Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề hay toán 9 tổng hợp các dạng toán hay
CHUYÊN ĐỀ TOÁN HAY MỤC LỤC Chuyên đề Một số dạng toán thức Chuyên đề Biến đổi thức phức tạp Chuyên đề Một số toán tổng quát bất đẳng thức Chuyên đề Chứng minh giá trị biểu thức không số nguyên Chuyên đề Đổi biến để chứng dạng bất đẳng thức Chuyên đề Phương pháp chọn bất đẳng thức Chuyên đề Phương pháp dồn biến để chứng minh bất đẳng thức Chuyên đề Phương pháp chứng minh bất đẳng thức phản chứng Chuyên đề Ứng dụng bất đẳng thức giải phương trinh hệ phương trình MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ CĂN THỨC Bài tốn tính tổng Ví dụ 1: Tính tổng sau S 1 1 2 99 100 Lời giải: Với số thực dương n ta có: Suy S 1 n n1 n 1 n 100 10 Tính giá trị biểu thức theo số vơ tỉ cho trước Ví dụ 2: Tính S 1 biết a a b Lời giải: Từ giả thiết suy 7 7 ;b 2 a b ; ab Do a b a b 2ab a3 b3 a b 3ab a b Suy S 1 a b5 a b a3 b3 a b a b 20 19 a b Chứng minh số số vơ tỉ Ví dụ 3: Cho x Chứng minh x số vô tỉ Lời giải: Giả sử x số hữu tỉ Ta có x 2 x 3 x3 3 x x 3 3 Suy x3 x x 1 số hữu tỉ: vơ lí, Ta có điều phải chứng minh Chứng minh số số nguyên Ví dụ 4: Chứng minh số sau số nguyên y 375 75 Lời giải: Ta có 1 2 2 1 y 31 3 1 2 2 3 1 Suy điều phải chứng minh Ví dụ 5: Cho a 1 1 ;b 2 Chứng minh với số tự nhiên n số S n a n b n số tự nhiên Lời giải: Ta có: a b 1; ab Với số tự nhiên n ta có: S n a n b n a n b n a b ab a n b n Sn S n Kết hợp với S ; S1 ta S S0 S1 N ; S3 S1 S N ; Bằng quy nạp ta chứng minh S n N với số tự nhiên n, ta có điều phải chứng minh Bài tốn phần ngun Ví dụ 6: Chứng minh n số nguyên dương thì: n n 4n kí hiệu a số nguyên lớn không lớn a Lời giải: Đặt a 4n a N Ta có: a 4n a 4n Vì khơng có số phương có dạng 4n nên a # 4n Do a 4n Vì khơng có số phương có dạng 4n nên a # 4n Suy a 4n a 4n Ta có: n n 2n n n 4n Suy ra: n n 4n n n 4n a (1) Mặt khác ta có: n n 2n n n 1 4n n n 1 4n n n 4n n n Hay n n 1 a Từ (1) (2) suy (2) n n a 4n ta có điều phải chứng minh Nhận xét: Nếu a b a b Bài tập tự luyện: Tính S 1 , biết a a b 6 2 ;b 6 2 Cho x Chứng minh x số vô tỉ Chứng minh số sau số nguyên: 6 827 27 6 827 27 n Chứng minh với số tự nhiên n số tự nhiên lẻ BIẾN ĐỔI CĂN BẬC HAI PHỨC TẠP DẠNG M2 N Trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thi chọn học sinh giỏi lớp thường có tốn nhỏ u cầu “tính” hay “rút gọn” biểu thức có dạng M2 N M , N Ta ý đến hai đẳng thức sau: x x y x y xy y x y xy Như vậy, ta tìm hai số tự nhiên x, y thỏa mãn x y M xy N M2 N x y Sau số ví dụ: Bài toán 1: Rút gọn A Lời giải: Ta có: Hai số thỏa mãn Do A 32 2 2 3 3 3 Bài toán 2: Rút gọn Lời giải: Ta chọn cặp số thỏa mãn 6; Do 1 (vì Bài tập tương tự: 1 ) Rút gọn biểu thức sau: 10 ; ; ; 11 30 Bài toán 3: Rút gọn C Lời giải: Ta phân tích có Suy C Bài tập tương tự: Rút gọn biểu thức sau: ; 11 ; 19 ; 11 Bài toán 4: Rút gọn D Lời giải: Ta có Suy D 12 ; 12 ; 6 6 Bài tập tương tự: Rút gọn biểu thức sau: 11 ; 23 15 ; ; 13 Bài toán 5: Rút gọn 15 Lời giải: Ta có 15 Suy ra: 3 3 3 10 Bài tập tương tự: Rút gọn biểu thức sau: ; ; 21 ; ; Bài toán 6: Rút gọn F 49 96 Lời giải: Ta có 49 24 25 96 52 22 24 25 24 Suy F 24 25 24 Bài tập tương tự: Rút gọn biểu thức sau: 51 ; 28 12 ; 12 12 Bài toán số 7: Rút gọn biểu thức 6 32 3 Lời giải: Ta thực theo số hướng sau: 2 a 2 b 6 32 2 10 32 6 62 2 2 3 14 14 21 5 22 11 11 4 Bài tập tự luyện: Rút gọn biểu thức sau: a 4 62 5 b 62 5 c d 10 29 12 15 10 3 3 15 e 74 74 f 53 12 10 47 10 g 3 3 32 3 Bài tập tương tự: Rút gọn biểu thức sau: 3 3 h 15 10 13 160 53 90 i PHẦN 2: CĂN BẬC HAI Bài toán 1: Rút gọn biểu thức A 48 10 4 Lời giải: Ta rút gọn biểu thức theo bước sau: 12 2 3 48 10 25 5 25 3; 75 Do đó: A Bài tập tương tự: B D 2; 13 2 Bài toán 2: Rút gọn biểu thức sau: 13 30 C 3; Tìm x biết: 48 : 18 ; 128 x 13 x Lời giải: Ta có: Suy x 13 13 x2 13 x 10 x x 12 Do x 3 x3 3x x nên x x x x Vì x Suy Bài tập tương tự: Tính y ; z ; t Bài toán 3: Rút gọn biểu thức: A B Lời giải: 5; Ta có: A2 14 (7 5) (7 5) 14 49 45 14 18 13 13 13 13 x Vì A nên A 18 Ta có: B (2 2) ( 1) 1 6 5 Vì B nên B Bài tập tương tự: Rút gọn biểu thức: C 52 3 52 D 1 3 Bài toán số 4: Rút gọn biểu thức: a M b N x 1 x x 1 x x 1 x x 1 Lời giải: a Điều kiện: Ta có: x 2, x x 1 x x 2 x2 Ta có abc = (1 – a)(1- b)(1 – c)= 1-(a+b+c) + ( ab +bc +ca ) – abc , suy 2r = – p + q Với cách biến đổi bất đẳng thức trở thành: p3 pq 3r 5r p pq 8r p3 pq 4(1 p q) p p q (3 p 4) (***) Chú ý – p + q =2r > p 3q suy p 1 q p2 Ta xét ba trường hợp sau: Trường hợp 1: Nếu p Trường hợp 2: Nếu p p p (1 p )(3 p p ) q (3 p 4); thì: 3p – 0 a (1) Xét F(a; b; c) = (a+b)(b+c)(c+a) + 7- 5(a+ b+ c) = x(ax + a +bc)+ – 5a – 5x = a x +( a +bc-5)x+7 – 5a (2) a bc a bc = a x 5a 2a 2a Từ (1)suy : (3) a bc a bc + x a 2a 2a a 5 a a > (4) 2a 2a a a2 Từ (1); (2); (3); (4) suy : 2 F(a; b; c;)= a x +( a +bc-5)x+7 – 5a a +7-5a + ( a +bc-5) a a = a a ( a + -5)+ 11 -5a Đặt t = a 1, ta có : F(a; b; c) a a ( a + -5)+ 11 -5a = 2t 5t 11t 10t (t 1)2 (2t t 4t 4t 2) t3 t3 (t 1) (2t t 4t 3t t ) (t 1)4 (2t 3) (đpcm) t3 t2 Đẳng thức xảy a= b= c= Bài tập vận dụng Bài 1: Cho a; b; c; độ dài ba cạnh tam giác, chứng minh: a b c 24 bc ca a b Bài 2: Cho a; b; c số thực dương thỏa mãn: a b2 c Chứng mỉnh rằng: 5(a b c) 18 abc Bài 3: Cho a; b; c số thực không âm , chứng minh : (a b c)5 a (b c) b (c a ) c (a b ) 12 1 a b c b c a Bài 4: cho a; b; c ; chứng minh rằng: 2 b c a a b c Bài 5: cho a; b; c thỏa mãn điều kiện a+ b + c = chứng minh rằng: a 2b b 2c c a ab bc ca Bài 6: cho a; b; c; d số thực dương thỏa mãn a+ b+ c+ d = Chứng minh: 3(a b2 c d ) 4abcd 16 Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHẢN CHỨNG Bài tốn chứng minh bất đẳng thức có nhiều dạng gây khơng trở ngại cho bạn học sinh kỳ thi.Một phương pháp sử dụng để chứng minh bất đẳng thức phương pháp phản chứng.Phương pháp tỏ có ưu rõ rệt giả thiết kết luận tốn có nhiều bất đẳng thức Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Chứng minh (a b)2 4ab Lời giải: Gỉa sử (a b)2 4ab suy a 2ab b 4ab a 2ab b (a b) , Điều sai với a,b Vậy giả sử sai , suy đpcm Ví dụ 2: Cho ba số a,b,c (0;1) Chứng minh có bất đẳng thức sau sai: 1 a (1 b ) ; b(1 c) ; c(1 a ) 4 Lời giải: Gỉả sử ba bất đẳng thức Theo giả thiết a, b, c, 1-a, 1-b, 1-c số dương,suy a(1 a)b(1 b)c(1 c) 4 (1) 64 Mặt khác: a (1 a ) ( a ) ; tương tự ta có b(1 b ) ; c(1 c ) Suy a (1 b )b(1 c)c(1 a ) (2) 64 Ta có (1) mâu thuẫn với (2) nên giả sử ban đầu sai, suy đpcm Ví dụ 3: Chứng minh a1.a2 2(b1 b2 ) hai phương trình sau có nghiệm: x a1 x b1 (1) x a2 x b2 (2) Lời giải: Gỉa sử (1) và(2) vơ nghiệm ta có (1) 0 (2) suy (1) (2) a12 4b1 a2 4b2 a12 a2 4(b1 b2 ) a12 a2 4(b1 b2 ) 2a1a2 ( a1 a2 ) Điều sai với a1 , a2 Vậy giả sử sai, suy đpcm Ví dụ 4: ( Đề thi vô địch tiệp khắc 1959) Cho số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện (1) a b c ab bc ca (2) abc (3) Chứng minh a, b ,c dương Lời giải: Giả sử có ba số a, b, c khơng dương.Khơng tính tổng qt,giả sử số khơng dương a( ( a 0) Từ (3) suy a0 bc0 a0 b c (4) a0 b c (5) Nếu (4) xảy a b suy theo (1) c (a b) c(a b)(a b) ab c(a b) ab (a b) ab bc ca (a ab b ) Mâu thuẫn với (2) Nếu (5) xảy tương tự ta ab+bc+ca< mâu thuẫn với (2) Vậy giả sử ban đầu sai ta có đpcm Ví dụ 5: (Đề thi HSG Mát-xcơ -va 1986) Với số thực x, y, z chứng minh có ba bất đẳng thức sau sai: x y z; y z x ; z x y Lời giải: Gỉa sử ba bất đăbgr thức đúng, suy x ( y z ) x ( y z ) ( x y z )( x y z ) 0 Tương tự ta có: (y-z+x)(y+z-x)