HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN KHU VC DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B K YU HI THO KHOA HC, LN TH III MÔN TOÁN HC (TÀI LIU LU HÀNH NI B) HÀ NAM, THÁNG 11 NM 2010 =========================================================== 4 HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com - H i tho khoa hc môn To án h  c l n th III - 2010 MC LC STT NI DUNG TRANG 1 LI NÓI U 5 2 MT S DNG PHNG TRÌNH VÔ T CHO HC SINH GII Nguyn Anh Tun (THPT chuyên Bc Giang) 6 3 LÀM NGC BT NG THC Nguyn c Vang (THPT chuyên Bc Ninh) 27 4 CHNG MINH BT NG THC BNG CÁCH S DNG BT NG THC SP XP LI VÀ BT NG THC CHEBYSHEV ào Quc Huy, T Toán – Tin, Trng THPT Chuyên Biên Hòa – Hà Nam 31 5 TÍNH TUN HOÀN TRONG DÃY S NGUYÊN Ngô Th Hi, trng THPT chuyên Nguyn Trãi, Hi Dng 43 6 NH LÝ PASCAL VÀ NG DNG Lê c Thnh, THPT Chuyên Trn Phú – Hi Phòng 47 7 HÀM S HC VÀ MT S BÀI TOÁN V HÀM S HC Trng THPT Chuyên Hng Yên 56 8 MT S BÀI TOÁN S HC TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC TOÁN Trn Xuân áng (THPT Chuyên Lê Hng Phong – Nam nh) 67 9 NH LÍ LAGRANGE VÀ NG DNG ng ình Sn, Chuyên Lng Vn Ty – Ninh Bình 73 10 T S KÉP VÀ PHÉP CHIU XUYÊN TÂM Trng THPT chuyên Thái Bình – Thái Bình 93 11 MT S DNG TOÁN V DÃY S VÀ GII HN Trn Ngc Thng - THPT Chuyên Vnh Phúc 105 12 S DNG CÔNG C S PHC  GII CÁC BÀI TOÁN HÌNH HC PHNG Trng THPT chuyên H Long 123 13 BT BIN TRONG CÁC BÀI TOÁN LÝ THUYT TRÒ CHI Phm Minh Phng, trng THPT chuyên i hc S phm Hà Ni 130 =========================================================== 5 HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com - H i tho khoa hc môn To án h  c l n th III - 2010 DI TRUYN HC LI NÓI U Hi các trng chuyên vùng Duyên Hi Bc B đn nay đã có 12 trng tham gia. Trong đó có nhiu trng có truyn thng lâu nm, có thành tích cao trong các k thi hc sinh gii Quc gia và Quc t môn Toán. Nm nay, ln th 3 hi tho khoa hc. Vi cng v là đn v đng cai, chúng tôi đã nhn đc 12 bài vit v các chuyên đ chuyên sâu cho hc sinh gii Toán. ó là các chuyên đ tâm huyt ca các thày cô dy chuyên Toán ca các trng chuyên trong hi. Xin trân trng gii thiu các bài vit ca các thày cô trong k yu môn Toán ca hi trong dp hi tho khoa hc ln th 3. Hy vng rng cun k yu này s mt tài liu tham kho cho các thày cô! T TOÁN - TIN TRNG THPT CHUYÊN BIÊN HOÀ - HÀ NAM =========================================================== 6 HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com - H i tho khoa hc môn To án h  c l n th III - 2010 MT S DNG PHNG TRÌNH VÔ T CHO HC SINH GII Nguyn Anh Tun (THPT chuyên Bc Giang) Li m đu Toán hc có mt v đp lôi cun và quyn r, ai đã đam mê thì mãi mãi đam mê… Trong v đp đy huyn bí đó thì các bài toán liên quan đn Phng trình vô t (cha cn thc) - có nét đp tht s xao xuyn và quyn r. Có l vì lý do đó mà trong các kì thi HSG các nc, thi HSG Quc gia (VMO) ca chúng ta, bài toán liên quan đn Phng trình vô t thng có mt đ thách thc các nhà Toán hc tng lai vi dung nhan muôn hình, muôn v. Ri thì còn trong các kì thi HSG cp tnh, thi HSG cp thành ph, thi i hc, thi … Tht là điu thú v ! Chuyên đ: “ Mt s dng phng trình vô t cho hc sinh gii ” tôi vit vi mong mun phn nào giúp các Thy cô giáo dy Toán, các em hc sinh ph thông trong các đi tuyn thi hc sinh gii Toán có th tìm thy nhiu điu b ích và nhiu điu thú v đi vi dng toán này. Trong Chuyên đ có c nhng bài vi cp đ gii trí cho hc sinh gii (rèn luyn phn x nhanh). i vi vic gii phng trình vô t thì hu ht các phng pháp gii, các phng pháp bin đi hay đu có trong cun Chuyên đ này. Cách phân tích đ nhn dng mt phng trình và chn la phng pháp gii thích hp là khó và đa dng.  có kh nng này chúng ta phi gii quyt nhiu phng trình và t rút ra nhng nhn xét, kinh nghim và hay hn na là mt vài thut gii toán, cng nh lu ý rng mt bài toán có th có nhiu cách gii khác nhau. Tôi vit Chuyên đ này vi mt tinh thn trách nhim cao. Tôi hy vng rng Chuyên đ s đ li trong lòng Thy cô và các em hc sinh mt n tng tt đp. Vi mi ví d trong tng phng pháp gii, ngi đc có th t sáng tác cho mình nhng bài toán vi nhng con s mà mình yêu thích. Tuy nhiên Chuyên đ chc chn s không th tránh khi nhng điu không mong mun. Tôi rt mong nhn đc s đng viên và nhng ý kin đóng góp chân thành ca Quý Thy cô và các em hc sinh đ Chuyên đ tip tc đc hoàn thin hn. Tôi xin chân thành cm n! =========================================================== 7 HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com - H i tho khoa hc môn To án h  c l n th III - 2010 §1. MT S PHNG PHÁP GII PHNG TRÌNH VÔ T 1. MT S QUY C KHI C CHUYÊN  1.1 Vt: V trái ca phng trình. Vt 2 : Bình phng ca v trái phng trình. 1.2 Vp: V phi ca phng trình. Vp 2 : Bình phng ca v phi phng trình. 1.3 Vt (1) : V trái ca phng trình (1) . 1.4 Vp (1) : V phi ca phng trình (1) . 1.5 k, đk: iu kin. 1.6 BT: Bt đng thc. HSG, HSG: Hc sinh gii. 1.7 VMO, VMO: Thi hc sinh gii Vit Nam, CMO: Thi hc sinh gii Canada. 2. PHNG PHÁP T N PH 2.1 Mt s lu ý Khi gii phng trình vô t bng phng pháp đt n ph ta có th gp các dng nh: 2.1.1 t n ph đa phng trình đã cho v phng trình đi s không còn cha cn thc vi n mi là n ph. 2.1.2 t n ph mà vn còn n chính, ta có th tính n này theo n kia. 2.1.3 t n ph đ đa phng trình v h hai phng trình vi hai n là hai n ph, cng có th hai n gm mt n chính và mt n ph, thng khi đó ta đc mt h đi xng. 2.1.4 t n ph đ đc phng trình có hai n ph, ta bin đi v phng trình tích vi v phi bng 0. Thng gii phng trình ta hay bin đi tng đng, nu bin đi h qu thì nh phi th li nghim. 2.2 Mt s ví d Ví d 1. Gii các phng trình sau: 1) 2 18 18 17 8 2 0 x x x x x - - - - = . 2) 2 4 2 3 3 1 1 3 x x x x - + = - + + . 3) 2 2 1 1 2 2 4x x x x æ ö - + - = - + ç ÷ è ø . 4) 2 2 2 1 2 1 1 x x x x + - + - = . Hng dn (HD): 1) t x y = vi 0 y ³ . Khi đó phng trình đã cho tr thành 2 2 (3 4 2)(6 2 1) 0 y y y y - - + + = , suy ra 2 (3 4 2) 0 y y - - = , ta đc 2 10 3 y + = . T đó phng trình có nghim là 14 4 10 9 x + = . 2) Ta có 4 2 2 2 2 2 2 1 ( 1) ( 1)( 1) 0 x x x x x x x x + + = + - = + + - + > , vi mi x. Mt khác 2 2 2 3 1 2( 1) ( 1) x x x x x x - + = - + - + + . t 2 2 1 1 x x y x x - + = + + (có th vit đk 0 y ³ hoc chính xác hn là 3 3 3 y£ £ ), ta đc =========================================================== 8 HI CC TRNG THPT CHUYấN DUYấN HI V NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com - H i tho khoa hc mụn To ỏn h c l n th III - 2010 2 2 3 2 1 0 6 3 3 0 3 y y y y - = - = + - = , ta c 3 3 y = (loi 3 2 y = - ). T ú phng trỡnh cú nghim l 1 x = . 3) Ta thy 0 x < khụng tha món. Khi ú phng trỡnh tng ng vi h 2 2 2 2 0 1 4 0 1 1 2 2 4 1 x x x x x x ỡ ù ù > ù ù ổ ử - + > ớ ỗ ữ ố ứ ù ù ổ ử ổ ử ổ ử ù - + - = - + ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ù ố ứ ố ứ ố ứ ợ . t 1 x y x + = , ta c 2 2 2 2 4(1) 4 ( 2) 2 5 2( 2) (4 ) (2) y y y y Ê < ỡ ù ớ - - + - - = - ù ợ . Xột 2 2 (2) 9 2 4 5 y y y - = - + 4 3 2 8 28 40 16 0 y y y y - + - + = (do hai v khụng õm). 3 2 2 ( 2)( 6 16 8) 0 ( 2)(( 2)( 4 8) 8) 0 y y y y y y y y - - + - = - - - + + = Dn n 2 y = (do 2 (( 2)( 4 8) 8) 0 y y y - - + + > vi mi y tha món (1)). T ú phng trỡnh cú nghim l 1 x = . Nhn xột: Bi toỏn ny ta cú th gii bng Phng phỏp ỏnh giỏ trong phn sau. 4) Ta cú phng trỡnh tng ng vi 2 2 1 1 2 2 1 x x x x - = - - - 4 2 2 2 2 3 2 1 1 4 4 (1 ) 4 4 1 8 1 x x x x x x x x x ị - = + + - - - - + - 2 2 2 2 2 2 (1 4 1 8 1 ) 0 0 1 4 1 8 1 0(1) x x x x x x x x - - + - = = ộ ờ - - + - = ờ ở Xột (1), t 2 1 y x = - , suy ra 0 y v 2 2 1 x y = - . Ta c 2 3 1 4 8 (1 ) 0 8 4 1 0 y y y y y - + - = - - = 2 (2 1)(4 2 1) 0 y y y + - - = 1 5 4 y + = . T ú suy ra 5 5 8 x - = . Th li ta c nghim ca phng trỡnh l 0 x = v 5 5 8 x - = - . Nhn xột: Bi toỏn ny ta cú th gii bng Phng phỏp lng giỏc trong phn sau. Vớ d 2. Gii phng trỡnh 2 2 3 1 ( 3) 1 x x x x + + = + + . HD: t 2 1 x y + = , vi 1 y . Khi ú ta c 2 3 ( 3) y x x y + = + ( 3)( ) 0 y y x - - = . Dn n 3 y = v y x = . T ú phng trỡnh cú nghim l 2 x = . =========================================================== 9 HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com - H i tho khoa hc môn To án h  c l n th III - 2010 Ví d 3. Gii phng trình 8 3 8 4 17 2 1 1 x x - - - = . HD: t 84 17 x y - = vi 0 y ³ và 3 8 2 1 x z - = . Khi đó ta đc h 4 3 4 3 1 1 2 33 2 ( 1) 33 y z z y y z y y - = = - ì ì Û í í + = + - = î î . Xét 4 3 3 2 2 ( 1) 33 ( 2)(2 5 7 17) 0 y y y y y y + - = Û - + + + = . Suy ra đc y - 2 = 0. T đó nghim ca phng trình là x = 1 và x = -1. Ví d 4. Gii các phng trình sau: 1) 2 2 4 2 3 4 x x x x + - = + - . 2) 3 2 3 4 81 8 2 2 3 x x x x - = - + - . HD: 1) t 2 4 x y - = , vi 0 2 y £ £ . Khi đó ta đc h 2 2 2 3 4 x y xy x y + = + ì í + = î . Th hoc li đt ; x y S xy P + = = ri gii tip ta đc nghim ca phng trình là 0 x = ; 2 x = và 2 14 3 x - - = . 2) t 3 2 3 4 81 8 2 3 3 2 3 x y x y y y - + = Þ = - + . Khi đó ta đc h 3 2 3 2 4 3 2 3 4 3 2 3 x y y y y x x x ì = - + ï ï í ï = - + ï î . Xét hiu hai phng trình dn đn x y = (do 2 2 2 1 1 1 1 ( ) ( 2) ( 2) 0 2 2 2 3 x y x y + + - + - + > ). Thay vào h và gii phng trình ta đc 3 2 6 0; 3 x x ± = = . Ví d 5. Gii phng trình 2 2 5 14 9 20 5 1 x x x x x + + - - - = + . HD: k 5 x ³ . Vi điu kin đó ta bin đi phng trình đã cho nh sau: 2 2 2 2 5 14 9 20 5 1 5 14 9 20 25( 1) 10 ( 1)( 4)( 5) + + = - - + + Û + + = - - + + + + + - x x x x x x x x x x x x x 2 2 5 2 5 ( 1)( 5) 4 Û - + = + - + x x x x x 2( 1)( 5) 3( 4) 5 ( 1)( 5) 4 Û + - + + = + - + x x x x x x t ( 1)( 5) ; 4 x x y x z + - = + = , vi 0; 3 y z ³ ³ . =========================================================== 10 HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com - H i tho khoa hc môn To án h  c l n th III - 2010 Ta đc 2 2 2 3 5 ( )(2 3 ) 0 y z yz y z y z + = Û - - = , t đó ta đc 3 2 y z y z = é ê ê = ë . Nu y z = thì ta đc 5 61 2 x + = (do 5 x ³ ). Nu 3 2 y z = thì ta đc 7 8; 4 x x = = - . Vy phng trình có ba nghim trên. Ví d 6. Gii phng trình 2 4 9 7 7 28 x x x + + = , vi 0 x > . Nhn xét: Dng phng trình này ta thng đt 4 9 28 x ay b + = + , sau đó bình phng lên ri ta “c ý” bin đi v h đi xng vi hai n , x y . T đó ta s bit đc giá tr ca a, b. Vi bài toán này ta tìm đc 1 1; 2 a b = = . (Nu a = 1 và b = 0 mà gii đc thì đó là phng trình quá đn gin, ta không xét  đây). HD: t 4 9 1 28 2 x y + = + , do 0 x > nên 4 9 9 1 28 28 2 x + > > , t đó 0 y > . Ta đc h 2 2 1 7 7 2 1 7 7 2 , 0 x x y y y x x y ì + = + ï ï ï + = + í ï > ï ï î . Gii h bình thng theo dng ta đc 6 50 14 x - + = . Ví d 7. Gii phng trình 3 2 3 2 2 x x - = - . Nhn xét: Khi gii mt phng trình không phi lúc nào cng có nghim thc, có nhng phng trình vô nghim nhng khi cho hc sinh làm bài ta cng kim tra đc nng lc ca hc sinh khi trình by li gii bài toán đó. Chng hn nh bài toán trong ví d này. HD: t 3 2 3 2 2 x x - = - = y vi 0 y ³ . Khi đó ta đc h 2 3 3 2 2 2 x y x y ì = + ï í = - ï î và t phng trình ban đu ta có 2 x £ - . Xét hiu hai phng trình ca h ta đc phng trình 2 2 ( )( ) 0 x y x xy y x y + - + - + = . Vi x y = - thì 3 2 2 x x = - - , dn đn vô nghim. Còn 2 2 2 ( )(1 ) 0 x xy y x y y x x y - + - + = - - + > vi mi 0 y ³ và 2 x £ - . Do đó h vô nghim hay phng trình đã cho vô nghim. 2.3 Mt s bài tp tng t Bài 1. Gii các phng trình sau: 1) 2 2 2 2 2 x x x x + - = - . (HD: t 2 ; 0 y x y = - ³ , ta đc 2 2 ( 1)( 1)(2 4) 0 y y y y y - + - - - = . =========================================================== 11 HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com - H i tho khoa hc môn To án h  c l n th III - 2010 T đó 5 1 33 1 1; ; 2 8 y y y - + = = = và đc nghim ca phng trình là 5 1 33 1 1; ; 2 8 x x x + + = = = - ). 2) 2 3 2 5 1 7 1 x x x + - = - . (HD: T phng trình suy ra 1 x ¹ . t 2 1 1 x x y x + + = - , bình phng dn đn 3 2 3 y ³ + . Phng trình tr thành 2 2 7 3 0 y y - + = , ta đc 3 y = . T đó 4 6 x = ± ). Bài 2. Gii phng trình 2 2 (4 1) 1 2 2 1 x x x x - + = + + . (HD: t 2 1 x y + = , vi 1 y ³ . T đó ta đc 1 2 1 2 y y x = Ú = - . Phng trình có nghim 4 3 x = ). Bài 3. Gii các phng trình sau: 1) 3(2 2) 2 6 x x x + - = + + . (HD: t 3 2 , 6 x y x z - = + = , vi 0; 0 y z ³ ³ . Ta đc 3 4 x y z = Ú + = . T đó phng trình có 2 nghim 11 3 5 3; 2 x x - = = ). 2) 4 2 2(1 ) 2 1 x x - + + = . (HD: k 0 2 1 x £ £ - . t 4 2 2(1 ) 2 2 1 x y y x - + = Û = - - và 4 4 4 2 2 x z z x = Û = vi 0; 0 y z ³ ³ . Suy ra 4 2 4 2( ) 1(1) 2 1(2) y z y z ì + = ï í + = - ï î . T (1) thay 4 1 2 y z = - vào (2) ta đc 2 2 2 4 1 ( 1) ( ) 0 2 z z + - + = . Xét hiu hai bình phng suy ra 4 4 3 2 1 4 2 2 z - ± = . T đó ta đc nghim ca phng trình là 4 4 4 4 3 2 1 2 2 x æ ö - ç ÷ ± ç ÷ = ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø ). Bài 4. Gii phng trình 2 1000 1 8000 1000 x x x- - + = . (HD: t 1 1 8000 x + + = 2 y , ta đc 2 2 2000 (*) 2000 x x y y y x ì - = ï í - = ï î . =========================================================== 12 HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com - H i tho khoa hc môn To án h  c l n th III - 2010 T (*) suy ra ( )( 1999) 0 x y x y - + + = và , do đó 1999 0 x y + + > . Suy ra x y = , ta đc nghim 2001 x = , loi 0 x = ). Bài 5. Gii các phng trình sau: 1) 3 2 1 2 2 5 x x + = + . (HD: t 2 1 0; 1 y x z x x = + ³ = - + , ta đc 2 2 2 5 5 2( ) 2 2 y y yz y z z z æ ö = + Û = + ç ÷ è ø 2 5 1 2 2 0 2 2 y y y y z z z z æ ö Û - + = Û = Ú = ç ÷ è ø . Nu 2 y z = ta đc 2 1 2 1 x x x + = - + 2 1 4 5 3 0 x x x ³ - ì Û í - + = î (vô nghim). Nu 1 2 y z = ta đc 2 2 1 1 x x x + = - + 1 5 37 5 37 2 2 x x x ³ - ì ± ï Û Û = í ± = ï î (tha mãn)). 2) 2 3 2 5 2 4 2( 21 20 x x x x - + = - - . (HD: k 4 1 5 x x - £ £ - é ê ³ ë . t 2 2 8 10 x x y - - = và 4 x z + = , vi 0; 0 y z ³ ³ . Khi đó ta đc ( )( 3 ) 0 y z y z - - = . T đó phng trình có bn nghim là 9 193 4 x ± = và 17 3 73 4 x ± = ). Bài 6. Gii các phng trình sau: 1) 2 4 3 5 x x x - - = + . (HD: t 5 2 x y + = - , ta đc 5 29 1; 2 x x + = - = ). 2) 2 3 2 4 2 x x x + + = , vi 1 x ³ . (HD: t 3 1 2 x y + = + ,đc 3 17 1 4 x - + = < (loi), nu 1 x ³ - thì 3 17 4 x - + = ). 3) 2 4 27 18 3 x x x + = + , vi 0 x > . (HD: Tng t, ta đc 5 37 18 x - + = ). 3. PHNG PHÁP ÁNH GIÁ 3.1 Mt s lu ý Khi gii phng trình vô t (chng hn ( ) ( ) f x g x = ) bng phng pháp đánh giá, thng là đ ta ch ra phng trình ch có mt nghim (nghim duy nht).Ta thng s dng . gia và Quc t môn Toán. Nm nay, ln th 3 hi tho khoa hc. Vi cng v là đn v đng cai, chúng tôi đã nhn đc 12 bài vit v các chuyên đ chuyên sâu cho hc sinh gii Toán. ó là các. các thày cô dy chuyên Toán ca các trng chuyên trong hi. Xin trân trng gii thiu các bài vit ca các thày cô trong k yu môn Toán ca hi trong dp hi tho khoa hc ln th 3. Hy vng. www.MATHVN.com - H i tho khoa hc môn To án h  c l n th III - 2010 §3. MT S BÀI TOÁN THI HC SINH GII CA MT S QUC GIA Thc t bài toán gii phng trình vô t trong