Mécanique Classique II P Amiot et L Marleau Z x x ϕ ψ θ Y ψ ϕ X θ x Mécanique Classique II P Amiot et L Marleau Département de physique ⋆ Université Laval ⋆ Québec ⋆ Canada Cet ouvrage a été rédigé avec Scientific WorkPlace A et composer avec LTEX 2ε Copyright
1997 Tous droits réservés L Marleau, P Amiot Département de physique Université Laval Québec,Canada T able des matières Avant-Propos ix RAPPEL 1.1 1.2 Plusieurs particules ponctuelles 1.3 Éléments de dynamique 1.4 Travail et Énergie 1.5 Systèmes N particules et forces extérieures 1.6 Trajectoire et cinématique d’une particule ponctuelle Degrés de liberté 10 FORMALISME DE LAGRANGE 15 2.1 Résultats d’expérience et principe de base 15 2.2 Variation fonctionnelle et application du principe 18 2.3 ˙ La fonction L(qi , qi , t) Forces conservatrices Forces non conservatrices 2.4 Coordonnées curvilignes 2.5 20 21 23 Les contraintes Méthode des multiplicateurs de Lagrange 23 28 30 2.6 31 2.7 Invariance de jauge Quelques caractéristiques, propriétés, limites 34 37 APPLICATIONS ET PROPRIÉTÉS 3.1 Cas simples en mécanique Particule dans un champ gravitationnel Particule suspendue un ressort Particule suspendue au haut d’une tige rigide Pendule plan suspendu par un ressort de masse nulle 3.2 Exemples non mécaniques 37 37 38 39 42 44 vi T able des matières Principe de Fermat 44 3.3 45 3.4 Le potentiel central 47 3.5 Problème deux corps Constantes du mouvement 51 LE FORMALISME CANONIQUE 57 4.1 La transformation de Legendre 57 4.2 Le Hamiltonien 58 4.3 Quelques exemples Particule soumise une force en une dimension Particule soumise une force en trois dimensions Particule dans un champ central 60 60 60 61 4.4 Les crochets de Poisson 64 4.5 Les moments généralisés 67 4.6 Les transformations canoniques (T C.) Quelques exemples 4.7 67 72 Une transformation canonique très spéciale: La méthode de Hamilton-Jacobi L’objectif La méthode 76 76 76 4.8 80 4.9 T (qi , pi ) en coordonnées généralisées La fonction S (ou comment refermer la boucle) 82 THÉORIE DES PERTURBATIONS 85 5.1 Buts de la méthode 85 5.2 L’idée de base : la variation des constantes 85 5.3 Les approximations Méthode par série Méthode itérative Méthode de la moyenne 86 87 87 88 5.4 Exemple 88 5.5 Méthode canonique de perturbations 90 5.6 Autre exemple Développement en série Solution itérative Méthode de la moyenne 91 92 93 94 Avant-Propos MOUVEMENT DU SOLIDE vii 99 6.1 6.2 L’énergie cinétique et le tenseur d’inertie 101 6.3 Parenthèse sur les axes principaux et le tenseur d’inertie 104 6.4 Le moment cinétique/angulaire du solide 108 6.5 Approche vectorielle et les équations d’Euler 112 6.6 Angles d’Euler et approche Lagrangienne 115 6.7 Exemple 117 6.8 Mouvement d’une toupie symétrique pesante un point fixe 120 6.9 A Degrés de liberté du solide 99 La toupie asymétrique libre: problème de stabilité 124 Notations, conventions, A.1 A.2 Notations et conventions A.4 128 128 129 130 Aide-mémoire Mécanique lagrangienne Corps solide Index 127 Systèmes de coordonnées Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques A.3 127 Références 132 132 132 133 135 Copyright
1997 P Amiot, L Marleau Avant-Propos Cet ouvrage contient l’essentiel du matériel couvert dans le cours de Mécanique Classique II (PHY-10492) Il est basé sur les notes de cours de P Amiot et prennent leur inspiration comme il est coutume de plusieurs livres de références Les notes couvrent la mécanique classique avancée, soit le formalisme de Lagrange, le formalisme canonique, la théorie des perturbation et le mouvement d’un corps rigide Les notions de mécanique sont rappelées dans le chapitre Le formalisme de Lagrange est introduit au Chapitre Suivent quelques applications et propriétés (Chapitre 3), le formalisme canonique (Chapitre 4), la théorie des perturbations (Chapitre 5) et finalement le mouvement d’un corps rigide (Chapitre 6) L’appendice contient un résumé des notations, un aide-mémoire et quelques références complémentaires Québec Mai 1997 Luc Marleau Département de Physique Université Laval Copyright
1997 P Amiot, L Marleau RAPPEL 1.1 Trajectoire et cinématique d’une particule ponctuelle La particule ponctuelle est sans dimension C’est une création de l’esprit, un modèle, représentant un objet physique qui n’est animé que d’un mouvement de translation (pas de rotation sur lui-même) On admet ici que notre espace physique est trois dimensions auquel on adjoint le temps qui n’est pas ici une dimension mais un paramètre immuable et indépendant des objets physique et de leur évaluation dont il sert mesurer le taux Nous représentons l’espace physique par un espace trois dimensions l’échelle, doté d’une origine notée O et de trois axes orientés La position instantanée de la particule y est notée par un point P dont la position est entièrement définie par un triplet de nombres appelés coordonnées du point et qui mesurent généralement des longueurs ou des angles (voir figure 1.1) Ces coordonnées seront souvent notées xi ou qi Il est souvent pratique de parler du vecteur position de la particule, noté x ou p qui va de l’origine O au point P P C Figure 1.1 Trajet d’une particule L’évaluation du système physique sera décrite par une courbe ou trajectoire C, décrivant le déplacement continu du point P dans notre espace de configuration On conỗoit cette ộvolution comme résultant d’un paramètre invariant qui augmente On le choisit généralement et pour des raisons pratiques comme étant le temps, noté t, mais ce choix n’est pas unique Le point P se dộplaỗant avec le temps sa position, r, variera dans le Chapitre RAPPEL temps et la trajectoire sera décrite par r = r(t) en terme des composantes par: xi = xi (t), i = 1, 2, (1.1) Qui dit mouvement pense intuitivement une rapidité de mouvement Cette notion, ce concept est quantifié par la définition de la vitesse V d ˙ (1.2) V(t) = x(t) ≡ x(t) dt Notons par la lettre p le paramètre (arbitraire) dont la variation génère la trajectoire (il peut être ou non le temps) Alors la longueur s de la trajectoire entre p0 et p1 , est donnée par : p1 s(p0 , p1 ) = dp p0 i dxi dt (1.3) oự p varie de faỗon monotone entre p0 et p1 Alors on peut écrire (voir figure 1.2): dx ds dx dx V= = ≡v (1.4) dt dt ds ds ∆s ^ τ ∆ x T x x+ ∆ x Figure 1.2 On voit immédiatement que : dx =τ (1.5) ds un vecteur unitaire dans la direction du vecteur T qui donne la tangente la trajectoire au point P En effet dx ∆x τ = lim = (1.6) ∆s→0 ∆s ds On obtient ainsi V =τ v ou τ donne la direction et v la grandeur de la vitesse (vectorielle) V Par abus de langage v s’appelle aussi la vitesse Ce qu’il faut souligner, c’est que V est toujours tangent (c’est un vecteur) la trajectoire D’ailleurs, pourvu que le paramètre p varie de faỗon monotone (et continue) le vecteur dx est tangent la trajectoire, le cas dp V = dx n’est qu’un cas particulier dt Intuitivement la vitesse V peut varier le long de la trajectoire (voir figure 1.3) Pour quantifier cet effet nous définissons l’accélération a d2 x ˙ dV = Vă a= x (1.7) dt dt 1.2 Plusieurs particules ponctuelles et clairement dV d (τ v) = dt dt dτ dv τ +v = (1.8) dt dt Parce que τ · τ = alors d(τ ·τ ) = 2τ · dτ = Ainsi dτ est perpendiculaire τ qui dt dt dt est tangent la trajectoire Donc dτ est normal cette trajectoire Appelons n le vecteur dt unitaire normal la trajectoire (dans la direction de dτ i.e dans le plan instantané de la dt trajectoire) On calcule dτ ds dτ dτ dτ =| |=| |n = | |vn (1.9) dt dt dt ds ds On écrit par définition, ρ−1 = | dτ | On a donc pour a ds a = a= v2 d2 s n + τ ρ dt (1.10) Ainsi l’accélération a une composante tangente la trajectoire (τ ) de valeur P d2 s dt2 et ^ τ v ∆x ^ n ρ Figure 1.3 une composante normale la trajectoire (n) de valeur vρ On peut montrer que ρ est le rayon de courbure de la trajectoire En effet, dans le voisinage immédiat du point P , la trajectoire peut être approximée par un arc de cercle, ρ serait alors le rayon de ce cercle Plus la trajectoire est courbée autour de P, plus la vitesse changera rapidement selon n De fait, plus ρ sera petit et plus la composante normale de a, v , sera grande ρ 1.2 Plusieurs particules ponctuelles Pour représenter la position de N particules dans notre espace de configuration dimensions nous avons besoin de N triplets de nombres (total 3N ) rν = (xν1 , xν2 , xν3 ) ; ν = 1, 2, , N (1.11) L’évaluation d’un tel système sera représentée par N trajectoires (une par particule) dans cet espace Copyright
1997 P Amiot, L Marleau 120 Chapitre MOUVEMENT DU SOLIDE période est de l’ordre d’un an 6.8 Mouvement d’une toupie symétrique pesante un point fixe C’est l’exemple typique de tout manuel de mécanique Ayant complété l’étude du mouvement du solide libre, nous nous attaquons au mouvement du solide soumis un torque Pour ce faire nous choisissons l’exemple le plus simple d’une toupie symétrique dont la pointe est fixe et placée dans un champ gravitationnel uniforme Comme la pointe est fixe, nous allons l’utiliser comme l’origine la fois pour le système inertiel OXY Z et pour le système intrinsèque Ox1 x2 x3 qui lui, tourne avec la toupie (voir la figure 6.12) À priori ceci semble poser un problème puis que nous avions réussi en (6.40) séparer T condition que l’origine du référentiel intrinsèque coïncide avec le C.M du solide, ce qui n’est pas le cas ici Par contre ici, les deux origines coïncident et donc R = 0, ˙ R= V =0 et il ne reste que Trot De plus, le corps étant symétrique, l’énergie cinétique de rotation peut s’écrire I1 I3 Trot = Ω1 + Ω2 + Ω2 (6.111) 2 avec I1 = I2 mais ici I1 n’est pas égal au moment d’inertie calculé par rapport l’axe principal 1: Ipr qui lui, passe par le C.M Cependant, par le théorème des axes Z x x ϕ ψ θ Y ψ ϕ θ x X Figure 6.12 parallèles on calcule trivialement que le I1 qui appart ici est simplement I1 = I1pr + Mh2 (6.112) où M est la messe de la toupie et h la distance séparant la pointe du C.M Auparavant nous n’avions pas l’habitude de spécifier ’’pr ’’pour alléger l’écriture nous retenons le symbole même si ce n’est pas une moment d’inertie par rapport un axe principal 6.8 Mouvement d’une toupie symétrique pesante un point fixe 121 En terme des angles d’Euler (6.111) est identique (6.86) puisque I2 = I1 I3 ˙ I1 ˙ θ + ϕ2 sin2 θ + ψ + ϕ cos θ ˙ ˙ (6.113) T = 2 tenant compte que I1 est défini en (6.112) Comme le champ gravitationnel est constant on peut représenter son effet comme une force Mg appliquée au C.M Puisque la pointe est fixe, cette force génère un torque ainsi l n’est plus une constante du mouvement Pour écrire le Lagrangien nous n’avons besoin que de l’énergie potentielle résultant de la présence de ce champ de force, c’est simplement V = Mgh cos θ (6.114) et alors I1 ˙ I3 ˙ θ + ϕ2 sin2 θ + ψ + ϕ cos θ − M gh cos θ ˙ (6.115) ˙ 2 Ici, comme d’ailleurs dans le cas libre, ϕ et ψ sont cycliques et par conséquent pϕ et ˙ pψ sont des constantes du mouvement Dautre part de faỗon gộnộrale l= N (le torque) ó N = r × F Or ici la force est parallèle OZ et donc lz = constante et de plus cette force est attachée un point se trouvant sur l’axe Ox3 et donc l3 = constante aussi Nous avons déjà remarqué (dans le cas libre) en (6.90) que ∂L ˙ pψ = ˙ = I3 ψ + ϕ cos θ ˙ ∂ψ = I3 Ω3 = l3 = constante (6.116) L= identifiant pψ l3 D’autre part, il est également évident que ∂L ˙ = I1 ϕ sin2 θ + I3 ψ + ϕ cos θ cos θ ˙ pϕ = ˙ ∂ϕ ˙ = lz = constante Combinant ce deux expressions nous obtenons lz − l3 cos θ ϕ= ˙ I1 sin2 θ ˙ et combinant (6.116) et (6.118) nous isolons ψ (6.117) (6.118) l3 cos θ ˙ ψ= (lz − l3 cos θ) (6.119) − I3 I1 sin2 θ Si on connt θ(t), on peut en principe intégrer (6.118) et (6.119) pour obtenir ϕ(t) et ψ(t), ce qui donnerait la solution complète du problème Pour obtenir θ(t) on peut utiliser l’équation de Lagrange ∂L d ∂L =0 (6.120) − ˙ dt ∂ θ ∂θ ˙ dont on élimine les ϕ et ψ l’aide de (6.118) et (6.119) pour avoir une équation différen˙ ˙ θ tielle uniquement en θ, θ, ¨ Isolant ¨ dans une telle équation nous donne θ ∂ (lz − l3 cos θ) (lz cos θ − l3 ) (6.121) − Mgh cos θ ≡ − Veff () I1 ă = I1 sin2 ce qui nous permettrait d’identifier (par définition) un potentiel efficace pour le mouvement en θ Est-il besoin de dire qu’intégrer une telle équation différentielle est tech- Copyright
1997 P Amiot, L Marleau 122 Chapitre MOUVEMENT DU SOLIDE niquement assez difficile Il existe cependant une autre approche qui nous donne Veff plus facilement Rappelons qu’en présence d’un torque, l n’est plus que une constante de mouvement mais l’énergie E continue être une constante du mouvement où E = T + V (6.122) Utilisant (6.113, 6.114, et 6.116) nous avons E= I1 ˙ I1 2 l2 θ + ϕ sin θ+ + − M gh cos θ ˙ 2 2I3 (6.123) = const ′ Définissant E = E − l2 2I3 E′ et l’aide de (6.118) nous avons I1 ˙ (lz − l3 cos θ)2 θ + + Mgh cos θ 2I1 sin2 θ = Tθ + Vθ = (6.124) définissant ainsi Vθ , un potentiel efficace pour l’étude du mouvement en θ Ici aussi l’intégration mène des intégrales elliptiques et on perd les propriétés du mouvement dans les méandres techniques Heureusement il est possible de déterminer qualitativement les propriétés intéressantes de ce mouvement Avant de procéder cependant remarquons que si θ = 0, Vθ semble exploser cause du facteur sin2 θ au dénominateur En fait, θ = les axes Ox3 et OZ coïncident, et lz − l3 cos θ = C’est donc une détermination On peut vérifier, par la règle de l’Hôpital que le terme litigieux de Vθ → lorsque θ → Faisons la transformation de variable u = cos θ =⇒ u = sin (6.125) remplaỗons dans (6.124) et isolons u pour obtenir ˙ u2 = ˙ 2E ′ 2M ghu − I1 I1 (1 − u2 ) − (lz − l3 u)2 I1 (6.126) qui est de la forme u2 = (α − βu) (1 − u2 ) − (b − au) ≡ f(u) ˙ (6.127) La fonction f (u) est un polynômes cubique en u dont le coefficient de u , β > Donc f (−∞) → −∞ et f (+∞) → +∞ avec deux extrema entre ces deux limites Puisque u = cos θ, seul le problème de u compris u = −1 et u = +1 nous intéresse D’autre part en (6.127) f (u) = u2 > ˙ (6.128) et nous sommes donc limités au domaine entre u1 et u2 Pour qu’une situation physique existe, il faut que ces deux conditions soient remplies Si tel est le cas et puisque θ marque l’angle entre la verticale et l’axe de symétrie de la toupie, cet axe de symétrie aura, par rapport la verticale, un angle qui oscillera entre les angles θ1 et θ où cos θ = u1 , cos θ = u2 (6.129) C’est ce qu’on appelle une nutation Rappelons qu’en (6.118) nous avons obtenu pour ϕ ˙ lz − l3 cos θ ϕ= ˙ (6.130) I1 sin2 θ 6.8 Mouvement d’une toupie symétrique pesante un point fixe 123 Selon les conditions initiales qui déterminent lz et l3 et selon le domaine de variation permis pour θ, donc pour cos θ on peut identifier trois scénarios différents pour lz − l3 cos θ > pour tout le domaine de variation de θ Alors ϕ ne change pas de ˙ signe et la précession est continue bien que de vitesse variable (La même chose est valide si lz − l3 cos θ < dans tout le domaine, on change simplement le signe de ϕ) ˙ lz − l3 cos θ > change de signe entre θ1 et θ2 Parce que la fonction cos θ est monotoniquement croissante entre −1 et +1, alors ϕ(θ1 ) aura le signe inverse de ˙ ϕ(θ1 ) La précession continuera de se produire mais avec des mouvements de va-et˙ vient lz − l3 cos θ > ne change pas de signe dans le domaine θ1 < θ < θ mais s’annule soit θ1 soit θ2 Dans ce cas la précession est toujours dans la même direction mais marque un temps d’arrêt lorsque la nutation atteint une de ses valeurs limites (soit θ soit θ2 ) où ϕ s’annule ˙ Il est habituel de représenter ces trois situations l’aide de figures simples On dessine une sphère qui est celle que l’extrémité libre de la toupie peut générer (puisqu’elle a une pointe fixe) et sur la surface de cette sphère on trace la trajectoire que la pointe libre y dessinerait On a alors les trois sphères de la figure 6.13 respectivement θ2 θ2 θ θ ϕ θ2 ϕ θ 1 ϕ Figure 6.13 Tous ceux qui se sont amusés avec une toupie ont pu constater la chose suivante Si on démarre la toupie avec une vitesse élevée et une faible inclinaison par rapport la verticale, alors elle dort, son axe demeurant pratiquement vertical La friction aidant sa vitesse diminue jusqu’à un pointe où la toupie devient presque brutalement instable Pour étudier ce phénomène rappelons la définition de Vθ en (6.124) (lz − l3 cos θ)2 + Mgh cos θ (6.131) 2I1 sin2 θ On constate d’abord que Vθ (θ = 0) = Mgh et que le deuxième terme de Vθ est répulsif parce que cos θ est maximum θ = Si la position de la toupie est stable θ ≈ 0, c’est que Vθ doit avoir un minimum θ ≈ Pour étudier ce phénomène faisons une Vθ = Copyright
1997 P Amiot, L Marleau 124 Chapitre MOUVEMENT DU SOLIDE expansion de Vθ valable aux petits angles (Taylor) θ ∂ Vθ +··· ∂θ2 θ=0 θ=0 Se rappelant qu’à θ = 0, OZ et Ox3 coïncident, donc l3 = lz Vθ = Vθ (0) + θ ∂Vθ ∂θ + Vθ (0) = M gh = constante sans intérêt (lz − l3 cos θ) (l3 − lz cos θ) ∂Vθ = − M gh sin θ|θ=0 ∂θ θ=0 I1 sin3 θ θ=0 Alors utilisant la règle de l’Hôpital, ∂Vθ = − = : extremum θ = lim θ→0 ∂θ Par ailleurs ∂ Vθ l2 (1 − cos θ) (2 + cos2 θ − cos θ) − Mgh cos θ|θ=0 = I1 sin4 θ ∂θ θ=0 θ=0 Le premier terme donne, utilisant une fois la règle de l’Hôpital, (6.132) (6.133) (6.134) (6.135) (6.136) l3 (1 − cos θ) (6.137) (2 + cos2 θ − cos θ) = θ→0 I1 sin4 θ une indétermination Une double application de la règle de l’Hôpital donne cependant lim ∂ Vθ ∂θ2 = θ=0 l3 − Mgh I1 (6.138) Au total donc θ l3 − M gh + · · · (6.139) 4I1 l3 2 L’extremum θ = sera un minimum si 4I1 − Mgh > donc si l3 = I3 Ω2 > 4I1 Mgh ou encore 4I1 Mgh Ω2 > (6.140) I3 Tant que la vitesse de rotation de la toupie qui dort, essentiellement Ω3 , satisfait cette condition, la position verticale de la toupie est stable Lorsque la friction fait tomber la vitesse sous cette limite l’extremum de Vθ θ ≈ devient instable et le mouvement devient rapidement désordonné Le tout est en fait le résultat d’une compétition entre le terme de Vθ , M gh cos θ, qui tend faire tomber la toupie, et un terme qui provient de la rotation de la toupie et tend la garder verticale Plus la vitesse de rotation augmente, plus la stabilité est grande et moins l’effet de M gh cos θ (donc du torque extérieur) est important En fait, on peut dire qu’à grande vitesse la situation ressemble au cas libre Vθ = M gh + 6.9 La toupie asymétrique libre: problème de stabilité Nous avons ici I1 = I2 = I3 Posons ici I1 < I2 < I3 Dans la cas libre nous avons essentiellement conservation de l donc de l2 et de E Développant selon les axes principaux nous aurons 2 l2 = l2 = I1 Ω2 + I2 Ω2 + I3 Ω2 = constante (6.141) 6.9 La toupie asymétrique libre: problème de stabilité On peut aussi écrire 1 E = I1 Ω2 + I2 Ω2 + I3 Ω2 = constante 2 125 (6.142) 2 l2 = l1 + l2 + l3 (6.143) 2 l2 l3 l1 + + (6.144) E= 2I1 2I2 2I3 Traỗant les trois axes orthogonaux de coordonnộes, l1 , l2 et l3 , on constate que la première équation définit la surface d’une sphère de rayon l alors que la deuxième définit √ √ √ la surface d’une ellipsoïde de demi-axes de longueurs 2EI1 , 2EI2 et 2EI3 Les deux équations doivent être satisfaites simultanément Ainsi l’extrémité du vecteur l ne pourra suivre que les courbes d’intersection de ces deux surfaces Il est également clair que (6.145) 2EI1 ≤ l2 ≤ 2EI3 Si l = 2EI1 (ou = 2EI3 ), l est minimum (maximum) et l est selon l’axe (l’axe 3) Toutes les valeurs intermédiaires sont permises On voit sur la figure 6.14 un série de trajectoires tracées par la pointe de l pour différentes valeurs de l allant croissant de la trajectoire où l est près de la valeur minimum jusqu’à la trajectoire où l est près de sa valeur maximale Dans le cas de la courbe1, l est près de la valeur minimale donc l 1 l l Figure 6.14 et l est surtout selon l’axe ce qui indique une rotation autour de l’axe On voit que la trajectoire est fermée et que l dérive peu de la direction La rotation autour,ou presque, de l’axe est stable La même chose s’applique lorsque l est près de la valeur maximale alors que l est près de la direction de l’axe 3, indiquant une rotation autour de l’axe Ici encore l trace une trajectoire fermée autour de l’axe Mais tel n’est pas le cas lorsque la rotation se fait autour de l’axe parce que les trajectoires tracées par l et qui passent près de ou par la direction de l’axe (rotation autour de cet axe) ne sont pas fermées autour de l’axe mais se promènent tout autour de l’ellipsoïde, passant même par les parties négatives de l2 Nous en concluons qu’une trajectoire initiée autour de l’axe 2, celui dont le moment d’inertie a la valeur intermédiaire, entre I1 et I3 , sera instable C’est ce qu’on constate expérimentalement lorsqu’on fait tourner une raquette ou un livre (gardé fermé par un élastique) par exemple Copyright
1997 P Amiot, L Marleau 126 Chapitre MOUVEMENT DU SOLIDE Cette explication est clairement plus qualitative que quantitative mais elle nous donne néanmoins une image raisonnable du phénomène Annexe A: Notations, conventions, A.1 Notations et conventions Dans cet ouvrage, une certain nombre de conventions ont été adoptées pour faciliter la lecture Les vecteurs sont notés par des caractères gras x, r, v, F, (A.1) L’alphabet grec est utilisé fréquemment: Majuscule A B Γ ∆ E Z H Θ I K Λ M N Ξ O Π P Σ T Υ Φ Ψ X Ω Minuscule α β γ δ ǫ, ε ζ η θ, ϑ ι κ λ µ ν ξ o π ρ σ τ υ φ, ϕ ψ χ ω, ̟ Prononciation alpha bêta gamma delta epsilon zeta eta theta iota kappa lambda mu nu xi omicron pi rho sigma tau upsilon phi psi chi omega 128 Annexe A Notations, conventions, A.2 Systèmes de coordonnées Coordonnées cartésiennes plan z=z z az P(x 1 ) ,y ,z ay ax O y x plan x=x1 plan y=y Figure 6.1 Les vecteurs unitaires d’un système de coordonnées cartésiennes ˆx , ˆy , ˆz ont les a a a propriétés suivantes ˆx × ˆy a a ˆy × ˆz a a ˆz × ˆx a a = ˆz a = ˆx a = ˆy a (A.2) Un vecteur A dans ce système de coordonnées s’exprime souvent sous la forme de ses composantes A = (Ax , Ay , Az ) ce qui représente la somme vectorielle A = ˆx Ax + ˆy Ay + ˆz Az a a a (A.3) Les éléments de longueur, dl = (dx, dy, dz), de surface, (dsx , dsy , dsz ) , et de volume, dv, sont respectivement a a (A.4) dl = ˆx dx + ˆy dy + ˆz dz a dsx dsy dsz = dydz = dxdz = dxdy (A.5) A.2 Systèmes de coordonnées dv = dxdydz 129 (A.6) Remarque 10 Dans ces notes, nous allégeons la notation en prenant a a a ˆx , ˆy , ˆz = i, j, k (A.7) a a a mais dans la littérature, les vecteurs unitaires ˆx , ˆy , ˆz s’écrivent aussi souvent sous les formes variées x, y, z x, y, ˆ ˆ ˆ z ˆx , ˆy , ˆz e e e Coordonnées cylindriques plan z=z z az P aφ ar O x1 cylindre r=r y y φ1 plan φ=φ x Figure 6.2 Les vecteurs unitaires d’un système de coordonnées cylindriques ˆr , ˆφ , ˆz ont les a a a propriétés suivantes ˆr × ˆφ a a ˆφ × ˆz a a ˆz × ˆr a a = ˆz a = ˆr a = ˆφ a (A.8) Un vecteur A dans ce système de coordonnées s’exprime souvent sous la forme de ses composantes A = (Ar , Aφ , Az ) ce qui représente la somme vectorielle A = ˆr Ar + ˆφ Aφ + ˆz Az a a a (A.9) Les éléments de longueur, dl = (dr, dφ, dz), de surface, (dsr , dsφ , dsz ) , et de volume, Copyright
1997 P Amiot, L Marleau 130 Annexe A Notations, conventions, dv, sont respectivement a a dl = ˆr dr + ˆφ rdφ + ˆz dz a dsr dsφ dsz (A.10) = rdφdz = drdz = rdrdφ (A.11) dv = rdrdφdz (A.12) Les relations de transformations de coordonnées cylindriques coordonnées cartésiennes sont les suivantes: x = r cos φ y = r sin φ z = z (A.13) x2 + y y φ = arctan x z = z (A.14) et inversement r = Coordonnées sphériques z cône θ=θ aR P θ1 aφ R1 a θ O sphère R=R y φ1 x plan φ=φ Figure 6.3 Les vecteurs unitaires d’un système de coordonnées sphériques ˆR , ˆθ , ˆφ ont les a a a propriétés suivantes a ˆR × ˆθ a = ˆz a A.2 Systèmes de coordonnées a ˆθ × ˆφ a ˆφ × ˆR a a = ˆR a = ˆθ a 131 (A.15) Un vecteur A dans ce système de coordonnées s’exprime souvent sous la forme de ses composantes A = (AR , Aθ , Aφ ) ce qui représente la somme vectorielle A = ˆR AR + ˆθ Aθ + ˆφ Aφ a a a (A.16) Les éléments de longueur, dl = (dR, dφ, dz), de surface, (dsR , dsθ , dsφ ) , et de volume, dv, sont respectivement dl = ˆr dr + ˆθ Rdθ + ˆφ R sin θdφ a a a dsR dsθ dsφ = R2 sin θdθdφ = R sin θdRdφ = RdRdθ (A.17) (A.18) dv = R2 sin θdRdθdφ Les relations de transformations de coordonnées sphériques coordonnées cartésiennes sont les suivantes: x = R sin θ cos φ y = R sin θ sin φ z = R cos θ (A.19) et inversement x2 + y + z r = θ = arctan y φ = arctan x x2 + y2 z (A.20) Copyright
1997 P Amiot, L Marleau 132 Annexe A Notations, conventions, A.3 Aide-mémoire Mécanique lagrangienne L’équation d’Euler-Lagrange pour un Lagrangien L(qi , qi , t) : ˙ d dt ∂L ∂ qi ˙ − ∂L =0 ∂qi (À compléter par l’étudiant.) Corps solide Moments d’inertie I par rapport l’axe de symétrie: Tige mince p/r extrémité Tige mince p/r centre Sphère pleine: Sphère creuse ou coquille mince: Disque ou cylindre plein: Cylindre creux ou anneau mince: Anneau épais: 3MR 12 M R 2 5MR 2 3MR 2MR MR 2 M (Rint + Rext ) Dynamique ˙ τ = L = Iα L = Iω Trot = Iω2 Condition de roulement sans glissement v = ωR Théorème des axes parallèles: Théorème des plaques minces: I = ICM + M · d2 Iz = Ix + Iy Constantes usuelles: Accélération gravitationnelle: Rayon terrestre: Vitesse angulaire terrestre: g = 9.8 m · s−2 R = 6378 km ω = 7.27 × 10−5 rad · s−1 A.0 133 A.4 Références Les notes couvrent une partie de ce qui est traité dans les volumes suivants et ceux-ci peuvent être utilisés titre complémentaire Classical Mechanics, H Goldstein, 2e édition, Addison-Wesley (1980) Mécanique., L Laudau et E Lifchitz, 4e édition, Éditions MIR Copyright
1997 P Amiot, L Marleau Index Particule ponctuelle, Copyright
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1997 P Amiot, L Marleau RAPPEL 1.1 Trajectoire et cinématique d’une particule