Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền 1 Phần I: giới thiệu đề tài: A.Lý do chọn đề tài: Giải toán là một nghệ thuật thực hành;giống nh bơi lội,trợt tuyết,hay chơi đàn Vì vậy để có kỹ năng giải bài tập phải qua quá trình luyện tập .Tuy rằng,không phải là cứ giải bài tập là có kỹ năng.Việc luyện tập sẽ có hiệu quả,nếu nh biết khéo léo khai thác từ một bài tập sang một loạt bài tập tơng tự,nhằm vận dụng một tính chất nào đó,nhằm rèn luyện một phơng pháp chứng minh nào đó. Thực tiễn cho thấy học sinh thờng học toán không chú ý đến phơng pháp giải nên khi gặp những bài toán có sử dụng phơng pháp tơng tự gặp nhiều lúng túng. Vậy không ngoài tâm huyết với các em học sinh,niềm đam mê dành cho bộ môn toán học và sự mong muốn nâng cao chất lợng tôi đ tiến hành học tập tích luỹ soạn ra đề tài này. B.nhiệm vụ: +Cơ sở lý luận của đề tài: việc khai thác bài tập toán có ý nghĩa hay không? +Vận dụng lý luận vào thực tiễn: khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 C.Phơng pháp nghiên cứu: +phơng pháp nghiên cứu thực tiễn,lý thuyết +phơng pháp tổng kết kinh nghiệm +phơng pháp thực nghiệm s phạm D.Giới hạn đề tài và mục đích nghiên cứu: -Giới hạn đề tài khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8:áp dụng để dạy học sinh lớp 6,7,8 -Mục đích đề tài:Phục vụ cho công tác bồi dỡng các khối 6,7,8 và làm tài liệu tự học cho các em giúp các em tìm cho mình phơng pháp học tập tích cực. Phần 2: nội dung A.Cơ sở lý luận của đề tài: Giải bài tập toán là quá trình suy luận,nhằm khám phá ra quan hệ lôgic giữa cái đ cho (giả thiết) với cái phải tìm (.kết luận).Nhng các quy tắc suy luận,cũng nh các phơng pháp chứng minh cha đợc dạy tờng minh.Do đó,học sinh thờng gặp nhiều khó khăn khi giải bài tập.Thực tiễn dạy học cũng cho thấy:HS khá giỏi thờng đúc kết những tri thức,phơng pháp cần thiết cho mình bằng con đờng kinh nghiệm;cònHS trung bình ,yếu, kém gặp nhiều lúng túng.Để có kĩ năng giải bài tập phải qua quá trình luyện tập.Tuy rằng,không phải cứ giải nhiều bài tập là có nhiều kĩ năng.Việc luyên tập sẽ có nhiều hiệu quả,nếu nh biết khéo léo khai thác từ một bài tập sang một loạt bài tập tơng tự,nhằm vận dụng Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền 2 một tính chất nào đó,nhằm rèn luyện một phơng pháp chứng minh nàođó. Quan sát đặc điểm bài toán,khái quát đặc điểm đề mục là vô cùng quan trọng,song quan trọng hơn là sự khái quát hớng suy nghĩ và phơng pháp giải.Sự thực là khi giải bài tập thì không chỉ là giải một vấn đề cụ thể mà là giải đề bài trong một loạt vấn đề nào đó.Do đó hớng suy nghĩ và phơng pháp giải bài tập cũng nhất định có một ý nghĩa chung nào đó.Nếu ta chú ý từ đó mà khái quát đợc hớng suy nghĩ và cách giải của vấn đề nào đó là gì thì ta sẽ có thể dùng nó để chỉ đạo giải vấn đề cùng loại và sẽ mở rộng ra.Nhà toán học Đềcác nói rất đúng rằng: Mỗi vấn đề mà tôi giải quyết đều sẽ trở thành ví dụ mẫu mực dùng để giải quyết vấn đề khác.Do đó sau khi giải một bài toán nên chú ý khai thác hớng suy nghĩ và cách giải. B.Vận dụng lý luận vào thực tiễn: xét bài toán 28 trang 21 sách bài tập toán 8 tập 1: a.Chứng minh: )1( 1 1 11 + = + xxxx (1) b.Đố: Đố em tính nhẩm đợc tổng sau: )5)(4( 1 )4)(3( 1 )3)(2( 1 )2)(1( 1 )1( 1 ++ + ++ + ++ + ++ + + xxxxxxxxxx -Hớng dẫn:a.Biến đổi vế trái thành vế phải : )1( 1 )1( 1 1 11 + = + + = + xxxx xx xx b.Xét đặc điểm đẳng thức ở câu a:VP có mẫu là 1tích 2biểu thức cách nhau 1;1 chính là tử thì có )1( 1 1 11 + = + xxxx .Tơng tự với đặc điểm nh VP ở câu a;ta có: )5)(4( 1 )4)(3( 1 )3)(2( 1 )2)(1( 1 )1( 1 ++ + ++ + ++ + ++ + + xxxxxxxxxx + 5 1 + x = x x x x x x x x x x x x 1 5 1 5 1 4 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 11 = + + + + + + + + + + + + + + + -Cách phát biểu khác của bài toán: a.Viết phân thức )1( 1 +xx thành hiệu của hai phân thức có tử bàng 1 b.Vận dụng kết quả câu a,hy rút gọn biểu thức sau: )5)(4( 1 )4)(3( 1 )3)(2( 1 )2)(1( 1 )1( 1 ++ + ++ + ++ + ++ + + xxxxxxxxxx + 5 1 + x I.khai thác ứng dụng bài 28 trong tính toán;trong toán rút gọn;toán chứng minh đẳng thức: Từ(1),nếu thay x=1 thì ta có các bài toán sau: Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền 3 Bài1:Tính: a. 100 . 99 1 6 . 5 1 5 . 4 1 4 . 3 1 3 . 2 1 2 1 ++++++ Hớng dẫn : 100 . 99 1 6 . 5 1 5 . 4 1 4 . 3 1 3 . 2 1 2 1 ++++++ = 100 99 100 1 1 100 1 99 1 5 1 4 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 ==+++++ + Từ đó có bài toán tổng quát :b.Tính tổng )1( 1 4.3 1 3.2 1 2 1 + ++++ nn với n 1 Hớng dẫn:tơng tự câu a;ta có kết quả là:1- 1 1 1 + = + n n n *)Nhận xét đặc điểm mẫu các phân thức để từ đó ta có các dạng bài toán khác:các hạng tử trong tổng trên đều là những phân thức có dạng:mẫu là một tích 2nhân tử cách nhau 1 đơn vị chính bằng tử.Vậy mẫu là tích 2nhân tử cách nhau 2 hay 3 hay 4thì giải bài toán nh thế nào?chẳng hạn: Bài2 :Tính tổng: a. 2007 . 2005 1 7 . 5 1 5 . 3 1 3 . 1 1 ++++ b. 1 1 1 1 2.5 5.8 8.11 (3n 2)(3n 5) + + + + + + với n 0 Hớng dẫn :a.Viết mỗi hạng tử trong tổng dới dạng hiệu 2phân thức: ) 2007 1 2005 1 ( 2 1 2007 . 2005 1 ); 7 1 5 1 ( 2 1 7 . 5 1 ); 5 1 3 1 ( 2 1 5 . 3 1 ); 3 1 1 1 ( 2 1 3 . 1 1 ==== .Vậy 2007 . 2005 1 7 . 5 1 5 . 3 1 3 . 1 1 ++++ = 2007 1003 ) 2007 1 1( 2 1 ) 2007 1 2005 1 7 1 5 1 5 1 3 1 3 1 1 1 ( 2 1 ==++++ b.Phơng pháp làm tơng tự nh câu a. Xét hạng tử tổng quát: 1 1 1 1 ( ) (3n 2)(3n 5) 3 3n 2 3n 5 = + + + + nên ta có: 1 1 1 1 2.5 5.8 8.11 (3n 2)(3n 5) + + + + + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n 1 ( ) ( ) 3 2 5 5 8 8 11 3n 2 3n 5 3 2 3n 5 3n 5 + + + + + = = + + + + +Tơng tự nh vậy có thể đề xuất một loạt bài toán cùng loại và giải quyết với cùng phơng pháp. *)Chú ý đến đặc điểm tử và mẫu các phân thức ta có bài toán tổng quát hơn:tử là một số(biểu thức) bất kỳ,mẫu là tích của 2 số(biểu thức) cách đều nhau thì giải quyết bài toán nh thế nào?chẳng hạn: Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền 4 Bài3:Tính tổng: a. 100 . 98 5 10 . 8 5 8 . 6 5 6 . 4 5 4 . 2 5 +++++ b. + + + + 1 2 2 3 3 4 k k 1 n n n n a a a a a a a a với + = = = = 2 1 3 2 4 3 k 1 k a a a a a a a a =b Hớng dẫn :a.Phơng pháp làm:viết các hạng tử trong tổng dới dạng hiệu(tơng tự bài 2) ) 100 1 98 1 ( 2 5 100 . 98 5 ); ; 8 1 6 1 ( 2 5 8 . 6 5 ); 6 1 4 1 ( 2 5 6 . 4 5 ); 4 1 2 1 ( 2 5 4 . 2 5 ==== do đó: 100 . 98 5 10 . 8 5 8 . 6 5 6 . 4 5 4 . 2 5 +++++ = ) 100 1 98 1 8 1 6 1 6 1 4 1 4 1 2 1 ( 2 5 ++++ = = 20 49 ) 100 1 2 1 ( 2 5 = b.Phơng pháp làm tơng tự câu a.Đây chính là bài toán tổng quát rút ra từ các bài toán trên.Vậy ta xét các trờng hợp sau: +Trờng hợp 1:Nếu + = = = = 2 1 3 2 4 3 k 1 k a a a a a a a a =n Bài toán này giải đợc dễ dàng theo cách phân tích của bài 1 vì khi đó: = 1 2 1 2 n 1 1 a a a a . + + = k k 1 k k 1 n 1 1 a a a a Cộng từng vế ta có: 1 2 2 3 3 4 k k 1 n n n n a .a a .a a .a a .a + + + + = k k 1 1 1 a a + +Trờng hợp 2:Nếu + = = = = 2 1 3 2 4 3 k 1 k a a a a a a a a = b n Ta có 1 2 2 3 3 4 k k 1 n n n n a .a a .a a .a a .a + + + + = n ( b 1 2 2 3 3 4 k k 1 b b b b ) a .a a .a a .a a .a + + + + + Bài toán này thực chất đ đa về dạng bài 2;bài3.Do đó ta có kết quả là k k 1 n 1 1 ( ) b a a + -Nếu mẫu là tích của 3 số tự nhiên cách đều nhau thì sao?Từ đó ta có các bài toán khó hơn : Bài4 :Tính tổng :A= 1 1 1 1 1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n 1).n.(n 1) + + + + + với n 1 ,n N B= 1 1 1 1 1.3.5 3.5.7 5.7.9 (2n 1)(2n 1)(2n 3) + + + + + + với n 2; nN Hớng dẫn : Phơng pháp giải tơng tự nh các bài trên:viết các hạng tử dới dạng hiệu. Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền 5 Nhận xét: 2 1 1 (n 1)n(n 1) (n 1).n n.(n 1) = + + Do đó ta có: A= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 1.2 2.3 2.3 3.4 (n 1).n n.(n 1) 2 2 n.(n 1) + + + = + + Nhận xét: 4 1 1 (2n 1)(2n 1)(2n 3) (2n 1)(2n 1) (2n 1)(2n 3) = + + + + + Do đó ta có: B = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 4 1.3 3.5 3.5 5.7 5.7 7.9 (2n 1)(2n 1) (2n 1)(2n 3) + + + + + + + = 1 1 1 ( ) 4 3 (2n 1)(2n 3) + + *)Nhận xét: Từ (1) ta có đẳng thức tổng quát hơn: 1 1 b a a b a.b = với a 0;0 b thì việc áp dụng ngợc công thức trên trong thực tế đợc sử dụng rất nhiều. Chẳng hạn với bài toán sau: Bài 5 : Cho biết a,b,c là các số thực khác nhau.Chứng minh: b c c a a b 2 2 2 (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) a b b c c a + + = + + Hớng dẫn: Đối với đề này nếu dùng cách hoà đồng mẫu số vế trái để chứng minh thì quá trình tính phức tạp.Có cách gì ngắn gọn không?Quan sát các số hạng ở vế trái ta thấy tử số vừa đúng bằng hiệu của 2 thừa số ở mẫu số: b-c=(a-c)-(a-b);c-a=(b-a)-(b-c);a-b=(c-b)-(c-a).Điều đó gợi cho ta nhớ đến dùng ngợc công thức b a 1 1 a.b a b = tức b c 1 1 . (a b)(a c) a b a c = Do đó: b c c a a b 1 1 1 1 1 1 (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) a b a c b c b a c a c b + + = + + = 1 1 1 1 1 1 2 2 2 a b c a b c a b c a b c a b b c c a + + + + + = + + (ĐPCM) *)Chú ý đến mẫu: nếu ta thay x.(x+1)= 2 x x + ; (x+1)(x+2)= 2 x 3x 2 + + ;.ta sẽ có các bài toán luyện cho học sinh kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử: Bài6 :Rút gọn các biêủ thức sau: a. M= 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 x x x 3x 2 x 5x 6 x 7x 12 x 9x 20 + + + + + + + + + + + + + b. N= 2 2 2 2 1 1 1 1 x 5x 6 x 7x 12 x 9x 20 x 11x 30 + + + + + + + Hớng dẫn :a.Để rút gọn M cần phân tích các mẫu thành nhân tử Ta có: 2 x +x = x(x+1); 2 2 x 3x 2 x x 2x 2 + + = + + + = (x+1)(x+2); 2 2 x 5x 6 x 2x 3x 6 + + = + + + = (x+2)(x+3); 2 2 x 7x 12 x 3x 4x 12 + + = + + + =(x+3)(x+4); 2 2 x 9x 20 x 4x 5x 20 + + = + + + =(x+4)(x+5) Do đó: Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền 6 M= 1 1 1 1 1 (x 1)x (x 1)(x 2) (x 2)(x 3) (x 3)(x 4) (x 4)(x 5) + + + + + + + + + + + + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 x 5 + + + + + + + + + + + + + = 1 1 5 x x 5 x(x 5) = + + b.Tơng tự ta có: N= 1 1 1 1 (x 2)(x 3) (x 3)(x 4) (x 4)(x 5) (x 5)(x 6) + + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 x 5 x 5 x 6 + + + = 1 1 4 x 2 x 6 (x 2)(x 6) = Bài 7: Rút gọn: a.K= 2 2 2 2 2 2 2 a a a a 1 x a.x x 3a.x 2a x 5.a.x 6a x 7.a.x 12a x 4a + + + + + + + + + + + + b.H= 2 2 2 2 2 2 2 a a a a 1 x ax x 3ax 2a x 5ax 6a x 19ax 90a x 10a + + + + + + + + + + + + + Hớng dẫn : a.K= a a a a 1 x(x a) (x a)(x 2a) (x 2a)(x 3a) (x 3a)(x 4a) x 4a + + + + + + + + + + + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x a x a x 2a x 2a x 3a x 3a x 4a x 4a + + + + + + + + + + + + = x 1 b.H= a a a a 1 x(x a) (x a)(x 2a) (x 2a)(x 3a) (x 3a)(x 4a) x 4a + + + + + + + + + + + + - 1 a 1 x 5a (x 9a)(x 10a) x 10a + + + + + + + H== 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x a x a x 2a x 2a x 3a x 3a x 4a x 4a + + + + + + + + + + + + - 1 1 1 1 x 5a x 9a x 10a x 10a + + + + + + + H= 1 x *)Xét biểu thức sau: 2 2 (x 1) x 2x 1 + = + nên ta có: 2 2 2 2 2x 1 1 1 x .(x 1) x (x 1) + = + + Do đó ta có bài toán sau: Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền 7 Bài8:Rút gọn biểu thức sau: A= 2 2 2 3 5 2x 1 (1.2) (2.3) [x(x 1)] + + + + + Hớng dẫn: -Nhận xét: 2 2 2 2 2x 1 1 1 x .(x 1) x (x 1) + = + + nên ta có: A= 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 x (x 1) + + + + + =1- 2 1 ( x 1) + = 2 x (x 2 ) (x 1) + + II.khai thác các ứng dụng bài 28 trong chứng minh bất đẳng thức: Bài9 :Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 1 : a.A = 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 4 6 8 (2n) 2 + + + + + < b.B = 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 5 7 (2n 1) 4 + + + + < + Hớng dẫn : a.Nhận xét: 2 2 1 1 1 . (2 n ) 4 n = < 1 1 . 4 ( n 1).n mà 1 1 1 (n 1).n n 1 n = nên ta có: A= 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 4 6 8 (2n) 4 1 2 3 n + + + + + = + + + + nên A< 1 1 1 1 1 (1 4 1.2 2.3 3.4 (n 1).n + + + + + ) hay A< 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 1 ) 4 2 2 3 3 4 n 1 n + + + + + hay A< 1 1 (1 1 ) 4 n + hay A < 1 1 2 4n hay A< 2 1 (ĐPCM) b.Nhận xét: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) (2n 1) (2n 1) 1 (2n 1) 2n.(2n 2) (2n 1) 2 2n 2n 2 < < < + + + + + + nên ta có: B < 2 2 2 2 1 1 1 1 3 1 5 1 7 1 (2n 1) 1 + + + + + hay B < 1 1 1 1 4.2 4.6 6.8 2n(2n 2) + + + + + hay Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền 8 B < 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 2 4 4 6 6 8 2n 2n 2 + + + + + hay B < 1 1 1 1 1 1 ( ) B B 2 2 2n 2 4 4(n 1) 4 < < + + (ĐPCM) Bài10 :Chứng minh với n nguyên,n>1 thì: A= 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 3 n n + + + + < Hớng dẫn :Để áp dụng (1) cần sử dụng phơng pháp làm trội,tơng tự nh bài 9. -Nhận xét: Với k=2;3;4;;n ta có: 2 2 1 1 1 1 1 hay k (k 1).k k k 1 k < < (2) Lần lợt cho k=2;3;4;;n trong (2) rồi cộng lại vế theo vế ta đợc: A= 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 n 1 2 2 3 n 1 n + + + + + < + + + + hay A<2- n 1 (ĐPCM) -Từ bài 10 ta có thể ra bài tập sau: Bài11 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n;n 2 thì: B = 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 3 4 n + + + + < Hớng dẫn : áp dụng kết quả bài 10 ta có A<2- 1 n mà B = A-1 hay A = B+1 khi đó: B+1 < 2- 1 n hay B < 1- 1 n hay B < 1 (ĐPCM) Bài12 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n; n 2 thì: C = 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 3 4 n 3 + + + + < Hớng dẫn :Để áp dụng (1) cần sử dụng phơng pháp làm trội.Vậy vận dụng nó nh thế nào?có giống với bài 11 không?(với bài 11 thì cha đánh giá đợc C< 3 2 ).Hy xem nhận xét sau: 2 2 2 2 1 4 4 1 1 1 2( ) n 4n 4n 1 n 2n 1 2n 1 = < < + Do đó: C < 2( 1 1 1 1 1 1 ) 3 5 5 7 2n 1 2n 1 + + + + hay C < 1 1 2( 3 2n 1) + ) hay Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền 9 C < 3 2 (ĐPCM) Bài13 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n;n 2 ta có: D= 3 3 3 3 1 1 1 1 1 2 3 4 n 4 + + + + < Hớng dẫn :Để áp dụng (1) cần sử dụng phơng pháp làm trội.Vậy sử dụng nh thế nào?Hy xem nhận xét sau: 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 hay hay ( ) k k k k (k 1)k(k 1) k 2 (k 1)k k(k 1) < < < + + Do đó ta có: D< 3 3 3 1 1 1 2 2 3 3 n n + + + hayD< 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 1.2 2.3 2.3 3.4 (n 1)n n.(n 1) + + + + hay D< 1 1 1 ( ) 2 2 n(n 1) + hay D < 4 1 (ĐPCM) Bài14: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n;n 3 ta có: E= 3 3 3 3 1 1 1 1 1 3 4 5 n 12 + + + + < Hớng dẫn :Ta có: 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 hay hay ( ) n n n n (n 1)n(n 1) n 2 (n 1)n n(n 1) < < < + + Do đó : E < 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 2.3 3.4 3.4 4.5 (n 1)n n(n 1) + + + + hay E < 1 1 1 ( ) 2 2.3 n(n 1) + hay E < 12 1 (ĐPCM) Bài15 :Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n;n 2 ta có: H= 1 2 3 n 1 1 2! 3! 4! n! + + + + < Hớng dẫn :Ta có: n 1 1 1 n! (n 1)! n! = Do đó: H=1- 1 1 1 1 1 2! 2! 3! (n 1)! n! + + + hay H=1- 1 n! hay H<1 (ĐPCM) Bài16:Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n ta có: Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền 10 K= 1 5 11 2! 3! 4! + + + .+ 2 n n 1 n! + <2 Hớng dẫn:Ta có: 2 n n 1 n(n 1) 1 1 1 (n 1)! (n 1)! (n 1)! (n 1)! (n 1)! + + = = + + + + Do đó K= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2! 1! 3! 2! 4! 3! 5! (n 1)! (n 1)! + + + + + + hay K= 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 2! 1! 2! 3! (n 1)! 3! (n 1)! + + + + + + + + + hay K= 1 1 1 1 1 2! 1! 2! n! (n 1)! + + + hay K = 2- 1 1 n! (n 1)! + Vậy K < 2 (ĐPCM) Bài17: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n ta có: M= 2 2 3 5 7 2n 1 1 4 36 144 n .(n 1) + + + + + < + Hớng dẫn:Ta có: 2 2 2 2 2n 1 1 1 n .(n 1) n (n 1) + = + + Do đó: M= 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 n (n 1) (n 1) + + + = + + <1 (ĐPCM) Bài18:Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: N= 2 2 1 1 1 1 9 5 13 25 n (n 1) 20 + + + + < + + Hớng dẫn:Ta có: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 . ( ) k (k 1) 2k 2k 1 2 k(k 1) 2 k k 1 = < = + + + + + + Với k=2: ) 3 1 2 1 ( 2 1 13 1 < k=3: ) 4 1 3 1 ( 2 1 25 1 < . k = n: 2 2 1 1 1 1 ( ) n (n 1) 2 n n 1 < + + + Do đó N< 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 5 2 2 3 3 4 n n 1 + + + + + hay N< 1 1 1 1 ( ) 5 2 2 n 1 + + hay N< 1 1 9 hayN 5 4 20 + < (ĐPCM) [...].. .Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 III .khai thác các ứng dụng b i 28 trong giải phơng trình,bất phơng trình: B i19:Giải phơng trình: a.( 1 1 1 1 1 1 + + + ).x = + + + 1.101 2.102 10.110 11 2.12 100.110 b.( 1 1 1 1 1 48 98 + + + + ).(x 2) + x = x 1.3 3.5 5.7 97.99 99 99 1 3 1 1 1 2007 + + = x(x + 1) 2009... 1 1 49 = (1 ) = Khi đó ta có: 2 99 99 49 1 48 98 hay 49(x-2)+99x=148x- 98 hay ( x 2) + x = x 99 99 99 49x+99x-148x=0 hay 0.x=0 hay x R 2007 1 1 1 1 = c + + + + hay x( x + 1) 2009 3 6 10 2 Hớng dẫn:a.Xét 2 2 2 2 2007 + + + + = 2.3 3.4 4.5 x(x + 1) 2009 1 1 1 1 1 1 1 1 2007 )= 2( + + + + 2 3 3 4 4 5 x x + 1 2009 1 1 2007 2 2007 2 2 )= = 2( 1 x=20 08( thoả m n = 2 x + 1 2009 x + 1 2009 x + 1... nghị: B i 1:Tính các tổng sau: a 1 1 1 1 + + + + 1.5 5.9 9.13 (4n 3)(4n + 1) 1 1 1 + + + 4.5 5.6 (n + 3)(n + 4) 7 7 7 1 + + + + c 1 .8 8.15 (7n 6)(7n + 1) 7n + 1 b Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền 13 Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 1 1 1 1 + + + + 2.5 5 .8 8.11 (3n + 2)(3n + 5) B i 2:Rút gọn các biểu thức sau: 2 2 2 2 + + + a (x + 1)(x + 2) (x + 2)(x + 3) (x + 3)(x + 4) x + 4 d 1 1 1 1 1... x= : =5 10 50 a.( B i22:Giải các phơng trình sau: 1 1 1 + 2 = a 2 x + 4x + 3 x + 8x + 15 6 1 2 3 6 + 2 + 2 = b 2 x 5x + 6 x 8x + 15 x 13x + 40 5 1 1 1 + 2 = x + 9x + 20 x + 13x + 42 18 1 1 1 1 1 + 2 + 2 + + 2 = d 2 x + 3x + 2 x + 5x + 6 x + 7x + 12 x + 15x + 56 14 c 2 Hớng dẫn: a.Nhận xét: x 2 +4x+3=(x+1)(x+3) x 2 +8x+15=(x+3)(x+5) ĐKXĐ:x 1;x 3;x 5 1 1 1 + = (x + 1)(x + 3) (x + 3)(x + 5) 6 1... +8x+15=(x+3)(x+5) ĐKXĐ:x 1;x 3;x 5 1 1 1 + = (x + 1)(x + 3) (x + 3)(x + 5) 6 1 1 1 1 1 1 + )= ( 2 x +1 x + 3 x + 3 x + 5 6 PT đ cho đợc viết: Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền 12 Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 1 1 1 1 ( )= 2 x +1 x + 5 6 3(x + 5 x 1) = (x + 1)(x + 5) 2 2 (x + 3) = 4 x+3=4 hoặc x+3=-4 x=1 hoặc x=-7 (thoả m n ĐKXĐ) *)Các câu b;c;d phơng pháp l m ho n to n tơng tự... 2007 )= 2( + + + + 2 3 3 4 4 5 x x + 1 2009 1 1 2007 2 2007 2 2 )= = 2( 1 x=20 08( thoả m n = 2 x + 1 2009 x + 1 2009 x + 1 2009 x o; x 1 ) Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền 11 Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 B i21:Giải phơng trình: 1 1 1 1 1 9 + + + + )( x 1) + x = x 1 2 2 3 3 4 9.10 10 10 1 1 1 1 1 1 1 1 b.( ) + + + + )x = ( + + + + 1.51 2.52 3.53 10.60 1.11 2.12 3.13 50.60 1 1... nhất cần đề cập b i toán theo nhiều cách khác nhau,nghiên cứu kỹ ,khảo sát kỹ từng chi tiết v kết hợp các chi tiết của b i toán theo nhiều cách để mở rộng cho các b i toán khác.Đồng thời qua đó có thể khai thác các ứng dụng của một b i toán cơ bản v o giải quyết các b i toán cùng loại Hi vọng rằng với một số ví dụ tôi đa ra trong đề t i n y giúp các em học sinh sẽ biết cách l m chủ đợc kiến thức của... 1.2 2.3 99.100 2 50 200 1 1 1 1 + 2 + 2 = x + 3x + 2 x + 5x + 6 x + 7x + 12 6 B i 4:Chứng minh rằng với n l số nguyên dơng bất kỳ thì: 1 1 1 1 A= 2 + 2 + 2 + + 2 . ) 100 1 98 1 ( 2 5 100 . 98 5 ); ; 8 1 6 1 ( 2 5 8 . 6 5 ); 6 1 4 1 ( 2 5 6 . 4 5 ); 4 1 2 1 ( 2 5 4 . 2 5 ==== do đó: 100 . 98 5 10 . 8 5 8 . 6 5 6 . 4 5 4 . 2 5 +++++ = ) 100 1 98 1 8 1 6 1 6 1 4 1 4 1 2 1 ( 2 5 ++++ =. + + + c. 7 7 7 1 1 .8 8.15 (7n 6)(7n 1) 7n 1 + + + + + + Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền 14 d. 1 1 1 1 2.5 5 .8 8.11 (3n 2)(3n 5) + + +. 1 1 1 1 4.2 4.6 6 .8 2n(2n 2) + + + + + hay Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền 8 B < 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 2 4 4 6 6 8 2n 2n 2 + + + +