minh ằ AC = ằ AD . b) Tính độ dài của đờng cong ADEB do ba cung ằ AD , ằ BE , ằ DE chắp nối thành. A O B C E D Bài 85. Cho ABC vuông tại A, góc C là 30 0 và AB = 4cm. Vẽ đờng cao AH. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và AC. a) Chứng minh rằng tứ giác AMHN nội tiếp. b) Tính độ dài đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN. Bài 86. Tính diện tích hình vành khăn tạo thành bởi đờng tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác đều cạnh 6 cm. Bài 87. Cho nửa đờng tròn đờng kính BC=10 cm và dây BA = 8cm. Vẽ ra phía ngoài ABC các nửa đờng tròn đờng kính AB và AC. a) Tính diện tích ABC. b) Tính tổng diện tích hai hình viên phân. c) Tính tổng diện tích hai hình trăng khuyết. Bài 88. Cho ABC nội tiếp đờng tròn (O). Biết BC=2cm, góc A =45 0 . a) Tính diện tích hình tròn (O). b) Tính diện tích hình viên phân BC (ứng với cung nhỏ ằ BC ). c) Xác định vị trí của A để diện tích ABC lớn nhất. Tính diện tích đó. Bài 89. Cho đờng tròn (O) và một dây cung AB=6cm. Gọi D là trung điểm của dây AB. Tia DO cắt đờng tròn tại C. Biết CD=9cm. Hãy tính độ dài của đờng tròn (O). Bài 90.Cho ABC vuông ở A và đờng cao AH. Dựng đờng tròn tâm O đờng kính AB. Biết BH = 2cm và HC = 6cm. Tính: a) Diện tích hình tròn (O). b) Tổng diện tích hai hình viên phân AH và BH (ứng với các cung nhỏ). c) Diện tích hình quạt tròn AOH (ứng với cung nhỏ ẳ AH ). Bài 91. Cho AHB có H =90 0 , A =30 0 vaf BH=4cm. Tia phân giác của góc B cắt AH tại O. Dựng đờng tròn (O;OH) và đờng tròn (O;OA) . a) Chứng minh rằng (O;OH) tiếp xúc với AB. b) Tính diện tích hình vành khăn giữa hai đờng tròn trên. [...]... ABCD nội tiếp đường tròn có  = 98 0 , khi đó góc C có số đo bằng: a) 98 0 b) 890 c) 92 0 d) 820 Câu 9: Trong các hình sau đây hình nào nội tiếp được trong một đường tròn: a) Hình thang cân b) Hình bình hành c) Hình thoi d) Cả a, c đều đúng Câu 10: Độ dài đường tròn có bán kính 3cm là: a) 3 (cm) b) 9 (cm) c) 6 (cm) d) Tất cả đều sai Câu 11: Công thức tính diện tích hình tròn có dạng tổng quát là: a)... số đo khác Câu 5: Số đo của một góc nội tiếp không quá 90 0 thì : a) Bằng nửa số đo cung bò chắn b) Bằng số đo cung bò chắn c) Bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn 1 cung d) Cả a, c đúng Câu 6: Gọi α là số đo của góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, ta có: a) α < 90 0 b) α = 90 0 c) α > 90 0 d) α = 1800 Câu 7: Một tứ giác nội tiếp thì : a) Có hai đường chéo vuông góc với nhau b) Có tổng các góc đối bằng 1800... diƯn tÝch h×nh trßn ®êng kÝnh CD Bµi 98 Trong ®êng trßn (O;R) ta vÏ hai ®êng trßn (O1;R/2) vµ (O2;R/2) tiÕp xóc nhau t¹i O VÏ tiÕp hai ®êng trßn (O3) vµ (O4) mçi ®êng trßn ®Ịu tiÕp xóc víi hai ®êng trßn (O1) vµ (O2) vµ tiÕp xóc víi (O) a) TÝnh b¸n kÝnh cđa (O3) vµ (O4) theo R b) TÝnh tØ sè tỉng diƯn tÝch bèn h×nh trßn nhá vµ diƯn tÝch (O) BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III HÌNH HỌC 9 A- PHẦN TRẮC NGHIỆM : Khoanh tròn... TRẮC NGHIỆM : Khoanh tròn câu trả lời đúng nhất Câu 1: Kim giờ và kim phút của một đồng hồ tạo thành một góc ở tâm bằng 90 0 vào lúc: a) 5 giờ b) 9 giờ c) 6 giờ d) 12 giờ 0 Câu 2: Cho đường tròn (O) , Góc ở tâm AOB = 120 , góc ở tâm AOC = 300 Số đo cung nhỏ BC là: a) 90 0 b) 1500 c) 90 0 hoặc 1500 d) Kết quả khác Câu 3: Đối với hai cung nhỏ trong một đường tròn, phát biểu nào sau đây sai ? a) Cung lớn... khác Câu 13: Nếu bán kính hình tròn tăng 3 lần thì diện tích của nó: a) Tăng 9 lần b) Giảm 9 lần c) Tăng 3 lần d) Tăng 6 lần Câu 14: Cho AB là một dây cung của đường tròn (O ; R) Phát biểu nào sau đây sai ? · · a) Nếu AB = R thì góc ở tâm AOB = 600 b) Nếu AB = R 2 thì góc ở tâm AOB = 90 0 · c) Nếu AB = R 3 thì góc ở tâm AOB = 1200 d) Cả a, b, c sai Câu 15: Cho tam giác ABC (vuông cân tại A) nội tiếp trong... giao điểm của AN và BM Chứng minh: a) Tứ giác SMHN nội tiếp được trong một đường tròn b) SH vuông góc với AB · c) Biết NAB = 300 Tính theo R diện tích hình quạt tròn NOB PHẦN ĐỀ BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG ĐƯỜNG TRÒN 1 Cho đường tròn (O ; R) cố đònh và đường thẳng d cố đònh nằm bên ngoài đường tròn.Gọi H là chân đường vuông góc kẽ từ O đến d Gọi M là điểm di động trên d; MA và MB là hai tiếp tuyến của (O ; R)... song song với nhau ( không nhất thi t vuông góc với AB ) lần lượt cắt d tại D và E Gọi M là trung điểm DE ; H là hình chiếu của M lên AB CMR: a) SAOM = SDOM từ đó suy ra MH = MD b) AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE 7 Cho (O ; R) và (O'; R) cắt nhau tại A và H Vẽ (O"; R) đi qua H và lần lượt cắt (O; R) ; (O'; R) tại các điểm khác là B và C CMR: a) ABO''O' là hình bình hành b) △ABC... BC t¹i N vµ c¾t c¹nh AD t¹i E 1) Chøng minh E, N , C th¼ng hµng 2) Gäi F lµ giao ®iĨm cđa BN vµ DC Chøng minh ∆BCF = ∆CDE 3) Chøng minh r»ng MF vu«ng gãc víi AC MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC TRONG CÁC ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 1 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O Kẻ đường kính AD a CMR: Tam giác ABD là tam giác vng và DB=DC b Trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AC kéo dài về phía C lấy điểm... điểm A,E,H,M,F cùng thuộc một đường tròn b Tứ giác OEHF là hình gì? c Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tứ giác OEHF theo a khi M di động trên BC 9 Cho tam giác ABC có phân giác trong AD và trung tuyến AM Vẽ đường tròn (O) qua A,D,M cắt AB,AC ở E và F a CMR: BD.BM = BE.BA; CD.CM = CF CA b So sánh BE và CF 2 1 1 c Cho BÂC = 90 0 CMR: = + AD AB AC 10 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O với AB . néi tiÕp trong mét h×nh qu¹t trßn øng víi gãc ë t©m O b»ng 60 0 . BiÕt r»ng b¸n kÝnh ®êng trßn (P) lµ R, h·y tÝnh b¸n kÝnh ®êng trßn (O). Bµi 97. Trªn ®o¹n th¼ng AB lÊy mét ®iĨm C. VÏ trong cïng. 98 0 , khi đó góc C có số đo bằng: a) 98 0 b) 89 0 c) 92 0 d) 82 0 Câu 9: Trong các hình sau đây hình nào nội tiếp được trong một đường tròn: a) Hình thang cân b) Hình bình hành c) Hình thoi d). ABCD nội tiếp trong đờng tròn tâm O . Gọi I là giao điểm của hai đờng chéo AC và BD , còn M là trung điểm của cạnh CD . Nối MI kéo dài cắt cạnh AB ở N . Từ B kẻ đờng thẳng song song với MN ,