Phát tri n tính sáng t o cho h c sinh thơng qua gi i tốn b ng nhi u cỏch Phát triển tính sáng tạo cho học sinh thông qua giải toán nhiều cách I Lí DO CH N ð TÀI: Lu t giáo d c ñi u 24 kho n ñã ghi “Phương pháp giáo d c ph thơng ph i phát huy đư c tính tích c c, t giác, ch đ ng, sáng t o c a h c sinh; phù h p v i ñ c ñi m t ng l p h c, môn h c, b i dư ng phương pháp t h c, rèn luy n kĩ v n d ng ki n th c vào th c ti n, tác đ ng đ n tình c m ñem l i ni m vui, h ng thú h c t p cho h c sinh” Xu t phát t quan ñi m trên, ñ i v i m t trư ng tr ng ñi m ch t lư ng cao cơng tác b i dư ng h c sinh gi i ln v n đ ñư c ñ t lên hàng ñ u Trong trình b i dư ng h c sinh gi i, ñi u quan tr ng nh t cho em th y ñư c v ñ p c a Tốn h c, ph i phát huy đư c tính tích c c, ch đ ng, sáng t o cho h c sinh ð c bi t ñ i v i b mơn Tốn y u t sáng t o vơ c n thi t, khơng nh ng địi h i ph i n m ch c, v n d ng ki n th c b n làm t p sách giáo khoa sách t p, mà cịn u c u h c sinh khá, gi i ph i v n d ng t ng h p ki n th c nh m tìm đơn v ki n th c chưa có s n gi i Tốn h c sinh khơng ñư c t tho mãn v i phương pháp, cách gi i c a mà ph i đào sâu, suy nghĩ tìm phương pháp gi i t t Mu n có nhi u cách gi i cho m t tốn h c sinh c n ph i hi u tốn đó, nhìn tốn dư i nhi u góc đ khác nhau, s d ng t ng h p ñơn v ki n th c, bi t ch t l c, v n d ng sáng t o V a qua B Giáo d c ðào t o ñã t ch c cu c thi gi i toán qua m ng Internet cho h c sinh c p Ti u h c Trung h c s ðây cu c thi h t s c b ích ñ i v i em h c sinh giáo viên c nư c.Cu c thi ñã nh n đư c s đ ng tình r t l n nhân dân; nh t em h c sinh Là m t giáo viên d y b i dư ng cho h c sinh l p ơn luy n đ tham gia cu c thi c p t nh qu c gia, nh n th y m t ñi u r t nhi u khơng có m t d ng c th ho c n u có gi i theo d ng m t r t nhi u th i gian nên khơng đáp ng đư c u c u, tính ch t c a cu c thi Do v y s sáng t o v cách gi i cu c thi h t s c quan tr ng Nguy n Văn Chương Trư ng THCS Nguy n Hàm Ninh Trang Phát tri n tính sáng t o cho h c sinh thơng qua gi i toán b ng nhi u cách ð i v i công tác b i dư ng h c sinh gi i Tốn khơng nh ng làm cho em n m ch c ki n th c b n kh v n d ng vào d ng tốn mà u quan tr ng ngư i giáo viên c n ph i khơi d y ni m ñam mê h c tốn, phát huy đư c s đ c l p, tích c c, sáng t o cách h c tốn đ i v i em h c sinh ða s em h c sinh gi i m t toán nâng cao m t tốn v s h c, ð i s hay Hình h c em r t lúng túng vi c khơng bi t nên b t đ u t ñâu, v n d ng ki n th c gì, ð i v i m t tốn có th có nhi u cách gi i khác nhau, xu t phát t nh ng góc đ nhìn nh n c a m i em h c sinh kh v n d ng ki n th c mà đ n cách gi i cho m t toán ði u giúp em th y ñư c nét ñ p tốn h c, th y đư c nhi u cách gi i khác nhau, cách gi i hay hơn, làm cho em d hi u hơn, cách gi i cịn dài đ t em có s l a ch n cách gi i toán phù h p cho b n thân V i nh ng suy nghĩ vi t tác gi mong r ng s đóng góp m t ph n h t s c nh bé, nh m bư c ñ u t o cho em có cách c m nh n, sáng t o ngày u thích mơn Tốn hơn, th y đư c s mn màu c a Tốn h c không khô khan em v n thư ng ngh II Phạm vi đề tài bi vi t ny tác gi xin ñ c p ñ n ba lĩnh v c là: S h c, ð i s Hình h c v i tốn sơ c p Do khuôn kh vi t không dài nên m i lĩnh v c v y tác gi ch đưa m t ho c hai ví d v i nhi u cách gi i khác nhau, ch s d ng ki n th c c p trung h c s , có cách gi i dài, có cách gi i ng n, có cách gi i hay có cách gi i chưa hay, có cách gi i em h c sinh ñã bi t có cách gi i mà em chưa ñư c g p Song ñi u mà tác gi mong mu n em h c s nh không nên t tho mãn v i cách gi i c a mà ln ln trăn tr , tìm tịi suy nghĩ đ tìm cách gi i ñơn gi n hơn, ng n g n hơn, nh t ph i s n ph m c a b n thân em Cũng vi t ng n này, dù ví d khơng đ c p đ n tác gi r t mong em t nghĩ m t đ tốn khác, có th thay ñ i m t s y u t , sáng t o tốn khác, có nhi u cách gi i hay ð em tư ngày linh ho t hơn, h c gi i Nguy n Văn Chương Trư ng THCS Nguy n Hàm Ninh Trang Phát tri n tính sáng t o cho h c sinh thông qua gi i tốn b ng nhi u cách III Néi dung ®Ị tài III.1: Kh o sỏt th c t : ã Ưu m: Trư ng đóng đ a bàn th tr n nên ph huynh r t quan tâm ñ n vi c h c t p c a em mình, h c sinh có u ki n ñ mua s m lo i sách ph c v cho vi c h c t p c a b n thân Là m t trư ng tr ng ñi m ch t lư ng cao c a huy n, có b dày thành tích cơng tác d y h c, nh t mũi nh n h c sinh gi i nên ñư c s r t l n c a c p, ngành, ñ a phương, s chăm lo ñ u tư s v t ch t, chun mơn, đ i m i phương pháp d y h c c a Ban giám hi u nhà trư ng ñ i ngũ giáo viên có l c sư ph m v ng vàng, nhi t tình, ch t lư ng d y h c ñã ñư c kh ng ñ nh qua nhi u năm qua, ñ c bi t công tác b i dư ng h c sinh gi i ðây công vi c h t s c quan tr ng giai ño n ñào t o nhân tài cho ñ t nư c ða s em h c sinh c a trư ng ñ u thơng minh, chăm ngoan, h c gi i, có c mơ, hồi bão r t thu n l i cho công tác b i dư ng, phát huy kh trí tu cho em, đ c bi t mơn Tốn địi h i s sáng t o khơng ng ng • Như c m: Trong Tốn h c s bao hàm r t nhi u n i dung, d ng toán khác nhau, khơng có s h n ch d ng tốn; Các d ng tốn có th liên quan, hay liên quan m t thi t v i M t ngư i mu n tr nên gi i Tốn c n có m t tư ch t t t ngh l c vư t qua m i khó khăn q trình h c t p nghiên c u ða s h c sinh đ u có tâm lí “s ” Tốn ði u m t ph n s “địi h i” cao c a b mơn Tốn đ i v i h c sinh gi i, m t ph n tâm lí c a h c sinh khố trư c ðơi đ ng trư c m t tốn khơng có m t cách gi i t ng quát nào, h c sinh không bi t nên b t ñ u t ñâu Nh ng tốn th h u h t đ u ñư c gi i m t cách ñ c bi t Do n u khơng có s sáng t o cao cách gi i h c sinh r t khó đ h c t t mơn Toán ð ph n giúp em ngày “yêu toán” Trong vi t tác gi mu n thông qua nhi u cách gi i cho m t toán nh m ph n giúp Nguy n Văn Chương Trư ng THCS Nguy n Hàm Ninh Trang Phát tri n tính sáng t o cho h c sinh thông qua gi i toán b ng nhi u cách em h c sinh có “cái nhìn” đa chi u cách gi i cho m t tốn Th y đư c s lung linh di u kì r t c th c a Toán h c III.2: T l kh o sát năm h c 2007 - 2008 Trong năm h c 2007 - 2008 Ban giám hi u trư ng THCS Nguy n Hàm Ninh ñã ti n hành cho h c sinh l p 6; 7; 8; thi h c sinh gi i c p trư ng M t ñi u d nh n t cu c thi m s c a em thi h c sinh gi i Toán chưa cao S h c sinh ñ t ñi m trung bình cịn ít, em đ t đư c ñi m 7; 8; 9; 10 h u khơng có Có r t nhi u ngun nhân d n đ n k t qu Tuy nhiên c n ph i th y r ng ñ thi h c sinh gi i không nh ng yêu c u h c sinh n m ch c v n d ng ñư c ki n th c ñã h c mà t nh ng ki n th c ñó yêu c u h c sinh ph i bi t nhìn đ tốn dư i góc đ khác Mu n đư c th h c sinh c n ph i có s sáng t o cách gi i phù h p v i ñ toán ði u thư ng thi u h c sinh Thơng thư ng v i tốn mà có cách gi i c th h c sinh s gi i đư c Cũng có trư ng h p tốn đư c gi i cho em xem r i em ñã quên nên khơng th gi i đư c H u h t em thư ng có tâm lí ch c n hi u ñư c m t cách gi i cho tốn đ , thi t nghĩ u khơng h n C t lõi c a v n ñ nên cho h c sinh th y ñư c ñư ng ñi ñ n cách gi i giáo viên ch c n hư ng d n đư ng đ n đích tuỳ theo m i trư ng h p, cịn ñi th t ñ em đi, s n ph m em làm bao gi em s ghi nh lâu s n ph m ñem ñ n IV: GI I PHÁP TH C HI N Bài toán 1: “Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n n2 + n + không chia h t cho 9” (1) Chúng ta th y m t ñi u r ng m t s chia h t cho ln ln chia h t cho Do đó, đ ng trư c toán trên, em h c sinh thư ng xét trư ng h p c a m t s t nhiên n chia cho kh có th x y ra, thay vào toán cho trư ng h p c th , sau k t lu n t trư ng h p riêng V i suy nghĩ có th gi i tốn sau: Cách 1: * N u n chia h t cho n = 3k (k ∈ N) ð thi h c sinh gi i l p thành ph H Chí Minh năm h c 2007 - 2008 Nguy n Văn Chương Trư ng THCS Nguy n Hàm Ninh Trang Phát tri n tính sáng t o cho h c sinh thông qua gi i tốn b ng nhi u cách Ta có : n2 + n + = 9k2 + 3k + = 3k(3k + 1) + không chia h t cho => n2 + n + không chia h t n2 + n + không chia h t cho * N u n = 3k + (k ∈ N) Ta có: n2 + n + = (3k + 1)2 + (3k + 1) + = 9k2 + 6k + + 3k + + = 9k(k + 1) + không chia h t cho * N u n = 3k + (k ∈ N) => n2 + n + = (3k + 2)2 + (3k + 2) + = 9k2 + 12k + + 3k + + = 3k(3k + 5) + không chia h t cho => n2 + n + không chia h t cho K t lu n: V y n2 + n + không chia h t cho v i m i s t nhiên n Sau giáo viên nên h i thêm h c sinh cách gi i có th gi i cách khác n a không? N u không xét trư ng h p c a s t nhiên n có th phân tích n2 + n + v d ng tích bi u th c ch a n c ng v i m t s nguyên có ch ng minh đư c khơng? V i cách suy nghĩ th yêu c u h c sinh tìm cách phân tích bi u th c dư i d ng Cách 2: Ta có: n2 + n + = n2 – n + 2n - + = n(n - 1) + 2(n - 1) + = (n - 1)(n + 2) + Nh n th y: n + - (n - 1) = chia h t (n - 1) (n + 2) chia h t cho ho c chia cho có s dư Ta xét trư ng h p có th x y ra: * N u (n - 1) (n + 2) chia h t cho 3, suy ra: (n - 1)(n + 2) chia h t cho 9, suy (n - 1)(n + 2) + không chia h t cho * N u (n - 1) (n + 2) không chia h t cho 3, suy ra: (n - 1)(n + 2) không chia h t cho => (n - 1)(n + 2) + không chia h t không chia h t cho K t lu n: V y n2 + n + không chia h t cho v i m i s t nhiên n Giáo viên có th hư ng d n h c sinh khai thác toán theo hư ng khác N u không ch ng minh m t cách tr c ti p mà s d ng phương pháp ch ng minh gián ti p có đư c khơng? Cách 3: Nguy n Văn Chương Trư ng THCS Nguy n Hàm Ninh Trang Phát tri n tính sáng t o cho h c sinh thơng qua gi i tốn b ng nhi u cách Gi s : N u n2 + n + chia h t cho v y n2 + n + = 9m (m ∈ ) => n2 + n + = 9m n2 + n + - 9m = (*) Phương trình (*) v i n s n s có nghi m t nhiên Suy delta ph i s phương Ta l i có: ∆ = - + 36m = 3(12m - 1) chia h t cho 3(12m - 1) = 36m - không chia h t cho => nên ∆ khơng ph i s phương hay phương trình (*) n n khơng có nghi m t nhiên Như v y ñi u gi s vơ lí K t lu n: V y n2 + n + không chia h t cho v i m i s t nhiên n Cũng v i suy nghĩ có th gi i toán theo hư ng khác: Cách 4: Gi s t n t i s t nhiên n ñ n2 + n + chia h t cho ð t X = n2 + n + Suy 4X chia h t cho (1) => 4X = 4n2 + 4n + = (2n + 1)2 + Mà 4X chia h t 4X chia h t cho => (2n + 1)2 chia h t cho => 2n + chia h t cho => (2n + 1)2 chia h t cho => (2n + 1)2 + không chia h t cho (2) Suy ra: (1) (2) mâu thu n v i V y ñi u gi s vơ lí K t lu n: V y n2 + n + không chia h t cho v i m i s t nhiên n Bây gi xét m t ví d v đ i s Bài tốn 2: Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c A = x3 + y3 + xy bi t x + y = Cách 1: Bi u th y qua x r i ñưa v tam th c b c hai n x: 1 y = - x => A = x3 + - 3x + 3x2 - x3 + x - x2 = 2x2 - 2x + =  x - + ; Vậy giá trị nhỏ nhÊt cđa A lµ x=y= 2 ; Cách 2: Phân tích bi u th c trên: A = x3 + y3 + xy = (x + y)(x2 - xy + y2) + xy = x2 + y2 T gi thi t ta có: x + y = => (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 = (1) M t khác: (x - y)2 ≥ x2 - 2xy + y2 ≥ L y (1) c ng v i (2) => 2(x2 + y2) ≥ => x2 + y2 ≥ Nguy n Văn Chương (2) 1 => A ≥ ; 2 Trư ng THCS Nguy n Hàm Ninh Trang Phát tri n tính sáng t o cho h c sinh thông qua gi i toán b ng nhi u cách 1 V y giá tr nh nh t c a A x=y= ; 2 Cách 3: Ta có th dùng n ph T gi thi t x + y = giúp ta liên tư ng ñ n m t cách ñ t n ph thư ng ñư c s d ng, là: ð t x = 1 + a ; y = −a ; 2 2 1  1  1 1 A = x + y =  + a +  − a = + a + a + − a + a = 2a + ≥ ;         2  2  4 2 2 Vì a ≥ v i m i a ∈ ℝ ; V y giá tr nh nh t c a A a = hay x = y = ; Cách 4: Ta có th áp d ng b t ñ ng th c Bunhiacopsky Ta có: (x2 + y2)(12 + 12) ≥ (x.1 + y.1)2 = (x + y)2 = 1; (vì x + y = 1); => x2 + y2 ≥ 1 => A ≥ ; V y giá tr nh nh t c a A 2 ; x=y= Cách 5: Áp d ng b t ñ ng th c Cauchy cho hai s không âm x2 y2; ta có: x2 + y2 ≥ | x || y | = 2|xy|; D u "=" x y ch |x| = |y|; * x = y => x = y = x=y= *x=-y 1 1 => A ≥ = ; V y giá tr nh nh t c a A 2 ; x + y = mà theo gi thi t x + y = (trư ng h p lo i); V y giá tr nh nh t c a A x=y= ; Bài toán 3: Cho x + y + z = Tìm giá tr nh nh t c a A = x2 + y2 + z2 Cách 1: Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopsky, ta có: (x2 + y2 + z2)(12 + 12 + 12) ≥ (x + y + z)2 = => (x2 + y2 + z2) ≥ 3; V y giá tr nh nh t c a A ch x = y = z = Cách 2: Ta có th dùng n ph sau: ð t x = + a; y = + b; z = + c; Khi đó: x + y + z = + a + b + c = => a + b + c = => A = (1 + a)2 + (1 + b)2 + (1 + c)2 = + 2(a + b + c) + a2 + b2 + c2 => A = a2 + b2 + c2 + ≥ 3; Vì 2(a + b + c) = ; a2 + b2 + c2 ≥ ; V y giá tr nh nh t c a A ch a = b = c = hay x = y = z = Cách 3: (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) => = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) Nguy n Văn Chương Trư ng THCS Nguy n Hàm Ninh Trang Phát tri n tính sáng t o cho h c sinh thơng qua gi i tốn b ng nhi u cách => x + y2 + z2 = - 2(xy + yz + xz); 2(x2 + y2 + z2) ≥ 2(xy + yz + xz) (2) => - 2(x2 + y2 + z2 ) ≤ - 2(xy + yz + xz) 9 - 2(x2 + y2 + z2 ) ≤ x2 + y2 + z2 ; => 3(x2 + y2 + z2) ≥ => A ≥ 3; V y giá tr nh nh t c a A x = y = z = 1; Cách 4: Vì x2; y2; z2 s không âm nên t ng c a chúng nh nh t ch s b ng t c x2 = y2 = z2; Trư ng h p 1: x = y = z => x = y = z = => Giá tr nh nh t c a A Trư ng h p 2: Có hai s dương, m t s âm Ch ng h n: x = y = - z Khi đó: x + y + z = - z = => z = - => x = y = => x + y + z = Suy A = 32 + 32 + 32 = 27 > Trư ng h p 3: Có hai s âm, m t s dương: Khơng m t tính t ng quát, gi s x > 0; y < 0; z < Khi ta có x = - y = - z => x + y + z = => z = > (lo i) Trư ng h p 4: c ba s x, y, z đ u âm Khi đó: x < 0; y < 0; z < => x + y + z = < (vơ lí) V y trư ng h p không x y K t lu n: V y giá tr nh nh t c a A ch x = y = z = Kết luận: Vậy giá trị nhá nhÊt cđa A lµ x = y = z = 1; Chúng ta xét ñ n m t tốn hình h c sau: Bài tốn 4: Cho tam giác ABC cân t i A, ñư ng trung n CD Trên tia ñ i c a tia BA l y ñi m K cho BK = BA Ch ng minh r ng CD = CK (3) Khi g p toán này, h c sinh thư ng lúng túng không bi t nên gi i th B i l ñ gi i ñư c toán h c sinh c n ph i v thêm y u t ph Tuy nhiên yêu c u c a toán ch ng minh CD = CK; u giúp h c sinh nghĩ ñ n ki n th c v đư ng trung bình c a tam giác Song c n ph i th y m t u r ng có th ch ng minh CD đư ng trung bình c a m t tam giác mà có ch a c nh CK hay khơng V i hình v cho ch ng minh khơng ph i ñi u d dàng Tuy th n u ta không ch ng minh CD là đư ng trung bình c a tam giác ch a c nh CK ta th ch ng minh đ dài đo n th ng CD b ng n a ñ dài (2) x2 -2xy + y2 (ñpcm) (3) ≥ => x2 + y2 ≥ 2xy; t−¬ng tù: y2 + z2 ≥ 2yz; x2 + z2 ≥ 2xz => x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx Trích Nâng cao phát tri n toán Nhà xu t b n Giáo d c Nguy n Văn Chương Trư ng THCS Nguy n Hàm Ninh Trang Phát tri n tính sáng t o cho h c sinh thơng qua gi i tốn b ng nhi u cách m t c nh mà c nh y l i b ng CK ho c CD b ng đ dài m t c nh mà c nh l i b ng n a ñ dài ño n th ng CK V i suy nghĩ có th vào gi i toán b ng m t s cách sau: V i vi c v n d ng ki n th c tam giác cân, hai ñư ng trung n ng v i hai c nh bên b ng nhau, ta có th t o đư ng trung n BE D dàng ch ng minh ñư c BE đư ng trung bình c a tam giác ACK Cách 1: (Hình 1) G i E trung m c a AC A Có BE ñư ng trung bình c a ∆ AKC => BE = KC (1) E D Xét ∆ BDC ∆ CEB có: B C 1 BD = CE (vì BD = AB; CE = AC mà AB = AC); C nh BC 2 chung; DBC = ECB (vì ∆ ABC cân t i A); K H.1 V y ∆ BDC = ∆ CEB (c.g.c); Suy CD = BE (hai c nh tương ng) T (1) (2) suy CD = (2) CK (ñ.p.c.m) Ta có th t o tam giác b ng nhau, cách gi i sau ñây Cách 2: (Hình 2) G i H trung m c a KC BH đư ng trung bình c a ∆ AKC => BH = A D AC Xét ∆ BDC ∆ BHC có: BD = BH (vì BD = B 1 AB; BH = AC mà AB = AC); 2 C H HBC = DBC K DBC = ACB mµ ACB = HBC (do so le trong, BH//AC) ; H.2 BC c nh chung; V y ∆ BDC = ∆ BHC (c.g.c) Suy CH = DC (hai c nh tương ng); (1) Mà H trung ñi m c a KC nên CH = Nguy n Văn Chương CK (2) Trư ng THCS Nguy n Hàm Ninh Trang Phát tri n tính sáng t o cho h c sinh thơng qua gi i tốn b ng nhi u cách T (1) (2) suy ra: CD = CK Chúng ta có th t o m t ño n th ng b ng ño n th ng CK vi c ch ng minh CD b ng n a đo n th ng tương đ i d dàng: Cách 3: (hình 3) Trên tia ñ i c a tia CA l y ñi m M cho CA = CM; CD ñư ng trung bình c a ∆ ABM => DC = BM A D B (1) C Xét ∆ KBC ∆ MCB có: BC c nh chung; KBC = MCB (cùng bù v i ABC ); K KB = MC (vì KB = AB; MC = AC; AB = AC); V y ∆ KBC = ∆ MCB (c.g.c) => KC = MB (hai c nh tương ng) T (1) (2) suy DC = H.3 (2) CK (đ.p.c.m); Cách 4: (hình 4) Trên tia đ i c a tia CB l y ñi m N cho CB = CN; Ta có: DC đư ng trung bình c a ∆ ABN => CD = M A AN (1); D Xét ∆ KBC ∆ ACN có: N C B BC = CN; KBC = ACN (v× KBC = 180 − ABC; ACN = 180 − ACB mµ ABC = ACB) H.4 K KB = AC (cùng b ng AB); V y ∆ KBC = ∆ ACN (c.g.c) => CK = AN (hai c nh A tương ng) (2); T (1) (2) suy ra: CD = CK (ñ.p.c.m); D Cách 5: (hình 5) G i P; Q l n lư t trung ñi m c a BC BK; Có DP đư ng trung bình c a ∆ ABC => DP = B C P Q 1 AC = AB = DB ; 2 H.5 K Nguy n Văn Chương Trư ng THCS Nguy n Hàm Ninh Trang 10 Phát tri n tính sáng t o cho h c sinh thông qua gi i toán b ng nhi u cách DP // AC => DPB = ACP (cùng bù v i DPC ); Theo gi thi t ABC = ACB ( ∆ ABC cân t i A); DPB = DBP mà QBP = 1800 − DBP ; DPC = 1800 − DPB => QBP = DPC Xét ∆ QBP ∆ DPC có: QB = DP; QBP = DPC (ch ng minh trên); BP = CP (cùng b ng BC); V y ∆ QBP = ∆ DPC (c.g.c) => DC = QB (1); M t khác QP ñư ng trung bình c a ∆ KBC nên QP = T (1) (2) suy ra: CD = CK (2); CK (đ.p.c.m); Cách 6: (Hình 6) G i E; O l n lư t trung ñi m c a AC KC; OE ñư ng trung bình c a ∆ ACK nên OE = A AK mà AK = 2AB = 2AC => OE = AB = AC; Xét ∆ CDA ∆ OCE có: AD = CE (cùng b ng E D C B AC); OE = CA; DAC = CEO (ñ ng v , H.6 O OE // AD); K V y ∆ CDA = ∆ OCE (c.g.c) => OC = CD; M t khác O trung ñi m CK nên OC = T (1) (2) suy CD = (1) CK (2) A CK (đ.p.c.m); D Cách 7: (hình 7) G i P; O l n lư t trung ñi m c a BC CK; P B C DP ñư ng trung bình c a ∆ ABC nên DP = AC OP đư ng trung bình c a ∆ CBK nên OP = BK Theo ra, ta có BK = AC nên DP = OP; O H K OPB = DBP (so le trong, OP//DB); DBP = ACP vµ ACP = DPB ⇒ OPB = DPB ⇒ OPC = DPC Xét ∆ DPC ∆ OPC có: DP = OP (c/m trên); Nguy n Văn Chương Trư ng THCS Nguy n Hàm Ninh Trang 11 Phát tri n tính sáng t o cho h c sinh thơng qua gi i tốn b ng nhi u cách OPC = DPC (c/m trên); C nh PC chung V y ∆ DPC = ∆ OPC (c.g.c) => OC = CD mà OC = 1 CK => CD = CK 2 (ñ.p.c.m) Cách 8: (hình 8) Trên tia đ i c a tia DC l y ñi m F cho DF = DC; Xét ∆ BDF ∆ ADC có: A F DF = DC; DA = DB; FDB = CDA (hai góc ñ i ñ nh); D suy ra: ∆ BDF = ∆ ADC (c.g.c) => BF = AC mà AC = BK nên BF = BK; Ta l i có: C B H.8 FBC + ACB = 1800 (BF // AC nªn hai gãc cïng phÝa bï nhau); KBC + ABC = 1800 (hai gãc kÒ bï) K mà ABC = ACB (ABC cân A) => KBC = FBC Xét ∆ FBC ∆ KBC có: FB = KB (c/m trên); KBC = FBC ; BC c nh chung; V y ∆ FBC = ∆ KBC (c.g.c) => FC = CK => 2CD = CK => CD = CK (đ.p.c.m); Cách 9: (hình 9); T B k ñư ng th ng song song v i CK c t AC t i O; T C k ñư ng th ng song song v i BK c t BO kéo dài t i R; A D dàng ch ng minh ñư c CR = BK = AB; BR = CK; Xét ∆ ROC ∆ BOA có: O D CRO = ABO (so le trong, CR//AB) ; CR = AB; B RCO = BAO (so le trong, CR//AB) Suy ra: ∆ ROC = C ∆ BOA (g.c.g); 1 => OA = OC = AC = = AB; OB = OR; 2 Nguy n Văn Chương H.9 K Trư ng THCS Nguy n Hàm Ninh Trang 12 R Phát tri n tính sáng t o cho h c sinh thơng qua gi i tốn b ng nhi u cách 1 => OR = BR = CK; (1); 2 Xét ∆ ADC ∆ COR có: AD = OC (cùng b ng AB); RCO = DAO (so le trong, CR//AB) ; CR = AC (cùng b ng AB); V y ∆ ADC = ∆ COR (c.g.c); => OR = CD T (1) (2) => CD = (2); CK (ñ.p.c.m); Cách 10: (hình 10) Trên tia đ i c a tia BC l y ñi m F cho BF = BC; N i FK; G i I trung ñi m c a FK; Xét ∆ FBK ∆ CBA có: FB = CB; FBK = CBA (hai gãc ®èi ®Ønh); AB = KB (gi A thi t); nên ∆ FBK = ∆ CBA (c.g.c) => FK = AC mà AB = AC => FK = AB => D 1 FK = AB 2 B F => FI = DB; (1) Theo ra, ta có: C I ACB = ABC mµ ACB = BFI ⇒ BFI = ABC = DBC (2) Xét ∆ FBI ∆ BCD có: H.10 K FB = BC; (theo (2)); FI = BD (theo (1)); (3); V y ∆ FBI = ∆ BCD (c.g.c) => BI = CD M t khác I; B l n lư t trung ñi m c a FK FC => IB ñư ng trung bình BFI = DBC c a ∆ KFC => BI = 1 CK (4); T (3) (4) suy ra: CD = CK (ñ.p.c.m); 2 V K T QU ð T ðƯ C Trong năm h c ñư c s giúp ñ c a Phòng giáo d c ðào t o Qu ng Tr ch, Ban giám hi u trư ng THCS Nguy n Hàm Ninh ñã t o ñi u ki n cho ñư c tr c ti p b i dư ng h c sinh l p 6; 7; 8; c a trư ng b i dư ng h c Nguy n Văn Chương Trư ng THCS Nguy n Hàm Ninh Trang 13 Phát tri n tính sáng t o cho h c sinh thơng qua gi i tốn b ng nhi u cách sinh gi i Toán c a huy n ði u giúp cho r t nhi u công tác b i dư ng h c sinh gi i Do m y năm qua đ i n Tốn thi c p c a trư ng ln đ t đư c nhi u k t qu khích l , ñ t k t qu cao kì thi h c sinh gi i c a trư ng ðóng góp ph n h t s c nh bé s phát tri n c a n n giáo d c Qu ng Tr ch nói chung ð c bi t năm h c ñ i n thi gi i toán qua m ng Internet c a huy n Qu ng Tr ch ñã ñánh vang lên m t ti ng chuông l n tồn ngành giáo d c Qu ng Bình ñ t gi i nh t, gi i nhì, gi i gi i khuy n khích Có đư c u nh s quan tâm giúp ñ c a c p, ngành ð c bi t s quan tâm ñ c bi t c a Phòng Giáo d c ðào t o Qu ng Tr ch nói chung c a Ban giám hi u trư ng THCS Nguy n Hàm Ninh nói riêng Theo b n thân tơi nh n th y bư c đ u có m t phương pháp giáo d c ñúng ñ n s sáng t o c a h c sinh bư c ñ u ñã có ñư c nhi u k t qu ð i v i h c sinh gi i thi c p trư ng toán k t qu thi có s ti n b rõ r t VI K T LU N CHUNG ð có th làm t t công tác b i dư ng h c sinh gi i c n có nhi u gi i pháp c th , k t h p ñư c s tham gia c a t ng l p xã h i Thi t nghĩ y u t ngư i r t quan tr ng, ngư i giáo viên đóng vai trò trung tâm t o nên k t qu cao hay th p ð i v i b môn Tốn s sáng t o vơ quan tr ng, b i l s đa chi u, mn màu c a Do v y ngư i giáo viên c n có phương pháp h p lí đ i tuỳ theo ch t lư ng c a h c sinh Gi i toán b ng nhi u cách m t “phương pháp” t o nên s sáng t o Ch c ch n s khơng tránh kh i nhi u sai sót Tác gi mong nh n đư c s đóng góp ý ki n nh m giúp ñ tài ngày t t ð ngày áp d ng r ng rãi Ba ð n, ngày 24 tháng năm 2009 Nguy n Văn Chương Trư ng THCS Nguy n Hàm Ninh Trang 14 Phát tri n tính sáng t o cho h c sinh thông qua gi i toán b ng nhi u cách Xác nh n c a HðKH Ngư i vi t Nguy n Văn Chương Nguy n Văn Chương Trư ng THCS Nguy n Hàm Ninh Trang 15 ... h c ñã ñư c kh ng ñ nh qua nhi u năm qua, ñ c bi t công tác b i dư ng h c sinh gi i ðây công vi c h t s c quan tr ng giai ño n ñào t o nhân tài cho ñ t nư c ða s em h c sinh c a trư ng đ u thơng... dư ng h c sinh l p 6; 7; 8; c a trư ng b i dư ng h c Nguy n Văn Chương Trư ng THCS Nguy n Hàm Ninh Trang 13 Phát tri n tính sáng t o cho h c sinh thông qua gi i toán b ng nhi u cách sinh gi i... sáng t o cho h c sinh thơng qua gi i tốn b ng nhi u cách ð i v i công tác b i dư ng h c sinh gi i Tốn khơng nh ng làm cho em n m ch c ki n th c b n kh v n d ng vào d ng tốn mà u quan tr ng ngư