30 BÀI TOÁN TÍCH PHÂN Tìm nguyên hàm I =  6x 3 +8x +1 (3x 2 +4)  x 2 +1 dx Bài 1 Lời giải: Ta có 6x 3 +8x +1 3x 2 +4 =2x + 1 3x 2 +4 =⇒ I =   2x + 1 3x 2 +4  1  x 2 +1 dx =  2x  x 2 +1 dx +  1 (3x 2 +4)  x 2 +1 dx Tính I 1 =  2x  x 2 +1 dx Đặt  x 2 +1 =t, x 2 +1 =t 2 , 2t dt =2x dx =⇒ I 1 =2  tdt t =2t =2  x 2 +1 Tính I 2 =  1 (3x 2 +4)  x 2 +1 . dx Đặt t =  x 2 +1 x , xt =  x 2 +1, x 2 t 2 =x 2 +1, x 2 = 1 t 2 −1 , 3x 2 +4 = 4t 2 −1 t 2 −1 x dx =− t dt (t 2 −1) 2 , dx xt =− t dt (t 2 −1) 2 x 2 t , dx  x 2 +1 = dt 1 −t 2 I 2 =  t 2 −1 4t 2 −1 dt 1 −t 2 =  dt 1 −4t 2 = 1 2   1 2t +1 − 1 2t −1  dt = 1 4 ln 2t +1 2t −1 = 1 4 ln 2  x 2 +1 +x 2  x 2 +1 −x Vậy I =2  x 2 +1 + 1 4 ln 2  x 2 +1 +x 2  x 2 +1 −x +C Tìm nguyên hàm I =  cos 2 x sin x +  3cos x dx Bài 2 Lời giải: Dùng pp hệ số bất định cos 2 x =(a sinx +b cos x)(sin x +  3cos x) +c(sin 2 x +cos 2 x) cos 2 x =  −1 4 sin x +  3 4 cos x  (sin x +  3cos x) + 1 4 = −1 4 (sin x −  3cos x)(sin x +  3cos x) + 1 4 I =  −1 4 (sin x −  3cos x)(sin x +  3cos x) + 1 4 sin x +  3cos x dx = −1 4  (sin x −  3cos x) dx + 1 4  1 sin x +  3cos x dx = 1 4 (cos x +  3sinx) + 1 4  1 sin x +  3cos x dx Ta tính J = 1 4  dx sin x +  3cos x = 1 8  dx cos(x − π 6 ) = 1 8  cos(x − π 6 ) 1 −sin 2 (x − π 6 ) dx Đặt t =sin(x − π 6 ) =⇒ dt =cos(x − π 6 ) dx =⇒ J = 1 8  dt 1 −t 2 = 1 16   1 t +1 − 1 t −1  dt = 1 16 ln t +1 t −1 = 1 16 ln sin(x − π 6 ) +1 sin(x − π 6 ) −1 Vậy I = 1 4 (cos x +  3sinx) + 1 16 ln sin(x − π 6 ) +1 sin(x − π 6 ) −1 +C Tìm nguyên hàm I =  x 3 +x 2 4  4x +5 dx Bài 3 Lời giải: 1 I =  x 3 +x 2 4  4x +5 dx =  x 4 +x 3 4  4x 5 +5x 4 dx = 1 20   4x 5 +5x 4  − 1 4 d(4x 5 +5x 4 ) = 1 15 4  (4x 5 +5x 4 ) 3 +C Tìm nguyên hàm I =   cos2x +  2cos  x + π 4  e sin x+cos x+1 dx Bài 4 Lời giải: Ta có cos2x +  2cos  x + π 4  =(cos x −sinx)(sin x +cos x +1) I =  (cos x −sin x)(sin x +cos x +1)e sin x+cos x+1 dx =  (sin x +cos x +1)e sin x+cos x+1 d ( sin x +cos x +1 ) =  (sin x +cos x +1) d  e sin x+cos x+1  =(sin x +cos x +1)e sin x+cos x+1 −  e sin x+cos x+1 d ( sin x +cos x +1 ) =(sin x +cos x +1)e sin x+cos x+1 −e sin x+cos x+1 +C =(sin x +cos x)e sin x+cos x+1 +C Tìm nguyên hàm I =  3  3x −x 3 dx Bài 5 Lời giải: Đặt t = 3  3x −x 3 x =⇒ x 2 = 3 t 3 +1 =⇒ 2x dx = −9t 2 dt (t 3 +1) 2 I = 1 2  3  3x −x 3 x 2x dx = −9 2  t 3 dt (t 3 +1) 2 = 3 2  t d  1 t 3 +1  = 3t 2(t 3 +1) − 3 2  dt t 3 +1 Tính J =  dt t 3 +1 =  d(t +1) (t +1)[(t +1) 2 −3(t +1) +3] = 1 2 ( ln3(1−t)−2ln 3t +ln(1 +t) ) Vậy I = 1 2 x 3  3x −x 3 − 3 4  ln3  1 − 3  3x −x 3 x  −2ln3 3  3x −x 3 x +ln  1 + 3  3x −x 3 x  +C Tìm nguyên hàm I =  1 x 4 +4x 3 +6x 2 +7x +4 dx Bài 6 Lời giải: Tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ nên đa thức ở mẫu nhận x =−1 làm nghiệm I =  dx (x +1)[ (x +1) 3 +3] = 1 3  (x +1) 3 +3 −(x +1) 3 (x +1)[ (x +1) 3 +3] dx = 1 3   dx x +1 −  (x +1) 2 (x +1) 3 +3 dx  = 1 3  ln|x +1|− 1 3  d((x +1) 3 ) (x +1) 3 +3  = 1 3 ln|x +1|− 1 9 ln|(x +1) 3 +3|+C Tính tích phân I =  1 0 x ln  x +  1 +x 2  x +  1 +x 2 dx Bài 7 Lời giải: Đặt u =ln(x +  x 2 +1), dv = x dx x +  x 2 +1 =x(  x 2 +1 −x) d x Suy ra du = 1 + x  x 2 +1 x +  x 2 +1 dx = dx  x 2 +1 , v = 1 2  (1 +x 2 ) 1 2 d(1 +x 2 ) −  x 2 dx = 1 3 [(1 +x 2 ) 3 2 −x 3 ] I = 1 3 [(1 +x 2 ) 3 2 −x 3 ]ln(x +  1 +x 2 )    1 0 − 1 3  1 0 [(1 +x 2 ) 3 2 −x 3 ] d x  1 +x 2 2 Mà J =  [(1 +x 2 ) 3 2 −x 3 ] d x  1 +x 2 =  d x 1 +x 2 −  x 3 d x  1 +x 2 =arctan x − 1 3 (x 2 −2)  x 2 +1 Nên I = 1 3 [(1 +x 2 ) 3 2 −x 3 ]ln(x +  1 +x 2 )    1 0 − 1 3 arctanx    1 0 + 1 9 (x 2 −2)  x 2 +1    1 0 Vậy I = 1 3 (  8 −1)ln(1+  2) − π 12 + 1 9 (2 +  2) Tính tích phân I =  1 2 0 x ln 1 +x 1 −x dx Bài 8 Lời giải: Với u =ln 1 +x 1 −x , dv =x dx nên du = 2 1 −x 2 dx, v = 1 2 x 2 I = 1 2 x 2 ln 1 +x 1 −x    1 2 0 −  1 2 0 x 2 1 −x 2 dx = 1 8 ln3+  1 2 0 1 −x 2 −1 1 −x 2 dx = 1 8 ln3+ 1 2 − 1 2  1 2 0  1 1 +x + 1 1 −x  dx = 1 8 ln3+ 1 2 − 1 2 ln 1 +x 1 −x    1 2 0 = 1 2 − 3 8 ln3 Tính tích phân I =  π 0 e −x cos2x dx Bài 9 Lời giải: I =  π 0 e −x cos2x dx =−  π 0 cos2x d(e −x ) =−e −x cos2x    π 0 −2  π 0 e −x sin2x dx =e −π +1 +2  π 0 sin2x d(e −x ) = e −π +1 +2e −x sin2x    π 0 −4  π 0 e −x cos2x dx = 1 5 (e −π +1) Tính tích phân I =   3 0 x 5 +2x 3  x 2 +1 dx Bài 10 Lời giải: I =   3 0 x(x 4 +2x 2 )  x 2 +1 dx =   3 0 (x 4 +2x 2 ) d(  x 2 +1) I =(x 4 +2x 2 )  x 2 +1     3 0 −   3 0  x 2 +1 d(x 4 +2x 2 ) Tính J =   x 2 +1 d(x 4 +2x 2 ) =  4x(x 2 +1)  x 2 +1 dx =4  x(x 2 +1) 2  x 2 +1 dx =4  (  x 2 +1) 4 d(  x 2 +1) = 4 5 (x 2 +1) 2  x 2 +1 Nên I =(x 4 +2x 2 )  x 2 +1     3 0 − 4 5 (x 2 +1) 2  x 2 +1     3 0 Tính tích phân I =  e 1 1 +x 2 ln x x +x 2 ln x dx Bài 11 Lời giải: I =  e 1 1 +x 2 ln x x +x 2 ln x dx =  e 1 1 x 2 +ln x 1 x +ln x dx =  e 1 1 x +ln x 1 x +ln x dx +  e 1 1 x 2 − 1 x 1 x +ln x dx =  e 1 dx −  e 1 d  1 x +ln x  1 x +ln x = x    e 1 −ln  1 x +ln x     e 1 = e −1 −ln  1 e +1  3 Tìm nguyên hàm I =  2(1 +ln x) +x ln x(1 +ln x) 1 +x ln x dx Bài 12 Lời giải: Đặt u =1 +x ln x =⇒ du = ( 1 +ln x ) dx I =  (2 +x ln x)(1 +ln x) 1 +x ln x dx =  u +1 u du =u +ln|u|+C =1 +x ln x +ln|1 +x ln x|+C Tính tích phân I =  π 4 0 x 2 (x 2 sin2x +1) −(x −1) sin2x cos x(x 2 sin x +cos x) dx Bài 13 Lời giải: I =  x 4 sin2x +x 2 −(x −1) sin2x x 2 sin x cosx +cos 2 x dx =  π 4 0 2x 4 sin2x +2x 2 −2x sin x +2sin2x x 2 sin2x +cos2x +1 dx =  π 4 0 2x 2 (x 2 sin2x +cos2x +1) −(x 2 sin2x +cos2x +1)  x 2 sin2x +cos2x +1 dx =  π 4 0 2x 2 dx −  π 4 0 d(x 2 sin2x +cos2x +1) x 2 sin2x +cos2x +1 = 2 3 x 3    π 4 0 −ln|x 2 sin2x +cos2x +1|    π 4 0 = π 3 96 +ln2−ln  π 2 16 +1  Tìm nguyên hàm I =  (x 2 +1) +(x 3 +x ln x +2)lnx 1 +x ln x dx Bài 14 Lời giải: I =  (x 2 +ln x) +x ln x(x 2 +ln x) +(1 +ln x) 1 +x ln x dx =  (x 2 +ln x)(1 +x ln x) +(1 +ln x) 1 +x ln x dx =  (x 2 +ln x) dx +  d(1 +x ln x) 1 +x ln x = 1 3 .x 3 +x ln x −x +ln |1 +x ln x|+C Tìm nguyên hàm I =  x 2 (x 2 sin 2 x +sin2x +cos x) +sin x(2x −1 −sin x) +1 x 2 sin x +cos x dx Bài 15 Lời giải: Vì x 2 (x 2 sin 2 x +sin2x +cos x) +sin x(2x −1 −sin x) +1 =(x 2 sin x +cos x) 2 +(x 2 sin x +cos x)  I =  (x 2 sin x +cos x) dx +  d(x 2 sin x +cos x) x 2 sin x +cos x =  x 2 sin x dx +sin x +ln |x 2 sin x +cos x| Tính J =  x 2 sin x dx =−  x 2 d(cos x) =−x 2 cos x +2  x cosx dx = −x 2 cos x +2  x d(sin x) J =−x 2 cos x +2x sin x −2  sin x dx =−x 2 cos x +2x sin x +2cos x Vậy I =−x 2 cos x +2x sin x +2cos x +sin x +ln |x 2 sin x +cos x|+C Tìm nguyên hàm I =   x(x +2)(3sinx −4sin 3 x) +2 cos x(cos x −2 sin x) +3x 2 cos3x −1  e x dx Bài 16 Lời giải:  x(x +2)(3sinx −4sin 3 x) +2 cos x(cos x −2 sin x) +3x 2 cos3x −1  e x =  x 2 sin3x +(x 2 sin3x)  +cos2x +(cos2x)   e x =⇒ I =(x 2 sin3x +cos2x)e x Tìm nguyên hàm I =  2x 4 ln 2 x +x ln x(x 3 +1) +x − 1 x 2 1 +x 3 ln x dx Bài 17 Lời giải: 4 2x 6 ln 2 x +x 6 ln x +x 3 ln x +x 3 −1 x 2 +x 5 ln x = 2[(x 3 ln x) 2 −1] +x 3 (x 3 ln x +1) +(x 3 ln x +1) x 2 (1 +x 3 ln x) = (x 3 ln x +1)(2x 3 ln x +x 3 −1) x 2 (1 +x 3 ln x) =2x ln x +x − 1 x 2 Nên I =   2x ln x +x − 1 x 2  dx = 1 2 x 2 + 1 x +  2x ln x dx = 1 2 x 2 + 1 x +  ln x d(x 2 ) I = 1 2 x 2 + 1 x +x 2 ln x −  x dx = 1 x +x 2 ln x +C Tìm nguyên hàm I =  x 2 sin(ln x) dx Bài 18 Lời giải: Đặt x =e t , lnx = t , dx =e t dt =⇒ I =  e 3t sin t dt =−e 3t cos t +  3e 3t cos t dt =−e 3t cos t +3e 3t sin t −  9e 3t sin t dt =⇒ 10I =3e 3t sin t −e 3t cos t =⇒ I = 1 10  3.e 3ln x sin(ln x) −e 3ln x cos(ln x)  +C Tìm nguyên hàm I =  e x (x −1) +2x 3 +x 3 (e x +x(x 2 +1)) e x .x +x 2 (x 2 +1) dx Bài 19 Lời giải: e x (x −1) +2x 3 +x 3 (e x +x(x 2 +1)) e x .x +x 2 (x 2 +1) = x 3 −1 x + 3x 2 +e x +1 x 3 +x +e x =x 2 − 1 x + (x 3 +x +e x )  x 3 +x +e x Do đó I = x 3 3 −ln|x|+ln |x 3 +x +e x |+C Tính tích phân I =  π 3 π 6 ln(tan x) dx Bài 20 Lời giải: I =  π 3 π 6 ln(tan x) dx= đổi biến (x= π 2 −x)  π 3 π 6 ln(cot x) dx =⇒ 2I =  π 3 π 6 ln(tan x.cotx) dx =0 =⇒ I =0 Tìm nguyên hàm I =  dx sin 3 x +cos 3 x Bài 21 Lời giải: Ta có 1 sin 3 x +cos 3 x = (sin x +cos x) (sin x +cos x) 2 (1 −sin x cosx) = (sin x +cos x) (1 +sin2x)(1 −sin x cosx) Đặt t =sinx −cosx, sin x cos x = 1 −t 2 2 ,dt =(cosx +sinx) dx I =  dt (2 −t 2 )  1 − 1 −t 2 2  =2  dt (2 −t 2 )(1 +t 2 ) = 2 3   1 2 −t 2 + 1 1 +t 2  dt I = 2 3  dt 2 −t 2 + 2 3  dt 1 +t 2 Tính tích phân I =  0 −π 4 sin4x (1 +sin x)(1 +cos x) dx Bài 22 Lời giải: 2(1 +sin x)(1 +cos x) =(sinx +cosx +1) 2 = 4sin2x(cos x +sin x)(cos x −sin x) (sin x +cos x +1) 2 Đặt t =cosx +sinx, sin2x = t 2 −1, dt =(cos x −sinx) dx, x = −π 4 , t =0, x =0, t =1 5 I =  1 0 4(t 2 −1)t (t +1) 2 dt =4  1 0 t 2 −t t +1 dt =4  1 0  t −2 + 2 t +1  dt I =  2t 2 −8t +8 ln(t +1)     1 0 =2(4ln2 −3) Tính tích phân I =   3 1  3 dx 1 +x 2 +x 98 +x 100 Bài 23 Lời giải: I =   3 1  3 dx (1 +x 2 )(1 +x 98 ) = x= 1 x   3 1  3 dx x 2  1 + 1 x 2  1 + 1 x 98  =   3 1  3 x 98 dx (x 2 +1)(x 98 +1) =⇒ I = 1 2   3 1  3 dx 1 +x 2 Tìm nguyên hàm I =  x 2 −3x + 5 4 7  (2x +1) 4 dx Bài 24 Lời giải: I = 1 4  4x 2 −12x +5 (2x +1) 4 7 dx I = 1 8   (2x +1) 2 −8(2x +1) +12  (2x +1) −4 7 d(2x +1) I = 1 8   (2x +1) 10 7 −8(2x +1) 3 7 +12(2x +1) −4 7  d(2x +1) I = 7 136 (2x +1) 17 7 − 7 10 (2x +1) 10 7 + 9 14 (2x +1) 3 7 +C Tìm nguyên hàm I =  2x 3 +5x 2 −11x +4 (x +1) 30 dx Bài 25 Lời giải: I =  2(x +1) 3 −(x +1) 2 −15(x +1) +18 (x +1) 30 dx =   2(x +1) −27 −(x +1) −28 −15(x +1) −29 +18(x +1) −30  dx =− 1 13(x +1) 26 + 1 27(x +1) 27 + 15 28(x +1) 28 − 18 29(x +1) 29 +C Tìm nguyên hàm I =  x 3 −3x 2 +4x −9 (x −2) 15 dx Bài 26 Lời giải: I =  (x −2) 3 +3(x −2) 2 +4(x −2) +3 (x −2) 15 dx =   (x −2) −12 +3(x −2) −13 +4(x −2) −14 +3(x −2) −15  dx =− 1 11(x −2) 11 − 1 4(x −2) 12 − 4 13(x −2) 13 − 3 14(x +1) 14 +C Tìm nguyên hàm I =  (x −1) 2 (5x +2) 15 dx Bài 27 Lời giải: Ta có 6 25(x −1) 2 =25x 2 −50x +25 =25x 2 +20x +4 −70x −28 +49 =(5x +2) 2 −14(5x +2) +49 Nên I = 1 25  (5x +2) 17 −14(5x +2) 16 +49(5x +2) 15 dx I = 1 25  (5x +2) 18 90 − 14(5x +2) 17 85 + 49(5x +2) 16 80  +C Tính tích phân I =  8 4  x 2 −16 x dx Bài 28 Lời giải: Đặt x = 4 sin t , dx = −4co s t sin 2 t dt ,   4 sin t  2 −16 =4cot t x =4, t = π 2 ; x =8, t = π 6 Ta được I =  π 6 π 2 4cot t 4 sin t −4co s t sin 2 t dt =4  π 2 π 6 cot 2 t dt =4  π 2 π 6 (1 +cot 2 t −1) dt =4(−cott −t )    π 2 π 6 =4  3 + 4π 3 Tính tích phân I =  1 1  3  (1 +x 2 ) 5 x 8 dx Bài 29 Lời giải: Đặt x =tan t, dx = dt cos 2 t ,  (1 +x 2 ) 5 =  1 cos 10 t , x = 1  3 , t = π 6 , x =1, t = π 4 Ta được I =  π 4 π 6  1 cos 10 t tan 8 t dt cos 2 t =  π 4 π 6 d(sin t) si n 8 t dt = 1 7 sin 7 t    π 4 π 6 = 128 −8  2 7 Tính tích phân I =  2 1 x −  x 2 −2x +2 x +  x 2 −2x +2 dx x 2 −2x +2 Bài 30 Lời giải: Đặt x =u +1, dx = du, x = 1, u = 0, x =2,u =1 Ta được I =  1 0 u +1 −  u 2 +1 x +1  x 2 +1 du u 2 +1 =  1 0 du u 2 +1 −  1 0 2 du  u 2 +1(u +  u 2 +1 +1) =  1 0 du u 2 +1 −  1+  2 1 2 dt t(t +1) ( với t =u +  u 2 +1, dt =  u 2 +1 +u  u 2 +1 du) =arctan u    1 0 −2ln t t +1    1+  2 1 = π 4 −ln2 7