NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC Vấn đề 1 : Hệ Thức Lượng Cơ Bản Kiến thức cơ bản sin cos tan ;cot cos sin a a a a a a = = Hệ quả 1 : 1 tan cot tan .cot 1 1 cot tan a a a a a a  =   = ⇔   =   Hệ quả 2 : 2 2 1 1 tan cos a a + = 2 2 1 1 cot sin a a + = TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA 1 CUNG 1. Tính sina , tana, cota biết cosa = 4 5 và 0 0 90a< < Đs : 3 4 3 sin ,tan ,cot 5 3 4 a a a= = = 2. Tính cosa, tana, cota biết 12 sin 13 a = − và 3 2 a π π < < Đs : 5 12 5 cos ,tan ,cot 13 5 12 a a a= − = = 3. Tính cosa, sina, cota biết tan 2a = − và 0 90 0a− < < Đs : 1 6 2 cos ,sin ,cot 3 2 3 a a a= = − = − 4. Tính sina, cosa, tana biết cot 3a = và 0 0 180 270a< < Đs : 1 3 10 10 sin ,cos ,t 10 3 10 a a ana = − = − = 5. Cho 0 t cot 1 ,0 90ana a a− = < < . Tính sinx, cosx, tanx, cotx. Đs : 1 5 5 5 t ,cos , 2 10 5 5 5 1 sin ,cot 10 2 ana a a a + − = = + − = = TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC BẰNG SỬ DỤNG CÔNG THỨC CƠ BẢN. 6. .tính cot 2tan tan 3cot a a E a a − = + biết 3 sin 5 a = và 0 0 90 180a< < Đs : 2 57 E = − 7. Tính sin 3cos cos 2sin a a F a a − = + biết tan 3a = − Đs: 6 5 F = 8. Tính 2 2 2 2 2cos sin .cos sin sin 3cos 4 a a a a G a a + − = + − biết cot 2a = Đs : 5 7 G = − 9. Tính 2sin 3cos sin cos a a H a a − = + biết tan 2a = Đs : 1 3 H = Đơn giản các biểu thức sau : 10. ( ) 2 2 2 1 sin cot 1 cotM x x x= − + − Đs : 2 sinM x= 11. 2 2cos 1 sin cos a N a a − = + Đs : cos sinN a a= − 12. 2 1 2sin sin cos a P a a − = − Đs : sin cosP a a= − − BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG.BMT – 0975 034 943 1 2 2 cos sin 1a a + = NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC 13. ( ) ( ) 2 2 sin 1 cot 1 tQ a a cos a ana= + + + Đs : sin cosQ a a= + Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau : 14. ( ) ( ) 4 4 6 6 3 sin 2 sin 1a cos a a cos a+ − + = 15. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 sin cos 1 t sin 1 cota a cos a ana a a − = − + − 16. 2 2 2 2 tan sin tan .sina a a a− = 17. 2 2 2 2 cot cot .a cos a a cos a− = 18. sin 1 cos 2 1 cos sin sin a a a a a + + = + 19. 1 cos 1 cos 2cot . 0 1 cos 1 cos 2 a a a a a a π + −   − = < <  ÷ − +   Chứng minh rằng các biểu thức sau độc lập với a. 20. 3 3 sin sin .cos cos sin cos a a A a a a a + = + + Đs : 1A = 21. ( ) ( ) 6 6 4 4 2 sin 3 sinB a cos a a cos a = + − + Đs : 1B = − 22. ( ) ( ) 8 8 6 6 4 3 sin 4 2sin 6sinC a cos a cos a a a = − + − + Đs: 1C = 23. ( ) 4 4 4 sin cos os4D a a c a = + − Đs : 3D = 24. ( ) 8 8 8 cos sin os6 7cos2E a a c a a= − − − VẤN ĐỀ 2 – GÓC CUNG LIÊN KẾT. 25. 0 0 0 0 tan10 .tan 20 tan70 .tan80 1= 26. 0 0 0 0 os20 os40 os160 os180 1c c c c+ + = − 27. 0 0 0 0 tan50 tan75 tan230 tan255+ = + 28. 0 0 0 0 os20 os40 sin110 sin130c c+ = + 29. 0 0 0 0 sin 25 sin65 sin155 sin115+ = + 30. 0 0 0 0 sin 75 sin65 os165 os205 0c c+ + + = 31. 0 0 0 0 sin168 sin192 cot12 2 sin78 − = Tính giá trị biểu thức : 32. 0 0 0 0 0 sin( 234 ) os216 tan36 sin144 os126 c A c − − = − ĐS: 1A = 33. ( ) 0 0 0 0 0 0 cot 44 tan 226 os406 ot17 . ot73 os316 c B c c c + = − Đs : 1B = 34. 0 0 0 0 cot5 cot10 cot80 .cot85C = Đs : 1C = 35. 0 0 0 0 0 0 cos10 cos20 cos30 cos190 cos200 cos210D = + + + + + Đs : 0D = 36. 9 6 11 os os os 16 5 5 5 tan 6 5 sin 5 c c c E π π π π π + + = Đs : 1E = Đơn giản biểu thức sau : 37. ( ) ( ) 3 sin os cot 2 tan 2 2 F c π π π α α π α α     = + − − + − + −  ÷  ÷     Đ S: 2sinF α = − 38. ( ) 3 3 os 5 sin tan .cot 2 2 2 G c π π π α π α α α       = − + − + − + −  ÷  ÷  ÷       ĐS: 1G = 39. ( ) ( ) ( ) 3 cot 2 . os os 6 2sin 2 H c c π α π α α π α π   = − − + − − −  ÷   ĐS: 2sinH α = VẤN ĐỀ 3 : CÔNG THỨC CỘNG KIẾN THỨC CƠ BẢN os( ) cos .cos sin .sinc a b a b a b+ = − os( ) os .cos sin .sinc a b c a b a b− = + sin( ) sin .cos os .sina b a b c a b+ = + sin( ) sin .cos os .sina b a b c a b− = − tan tan tan( ) 1 tan .tan a b a b a b + + = − tan tan tan( ) 1 tan .tan a b a b a b − − = + Hệ quả : Biến đổi biểu thức cos sinE a x b x= + về dạng tích số i. Giả sử 2 2 0a b+ > ( và a và BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG.BMT – 0975 034 943 2 NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC b không đồng thời triệt tiêu) Ta có : ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin . cos sin cos . os sin .sin . os( ) E a x b x a b a b x x a b a b a b x c x a b c x ϕ ϕ ϕ = +   = + +  ÷ + +   = + + = + − Áp dụng kết quả trên ta có : cos sin 2 os 4 a a c a π   + = −  ÷   cos sin 2 os 4 a a c a π   − = +  ÷   sin cos 2 sin 4 a a a π   + = +  ÷   sin cos 2 sin 4 a a a π   − = −  ÷   Rút gọn các biểu thức sau : 40. 0 0 0 0 os54 . os4 os36 . os86A c c c c= − ĐS : 0 58A cos= 41. 0 0 0 0 sin56 .sin 4 sin34 .sin86B = − ĐS: 1 2 B = − 42. 0 0 0 0 tan64 tan176 1 tan64 .tan356 C + = − ĐS : 3C = 43. 0 0 0 0 sin( 17 ). os( 13 ) sin( 13 ). os( 17 )D a c a a c a = − + − + − ĐS : 1 2 D = − 44. 2cos . os 4 4 E c π π α α     = + −  ÷  ÷     ĐS : 2E cos a= 45. os( ) sin .sin sin( ) sin .cos c a b a b F a b a b + + = − − ĐS : cotF b= − 46. 5 tan tan 12 12 5 1 tan .tan 12 12 G π π α α π π α α     + − +  ÷  ÷     =     + + +  ÷  ÷     ĐS : 3G = − 47. 2cos( ) tan sin( ) sin( ) a b H a a b a b + = + + − − ĐS : cotH b= 48. sin cos sin cos a a K a a + = − ĐS : tan 4 K a π   = − +  ÷   Chứng minh rằng : 49. cot .cot 1 cot( ) cot cot a b a b b a ± = ± m 50. tan( ) tan tan tan .tan .tan( )a b a b a b a b + − − = + 51. 2sin( ) tan tan os( ) os( ) a b a b c a b c a b ± = ± + + − 52. 2 2 2 sin ( ) sin sin 2sin .sin . os( )a b a b a b c a b + − − = + Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x : 53. 2 2 os ( ) os 2cos .cos . os( )A c a x c x a x c a x = − + − − ĐS : 2 sinA a= 54. 2 2 os 2cos .cos . os( ) os ( )B c x a x c a x c a x= − + + + ĐS: 2 sinB a= 55.CMR với mọi tam giác không vuông ta đều có : tan tan tan tan .tan .tanA B C A B C+ + = 56.CMR với mọi tam giác ABC ta đều có : tan .tan tan .tan tan .tan 1 2 2 2 2 2 2 A B B C C A + + = 57.Cho tam giác ABC thỏa mãn : 2 t 2tan t .tananA B anA B+ = Chứng minh rằng tam giác ABC cân. BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG.BMT – 0975 034 943 3 NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC VẤN ĐỀ 4 : CÔNG THỨC NHÂN A.KIẾN THỨC CƠ BẢN Công thức nhân đôi sin 2 2sin cosa a a= 2 2 2 2 os sin os2 2 os 1 1 2sin c a a c a c a a  −  = −   −  2 2 tan tan 2 1 tan a a a = − Hệ quả Đặt tan 2 a t = , ta có : 2 2 2 2 2 sin 1 1 cos 1 2 tan 1 t a t t a t t a t = + − = + = − Công thức nhân 3 3 3 3 3 sin 3 3sin 4sin os3 4cos 3cos 3tan tan tan3 1 3tan a a a c a a a a a a a = − = − − = − 58.Tính sin 2 , os2 ,tan 2a c a a biết 5 3 cos à 13 2 a v a π π − = < < ĐS: 120 119 120 sin 2 , 2 ,tan 2 169 169 119 a cos a a= = − = − 59.Tính 4 tan 2 ,cos à 0 5 2 a a v a π − = < < ĐS: 120 tan 2 119 a = Tính giá trị biểu thức sau: 60. sin . os . os . os 24 24 12 6 A c c c π π π π = ĐS : 3 16 A = 61. sin . os . os . os 12 12 6 3 B c c c π π π π = ĐS: 3 16 B = 62. 2 0 2cos 75 1C = − ĐS: 3 2 C = − 63. 2 0 1 2sin 75D = − ĐS: 3 2 D = − 64. ( ) ( ) 0 0 0 0 os15 sin15 os15 sin15E c c= − + ĐS: 3 2 E = 65. ( ) ( ) 0 0 0 0 os75 sin75 os75 sin 75F c c = − + ĐS: 3 2 F = − 66. 2 7 tan 8 1 tan 8 G π π = − ĐS: 1 2 G = − 67. 2 0 0 1 cot 105 cot75 H − = ĐS: 2 3H = Chứng minh rằng : 68. 3 3 sin 4 cos .sin sin .cos 4 a a a a a− = 69. 3 3 sin cos sin 2 1 sin cos 2 a a a a a − = + − 70. 2 1 1 2sin tan 2 os2 1 sin 2 a a c a a − + = − 71. cos sin cos sin 2tan 2 cos sin cos sin a a a a a a a a a + − − = − + 72. 2 1 1 sin2 1 tan 1 tan cos cos os a a a a a c a    + + + − =  ÷ ÷    73. 2 sin 2 2sin tan sin 2 2sin 2 a a a a a − = + BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG.BMT – 0975 034 943 4 NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC 74. 2 1 sin 2sin 2 4 a a π   − = −  ÷   75. 0 0 sin3 4sin .sin(60 ).sin(60 )a a a a= + − 76. 0 0 os3 4 os . os(60 ). os(60 )c a c a c a c a= + − 77. 0 0 tan3 tan .tan(60 ).tan(60 )a a a a= + − Tính các biểu thức sau : 78. sin 3 2cos a M a = − nếu tan 2 2 a = ĐS : 4 21 M = 79. tan 2 sin 2 tan 2 cos2 a a N a a + = − nếu 2 tan 15 a = ĐS: 28000 35101 N = − 80. 2sin 2 os2 tan 2 cos2 a c a P a a − = + nếu 1 tan 2 2 a = − ĐS: 287 551 P = − VẤN ĐỀ 5 : BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG [ ] 1 cos .cos os( ) os( ) 2 a b c a b c a b= + + − [ ] 1 sin .sin os( ) os( ) 2 a b c a b c a b= − + − − [ ] 1 sin . os sin( ) sin( ) 2 a c b a b a b= + + − [ ] 1 os .sin sin( ) sin( ) 2 c a b a b a b= + − − Biến đổi các biểu thức sau thành tổng : 81. sin( ).sin( )a b a b+ − ĐS: 1 1 2 2 2 2 cos a cos b− + 82. sina.sin2a.sin3a ĐS: 1 1 1 sin6 sin 4 sin 2 4 4 4 a a a− + + 83. cos .cos .cosa b c ĐS: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 4 4 1 1 4 4 cos a b c cos a b c cos b c a cos c a b + + + + − + + + − + + − Chứng minh các đẳng thức sau: 84. sin .sin( ) sin .sin( ) sin .sin( ) 0a b c b c a c a b − + − + − = 85. os(a+b).sin(a-b)+cos( ).sin( ) os( ).sin( ) 0c b c b c c c a c a + − + + − = 86. 0 0 1 sin 2sin 15 os 15 2 2 2 a a a c     − − + =  ÷  ÷     87.Cho tam giác ABC có 2 2 2 5 ˆ ˆ ˆ 4 2 . : os os os 4 A B C CMR c A c B c C= = + + = VẤN ĐỀ 6: BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH KIẾN THỨC CƠ BẢN cos cos 2cos cos 2 2 a b a b a b + − + = cos cos 2sin sin 2 2 a b a b a b + − − = − sin sin 2sin os 2 2 a b a b a b c + − + = sin sin 2 os sin 2 2 a b a b a b c + − − = Hệ quả : cos sin 2 os 4 a a c a π   + = −  ÷   cos sin 2 os 4 a a c a π   − = +  ÷   sin cos 2 sin 4 a b a π   + = +  ÷   sin cos 2 sin 4 a b a π   − = −  ÷   BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG.BMT – 0975 034 943 5 NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC ( ) sin tan tan cos .cos a b a b a b + + = ( ) sin tan tan cos .cos a b a b a b − − = ( ) sin cot cot sin .sin a b a b a b + + = ( ) sin cot cot sin .sin a b a b a b − − = Biến đổi các biểu thức sau về dạng tích : 88. 0 0 0 sin 70 sin20 sin50− + ĐS: 0 0 0 4.sin 25 . 35 . 10cos cos 89. 0 0 0 os44 os22 2 os79c c c− − ĐS: 0 0 2 57 4sin11 . 2 cos− 90. sin sin 2 sin3x x x+ + ĐS : 3 4cos .sin . 2 2 x x x cos 91. 1 cos os2x c x+ + ĐS : 4. . 2 6 2 6 x x cosx.cos cos π π     + −  ÷  ÷     Đơn giản các biểu thức sau: 92. sin( ) sin os( ) os sin( ) sin os( ) os a b a c a b c a A a b a c a b c a + − + + = − + + + − ĐS : 2.cot 2 sin b a A b   +  ÷   = 93. 1 cos os2 1 3sin 2cos x c x B x x + + = + − ĐS : cot .cot 2 6 B x π π   = +  ÷   Chứng minh rằng : 94. 0 0 0 os85 os35 os25 0c c c+ − = 95. 0 0 0 os130 os110 os10 0c c c+ − = VẤN ĐỀ 7 : CÁC BIẾN ĐỔI VỀ GÓC TRONG TAM GIÁC A, B , C là 3 góc trong 1 tam giác , ta có : A B C π + + = vậy : A B C π + = − (bù) A B C π + = − ( phụ) sin( ) sinA B C+ = os( ) osc A B c C+ = − sin os 2 2 A B C c + = tan cot 2 2 A B C+ = Bất đẳng thức côsi Cho a ,b >0 ta luôn có 2 .a b a b+ ≥ hay 2 . 2 a b a b +   ≤  ÷   Tổng quát : 1 2 , , , 0 n a a a ≥ ta luôn có 1 2 1 2 . n n n a a a n a a a+ + + ≥ Bất đẳng thức BOUNHIACOSKY ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 . .a b c d a c b d+ + ≥ + hay ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 . .a c b d a b c d+ ≤ + + Định lí hàm số sin 2 sin sin sin a b c R A B C = = = Định lí hàm số cosin 2 2 2 2 2 2 2 cos cos 2 a b c bc A b c a A bc = + − + − ⇔ = Cho tam giác ABC biến đổi các biểu thức sau về dạng tích : 96. sin sin sinA B C+ + ĐS: 4. . . 2 2 2 A B C cos cos cos BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG.BMT – 0975 034 943 6 NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC 97. sin 2 sin 2 sin 2A B C+ + ĐS: 4.sin .sin .sinA B C 98. cot cot cot 2 2 2 A B C + + ĐS: cot .cot .cot 2 2 2 A B C A , B , C là 3 góc của 1 tam giác. Chứng minh rằng : 99. cos cos cos 1 4sin .sin .sin 2 2 2 A B C A B C+ + = + 100. cos2 cos2 cos2 1 4cos .cos .cosA B C A B C + + = − − 101. 2 2 2 os os os 1 2cos .cos .cosc A c B c C A B C+ + = − 102. 2 2 2 sin sin sin 2 2cos .cos .cosA B C A B C + + = + 103. tanA+ tan tan tanA.tan .tanB C B C+ = 104. tan .cot cot cot cot tan 1 2 2 2 2 2 2 A B B C C A + + = 105. 5 5 5 sin5 sin5 sin 5 4. os . os . os 2 2 2 A B C A B C c c c + + = 106. sin 6 sin 6 sin 6 4sin3 .sin3 .sin 3A B C A B C+ + = 107. Chứng tỏ rằng nếu tam giác ABC có tanA tan 2cot 2 C B+ = thì tam giác ABC là 1 tam giác cân. 108. Cho tam giác ABC , đặt 2 2 2 sin sin sinT A B C= + + . Chứng minh rằng tam giác ABC nhọn 2T > . 109. Hãy nhận dạng tam giác ABC biết : 2 2 2 os os os 1c A c B c C+ + = . 110. Cho tam giác ABC có các cạnh và các góc thỏa mãn hệ thức : 2 2 1 cos 2 sin 4 B a c B a c + + = − Chứng minh tam giác ABC cân. 111. Số đo 3 góc của tam giác ABC lập thành 1 cấp số cộng và thỏa mãn hệ thức : 3 3 sin sin sin 2 A B C + + + = . Tính các góc A, B , C. 112. Chứng minh rằng tam giác ABC cân khi và chỉ khi : .cos .cos .sin .sina B b A a A b B− = − . 113. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có : .cos .cos .cos 2 .sin .sin .sin 9 a A b B c C p a B b C c A R + + = + + (trong đó p là nửa chu vi. R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác). Thì tam giác ABC là tam giác đều. 114. Giả sử tam giác ABC thỏa mãn điều kiện : ( ) 2 .cos .cos .cosa A b B c C a b c+ + = + + . Thì tam giác ABC là tam giác đều. BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG.BMT – 0975 034 943 7