ỨNG DỤNG NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Xét phương trình bậc ba: 32 xmxnxp0  (*) Đặt: m xy 3  ; 23 m2m9mn27p n; 327   . Ta thu được phương trình 3 yy0  (**) Số nghiệm của (**) chính là số giao điểm của đồ thị 3 (C):f(y)yy  với trục hoành Ta có: 2 f'(y)3y  Nếu 0  thì f'(y)0, y  nên phương trình (**) có đúng 1 nghiệm Nếu 0  thì phương trình (**) có nghiệm bội ba. Nếu 0  thì f'(y)0  có hai nghiệm 12 y; y 33     12 22 fy, fy 3333   Suy ra     323 2 12 4274 fy.fy 2727   . Do đó, ta có:  Phương trình (**) có ba nghiệm khi và chỉ khi:     32 12 fy.fy04270  . Hay là:   3 32 27p2m9mn2m3n  (1). Từ nhận xét trên ta thấy: Với ba số thực a,b,c . Đặt m(abc), n(abbcca), pabc  . Khi đó a,b,c là ba nghiệm của phương trình : 32 xmxnxp0  . Và m,n,p thoả bất đẳng thức (1). Bây giờ ta đi xét một số trường hợp đặc biệt sau: 1) Cho m0  khi đó (1) trở thành: 3223 4 4n27p0pn 27  Ví dụ 1. Cho các số thực a,b,c không đồng thời bằng 0 thỏa abc0  . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 222 2223 13abc2abc2 P (abc)    . Lời giải. Đặt nabbcca, pabc  Suy ra a,b,c là ba nghiệm của phương trình : 3 xmxn0  (4) Ta có: 2332 427 pnnp 274  . Do đó: 2 2322 271 13p2p22n13p2p2pp10 22            Suy ra:   3 23222 13p2p22n13abc2ab22abbcca  Mà:   2222 1 (abc)0abbccaabc 2  Dẫn tới:   3 222222 11 13abc2abc2abcP 44  . Đẳng thức xảy ra n2 a,b,c m3           là ba nghiệm của phương trình 32 x3x20(x1)(x2)0x1,x2  Vậy 1 maxP 4  đạt được khi (a,b,c)(1,1,2)  và các hoán vị. Ví dụ 2. Cho các số thực a,b,c có tổng bằng 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức     5 222222 Pabc32abbccaabc8abc  . Lời giải. Đặt nabbcca, pabc  Suy ra a,b,c là ba nghiệm của phương trình : 3 xnxp0  (4) Ta có: 233232 42727 pnnpnp 2744  . Vì 222 abc0abc2(abbcca)2nn0  . Do đó: 5252 P32n32np8p32(n)(n)p8p     3 3 64np8p854pp          . Xét hàm số 3 f(t)54tt,t0  ta có: 2 2 f'(t)162t1,f'(t)0t 18  . Lập bảng biến thiên ta có t0 22 minf(t)f 1827               Suy ra 82 P 27  . Đẳng thức xảy ra khi 3 2 p 18 1 n 24                  hay a,b,c là nghiệm của phương trình 2 3 333 33 121212 tt0tt0t,t 18 99 24 6363                            . Vậy 82 minP 27  . Đạt được khi 3 3 12 ab,c 9 63  và các hoán vị. 2) Cho 2 nkm  , khi đó (1) trở thành:   3 33 27p(29k)m2m13k  . Ví dụ 3. Cho các số thực a,b,c thoả 222 abc2(abbcca)  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:   3 4 1 Pabcabc (abc)  . Lời giải. Đặt m(abc), nabbcca, pabc  , suy ra a,b,c là ba nghiệm của phương trình 32 tmtntp0  Từ giả thiết ta suy ra:     2 2 m abc4abbccan 4  . Suy ra 3 3 33 m m 27p108pmm 44  332 p(54pm)0pm54p  Do đó: 322222 3 4444 1111 Ppm54p27p27p327p.27p27 pppp  (đpcm). Đẳng thức xảy ra 2 2 4 3 m n 4 1 27p p 54pm                         , chẳng hạn ta chọn 3 3 1 p 3 m183 972 n 4                         hay a,b,c là nghiệm của phương trình: 2 3 3 3 3 32 97211834 t183tt0tt0 46 33                            . Vậy minP27  đạt được khi 3 3 1834 ab,c 6 3  và các hoán vị. Ví dụ 4. Cho các số thực a,b,c thoả     222 2abc5abbcca  . Chứng minh rằng:   2 3 1 abcabc10 27  . Lời giải. Đặt   mabc,nabbcca,pabc  ta suy ra a,b,c là ba nghiệm của phương trình : 32 xmxnxp0  . Từ giả thiết ta suy ra:   22 2 2m2n5nnm 9  Mặt khác:   3 32 27p2m9mn2m3n  nên suy ra 62 3262 3 mp 27p227.p4m27m 274  Do đó:   2 2 3 1p abc 274  Ta chứng minh: 2 2 3 3 pp p110 42            (luôn đúng). Đẳng thức xảy ra khi 2 p2 p2 m27m33 n6n6                         , hay a,b,c là ba nghiệm của phương trình 22 t33t6t20  . 3) Xét 2 m3nc  , c là hằng số cho trước. Ví dụ 5. Cho các số thực a,b,c thoả 222 abcabbcca4  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:       2 P18abbccaabbccaabc489abc  . Lời giải. Đặt m(abc), nabbcca, pabc  Từ giả thiết ta suy ra:     2 2 abc3abbcca4m3n4  . Mặt khác :   3 32 27p2m9mn2m3n  Suy ra   27p2m3n49mn1827p3mn8m16  8m16 mn9p 3   Mặt khác:         2 P18abbcca48abbccaabbccaabc9abc        2 23abbcca4abbccaabc9abc16           2 2abcabbccaabc9abc16    444 8m161 2mmn9p162m166m8m64 33  . Xét hàm số 4 f(m)6m8m64  , ta có: 3 3 1 f'(m)24m8f'(m)0m 3  . Suy ra   33 16 fmf64 33             . Nên 3 12 P64 3 3             . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3 3 3 1 m 3 11 n4 3 9 1447 p 99 3                                                   , suy ra a,b,c là nghiệm của phương trình : 32 333 1111447 tt4t0 399 393             . Vậy 3 12 minP64 3 3             . Ví dụ 6. Cho các số thực a,b,c thoả 222 abcabbcca1  . Chứng minh rằng:   2 2 (abc)43abbcca18abc  . Lời giải. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với   2 2 P(abc)3abbcca18abc4  (*) Đặt m(abc), nabbcca, pabc  Từ giả thiết ta suy ra:     2 2 abc3abbcca1m3n1  Mặt khác :   3 32 27p2m9mn2m3n  Suy ra 323 27p2m3m(m1)227pm3m2  3 27pm3m2  Do đó:   222223 3P3m9n54p3m(m1)2m3m2  43222 m2m5m6m3(mm3)1212  . Đẳng thức xảy ra khi   2 2 3 mm30 m1 n 3 1 pm3m2 27                        , ta chọn 113 m 2 513 n 6 1113 p 54                            Hay a,b,c là ba nghiệm của phương trình 32 1135131113 ttt0 2654   . Vậy maxP12  . Ví dụ 7. Cho các số thực dương a,b,c thoả   3 abc32abc  . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:   444 4 abc P abc    . Lời giải. Chuẩn hoá abc2abc4  . Đặt nabbcca  , suy ra   3 18n91163n  32 3n12n108n4650  2 155 (n5)(3n3n93)05n 2   . Mặt khác:     2 444222222222 abcabc2abbcca      2 22 162n2n162n64n288  Nên     4442 11 Pabcn32n144 256128  Vì hàm 2 f(n)n32n144  nghịch biến trên 551 5; 2       nên ta suy ra 19 maxPf(5) 128128  và 15513831655 minPf 12822               .