SEMINAR QUANG LƯỢNG TỬ GVHD: TS. VÕ TÌNH HV : PHẠM TÙNG LÂM Lớp VLLT_VLT K21 1.6. Sự tương đương giữa một khí Bose nhiều hạt và một tập những dao động tử điều hòa lượng tử CHƯƠNG I LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ TRƯỜNG BỨC XẠ Chúng ta đi chứng minh rằng một tập các dao động tử điều hòa lượng tử là tương đương về mặt động lực học với một khí Bose nhiều hạt. Xét một khí Bose có N hạt chứa trong một thể tích V. 2 3 Hàm sóng của N hạt có thể được viết bởi tích đối xứng các hàm sóng của hạt đơn lẻ ( ) . s r ψ r r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 , , , 1 2 1 1 2 2 ! ! ! , , ! p q k N N n n n p q k n p p p p n n n n p p p q q q q n n n r r r N r r r r r r ψ ψ ψ ψ ψ ψ + + +   Ψ = ×       × × × uur uur uur uur uur uur uur uur ur r r ur ur ur r r r ur ur r ur ur r r r r ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1.157 p n k k k k r r r σ σ σ ψ ψ ψ + + +           ∑             uur ur r r r r r r Với là số hạt trên một trạng thái. ( ) , , , , s n s p q k = r r ur r r ( ) 1.158 s s n N = ∑ r r * Hàm sóng của một hạt tự do: ( ) ( ) 1 1.159 i sr s r e V ψ = rr r r * Cho N hạt tương tác lẫn nhau thông qua một điện thế ( ) ( ) 1 1.160 j N j r ν = ϒ= ∑ r => Một hạt ở trạng thái có thể chuyển đến trạng thái ( ) j p r ψ ur ur ( ) j k r ψ r ur k p ν rur Sự biến đổi cho quá trình này tỉ lệ với yếu tố ma trận ( ) ( ) ( ) ( ) * 1.161 j j j j k p k p d r r r r ν ψ ν ψ = ∫ rur r ur ur ur ur ur 4 Trước khi xem xét cho hệ tổng quát khí Bose gồm N hạt bên trong thể tích V, ta xét trường hợp đơn giản hệ có 3 hạt boson. Hàm sóng mô tả trạng thái ban đầu của hệ 3 hạt: ( ) 2, 1 p k n n = = ur r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2, 1 1 2 3 1 2 3 3 1 2 2 3 1 1 , , [ 3 ] 1.164 p k n n p p k p p k p p k r r r r r r r r r r r r ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ = = Ψ = + + ur r ur ur r ur ur r ur ur r ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur Ở đây với 1 2 ! ! 1 ! 3 p k n n N   =       ur r 2, 1, 3 p k n n N = = = ur r 5 Hàm sóng mô tả trạng thái sau của hệ 3 hạt: ( ) 1, 2 p k n n = = ur r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1, 2 1 2 3 1 2 3 3 1 2 2 3 1 1 , , [ 3 ] 1.165 p k n n p k k p k k p k k r r r r r r r r r r r r ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ = = Ψ = + + ur r ur r r ur r r ur r r ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur Yếu tố ma trận cho hệ 3 hạt: ( ) ( ) ( ) ( ) 3* 3 1 2 3 1, 2 1 2 3 3 3 2, 1 1 2 3 1 . , , . , , 1.166 p k p k n n i n n i M d r d r d r r r r r r r r ν = = = = = = Ψ × Ψ ∫∫∫ ∑ ur r ur r ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur 6 Vì đây là hệ hạt đồng nhất, do đó đóng góp của các hạt là như nhau, nên ta có: ( ) ( ) 3 1 1 3 i i r r ν ν = = ∑ ur ur Ta thay 2 hàm sóng và vào biểu thức yếu tố ma trận M 3 đồng thời khai triển ra ta có tổng cộng 9 tích phân. ( ) 3* 1, 2 1 2 3 , , p k n n r r r = = Ψ ur r ur ur ur ( ) 3 2, 1 1 2 3 , , p k n n r r r = = Ψ ur r ur ur ur ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * * 1 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 p k k p p k I d r d r d r r r r r r r r ψ ψ ψ ν ψ ψ ψ = ∫∫∫ ur r r ur ur r ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur Ta tính tích phân thứ nhất: Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * 3 3 3 1 * 2 2 2 1 0 0 k k k p d r r r I d r r r k p do k p ψ ψ ψ ψ δ  =  ⇒ =  = − = ≠   ∫ ∫ r r r ur ur ur ur ur ur ur r ur r ur 7 Tiếp tục tính cho 8 tích phân còn lại, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * * 2 1 2 3 1 2 3 1 3 1 2 * * * 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 * * * 4 1 2 3 3 1 2 1 0 0 p k k p k k p k k p p k p k k I d r d r dr r r r r r r r I d r d r d r r r r r r r r I d r d r dr r r r r ψ ψ ψ ν ψ ψ ψ ψ ψ ψ ν ψ ψ ψ ψ ψ ψ ν ψ = = = = = ∫∫∫ ∫∫∫ ur r r ur r r ur r r ur ur r ur r r ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 * * * 5 1 2 3 3 1 2 1 3 1 2 * * * 6 1 2 3 3 1 2 1 2 3 1 7 1 2 3 0 0 0 p p k p k k p p k p k k p p k p r r r I d r dr dr r r r r r r r I dr d r dr r r r r r r r I d r d r dr ψ ψ ψ ψ ψ ν ψ ψ ψ ψ ψ ψ ν ψ ψ ψ ψ = = ≠ = = = ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ur ur r ur r r ur ur r ur r r ur ur r u ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * * 2 3 1 1 1 2 3 * * * 8 1 2 3 2 3 1 1 3 1 2 * * * 9 1 2 3 2 3 1 1 2 3 1 0 0 k k p p k p k k p p k p k k p p k r r r r r r r I d r d r d r r r r r r r r I d r d r d r r r r r r r r ψ ψ ν ψ ψ ψ ψ ψ ψ ν ψ ψ ψ ψ ψ ψ ν ψ ψ ψ ≠ = = = ∫∫∫ ∫∫∫ r r r ur ur r ur r r ur ur r ur r r ur ur r ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ( ) 0= ∫∫∫ ur 8 Để thuận lợi cho việc tính toán ta giữ lại hai số hạng 84 I và I đều bằng 0, ta có biểu thức ( ) 3 4 5 7 8 1 3. 3 M I I I I= + + + Đặt thừa số làm thừa số chung, ta được ( ) ( ) ( ) * 1 1 1 1 k p d r r r r ψ ν ψ ∫ r ur ur ur ur ur ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * 3 1 2 3 1 1 1 * * * * 3 2 2 3 3 2 3 2 * * * * 2 3 2 3 2 3 3 2 1 2 3 . [ ] = 2. 2. . k p p k p k p k p k p k p k p k p k M d r d r dr r r r r r r r r r r r r r r r r r r r d r d r d r ψ ν ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ = × × + + + + ∫∫∫ r ur ur r ur r ur r ur r ur r ur r ur r ur r ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * * * 3 2 2 3 * 1 1 1 3 2 2 3 1 . 2 1 . . 2 p k p k k p p k p k r r r r r r r r r r r ψ ψ ψ ψ ψ ν ψ ψ ψ ψ ψ   + ×     × +   ∫∫∫ ur r ur r r ur ur r ur r ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur 9 Dùng phương trình hàm sóng của hệ 2 hạt boson có ( ) 1, 1, 2 p k n n N = = = ur r Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1, 1 2 3 2 3 3 2 1 , . 2 p k n n p k p k r r r r r r ψ ψ ψ ψ = =   Ψ = +   ur r ur r ur r ur ur ur ur ur ur Khi đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 * 2 3 1 1 1 1 2 3 1, 1 2 3 2. 2. . . , p k n n k p M d r r r r dr d r r r ψ ν ψ = = = Ψ ∫ ∫∫ ur r r ur ur ur ur ur ur ur ur ur Vì hàm sóng cho hai hạt đã được chuẩn hóa nên ( ) ( ) ( ) * 3 1 1 1 1 2. 2. . 2. 2. k p k p M dr r r r ψ ν ψ ν = = ∫ r ur rur ur ur ur ur 10 [...]... sau: r r $ ++k a u r ϒ= ∑a u r $ p νk p r u r k,p u r Toán tử Hamiltonian của phân tử tự do có xung p lượng theo các toán tử sinh hủy như sau: r2 r2 p + p $ ur µ = ˆr ˆr H ∑ apap = ∑ np r r p 2m p 2m 16 * Một số tính chất của hệ dao động tử điều hòa lượng tử Các toán tử sinh hủy của dao động tử: $ a s Ψ n = n Ψ n −1 $ + Ψ = n +1 Ψ as n n +1 $ + as Ψ = n Ψ $ as $ n n 17 Khi đó toán tử Hamiltonian có