BÀI TẬP TỔNG HỢP VÉC TƠ I. CÁC QUY TẮC CẦN NHỚ 1) Quy tắc ba điểm : Với ba điểm A , B , C bất kỳ ta luôn có : AB BC AC      hoặc AB AC CB      2) Quy tắc hình bình hành : ABCD là hình bình hành  AB AD AC      3) Quy tắc trung điểm : M là trung điểm AB và I là điểm tùy ý  0 MA MB      và 2 IA IB IM      4) Quy tắc trọng tâm : G là trọng tâm của  ABC và M là điểm tùy ý , ta có : 0 GA GB GC        và 3 MA MB MC MG        5) Điều kiện thẳng hàng : A , B , C thẳng hàng  . AB k AC    II. CÁC DẠNG BÀI TẬP A. - Chứng minh các đẳng thức véc tơ Bài 1 Cho 4 điểm A , B , C , D . Chứng minh : a) AB CD AD CB        b) AB CD     AC BD    Bài 2 Cho hình bình hành ABCD tâm O và điểm M tùy ý . Chứng minh : 2 MA MC MB MD MO          Bài 3 Cho  ABC . Gọi M , N , K lần lượt là trung điểm BC , CA , AB. Chứng minh : a) 0 AN CM KB        b) 0 AM BN CK        c) AK BM AN BK KC          Bài 4 Cho tứ giác ABCD . Gọi I và J lần lượt là trung điểm AB và CD. Chứng minh a) 2 AC BD IJ      b) 2 AD BC IJ      Bài 5 Cho tứ giác ABCD . Gọi I và J lần lượt là trung điểm AC và BD. Chứng minh 2 AB CD IJ      Bài 6 Cho tứ giác ABCD . Gọi M , N , I , J lần lượt là trung điểm AD , BC , AC , BD. Chứng minh : a) 2 AB DC MN      b) 2 AB DC IJ      Bài 7 Cho tứ giác ABCD . Gọi E , F lần lượt là trung điểm AB và CD. K là trung điểm EF. Chứng minh : a) 4 AB AC AD AK        b) 0 KA KB KC KD          c) Với O là điểm tùy ý thì 4 OA OB OC OD OK          Bài 8 Cho lục giác đều ABCDEF tâm O và M là điểm bất kỳ. a) Tính MA MC ME      theo MO  b) Chứng minh MA MC ME MB MD MF            Bài 9 Cho  ABC có trọng tâm G . Gọi H đối xứng với G qua B. Chứng minh : 5 0 HA HB HC        Bài 10 Cho hai tam giác ABC và DEF có trọng tâm là G và G’. Chứng minh : a) 3 ' AD BE CF GG        b) 3 ' AE BF CD AF BD CE GG              c) Tìm điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm Bài 11 Cho  ABC có trọng tâm G , trực tâm H và nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi D là điểm đối xứng của A qua O. Chứng minh : a) HB HC HD      b) 2 HA HB HC HO        c) 2 HA HB HC OA        c) OA OB OC OH        d) Chứng minh O , G , H thẳng hàng Bài 12 Cho tứ giác ABCD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB , CD. a) Gọi K là trung điểm MN. Chứng minh : 0 KA KB KC KD          b) Với I là điểm bất kỳ . Chứng minh 4 IA IB IC ID IK          c) Gọi E và F lần lượt là trung điểm AC và BD . Chứng minh EF đi qua điểm K. d) Gọi G 1 là trọng tâm của  BCD. Chứng minh A , K , G 1 thẳng hàng e) Gọi G 2 , G 3 ,G 4 lần lượt là trọng tâm của các  CDA ,  DAB ,  ABC . Chứng minh các đường thẳng AG 1 , BG 2 , CG 3 , DG 4 đồng quy tại một điểm B. - Chứng minh ba điểm thẳng hàng Bài 13 Cho  ABC và điểm I , F sao cho 3 0 IA IC      và 2 3 0 FA FB FC        .Chứng minh I , F , B thẳng hàng Bài 14 Cho  ABC có các điểm M , N , K sao cho 2 0 MB MC      ; 2 0 NA NC      ; 0 KA KB      a) Biểu diễn các véc tơ , KM KN   theo các véc tơ , AB AC   b) Chứng minh M , N , K thẳng hàng Bài 15 Cho bốn điểm A , B , C , M thỏa mãn hệ thức 2 3 0 MA MB MC        . Chứng minh A , B , C thẳng hàng Bài 16 Cho  ABC . Trên Bc lấy điểm D sao cho 2 5 BD BC    . Gọi E là điểm thỏa mãn 4 2 3 0 AE EB EC        . a) Phân tích ED  theo hai véc tơ EB  và EC  b) Chứng minh ba điểm A , E , D thẳng hàng Bài 17 Cho  ABC , lấy M , N thỏa mãn : 3 4 3 0 MA MB NB NC          . Gọi G là trọng tâm của  ABC. a) Chứng minh M , N , G thẳng hàng b) Phân tích AC  theo hai véc tơ , AG AN   . AC cắt GN tại K. Tính tỉ số KA KB Bài 18 Cho hình bình hành ABCD . M , N là 2 điểm lần lượt trên đoạn AB và CD sao cho AB = 3AM , CD = 2CN. a) Tính AN  theo hai véc tơ , AB AC   b) Gọi G là trọng tâm  BMN . Tính AG  theo , AB AC   c) Gọi I là điểm xác định bởi BI kBC    . Tính AI  theo , AB AC   và k. Tìm k để AI đi qua G Bài 19 Cho  ABC có G là trọng tâm . I là trung điểm của AG và K là điểm thuộc AB sao cho AB = 5AK a) Phân tích các véc tơ , , , AI AK CI CK     theo hai véc tơ , CA CB   b) Chứng minh ba điểm C , I , K thẳng hàng Bài 20 Cho  ABC và I là điểm thuộc AC sao cho CA = 4CI. Điểm J là điễm sao cho 1 2 2 3 BJ AC AB      a) Chứng minh 3 4 BI AC AB      b) Chứng minh ba điểm B , I , J thẳng hàng c) Dựng điểm J thỏa mãn đề bài d) Kéo dài AJ cắt BC tại K. Tính BK  theo BC  Bài 21 Cho  ABC , I là điểm thỏa mãn 5 7 0 IA IB IC        . Gọi G là trọng tâm  ABC. Chứng minh 2 3 5 5 AM AB AC      Bài 22 Cho  ABC , lấy I và J sao cho 2 IA IB    và 3 2 0 JA JC      a) Phân tích véc tơ IJ  theo hai véc tơ , AB AC   b) Chứng minh IJ đi qua trọng tâm G của  ABC c) Gọi D là điểm đối xứng của B qua C. Gọi K là điểm thỏa BK mBA    . Xác định m để K , G , D thẳng hàng Bài 23 Cho  ABC , gọi I là trung điểm BC . D và E là hai điểm sao cho BD DE EC      . a) Chứng minh AB AC AD AE        b) Phân tích AS AB AC AD AE          theo AI  c) Chứng minh ba điểm A , I , S thẳng hàng Bài 24 Cho  ABC , lấy M , N , K sao cho : 2 2 0 MB MC NA NC KA KB              a) Phân tích , KM KN   theo hai véc tơ , AB AC   b) Chứng minh M , N , K thẳng hàng C. Xác định điểm thõa mãn hệ thức véc tơ cho trước Bài 25 Cho tam giác ABC . Xác định điểm M thỏa mãn điều kiện sau : a) 0 MA MB MC        b) 2 0 MA MB MC        c) 2 0 MA MB MC        d) 3 2 0 MA MB MC        e) 5 2 0 MA MB MC        f) 3 2 2 0 MA MB MC        g) 4 3 0 MA MB MC        h) 2 4 0 MA MB MC        k) 2 4 3 MA MB MC BC        Bài 26 Cho tam giác ABC , M là điểm tùy ý. Chứng minh các véc tơ sau không phụ thuộc vào vị trí của M : a) 2 a MA MB MC        b) 3 2 b MA MB MC        c) 5 9 4 b MA MB MC         d) 3 5 2       d MA MB MC Bài 27 Cho tứ giác ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng vecto 3 7 2 2 v MA MB MC MD          không phụ thuộc vào vị trí điểm M. Bài 28 Cho hình bình hành ABCD . Xác định điểm M thỏa mãn các hệ thức sau : a) 4 AM AB AC AD        b) 4 0 MA MB MC MD          c) 4 3 2 0 MA MB MC MD          d) 2 2 3 MA MB MC MD        Bài 29 Cho tứ giác ABCD . Xác định điểm M thỏa mãn các hệ thức sau : a) 2 MA MB MC DA        b) 2 2 0 MA MB MC MD          c) 2 0 MA MB MC MD          d) 2 2 3 MA MB MC MD        Bài 30 Cho hình vuông ABCD cạnh a. M là điểm tùy ý . Tính độ dài các véc tơ sau theo a: a) 3 u MA MB MC MD          b) 4 3 2 u MA MB MC MD          Bài 31 Cho tứ giác ABCD. a) Xác định điểm I sao cho 0 AB IB IC ID          b) Tìm tập hợp điểm các điểm M sao cho u MA MB MC MD          cùng phương với AB  Bài 32 Cho tam giác ABC , tìm tập hợp các điểm M sao cho : a) MA MB MA MB        b) 2 4 MA MB MB MC        Bài 33 Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện: 3 2 3 MA MB MC MA MB MC            Bài 34 Cho tam giác ABC và đường thẳng d cố định. Tìm điểm M trên d sao cho : a) 2 u MA MB MC        có độ dài nhỏ nhất b) 3 2 u MA MB MC        có độ dài nhỏ nhất Bài 35 Cho tam giác ABC . Hai điểm M và N thỏa mãn 2 3 MN MA MB MC        . a) Xác định điểm I sao cho : 2 3 0 IA IB IC        b) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định Bài 36 Cho tam giác ABC. Và hai điểm M, N thỏa 4 3 MN MA MB MC        a) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M, N thay đổi. b) Gọi E là điểm thỏa 2 ME BN    chứng minh đường thẳng ME luôn đi qua một điểm cố định. Bài 37 Cho tam giác ABC, M và N lần lượt là hai điểm thay đổi thỏa điều kiện: 3 3 4 MN MA MB MC        . a) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. b) Gọi P là điểm thỏa 2 MP BN MB      chứng minh đường thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định. Bài 38 Cho hình bình hành ABCD có các điểm M , I , N lần lượt thuộc các cạnh AB , BC , CD sao cho AB = 3AM , BI = kBC , CD = 2CN. Gọi G là trọng tâm của tam giác MNB . Định k để AI đi qua G. Bài 39 Cho tam giác ABC và M là một điểm tùy ý. a) Chứng minh rằng vector v MA 2MB 3MC        không phụ thuộc vào vò trí của M. b) Hãy dựng điểm I sao cho CI v    . c) Đường thẳng CI cắt AB tại N. Chứng minh rằng NA 2NB 0      và CI 3CN    . d) Gọi D và E là hai điểm sao cho BD DE EC      . Hãy dựng p AB AC DA EA          . D. Tính độ dài các véc tơ Bài 40 Cho tam giác đều ABC cạnh là a. Tính AB AC    Bài 41 Cho tam giác vng ABC vng tại B. Biết AB = 6 ; BC = 10. Tính BA BC    Bài 42 Cho hình vng ABCD tâm O , cạnh a. Xác định các véc tơ sau và tính độ dài của chúng : a) v OA OB OC OD          b) u AD AB      c) w AD AC      Bài 43 Cho tam giác ABC đều , cạnh 2a. Tính độ dài các véc tơ : u BA BC      , . v CA CB      Bài 44 Cho hình thoi ABCD tâm O , cạnh a , có  0 60 BAD  . Tính : | AB AD    | ; BA BC    ; OB DC    . Bài 45 Cho hình vng ABCD cạnh a . Tính : AC BD    và AB BC CD DA        .      d MA MB MC Bài 27 Cho tứ giác ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng vecto 3 7 2 2 v MA MB MC MD          không phụ thuộc vào vị trí điểm. . Định k để AI đi qua G. Bài 39 Cho tam giác ABC và M là một điểm tùy ý. a) Chứng minh rằng vector v MA 2MB 3MC        không phụ thuộc vào vò trí của M. b) Hãy dựng điểm