ONTHIONLINE.NET ONTHIONLINE.NET 1. Giải hệ phương trình :    =+ =−+− 1232 4)(3)( 2 yx yxyx Đặt x-y=a ta được pt: a 2 +3a=4 => a=-1;a=-4. Từ đó ta có    =+ =−+− 1232 4)(3)( 2 yx yxyx <=> *    =+ =− 1232 1 yx yx (1) *    =+ −=− 1232 4 yx yx (2) Giải hệ (1) ta được x=3, y=2 Giải hệ (2) ta được x=0, y=4 Vậy hệ phương trình có nghiệm là x=3, y=2 hoặc x=0; y=4 2. Giải hệ phương trình :        =++ =++ =++ 27 1 111 9 zxyzxy zyx zyx ĐKXĐ : .0,0,0 ≠≠≠ zyx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 81 2 81 81 2 27 2( ) 2 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ⇒ + + = ⇔ + + + + + = ⇔ + + = − + + ⇔ + + = ⇒ + + = + + ⇒ + + − + + = ⇔ − + − + − =  − = =    ⇔ − = ⇔ = ⇔ = =     = − =   x y z x y z xy yz zx x y z xy yz zx x y z x y z xy yz zx x y z xy yz zx x y y z z x x y x y y z y z x y z z x z x Thay vào (1) => x = y = z = 3 . Ta thấy x = y = z = 3 thoả mãn hệ phương trình . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x = y = z = 3. 3. Giải hệ phương trình    +−=+− −+=− )3)(72()72)(3( )4)(2()2( yxyx yxyx ( 2) ( 2)( 4) ( 3)(2 7) (2 7)( 3) 2 2 4 8 2 6 7 21 2 7 6 21 4 0 x -2 y 2 − = + −   − + = − +  − = + − −  ⇔  − + − = − + −  − = − =   ⇔ ⇔   + = =   x y x y x y x y xy x xy y x xy y x xy y x x y x y Bài 2: (2 điểm) Cho các đường thẳng: y = x-2 (d 1 ) y = 2x – 4 (d 2 ) y = mx + (m+2) (d 3 ) a. Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d 3 ) luôn đi qua với mọi giá trị của m. b. Tìm m để ba đường thẳng (d 1 ); (d 2 ); (d 3 ) đồng quy . Giải: a. (d 3 ): y = mx + (m +2 <=> m (x+1)+ (2-y) = 0 Để hàm số luôn qua điểm cố định với mọi m    =− =+ 02 01 y x =.>    = −= 2 1 y x Vậy N(-1; 2) là điểm cố định mà (d 3 ) đi qua b. Gọi M là giao điểm (d 1 ) và (d 2 ) . Tọa độ M là nghiệm của hệ    −= −= 42 2 xy xy =>    = = 0 2 y x Vậy M (2; 0) . Nếu (d 3 ) đi qua M(2,0) thì M(2,0) là nghiệm (d 3 ) Ta có : 0 = 2m + (m+2) => m= - 3 2 Vậy m = - 3 2 thì (d 1 ); (d 2 ); (d 3 ) đồng quy VD3.Giải các hệ phương trỡnh sau 1 1 5 x 5y 7 x y x y 8 a) b) 3x 2y 4 1 1 3 x y x y 8 x 2y 3z 2 c) x 3y z 5 x 5y 1  + =  + = + −     − =   − =  − +  + − =   − + =   − =  Giải ( ) x 7 5y x 5y 7 a) 3 7 5y 2y 4 3x 2y 4 x 7 5y x 7 5y x 2 21 17y 4 y 1 y 1 = −  + =  ⇔   − − = − =   = − = − =    ⇔ ⇔ ⇔    − = = =    hoặc x 5y 7 3x 15y 21 3x 2y 4 3x 2y 4 17y 17 y 1 3x 2y 4 x 2 + = + =   ⇔   − = − =   = =   ⇔ ⇔   − = =   b) ĐK: x y≠ ± . đặt 1 1 u; v x y x y = = + − 1 ONTHIONLINE.NET Khi đó, có hệ mới 5 1 2v 1 u v v 8 2 5 1 3 u v u u v 8 88   = + = =       ⇔ ⇔    + =    = − + =      Thay trở lại, ta được: x y 8 x 5 x y 2 y 3 + = =   ⇔   − = =   c) x 2y 3z 2 x 1 5y x 3y z 5 1 5y 2y 3z 2 x 5y 1 1 5y 3y z 5 x 1 5y x 6 7y 3z 1 y 1 2y z 4 z 2 + − = = +     − + = ⇔ + + − =     − = + − + =   = + =     ⇔ − = ⇔ =     + = =   BT: 3.Giải các hệ phương trỡnh sau 2 2 2 2 x y 24 3x 4y 5 0 a) b) x y 8 2x 5y 12 0 2 9 7 9 m n p 21 2u v 7 n p q 24 c) d) p q m 23 u 2v 66 q m n 22 + =  + − =     − + = + =    + + =    − = + + =     + + = + =     + + =  4.C ho hệ phương trỡnh ( ) m 1 x y 3 mx y m  + − =  + =  a) Giải hệ với m = - 2 b) Tỡm m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho x + y dương. Bài 1. Giải các hệ phương trỡnh sau 3x 5y 3 2x 3y 2 1. 2. 5x 2y 1 3x 2y 3 x y 3u v 8 1 3. 4. 5 15 7u 2v 23 2x 5y 10 + = + = −     + = − = −    + = = −     − =   − =  x 6y 17 40x 3y 10 5. 6. 5x y 23 20x 7y 5 − = + =     + = − =   1 1 4a 5b 10 0 x y 2 0 7. 8. 3 4 a b 1 0 5x y 11 5 3 3 − − =   + − =     − + =   − =   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 x y 8 2x 3y 9. 5 y x 5 3x 2y 2 2x 1 1,5 3 y 2 6x 10. 11,5 4 3 x 2y 5 x + = + −   − = + +   − + + = − −   − − = − −   ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x 1 x 2 9y 11. y 3 y 2 5x 2 2 2 3x y 5 x 2 y 1 12. 13. 2 3 x 3y 1 1 x 2 y 1  − − + =   − − + =    + =   + = − −     − =    − =  − −  x 2 z x y 3 14. y 2 3z 15. y z 6 z 3x 3y 2 z x 1 x y z 12 16. 2x 3y z 12 x y 2z 9 = + + =     = + + =     − − = − + =   + + =   − + =   + − = −  Bài 2. Với giỏ trị nào của tham số m thỡ a) x y m 2 3x 5y 2m + = +   + =  cú nghiệm nguyờn. b) mx 2y 1 3x y 3 − =   + =  vụ nghiệm. Bài 3: Cho hệ phương trình    −=+− =− 33 33 ymx myx 1. Tìm m để hệ phương trình có vô số nghiệm . 2. Giả hệ phương trình với m = - 2. 3. Tìm m ∈ Z để hệ có nghiệm duy nhất ( x; y) với x > 0, y > 0. Bài 4 : Cho hệ phương trình    =+ =+ 12 12 ymx myx 1. Giải và biện luận theo tham số m 2. Tìm m ∈ Z để hệ có nghiệm duy nhất ( x; y) với x, y∈ Z 2 ONTHIONLINE.NET Bài 5: Cho hệ phương trình: 3 1 1 2 mx y x y − = −    − =   1. Giải hệ phương trình khi m = 3 2 − 2. Tìm m để HPT có nghiệm ( x = -2; y = -2 ). Bài 6: Cho hệ phương trình 2 1 ( 1) 2 mx my m x m y + = +   + + =  1. Chứng minh nếu hệ có nghiệm (x; y) thì điểm M( x; y) luôn luôn thucộc một đường thẳng cố định khi m thay đổi. 2. Tìm m để M thuộc góc phần tư thứ nhất. 3. Xác định m để điểm M thuộc đường tròn có tâm là gốc toạ độ và bán kính bằng 5 . Hướng dẫn: Khi m khác 0 và 1 thì hệ có nghiệm duy nhất 1 1 ; m x y m m − = = Ta có 1 1 1 1x x y x y m = − ⇔ = − ⇔ + = Vậy M thuộc đường thẳng có pt y = -x + 1. Bài 7: Giải các hệ phương trình sau: a ) 1 2 4 8 3 9 27 x y z x y z x y z + + =   + + =   + + =  b) 2 3 11 2 3 2 3 2 3 x y z x y z x y z + + =   + + = −   + + =  KQ: a) ( 6; -11; 6) b) ( -2; -1; 5 ) Bài 8: Giải hệ phương trình: 2 5 + = 2 x x + y 3 1 + = 1,7 x x + y        Bài 9 Cho hệ phương trình: (a + 1)x + y = 4 ax + y = 2a    (a là tham số) 1.Giải hệ khi a = 1 2.Chứng minh rằng với mọi giá trị của a, hệ luôn có nghiệm duy nhất (x, y) sao cho x + y ≥ 2 VD : Giải các HPT sau: a. 2 3 3 7 x y x y − =   + =  b. 2 3 2 5 2 6 x y x y + = −   + =  c. 2 3 1 1 2 5 1 1 x y x y  + = −  +    + = −  +  Giải: a. * Dùng PP thế: 2 3 3 7 x y x y − =   + =  2 3 2 3 3 2 3 7 5 10 2 2 2.2 3 1 = − = −   ⇔ ⇔   + − = =   = =   ⇔ ⇔   = − =   y x y x x x x x x y y Vậy HPT đã cho có nghiệm là: 2 1 x y =   =  * Dùng PP cộng: 2 3 3 7 x y x y − =   + =  5 10 2 2 3 7 3.2 7 1 x x x x y y y = = =    ⇔ ⇔ ⇔    + = + = =    Vậy HPT đã cho có nghiệm là: 2 1 x y =   =  b. Để giải loại HPT này ta thường sử dụng PP cộng cho thuận lợi. 2 3 2 5 2 6 x y x y + = −   + =  10 15 10 11 22 10 4 12 5 2 6 2 2 5 2.( 2 6) 2 + = − = −   ⇔ ⇔   + = + =   = − =   ⇔ ⇔   + − = = −   x y y x y x y y x x y Vậy HPT có nghiệm là 2 2 x y =   = −  c. Đối với HPT ở dạng này ta có thể sử dụng hai cách giải sau đây: + Cách 1: Sử dụng PP cộng. ĐK: 1, 0x y≠ − ≠ . 2 3 1 1 2 5 1 1 x y x y  + = −  +    + = −  +  2 2 1 2 5 2 5 1 1 1 1 1 1 1 3 1 2 2 2 4 1 1 1  = =     ⇔ ⇔   + =   + = +   +  =    + = − = −    ⇔ ⇔ ⇔    = −    = = +    y y x x y y x x y y x 3 ONTHIONLINE.NET Vậy HPT có nghiệm là 3 2 1 x y  = −    =  + Cách 2: Sử dụng PP đặt ẩn phụ. ĐK: 1, 0x y≠ − ≠ . Đặt 1 1 a x = + ; 1 b y = . HPT đã cho trở thành: 2 3 1 2 5 1 2 5.1 1 2 2 5 1 2 2 1 1 a b a b a a a b b b b + = − + = + = = −     ⇔ ⇔ ⇔     + = = = =     1 2 3 1 2 1 1 1 x x y y  = −   = − +   ⇒ ⇔     = =    (TMĐK) Vậy HPT có nghiệm là 3 2 1 x y  = −    =  Lưu ý: - Nhiều em còn thiếu ĐK cho những HPT ở dạng này. - Có thể thử lại nghiệm của HPT vừa giải. Bài tập. Giải các hệ phương trình sau: 1, 2 4 3 1 x y x y + =   − =  ; 1 3 2 3 x y x y − =   + =  ; 2 5 3 1 x y x y + =   − =  ; 3 5 0 3 0 x y x y − − =   + − =  ; 0,2 3 2 15 10 x y x y − =   − =  ; 3 2 2 4 2007 x y x y = −   + =  ; 3 2 3 9 6 x y y x − =   − + =  ; 5 2 2 6 y x x y  − =    − =  ; 2 3 6 5 5 5 3 2 x y x y + =    + =   ; 2 5 3 3 15 2 4 2 x y x y + =    + =   ; 2, 3 5 1 x y x y  + =   − + = −   ; 2 1 3 2 5 y x x y  = − +   = −   ; 6 6 5 4 3 1 x y xy x y + =    − =   ; ( )( 2 ) 0 5 3 x y x y x y + − =   − =  ; 2 3 5 2 2 3 3 5 x y  − =   + = −   ; 3 3 3 2 3 2 3 6 2 x y x y  − = −   + = +   ; ( 1) 2( 2) 5 3( 1) ( 2) 1 x y x y + + − =   + − − =  ( 5)( 2) ( 2)( 1) ( 4)( 7) ( 3)( 4) x y x y x y x y + − = + −   − + = − +  . ( 1)( 2) ( 1)( 3) 4 ( 3)( 1) ( 3)( 5) 1 x y x y x y x y − − + + − =   − + − − − =  ; 3( ) 5( ) 12 5( ) 2( ) 11 x y x y x y x y + + − =   − + + − =  ; ( )( 1) ( )( 1) 2 ( )( 1) ( )( 2) 2 x y x x y x xy y x y y x y xy + − = − + +   − + = + − −  3, 1 1 4 5 1 1 1 5 x y x y  + =     − =   ; 1 2 2 5 4 3 x y x y x y x y  − =  + −    − =  + −  ; 1 5 5 2 3 3 8 3 5 3 2 3 3 8 x y x y x y x y  + =  − +    − = −  − +  ; 7 5 4,5 2 1 3 2 4 2 1 x y x y x y x y  − =  − + + −    + =  − + + −  Bài 2: Cho hệ phương trình 4 3 6 5 8 x y x ay − =   − + =  1. Giải phương trình. 2. Tìm giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất âm. 4 . > 0, y > 0. Bài 4 : Cho hệ phương trình    =+ =+ 12 12 ymx myx 1. Giải và biện luận theo tham số m 2. Tìm m ∈ Z để hệ có nghiệm duy nhất ( x; y) với x, y∈ Z 2 ONTHIONLINE.NET Bài 5: