Bất phương trình logarit mũ và hệ bất phương trình logarit mũ

63 393 0

NHT Gửi tin nhắn Báo tài liệu vi phạm

Tải lên: 2,930 tài liệu

  • Loading ...
1/63 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 26/04/2014, 15:07

121 VAN ẹE 6 BAT PHệễNG TRèNH LOGARIT- MUế VAỉ HE BAT PHệễNG TRèNH LOGARIT-MUế 122 Vấn đề 6 Bất phương trình Logarit-Mũ hệ bất phương trình Logarit-Mũ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. Giả sử f(x) g(x) là hai hàm số xác đònh trên một tập con D của R, khi đó : a) Nếu a > 1 thì bất phương trình log a f(x) > log a g(x) (1) tương đương với hệ bất phương trình ( ) () () () 0gx f xgx xD >⎧ ⎪ > ⎨ ⎪ ∈ ⎩ b) Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình (1) tương đương với hệ bất phương trình : () () () () 0fx f xgx xD >⎧ ⎪ < ⎨ ⎪ ∈ ⎩ II. Giả sữ f(x) , g(x) α(x) là hững hàm số trên một tập hợp con D của R .Khi đó bất phương trình log α(x) f(x) > log α(x) g(x) tương đương với 2 hệ bất phương trình : () () () () () 1 0 x gx f xgx xD α >⎧ ⎪ > ⎪ ⎨ > ⎪ ⎪ ∈ ⎩ hay ( ) () () () () 01 0 x fx f xgx xD α < <⎧ ⎪ > ⎪ ⎨ < ⎪ ⎪ ∈ ⎩ 123 B. BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI . Bài 1 Giải bất phương trình sau : () ( ) 3 3log3log xx x ≤ Giải Điều kiện x > 0 x ≠ 1 Bpt ⇔ () () [] ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≥ ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < (2) )3(log3log 03log (1) 03xlog 0log3x 2 2 3 xx x xx x Giải (1) ⇔ () ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < 1log3log 1log3log 3 x xx x x ⇔ ( ) ( ) () () ⎩ ⎨ ⎧ <−− <−− 0131 0131 3 xx xx ⇔ x > 3 3 1 (a) Giải (2) ⇔ ()( ) () ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +≤+ >−− > (*) 33log13log 0231 0 2 xx xx x (*) ⇔ 023log3log 2 ≤−+ xx ⇔ -2 ≤ log x ≤ 1 (2) ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤− >∨<< 13log2 1 3 1 0 x xx ⇔ () () ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ≥ ≤< ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤ > ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥≥ << ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤− > ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤− << c 3 b 3 1 0 3 1 1 3 1 3 1 x0 13log2 1 13log2 3 1 0 2 2 x x x x x x x x x x x Hợp (a) (b) (c) ta có x > 0 Bài 2 124 Giải bất phương trình sau : log 2 (1 + 9 1 log x – log 9 x) < 1 Giải Điều kiện : x > 0 ⇔ 1 – log 9 x – log 9 x < 1 (với x > 0) ⇔ 1 – 2log 9 x < 1 ⇔ log 9 x > 2 1 − ⇔ log 9 x > 2 1 − log 3 3 ⇔ x > 3 1 Bài 3 Giải bất phương trình sau : 233 5lg2lg 2 −< ++ xx (1) Giải Điều kiện : x > 0 (1) ⇔ 3 lgx .9 < 3 2lgx .3 5 – 2 (với x > 0) đặt t = 3 lgx bpt ⇔ 9t < 243t 2 – 2 ⇔ 243t 2 – 9t – 2 > 0 ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −< > 27 2 9 1 t t • Với t > 9 1 : 3 lgx > 9 1 ⇔ ⇔ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ > ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2lg 3 1 3 1 x -lgx < 2 ⇔ lgx > -2 = -2lg10 ⇔ x > 10 -2 ⇔ x > 100 1 • Với t < 27 2 − : 3 lgx < 27 2 − : bất phương trình vô nghiệm KL : nghiệm cuả bất phương trình là : x > 100 1 125 Bài 5 Giải bất phương trình : log 7 x > log 3 (2 + x ) (**) Giải Điều kiện x > 0 , đặt log 7 x = t ⇔ x = 7 t Bất phương trình (**) ⇔ t > log 3 (2 + t 7 ) ⇔ 3 t > 2 + t 7 ⇔ 1 > 2. t 3 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + t 3 7 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = f(t) Do f(t) là hàm nghòch biến trên R , f(2) = 1 nên bất phương trình (**) ⇔ f(t) < f(2) ⇔ t > 2 ⇔log 7 x > 2 ⇔ x > 7 2 = 49 . Bài 6 Giải bất phương trình : 24 x233 x x2 − −+ − ≥ 0 (*) (Đại học luật 1996) Giải Xét f(x) = 3 2-x - 2x + 3 nghòch biến trên R , f(2) = 0 , g(x) = 4 x – 2 đồng biến trên R , g ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 1 = 0 Bất phương trình (*) ⇔ )x(g )x(f ≥ 0 ⇔ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =< =≤ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ => =≥ 2 1 g0)x(g )2(f0)x(f 2 1 g0)x(g )2(f0)x(f ⇔ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ≥ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ 2 1 x 2x 2 1 x 2x ⇔ 2 1 < x ≤ 2 Vậy bất phương trình có nghệm là 2 1 < x ≤ 2 126 Bài 7 Với giá trò nào của m thì : y = () [ ] mmx2x1mlog 2 2 2 −−+ có tập nghiệm xác đònh là R. Giải Yêu cầu đầu bài cho ta (m + 1)x 2 – 2mx – m > 0 (*) , ∀x ∈ R • m = -1 : 0.x 2 + 2x + 1 > 0 ⇔ x > - 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +∞− , 2 1 ⊂ R nên không thỏa yêu cầu (*) đúng ∀x ∈ R. • m ≠ -1 (*) ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ >+ <∆ 01m 0' ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −> <++ 1m 01mm 2 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ −> ∅∈ 1m m ⇔ m ∈ ∅ Kết luận : m ∈ ∅ Bài 8 Giải bất phương trình : ( ) 8exxe8x 1x21x4 −>− −− (Đại Học Xây Dựng 2001) Giải ( ) 8exxe8x 1x21x4 −>− −− ⇔ x(x 3 + 8) – e x-1 (x 3 + 8) > 0 ⇔ (x 3 + 8) (x – e x-1 ) > 0 (*) Xét hàm số : f(x) = x – e x-1 f’(x) = 1 – e x-1 = 0 ⇔ x = 1 Bảng biến thiên : x -∞ 1 +∞ f’(x) + 0 - f(x) 0 - ∞ +∞ Bảng biến thiên cho : f(x) ≤ 0 ; ∀x ∈ R (f(x)=0⇔x=1) Dể thấy x = 1 không thỏa (*) Vậy : f(x) < 0 ∀x ≠ 1 . Khi đó : (*) ⇔ x 3 + 8 < 0 ⇔ x < -2 127 Bài 9 Tìm m sao cho bất phương trình sau đây được nghiệm đúng với mọi x log m (x 2 – 2x + m + 1) > 0 (Đại học Đà Nẳng ) Giải Ta có : Log m (x 2 – 2x + m + 1) > 0 ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ <++− > ⎩ ⎨ ⎧ <++− << 11mx2x 1m 11mx2x 1m0 2 2 ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ >+− > ⎩ ⎨ ⎧ <+− << )2( 0mx2x 1m )1( 0mx2x 1m0 2 2 Xét (1) : ta thấy x 2 –2x +m < 0 không thể xảy ra vơi mọi x Xét (2) :x 2 – 2x + m > 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc R ⇔ '∆ < 0 ⇔ 1 – m < 0 ⇔ m >1 Vậy: m > 1 thì bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x. Bài 10 Tìm tất cả các giá trò của x thoả x > 1 nghiệm đúng bất phương trình sau : 2 2( ) log ( 1) 1 xx m xm + +−<với mọi giá trò của m : 0 < m ≤ 4 (Đại học Giao thông vận tải ) Giải Vì x > 1 ⇒ 2(x 2 + x) > 4 ; cùng với 0 < m ≤ 4 ⇒ m )xx(2 2 + > 1 x + m – 1 > 0. Bất phương trình đã cho được viết thành : 128 x+ m –1 < m )xx(2 2 ++ ⇔ 2x 2 + (2 – m) x – m 2 + m > 0 ⇔ (x – m + 1) (2x + m) > 0 ⇔ x > m – 1 ( vì 2x + m > 0) Vì x > 1 0 < m ≤ 4 ⇒ x > 3 Bài 10 Giải bất phương trình : 2 x + 2 3-x ≤ 9 (Đại học Kỹ thuật công nghệ thành phố Hồ Chí Minh , khối A năm1998 – 1999) Giải Đặt t = 2 x với t > 0 ta được : t 2 – 9t + 8 = 0 Tam thức bậc hai theo t ấy có 2 nghiệm là 1 8 .Tam thức ấy âm khi chỉ khi 1 ≤ t ≤ 8 Từ đó suy ra nghiệm của bất phương trình là 0 ≤ x ≤ 3 Bài 11 a) Giải bất phương trình 2 2x+1 – 9.2 x + 4 ≤ 0 (1) b) Đònh m để mọi nghiệm của bất phương trình (1) cũng là nghiệm của bất phương trình : (m 2 + 1)x + m(x + 3) + 1 > 0 (Đại học An ninh – Đại học cảnh sát , khối G năm 1998 – 1999) Giải a) Ta có : 2 2x+1 – 9.2 x + 4 ≤ 0 (1) ⇔ 2.2 2x = 9.2 x + 4 ≤ 0 Đặt t = 2 x > 0 , ta sẽ có : (1) ⇔ 2t 2 – 9t + 4 ≤ 0 Nghiệm của tam thức theo t là 2 1 4. Tam thức âm hoặc bằng 0 khi : 2 1 ≤ t ≤ 4 Do đó ta có : 2 1 ≤ 2 x ≤ 4 hay 2 -1 ≤ 2 x ≤ 2 2 Đáp số : –1 ≤ x ≤ 2 b) (m 2 + 1)x + m(x + 3) + 1 > 0 (2) 129 ⇔ (m 2 + m + 1)x + 3m + 1 > 0 Đặt f(x) = (m 2 + m + 1)x + 3m + 1 Mọi nghiệm của (1) là nghiệm của (2) khi chỉ khi f(x) > 0, ∀x ∈ [-1 , 2] ⇔ ( ) () ⎩ ⎨ ⎧ > >− 02 01 f f ⇔ 0 < m < 2 Đáp số : 0 < m < 2 Bài 12 Giải bất phương trình : 3 1 6 5 log 3 −≥ − x x x (Đại học An ninh – Đại học cảnh sát , khối A năm 1998 – 1999) Giải Ta phải có điều kiện x > 0 x ≠ 1 3 1 6 5 log 3 −≥ − x x x = x x 1 log 3 (1) Trường hợp 0 < x < 1 (1) ⇔ xx x 1 6 5 ≤ − ⇔ ⏐5 - x⏐ ≤ 6 ⇔ x ≥ -1 ⇔ 0 < x < 1 (vì 0 < x ≠ 1) Trường hợp x > 1 (1) ⇔ ⏐x - 5⏐ ≥ 6 ⇔ ⎢ ⎣ ⎡ ≥ −≤ 11 1 x x Do đó ta có 0 < x < 1 hay x ≥ 11 Bài 13 Tìm tham số a sao cho 2 bất phương trình sau đây tương đương : ( ) () ⎩ ⎨ ⎧ >+−+ >+−− 021 031 axa axa (Cao đẳng Hải quan năm 1998) Giải Xét a = -1. Hai bất phương trình đã cho sẽ có dạng –2x > -4 ; Ox > -3 . Hai bất phương trình ấy không tương đương 130 Xét a > 1 : Nghiệm của bất phương trình thứ nhất là x > 1 3 − − a a nghiệm của bất phương tình thứ hai là x > 1 2 + − a a Muốn cho 2 bất phương trình đó tương đương thì phải có : 1 2 1 3 + − = − − a a a a ⇒ a = 5 Bằng cách tương tự khi a < -1 hay –1 < a < 1 ta có hai phương trình không tương đương . Kết luận : Hai bất phương trình tương đương khi a = 5 Bài 14 Giải bất phương trình : log 2 x + log 3 x < 1 + log 2 x.log 3 x (Đại học ngoại thương , khối A năm 1998 – CSII) Giải Bất phương trình tương đương với : log 2 x(1 – log 3 x) – (1 - log 3 x) < 0 ; (x > 0) ⇔ (1 - log 3 x)(log 2 x – 1) < 0 Có thể xảy ra 2 trường hợp : • ⎩ ⎨ ⎧ <− >− 01log 0log1 2 3 x x ⇔ 0 < x < 2 • ⎩ ⎨ ⎧ >− <− 01log 0log1 2 3 x x ⇔ x > 3 Vậy nghiệm của bất phương trình là : ⎢ ⎣ ⎡ > << 3 20 x x [...]... 35 Cho bất phương trình : x 2 − (3 + m) x + 3m ≤ ( x − m) log 1 x 2 1 Chứng minh rằng với m = 2 thì bất phương trình vô nghiệm 2 Giải biện luận bất phương trình theo m (Đề Đại Học Kinh Tế Quốc Dân Hà Nội ) Giải 1-\ Với m = 2 , bất phương trình có dạng : x 2 − 5x + 6 < ( x − 2) log 1 x 2 ⇔ (x – 2)( x – 3) < (x – 2) log 1 x ⇔ (x – 2)(x + log2 – 3) < 0 2 * Nếu x – 2 = 0 ⇔ x = 2 bất phương trình vô... Giải bất phương trình : log2 log2 (x 2 (x 2 ) + 3 − x 2 − 1 + 2 log 2 x ≤ 0 Giải ) + 3 − x 2 − 1 + 2 log 2 x ≤ 0 ⎧ x2 + 3 − x2 −1 > 0 ⎪ ⎪x > 0 ⎩ Điều kiện của nghiệm: ⎨ Khi đó : log2x < 0 ⇒ log2 (x 2 ⇔ 0 0 (1) 1-\ Giải bất. .. luận : nghiệm bất phương trình là : 0 < x < ; 1 < x < ; x > 5 2 2 Bài 36 t2 −1 ≥ t – m (1) t+2 1 Giải bất phng trình khi m = 1 2 Tìm m để bất phng trình (1) nghiệm đúng với mọi t ≥ 0 (Đề Đại Học Quốc Gia TP HC M ) Giải 1 Bất phng trình có dạng : t2 −1 ⎛ t +1 ⎞ ≥ t–1⇔ (t–1)⇔ ⎜ − 1⎟ ≥ 0 t+2 ⎝t+2 ⎠ ⎛ −1 ⎞ ⇔ ( t − 1)⎜ ⎟ ≥ 0 ⇔ −2 0 Điều kiện : ⎨ 2 ⇔ x 0 Khi đó : log2 (3 – x) > log2 (3 – 1) > 0 Phương trình đã cho ⇔ log 2 ( x 2 − 9x + 8 ) < 2log2 (3 – x) 1 ⇔ x2 –9x +8 < (3 – x)2 ⇔ x > − 3 1 Đáp số : − < x < 1 3 150 Bài 42 Cho bất phương trình (a + 2) x − a ≥ x + 1 (1) 1 Giải bất phương trình. .. [1 , 4] g(x) = 4x2 – 4x + (5 – 2m) có g’(x) = 8x – 4 > 0 ∀x ∈ [1 , 4] Nên f(x) g(x) tăng ngặt trên [1 , 4] ⎧ f (1) = 5 + 2m ≥ 0 5 5 ⇔ − ≤m≤ 2 2 ⎩ g (1) = 5 − 2m ≥ 0 ⇒ (4) ⇔ ⎨ ⎡ 5 5⎤ ; , mọi nghiệm của (2) đều là nghiệm của (3) ⎣ 2 2⎥ ⎦ Vậy với m ∈ ⎢− 153 Bài 45 Cho bất phương trình 9x – 5m.6x + 3m.4x > 0 a) Giải bất phương trình trên khi m = 2 b) Với giá trò nào của m thì bất phương trình nghiệm... nghiệm y1 ; y2 thoả y1 ≤ 0 < 1 < y2 ⎧f (0) ≤ 0 ⎩f (1) < 0 ⇔ ⎨ ⎧− m ≤ 0 ⎩− 2m + 24 < 0 ⇔ ⎨ ⇔ m > 12 131 Bài 16 1 Giải bất phương trình : log 2 ( x − 5) + 3 log 5 5 ( x − 5) + 6 log 1 ( x − 5) − 4 log 25 ( x − 5) + 2 ≤ 0 1 5 25 2 Với giá trò nào của m thì bất phương trình trên bất phương trình sau: (x – m)(x – 35) ≥ 0 chỉ có một nghiệm chung duy nhất Giải 2 1/ log1 (x − 5) + 3log5 5 (x − 5) + 6 log... cho mọi nghiệm của bất phương trình trên cũng là nghiệm của bất phương trình sau : 1 + log5(x2 + 1) + log 1 (x2 + 4x + 2m) > 0 (2) 5 (Đại học tài chính kế toán Hà Nội , năm 1998 – 1999) Giải a) Điều kiện x ≥ 0 x +4 x Ta có : (1) ⇔ 8.3 ⇔ 8.3 4 x− x ( Đặt t = 3 4 + 9.3 2 ( x− x 4 + 32 x− x) 4 x +2 ≥ 32 ( ≥1 ⇔ 9 3 x 4 x− x Do đó ta có : 4 x− x 2 4 x− x −1 ≥ 0 ) Thay vào bất phương trình trên ta được 9t2... (1) vô nghiệm (không thoả điều kiện ); 1 11 (2) cho ta < x < −1 + 2 3 1 11 KL: nghiệm bất phương trình đã cho là: < x < −1 + 2 3 143 Bài 34 ( x − 2) log 2 4( x − 2 ) = 2 α ( x − 2) 3 Cho phương trình : 1 Giải phương trình với α = 2 2 Xác đònh α để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả mãn : 5 5 ≤ x 1 ≤ 1 ≤ x2 ≤1 2 2 (Đề Đại Học Kiến Trúc Hà N ội ) Giải log 2 4 ( x − 2 ) α 3 ( x − 2) =... 5 Bài 46 Cho bất phương trình : 9x – 2(m + 1).3x – 2m – 3 > 0 (1) , trong đó m là tham số thực Tìm tất cả giá trò của m để bất phương trình (1) luôn nghiệm đúng ∀x (Đại học Mỏ – Đòa chất , năm 1998) Giải x x 9 – 2(m + 1)3 – 2m – 3 > 0 ⇔ (3x)2 – 2(m + 1)3x – 2m – 3 > 0 ⇔ (3x + 1)(3x – 2m – 3) > 0 ⇔ 3x – 2m – 3 > 0 ⇔ 3x > 2m + 3 Do đó bất phương trình (1) luôn luôn đúng với mọi số x khi chỉ khi 2m
- Xem thêm -

Xem thêm: Bất phương trình logarit mũ và hệ bất phương trình logarit mũ, Bất phương trình logarit mũ và hệ bất phương trình logarit mũ, Bất phương trình logarit mũ và hệ bất phương trình logarit mũ

Từ khóa liên quan

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay