Đang tải... (xem toàn văn)
5 bài giảng xác suất thống kê của đại học kinh tế quốc dânTổng hợp một số đề thi và bài giảng môn xác suất thống kê của đại học kinh tế quốc dân
5 BÀI GIẢNG TOÁN XÁC SUẤT ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN MỤC LỤC Bài giảng 1: Biến cố ngẫu nhiên, xác suất cổ điển số dạng tập Bài giảng 2: Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất Bài giảng 3: Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng Bài giảng 4: Biến ngẫu nhiên, hàm biến ngẫu nhiên định lý giới hạn Bài giảng 5: Phân phối chuẩn số tập minh họa Một số đề thi xác suất thống kê Đại học kinh tế quốc dân Chương I: Biến cố ngẫu nhiên xác suất § Phép thử biến cố Định nghĩa: Trước trận bóng đá, ta thường thấy trọng tài tung đồng xu sau đội trưởng hai đội quan sát xem xuất mặt sấp hay mặt ngửa Ở đây, trọng tài thực phép thử : tung đồng xu Việc thực nhóm điều kiện tiến hành thí nghiệm, đo lường hay quan sát tượng gọi phép thử Ví dụ 1: + Xem viên đạn có trúng bia hay không người ta phải thực phép thử : bắn viên đạn vào bia + Quan sát số chấm xúc xắc: Gieo xúc xắc Khi bắn viên đạn vào bia xảy tượng: viên đạn trúng bia, viên đạn trượt bia Hiện tượng xảy tung đồng xu ? Hiện tượng xảy không xảy kết phép thử gọi biến cố Ví dụ 2: +) Thực phép thử: tung đồng xu (cân đối, đồng chất, mặt phẳng cứng), tượng xuất mặt sấp biến cố hay “biến cố xuất mặt sấp’’; “biến cố xuất mặt ngửa” +) Biến cố viên đạn trượt bia bắn viên đạn vào bia +) Phép thử: Gieo xúc xắc -Biến cố xuất mặt chấm -Biến cố xuất mặt chấm -Biến cố xuất mặt có số chấm chẵn Ghi chú: Một biến cố xảy phép thử gắn liền với thực Phân loại biến cố Trong thực tế xảy loại biến cố sau: + Biến cố chắn: Biến cố định xảy thực phép thử, kí hiệu: U + Biến cố khơng thể có: Biến cố định không xảy thực phép thử, kí hiệu: V + Biến cố ngẫu nhiên: Biến cố xảy khơng xảy thực phép thử, thường kí hiệu: A, B, C A1, B2… Ví dụ 3: Gieo xúc xắc, xét biến cố sau: loại biến cố? a.Biến cố “được mặt có số chấm 6”: B/c chắn: U b.Biến cố “được mặt chấm”: B/c khơng thể có: V c Biến cố “được mặt chấm”: B/c ngẫu nhiên A d Biến cố “Được mặt chấm chẵn” B/c ngẫu nhiên B Nhận xét: Việc biến cố xảy hay không xảy khơng thể đốn trước Biến cố dễ xảy hơn, phải khả xảy biến cố B cao A? Để so sánh, người ta biểu thị khả xảy biến cố số §2 Xác suất biến cố Khả xảy biến cố gọi xác suất biến cố Xác suất biến cố A kí hiệu P(A) Xác suất số xác định phụ thuộc vào điều kiện xảy phép thử không phụ thuộc vào ý muốn chủ quan người Định nghĩa cổ điển xác suất Trước hết ta xét ví dụ sau: Trong thùng kín đựng 10 cầu giống mặt, khác màu sắc, có màu trắng, màu đen Thực phép thử: rút hú hoạ Hỏi xác suất rút trắng? Vì thùng có 10 quả, nên xảy 10 kết cục, kết cục thoả mãn điều kiện: + Tính nhất: Kết phét thử xảy kết cục + Tính đồng khả năng: Khả rút Nếu gọi A biến cố rút cầu trắng, ta thấy có khả mà xảy xảy A Tự nhiên, người ta lấy tỷ số 4/10 xác suất biến cố A Định nghĩa: Giả sử phép thử có n kết cục đồng khả năng, có m kết cục thuận lợi cho biến cố A Ta gọi tỷ số m/n xác suất biến cố A Kí hiệu: P(A)=m/n Tính chất: a P ( A) b.P(U)=1, P(V)=0 Ví dụ 1: Gieo xúc xắc cân đối đồng chất Tính xác suất để a Xuất mặt chấm b Xuất mặt chấm chẵn Giải: Số kết cục đồng khả năng: n=6 a Gọi A biến cố “Xuất mặt chấm” số kết cục thuận lợi cho A là: mA=1 Do đó: P(A)=1/6 b Gọi B biến cố “ xuất mặt chấm chẵn” Số kết cục thuận lợi cho B mA=3 (mặt 2, 4, chấm) P(B)=3/6=1/2 Ví dụ 2: Một hộp có cầu đen, cầu trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp cầu Tính xác suất để: a Lấy cầu đen b Lấy cầu đen cầu trắng Giải: Số kết cục đồng khả năng: C10 a Gọi A biến cố “ lấy cầu đen” Số kết cục thuận lợi cho A: C6 C 63 P ( A) C10 b Gọi B biến cố “lấy cầu đen cầu trắng” Số kết cục thuận lợi cho B: C6 C P(B) C 62 C C10 Ví dụ 3: Trong nhóm N sản phẩm loại có M sản phẩm đạt tiêu chuẩn, N-M sản phẩm không đạt tiêu chuẩn Rút ngẫu nhiên n sản phẩm Tính xác suất cho số sản phẩm rút có m sản phẩm đạt tiêu chuẩn Giải: Gọi A biến cố “trong n sản phẩm rút có m sản phẩm đạt tiêu chuẩn” n Số kết cục đồng khả năng: C N m Do lấy m sản phẩm đạt tiêu chuẩn từ M sản phẩm theo C M cách, n-m sản phẩm không đạt n -m m n -m tiêu chuẩn từ N-M sản phẩm theo C N-M cách Nên số kết cục thuận lợi cho A là: C M C N -M Cm C n m P(A) M nN M CN Nhận xét: Định nghĩa cổ điển xác suất có ưu điểm dễ vận dụng, nhiên định nghĩa áp dụng với phép thử có hữu hạn kết cục đồng khả xảy Trong nhiều tốn thực tế, việc tính hết kết cục phép thử không dễ dàng, chẳng hạn: phép thử bắn viên đạn vào bia kết cục trúng bia trượt bia xem đồng khả Để khắc phục hạn chế người ta đưa định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê Định nghĩa thống kê xác suất : Giả sử tiến hành n phép thử loại, phép thử xuất biến cố A, gọi k số phếp thử xuất biến cố A Khi tỷ số k/n gọi tần suất xuất biến cố A n phép thử cho, kí hiệu f(A)=k/n Ví dụ 4: Một người bắn 100 viên đạn vào bia, thấy có 70 viên trúng bia Như tần suất bắn trúng bia người 70/100=0,7 Người ta nhận thấy tiến hành phép thử điều kiện số phép thử lớn giá trị tần suất thể tính ổn định Nghĩa n lớn tần suất biến thiên xung quanh số Ví dụ 5: Nghiên cứu khả xuất mặt sấp tung đồng xu, người ta thu bảng sau: Người thí nghiệm Số lần tung(n) sơ lần sấp(k) tần suất(f) Buffon 4040 2048 0.5080 Pearson 12000 6019 0.5016 Pearson 24000 12012 0.5005 Từ thấy số lần tung lớn, tần suất xuất mặt sấp gần với xác suất xuất mặt sấp Định nghĩa: Xác suất biến cố giá trị số ổn định tần suất số phép thử tăng lên vô hạn Trong thực tế, số phép thử đủ lớn, ta lấy: f(A) P(A) Ghi chú: + Phương pháp xác định xác suất theo quan điểm thống kê có phạm vi ứng dụng rộng rãi: Tìm quy luật diễn biến thời tiêt, tỷ lệ phế phẩm, lập kích thước quần áo may sẵn… + Tuy nhiên, có số hạn chế như: phải tiến hành số phép thử đủ lớn, xác suất tìm thực phép thử… Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học: Ví dụ 6: Giả sử châm ngẫu nhiên mũi kim vào hình chữ nhật U-chiều dài 5cm, chiều rộng 4cm Gọi A biến cố “mũi kim rơi vào hình trịn C bán kính 1cm” P(A)=? U C Định nghĩa: Xét phép thử có vơ hạn kết cục đồng khả Giả sử ta biểu thị tập hợp kết cục đồng khả miền hình học U, kết cục thích hợp cho biến cố A điểm thuộc miền C Khi P(A)= Kích thước miền C Kích thước miền U Trở lại ví dụ, ta có P(A) = Diện tích hình trịn C Diện tích hình chữ nhật U = 12.3,14 4.5 Nguyên lý xác suất nhỏ, xác suất lớn - Nguyên lý xác suất nhỏ: Nếu biến cố có xác suất nhỏ thực tế cho phép thử biến cố khơng xảy -Ngun lý xác suất lớn: Nếu biến cố có xác suất gần thực tế cho biến cố chắn xảy Chú ý: Việc quy định mức xác suất đủ coi nhỏ hay lớn tuỳ thuộc vào toán cụ thể Bài tập… §3 Các định lý công thức xác suất Ở mục trước nghiên cứu phương pháp tính xác suất biến cố định nghĩa Tuy nhiên cách tính trực tiếp khơng phải lúc tiện lợi dùng Khi cần tính xác suất biến cố A phức tạp, thông thường phải phân tích A thành biến cố đơn giản B, C, D…(dễ tính xác suất ), sau kết hợp xác suất để tính P(A) Để kết hợp xác suất, người ta dùng định lý xác suất I Định lý nhân xác suất: 1.1 Định nghĩa: (Tích biến cố ) Một biến cố A gọi tích hai biến cố B C A xảy B C xảy Kí hiệu: A= B.C (A=B C) 1.2 Định nghĩa: (tích n biến cố ) Biến cố A gọi tích n biến cố A1, A2,….An A xảy n biến cố đồng n thời xảy ra, kí hiệu A Ai i 1 1.3 Xác suất có điều kiện: Xác suất biến cố A tính với giả thiết biến cố B xảy gọi xác suất có điều kiện A với giả thiết B, kí hiệu P(A/B) Ví dụ 7: Trong hộp có cầu trắng cầu đen Lấy ngẫu nhiên cầu (khơng hồn lại) Tìm xác suất để lần thứ lấy cầu trắng biết: a Lần lấy cầu trắng b Lần lấy cầu đen Giải: Gọi A biến cố “lần lấy cầu trắng” B biến cố “lần lấy cầu đen” a P(A/B)=4/7 b P(A/B) = 5/7 1.4 Định nghĩa: Hai biến cố A B gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố khơng ảnh hưởng đến xác suất xảy biến cố ngược lại P ( A / B) P( A) P ( A / B) P ( B / A) P( B ) P ( B / A) Hai biến cố A B khơng độc lập gọi phụ thuộc Ví dụ 8: Trong ví dụ giả thiết lấy sản phẩm có hồn lại A B độc lập 1.5 Định nghĩa: Các biến cố A1, A2,….An gọi độc lập đôi cặp chúng độc lập với 1.6 Định nghĩa: Các biến cố A1, A2,….An gọi độc lập toàn phần (độc lập toàn thể) biến cố chúng độc lập với tích số biến cố cịn lại 1.7 Định lý nhân xác suất : Xác suất tích biến cố tích xác suất chúng với xác suất có điều kiện biến cố với giả thiết biến cố thứ xảy P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B) Chứng minh: Giả sử n số kết cục đồng khả xảy phép thử; m1 số kết cục thuận lợi cho biến cố A xảy ra; m2 số kết cục thuận lợi cho biến cố B xảy Có k kết cục thuận lợi cho hai biến cố A B xảy Hay P(AB)=k/n, P(A)=m1/n Với điều kiện A xảy số kết cục đồng khả phép thử biến cố B m1, có k kết cục thuận lợi cho biến cố B, hay P(B/A)=k/m1 Ta có: P(AB)=k/n=(m1/n).(k/m1)=P(A).P(B/A) Tương tự P(AB)= P(B).P(A/B) Hệ 1: Nếu P(B)>0 P ( A / B ) Nếu P(A)>0 P ( B / A) P ( AB ) P ( A) P ( AB ) P(B) Hệ 2: A B biến cố độc lập P(AB)=P(A).P(B) Ta có định lý nhân cho tích n biến cố Định lý: Nếu P(A1A2….An-1)>0 P(A1A2….An)=P(A1).P(A2/A1)…P(An/A1…An-1) v biến cố A1 , A2….An-1 độc lập tồn phần P(A1A2….An)=P(A1).P(A2)…P(An) Ví dụ 1: Một hộp đựng cầu trắng, đen Lấy nn cầu Tính xác suất để lần thứ lấy cầu trắng, lần thứ lấy cầu đen Giải: Gọi A biến cố “lần lấy cầu trắng” B biến cố “lần lấy cầu đen” Ta có P(AB)=P(A).P(B/A)=5/8.3/7=15/56 Ví dụ 2: Một người muốn gọi điện thoại quên chữ số cuối Tính xác suất để người bấm nn lần số máy, biết: a Người khơng nhớ số qn b người nhớ chữ số khác Giải: Gọi A biến cố “người bấm số máy” B biến cố “người bấm số hàng trăm” C biến cố “người bấm số hàng chục” D biến cố “người bấm số hàng đơn vị” Khi A=BCD, P(A)=P(BCD) a Do B, C, D độc lập nên P(A)=P(B)P(C)P(D)=1/10.1/10.1/10=1/1000 b.B, C, D không độc lập P(A)=P(B)P(C/B)P(D/BC)=1/10.1/9.1/8=1/720 II Định lý cộng xác suất 2.1.Biến cố tổng: Định nghĩa 1: Biến cố A gọi tổng biến cố B C A xảy biến cố B C xảy K/h: A=B+C (hoặc A=B C) Ví dụ 3: Hai người bắn vào bia, B biến cố “người thứ bắn trúng” C biến cố “người thứ bắn trúng” A biến cố “bia bị trúng đạn” Khi A=B+C Ví dụ 4: Gieo xúc xắc B biến cố “xuất mặt chấm” C biến cố “xuất mặt chấm” A biến cố “được nhiều mặt chấm” A=B + C Định nghĩa 2: Biến cố A gọi tổng n biến cố A1 , A2….An A xảy n biến cố xảy K/h: A= A1 + A2….+An 2.2.Tính xung khắc biến cố : Định nghĩa 3: Hai biến cố B, C gọi xung khắc chúng đồng thời xảy thực phép thử (BC=V) Định nghĩa 4: Các biến cố A1 , A2….An gọi đôi xung khắc (xung khắc đôi) biến cố chúng xung khắc.( AiAj=V) Ví dụ 5: biến cố ví dụ khơng xung khắc biến cố ví dụ xung khắc Định nghĩa 5: (biến cố đối lập) Biến cố đối lập biến cố A, kí hiệu A , biến cố thoả mãn A+ A =U, A A =V Nhận xét: A A xung khắc Ví dụ 6: A biến cố xuất mặt chấm chẵn B biến cố xuất mặt chấm lẻ A B biến cố đối lập , B= A Nhận xét: Nếu B, C hai biến cố độc lập cặp biến cố B, C ; B, C ; B , C độc lập Định nghĩa 6: Các biến cố A1, A2,…An gọi lập thành hệ đầy đủ biến cố thoả mãn điều kiện sau: + Tổng chúng biến cố chắn: A1+ A2+…+An = U + Đôi xung khắc Ví dụ 7: *Gieo xúc xắc: + Ai biến cố “xuất mặt I chấm” Các biến cố A1, A2,A3…A6 lập thành hệ đầy đủ + A biến cố “xuất mặt chấm chẵn” B biến cố “xuất mặt chấm lẻ” A, B lập thành hệ đầy đủ biến cố MiỊn b¸c bá: Wα = {χ2 = Giá trị quan sát: = qs (n 1)S 2 2(n−1) ; χ < χ1−α } σ0 11.11, 41 = 12, 551 10 MiỊn b¸c bá: Wα = (−∞, χ2(n−1)) = (−∞; 4, 575) 1−α χ2 ∈ W bác bỏ H0 , cho độ đồng trọng lượng gà đà giảm sút qs Kiểm định giả thuyết hai phương sai hai biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn Giả sử có hai tổng thể nghiên cứu biến ngẫu nhiên gốc X1, X2 phân phối chuÈn N (µ1, σ12), N (µ2, σ22) NÕu cha biÕt 12, 22 song có sở để giả thiết chúng ta đưa giả thuyết thống kê: H0 : σ12 = σ22 Tõ hai tỉng thĨ rót hai mẫu kích thước n1, n2 chọn tiêu chuẩn kiểm định: 2 S1 G = F = 2, S2 σ1 nÕuS12 > S22 F ph©n phèi theo quy lt Fisher-snedecor víi (n1 − 1) vµ (n2) bậc tự Nếu giả thuyết H0 tiêu chuẩn kiểm định trở thành: F = S1 S2 cịng ph©n F (n1 − 1, n2 − 1) Ta có trường hợp sau tùy thuộc vào giả thuyết đối H1 *Cặp giả thuyết: H0 : σ12 = σ22, H1 : σ12 > σ22 MiỊn b¸c bá: Wα = {F = S1 (n ; F > f 1,n2 1) } S2 *Cặp giả thuyÕt: H0 : σ12 = σ22, H1 : σ12 = σ22 MiỊn b¸c bá: S1 (n1 −1,n −1) Wα = {F = ; F < f1−α/2 S2 (n hcF > fα/2−1,n −1)} VÝ dơ(bt 8.49): Để so sánh độ xác hai thiết bị ®o lêng ngêi ta tiÕn hµnh lÊy mÉu vµ thu kết sau: Thiết bị A, đo 25 lần, phương sai: 14,5 Thiết bị B, đo 20 lần, phuơng sai:17,2 Giả thiết sai số đo lường biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn Với mức ý nghĩa 0,05 cho độ chuẩn xác hai thiết bị không Giải: Giả sử: s2 = 17, 2, s2 = 14, Tiêu chuẩn kiểm định : F = S1 S2 Xét cặp giả thuyết: H0 : 12 = 22, H1 : 12 = 22 Giá trị quan sát: Fqs = 17,2 = 1, 1862 14,5 MiỊn b¸c bá: (n −1,n2 −1) Wα = (−∞; f1−α/2 (19,24) (n −1,n2 −1) ) ∪ (fα/2 ; +∞) (19,24) = (−∞; f0,975 ) ∪ (f0,025 , +∞) = (−∞; = (−∞; (24,19) f0,025 (19,24) ) ∪ (f0,025 , +∞) ) ∪ (2, 45; +∞) 2, 33 = (−∞; 0, 42915) ∪ (2, 45; +∞) Fqs ∈ Wα cha cã sở bác bỏ H0 hay độ xác hai thiết bị Đ7: Quy luật phân phối chuẩn 1.Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị khoảng (; +) gọi phân phối theo quy luật chuẩn với tham số hàm mật độ có dạng (xà)2 f (x) = e 22 Kí hiệu: N (à; 2) Khảo sát hàm số f(x) vẽ đồ thị ta có nhận xét:(********minh họa đồ thị) -Đồ thị đối xứng qua đường x = -Hàm số đạt cực đại 12 x = -Có hai điểm uốn x = µ + σ vµ x = µ − σ - Luôn nằm phía trục Ox nhận Ox làm tiệm cận ngang 2.Các tham số đặc trưng -Kỳ väng to¸n: +∞ E(X) = −∞ xf (x)dx = √ σ 2π +∞ xe− (x−µ)2 2σ dx −∞ Thực phép đổi biến: Z = xà E(X) = √ 2π =√ 2π +∞ z2 (σz + µ)e− dz −∞ +∞ −∞ z2 µ (σz + µ)e− dz + √ 2π +∞ z2 e− dz = + µ = µ −∞ E(X) = -Phương sai: V (X) = 2π +∞ (x − µ)2 e− (x−µ)2 2σ dx = σ −∞ -§é lƯch chn: σx = σ Nh vËy hai tham sè µ vµ σ2 chÝnh lµ kỳ vọng phương sai biến ngẫu nhiên X Ngoài ta nhận thấy, tăng đồ thị thấp xuống phình Khi giảm đồ thị cao lên hẹp lại Điều phù hợp với ý nghĩa phương sai Biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn hóa Biến ngẫu nhiên U nhận giá trị khoảng (; +) gọi tuân theo quy luật phân phối chuẩn hóa hàm mật độ cđa nã cã d¹ng u2 ϕ(u) = √ e− 2π DƠ thÊy : E(U)=0, V(U)=1 NhËn xÐt: §å thị hàm (u) nhận trục tung làm trục đối xứng (u) = (u), giá trị (u) tính sẵn b¶ng phơ lơc Víi u ≥ 4, lÊy ϕ(u) ≈ Hàm phân bố xác suất: u (u) = u2 e du 4.Công thức xác suất để biến ngẫu nhiên X N (à; ) nhận giá trị khoảng (a,b) Giả sử:X ∼ N (µ; σ2) P (a < X < b) = Đặt z = xà x = σz + µ, dx = σdz σ Ta cã: P (a < X < b) = √ Đặt 0(u) = 12 Suy ra: b e (xà)2 2σ b−µ σ z2 e− dz a−µ σ u − z2 e dz φ0 (u) = φ0 ( b−µ a−µ ) − φ0 ( ) σ σ Ghi chó: +φ0−u = −φ0(u), +NÕu u>5, φ0(u) ≈ 0(5) = 0, +Giá trị 0(u) cho sẵn b¶ng phơ lơc VÝ dơ: φ0(−1, 52) = −φ0(1, 52) = −0, 4357 +φ(u) = 0, + φ0(u) +P (U < a) = φ(a) = + φ0(a) P (U > a) = − φ(a) = − φ0 (a) P (a < U < b) = φ0 (b) − φ0 (a) dx a P (X < b) = φ0 ( b−µ ) − φ0 (−∞) = 0, + φ0 ( b−µ ) σ σ P (X > a) = φ0 (+∞) − φ0 ( a−µ ) = 0, − φ0 ( aà ) 5.Xác suất sai lệch biến ngẫu nhiên kỳ vọng Xác suất để biến ngẫu nhiên X phân phối chuẩn nhận giá trị sai lệch so với kỳ vọng toán giá trị tuyệt đối nhỏ số dương cho trước P (|X à| < ) = P (µ − < X < µ + ) = 2φ0 ( σ ) Quy t¾c 2σ, 3σ +NÕu = 2σ, ta cã P (|X − µ| < 2σ) = 2φ0(2) = 0, 9544 +NÕu = 3σ, ta cã P (|X − µ| < 3σ) = 0, 9974 NhËn xÐt: +95,44% giá trị X phân phối chuẩn nằm khoảng (à 2; + 2) +99,74% giá trị X phân phối chuẩn nằm khoảng (à 3; + 3) Ví dụ: Người ta tiện loại chi tiết máy với chiều dài quy định a=20cm Biết độ dài X chi tiết sản xuất tuân theo phân phối chn víi ®é lƯch chn σ = 0, 2cm a Tính xác suất để độ dài chi tiết nằm khoảng (19,7;20,3) b Tính xác suất để độ dài chi tiết sản xuất lớn 20,5 cm c.Tính xác suất để độ dài chi tiết sản xuất lệch với độ dài quy định không 0,3 cm Giải: Ta có X N (à = 20; =0, 22) a P (19, < X < 20, 3) = φ0( 20,3−20 ) − φ0( 19,7−20 ) = 2φ0(1, 5) = 0, 8664 0,2 0,2 20,5−20 b P (X > 21) = 0, − φ0( 0,2 ) = 0, − 0, 4938 = 0, 0062 c.P (|X − 20| < 0, 3) = 2φ0( 0,3 ) = 20(1, 5) = 0, 8644 0,2 Kết cho thấy 87% chi tiết sản xuất có độ dài phạm vi 19,7-20,3cm Tức dung sai (sai số cho phép) 0,3 cm tỷ lệ phế phẩm 13% Hỏi Nếu muốn đảm bảo tỷ lệ phế phẩm không 5% dung sai cho phép phải Ta phải tìm cho α P (|X − 20| < α) ≥ 0, 95 ⇒ 2φ0 ( 0,2 ) ≥ 0, 95 α ⇒ φ0 ( 0,2 ) ≥ 0, 475 ⇒ α 0,2 ≥ 1, 96 ⇒ α ≥ 0, 392 Tøc dung sai phải lớn 0,392cm 6.Phân phối xác suất tổng biến ngẫu nhiên độc lập tuân theo quy luật -Giả sử X1, X2 hai biến ngẫu nhiên độc lập X1 ∼ N (µ1, σ12), X2 ∼ N (µ2, σ22) Khi ®ã biÕn ngÉu nhiªn X = X1 + X2 ∼ N (µ1 + µ2; σ12 + σ22) -NÕu n biÕn ngẫu nhiên X1, X2, Xn độc lập lẫn tuân theo quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X = n Xi ph©n phèi xÊp xØ chn víi i=1 n n E(X) = i=1 E(Xi ) vµ V (X) = i=1 V (Xi ) n>30 7.Sù héi tơ cđa quy lt nhị thức quy luật Poisson quy luật chuẩn Khi sử dụng quy luật nhị thức, n lớn việc tính toán theo công thức Bernoulli gặp khó khăn Nếu p nhỏ đến mức np npq dùng quy luật Poisson để thay Nhưng p không nhỏ (p>0,1) Lúc có thĨ dïng quy lt chn ®Ĩ thay thÕ cho quy luật nhị thức thỏa mÃn hai điều kiện: n > | p 1−p − 1−p √ | 1n p < 0, vµ biÕn ngÉu nhiên X coi xấp xỉ chuẩn với kì vọng toán = np phương sai = npq Tõ ®ã x − np x ϕ( √ ) P (X = x) = Cn px q n−x npq npq Công thức gọi định lý Laplace Mặt khác: P (x X x + h) = Px + Px+1 + + Px+h ≈ φ0 ( x + h − np x − np ) − φ0 ( √ ) √ npq npq (1) (1) gọi định lý tích phân Laplace Ví dụ 1: Gieo 3200 lần đồng xu cân đối đồng chất Gọi X số lần xuất mặt sấp 3200 lần gieo a Tìm số lần xuất mặt sấp có khả nhiều Tính xác suất tương ứng b Tìm xác suất cho giá trị X nằm khoảng (1600 + 52; 1600 + 102) Giải: a.X tuân theo quy luật nhị thức với n=3200,p=0,5 Theo công thức tìm mốt ta cã np + p − ≥ m0 ≥ np + p suy m0 = 1600 b 1600 P3200 (1600) = C3200 0, 51600 0, 51600 ≈ √ ϕ(0) = 0, 014 3200.0, 5.0, √ √ P (1600 + < X < 1600 + 2) √ √ √ √ = φ0 ( 1600+10 2−1600 ) − φ0 ( 1600+5 2−1600 ) 3200.0,5.0,5 3200.0,5.0,5 = φ0 (0, 5) − φ0 (0, 25) = 0, 0927 Ví dụ 2: Trọng lượng X(g) sản phẩm máy tự động sản xuất biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn X N (100, 1) Sản phẩm gọi đạt tiêu chuẩn trọng lượng đạt từ 98,04g đến 101,96g a Tính tỷ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn b Lấy ngẫu nhiên 100 sản phẩm máy Tính xác suất để có 95 sản phẩm đạt tiêu chuẩn Giải: a.P (98, 04 ≥ X ≥ 101, 96) = φ0( 101,96−100 ) − φ0( 98,04−100 ) = 2φ0(1, 96) = 0, 95 1 b.Gọi Y số sản phẩm đạt tiêu chuẩn số 100 sản phẩm lấy, Y phân phối nhị thức với n=100;p=0,95 xác suất để có 95 sản phẩm đạt tiêu chuẩn 100 100.0, 95 95 − 100.0, 95 P (95 ≥ Y ≥ 100) = φ0 ( √ ) − φ0 ( √ ) 100.0, 95.0, 05 100.0, 95.0, 05 = φ0 (2, 2944) (0) = 0, 4884 Đ8: Quy luật phân phối bình phương- (n) Biến ngẫu nhiên liên tục gọi phân phối theo quy luật bình phương với n bậc tự hàm mật độ xác suất xác định biểu thøc sau: f (x) = 0 víi n 2 Γ( n ) x≤0 x n e x −1 víi x>0 ®ã Gamma(x) = −∞ x−1 −t t e dt hàm Gamma, n số nguyên th× Γ(n + 1) = n! +E(χ2) = n +V (2) = 2n +Giá trị tới hạn bình phương møc α kÝ hiÖu χ2(n) tháa m·n: α P (χ2 > 2(n) ) = Các giá trị tới hạn 2(n) tính sẵn bảng phụ lục 2(15) VÝ dô: χ0,025 = 27, 49, χ2(30) = 16, 79 0,975 2(15) cã nghÜa lµ P (χ > 27, 49) = 0, 025, P (χ2(30) > 16, 79) = 0, 975 +Khi số bậc tự n tăng lên, quy luật bình phương xấp xỉ với quy luật chuẩn +Nếu biến ngẫu nhiên độc lập phân phối theo quy luật bình phương với số bậc tự tương ứng n1, n2 biến ngẫu nhiên tổng = χ2 + χ2 cịng ph©n phèi theo quy luật bình phương với n = n1 + n2 bậc tự + Nếu biến ngẫu nhiên Xi phân phối theo quy luật chuẩn hóa n Xi2 χ = i=1 ph©n phèi theo quy luật bình phương với n bậc tự Đ9: Quy lt Student-T(n) BiÕn ngÉu nhiªn liªn tơc T gäi phân phối theo quy luật Student với n bậc tự hàm mật độ xác suất xác định biểu thức sau: f (t) = Γ( n ) π(n − 1)Γ( n−1 ) [1 + t2 n ] n1 +Đồ thị hàm f(t) đối xứng qua trục tung + E(T)=0 n +V (T ) = n2 +Giá trị tới hạn Student møc α kÝ hiÖu t(n) tháa m·n: α P (T > t(n) ) = α α víi mäi t +t(n) = −t(n) α 1−α (15) VÝ dô: t0,025 = 2, 131, t(25) = −t(25) = −1, 708 0,95 0,05 cã nghÜa lµ: P (T (15) > 2, 131) = 0, 025, P (T (25) > −1, 708) = 0, 95 + Khi số bậc tự n tăng lên (n>30), ph©n phèi T sÏ héi tơ rÊt nhanh vỊ ph©n phèi chn hãa Do ®ã n kha lín (n>30) cã thĨ dïng ph©n phèi chn hãa thay thÕ ph©n phèi T + Gi¶ sư U ∼ N (0, 1), V 2(n), U, V độc lập biến ngẫu nhiên T = U V n phân phối theo quy lt Student víi n bËc tù §9: Quy lt Fisher-Snedecor F (n1 , n2 ) BiÕn ngÉu nhiªn liªn tục F gọi phân phối theo quy luật Fisher-Snedecor víi n1 vµ n2 bËc tù nÕu hµm mËt độ xác suất xác định biểu thøc sau: f (x) = 0 C ®ã víi x≤0 víi n1 +n2 (n1 +n2 ) (n2 +n1 x) x n1 x>0 n2 Γ( n1 +n2 )n12 n22 C= Γ( n−1 ).Γ( n2 ) 2 +E(F ) = nn−2 +V (F ) = n 2n (n +n −2 (n −2) (n 4) (n +Giá trị tới hạn Fisher-Snedecor mức kÝ hiÖu fα ,n ) tháa m·n: 2 2 2 2 2 (n P (F > fα ,n2 ) ) = Các giá trị tới hạn tính sẵn + (n fα ,n2 ) = VÝ dô: (n2 ,n ) f1−α , (20,15) = f +Gi¶ sử biến ngẫu nhiên U, V độc lập phân phối theo quy luật bình (15,10) f0,025 = 3, 52 f0,95 (15,20) 0,05 phương với bậc tự tương ứng n1,n2 biến ngẫu nhiên F = U n1 V n2 ph©n phèi theo quy lt Fisher-Snedecor víi n1 vµ n2 bËc tù Khoa tốn kinh tế Bộ mơn tốn kinh tế Mơn xác suất thống kê – Hệ quy Đề thi số Thời gian làm 90 phút Câu (2,5 đ) Cho X1 ; X hai biến ngẫu nhiên độc lập X ~ N ( 1 10; 12 32 ); X ~ N ( 2 15; 42 ) a) Tính P( X X ) b) Tìm quy luật phân phối xác suất viết hàm mật độ biến ngẫu nhiên X X X ,tính P( X 31) Câu (2,5 đ) Có hai hộp sản phẩm giống nhau, hộp I có phẩm phế phẩm, hộp II có phẩm phế phẩm Chọn ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy sản phẩm lấy phẩm phế phẩm a) Tính xác suất để sản phẩm lấy hộp I b) Không trả lại hộp hai sản phẩm lấy, ta lại lấy tiếp từ hộp chọn sản phẩm nữa, tính xác suất để lần hai lấy phế phẩm Câu (2 đ) Tỷ lệ phẩm nhà máy A 85% a) Nếu lấy ngẫu nhiên 169 sản phẩm từ nhà máy A mức xác suất 95% có tối đa phế phẩm ? (32 sp) b) Lấy ngẫu nhiên 200 sản phẩm loại nhà máy B lấy 165 phẩm, với mức ý nghĩa 5% cho tỷ lệ phẩm nhà máy A cao Câu (3 đ) Năng suất giống lúa vụ mùa tỉnh A thuộc đồng bắc biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, thu hoạch 41 hécta lúa tỉnh ta thu số liệu sau Năng suất (tạ/ha) 56 58 ố hecta a) Hãy ước lượng suất trung bình giống lúa khoảng tin cậy đối xứng với độ tin cậy 90% b) Người ta thu hoạch 41 hecta lúa loại tỉnh B thuộc đồng bắc thu suất trung bình 60 (tạ/ha) độ lệch chuẩn (tạ/ha) Với mức ý nghĩa 5% cho độ phân tán suất giống lúa hai tỉnh A B khác hay không ? Các giá trị xác suất P[ U < 1] = 0,8413 P[ U < 1,2] = 0,8849 P[U < 1,645] = 0,95 P[ T(40) < 1,684] = 0,95 P[ F(40, 40) < 1,875] = 0,975 Sinh viên không dùng tài liệu – Nộp lại đề với thi Khoa tốn kinh tế Bộ mơn tốn kinh tế Mơn xác suất thống kê – Hệ quy Đề thi số Thời gian làm 90 phút Câu (2,5đ) Có hai hộp sản phẩm, hộp I chứa phẩm phế phẩm, hộp II chứa phẩm phế phẩm Người ta chuyển sản phẩm từ hộp I sang hộp II từ hộp II lấy sản phẩm a) Tính xác suất để lấy phẩm b) Lấy hai sản phẩm từ hộp II lấy phẩm phế phẩm, tính xác suất để phẩm lấy hộp I Câu (2,5đ) Một đề thi vấn đáp có 15 câu hỏi có 10 câu chương I câu chương II Xác suất để học sinh A trả lời câu hỏi thuộc chương I 0,8 chương II 0,75 Mỗi lần thi học sinh A phải bốc ngẫu nhiên câu để trả lời a) Tính xác suất để học sinh A trả lời câu câu sai b) Nếu học sinh A trả lời câu điểm, sai điểm, câu trả lời độc lập Gọi X số điểm mà học sinh A đạt được, lập bảng phân phối xác suất X, tính E(X) Câu (2 đ) Kiểm tra ngẫu nhiên 200 công nhân khu vực cơng nghiệp thấy có 110 nam 90 nữ, có 15 nam 10 nữ có dấu hiệu mắc bệnh phổi Với mức ý nghĩa 5% cho a) Tỷ lệ giới cơng nhân hay không ? b) Tỷ lệ có dấu hiệu mắc bệnh phổi cơng nhân nam nữ ? Câu (3đ) Doanh thu cửa hàng bán đồ điện tử biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Điều tra doanh thu cửa hàng số ngày ta có số liệu sau Doanh thu (triệu đồng) - 11 11- 13 15 19 17 Số ngày 10 a) Hãy ước lượng độ phân tán doanh thu cửa hàng khoảng tin cậy hai phía với độ tin cậy 95% b) Năm ngối điều tra 41 ngày doanh thu trung bình 10 triệu đồng độ lệch chuẩn triệu đồng, với mức ý nghĩa 5% cho doanh thu trung bình hàng ngày tăng lên Các giá trị xác suất P[ U < 1,96] = 0,975 P[U < 1,645] = 0,95 P[ χ2(40) < 59,34] = 0,975 P[ χ2(40) < 24,43] = 0,025 P[ T(40) < 1,684 ] = 0,95 Sinh viên không dùng tài liệu – Nộp lại đề với thi Khoa tốn kinh tế Bộ mơn tốn kinh tế Mơn xác suất thống kê – Hệ quy Đề thi số Thời gian làm 90 phút Câu (2đ) Một lơ hàng có tỷ lệ phẩm 75%.Trước đưa thị trường người ta sử dụng thiết bị kểm tra để loại sản phẩm xấu Thiết bị kiểm tra có độ xác với sản phẩm tốt 90% , với sản phẩm xấu 95% a) Tìm tỷ lệ sản phẩm lô hàng không đưa thị trường b) Mua ba sản phẩm ngồi thị trường, tính xác suất để mua nhiều hai sản phẩm tốt Câu (3đ) Một nhà máy sản xuất loại sản phẩm có loại màu, với cấu 60% màu xanh 40% màu trắng Tuổi thọ sản phẩm màu xanh có phân phối chuẩn với trung bình 10,5 năm độ lệch chuẩn năm, tuổi thọ sản phẩm màu trắng có phân phối chuẩn với trung bình 10 năm độ lệch chuẩn năm (tuổi thọ sản phẩm màu xanh trắng biến ngẫu nhiên độc lập) Nhà máy bảo hành cho sản phẩm có tuổi thọ năm a) Tìm tỷ lệ sản phẩm nhà máy bảo hành b) Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ nhà máy lấy sản phẩm màu xanh sản phẩm màu trắng.Tính xác suất để tuổi thọ sản phẩm màu xanh lớn tuổi thọ sản phẩm màu trắng Câu (2đ) Điều tra ngẫu nhiêm 200 sinh viên nghành kế tốn sau tốt nghiệp có 178 người xin việc a) Với độ tin cậy 95% ước lượng tỷ lệ sinh viên nghành kế toán xin việc khoảng tin cậy đối xứng b) Biết tỷ lệ sinh viên nghành ngân hàng sau tốt nghiệp xin việc 85% với mức ý nghĩa 5% cho tỷ lệ xin việc sinh viên hai nghành ? Câu (3đ) Trọng lượng loại dưa hấu vùng A biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, cân thử số ta có kết sau ọng lượng (kg) 1,8 2,5 ố a) Hãy ước lượng trọng lượng trung bình tối đa loại dưa hấu với độ tin cậy 95% b) Cũng loại dưa vùng B có trọng lượng trung bình 2,5 kg độ lệch chuẩn kg, với mức ý nghĩa 0,05 cho trọng lượng dưa vùng A đồng Các giá trị xác suất P[ U < 1,96] = 0,975 P[ U < 1,5] = 0,9332 P[U < 1] = 0,8413 P[ U < 1,645] = 0,95 P[ U < 0,1 ] = 0,5398 P[ T(40) < 1,684 ] = 0,95 P[ χ2(40) < 59,34] = 0,975 P[ χ 2(40) < 24,43] = 0,025 Sinh viên không dùng tài liệu – Nộp lại đề với thi Khoa toán kinh tế Bộ mơn tốn kinh tế Mơn xác suất thống kê – Hệ quy Đề thi số Thời gian làm 90 phút Câu (2đ) Một nhà máy có hai lơ sản phẩm có số lượng sản phẩm Lơ I có 80% phẩm 20% phế phẩm, Lơ II có 75% phẩm 25% phế phẩm a) Lấy sản phẩm từ nhà máy, tính xác suất lấy nhiều hai phế phẩm b) Lấy hai sản phẩm từ nhà máy lấy phẩm phế phẩm, tính xác suất để phế phẩm lấy lơ II Câu (3đ) Một gia đình trồng loại có hai giống A B, đến vụ thu hoạch số lượng thu Trọng lượng loại giống A có phân phối chuẩn với trung bình 2,5kg độ lệch chuẩn 1kg, trọng lượng loại giống B có phân phối chuẩn với trung bình kg độ lệch chuẩn 800g ( trọng lượng loại giống A B độc lập) Công ty rau đồng ý mua cho gia đình có trọng lượng 2kg a) Tìm tỷ lệ không đủ tiêu chuẩn để Công ty mua b) Sau mua Cơng ty đóng vào hộp, hộp có giống A giống B Gọi X tổng trọng lượng hộp Tìm quy luật phân phối xác suất X, tính E(X), V(X) Câu (2đ) Trung tâm y tế dự phòng thành phố A tiêm phòng cúm cho 10000 người dân thành phố Điều tra ngẫu nhiên 2000 người dân thành phố có 800 người tiêm phịng có 500 người tiêm phòng trung tâm a)Hãy ước lượng tối đa số người thành phố tiêm phòng với độ tin cậy 95% b)Với mức ý nghĩa 0,05 cho 45% số người thành phố tiêm phòng Câu (3đ) Thu nhập hàng năm công nhân khu công nghiệp biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Điều tra thu nhập hàng năm số cơng nhân ta có kết sau Thu nhập (triệu đồng) 15 - 17 17 - 19 21 23 ố công nhân a) Với độ tin cậy 95%, ước lượng mức thu nhập trung bình công nhân khoảng tin cậy đối xứng b) Muốn giữ nguyên độ tin cậy 95% để độ xác ước lượng tăng lên gấp đơi cần phải điều tra thêm tối thiểu công nhân ? Các giá trị xác suất P[ U < 1,96] = 0,975 P[ U < 1,645] = 0,95 P[ T(100) < 1,984] = 0,975 P[ U < 0,5] = 0,6915 P[U < 1,25] = 0,8944 Sinh viên không dùng tài liệu – Nộp lại đề với thi Khoa tốn kinh tế Bộ mơn tốn kinh tế Mơn xác suất thống kê – Hệ quy Đề thi số Thời gian làm 90 phút Câu (2đ) Một đề thi vấn đáp có 15 câu hỏi có 10 câu chương I câu chương II Xác suất để học sinh A trả lời câu hỏi thuộc chương I 0,8 chương II 0,75 Mỗi lần thi học sinh A phải bốc ngẫu nhiên câu để trả lời a) Tính xác suất để học sinh A trả lời câu mà bốc b) Giả sử học sinh A trả lời câu câu sai, tính xác suât để câu trả lời chương I Câu (3đ) Một gia đình trồng loại có hai giống A B, đến vụ thu hoạch số lượng thu Trọng lượng loại giống A có phân phối chuẩn với trung bình 2,5kg độ lệch chuẩn 1kg, trọng lượng loại giống B có phân phối chuẩn với trung bình kg độ lệch chuẩn 800g ( trọng lượng loại giống A B độc lập) Công ty rau đồng ý mua cho gia đình có trọng lượng 2kg a) Tìm tỷ lệ đủ tiêu chuẩn để Công ty mua b) Lấy ngẫu nhiên giống A giống B, tính xác suất để giống B nhẹ Câu (2đ) Tỷ lệ phế phẩm nhà máy A 15% a) Nếu lấy ngẫu nhiên 196 sản phẩm từ nhà máy A với mức xác suất 95% có tối đa phế phẩm ? b) Lấy ngẫu nhiên 200 sản phẩm loại nhà máy B lấy 165 phẩm, với mức ý nghĩa 5% cho tỷ lệ phẩm nhà máy Câu (3đ) Năng suất giống lúa vụ mùa tỉnh A thuộc đồng bắc biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, thu hoạch 41 hécta lúa tỉnh ta thu số liệu sau Năng suất (tạ/ha) 56 58 ố hecta a) Hãy ước lượng suất trung bình tối thiểu giống lúa với độ tin cậy 95% b) Giống lúa loại tỉnh B thuộc đồng bắc có suất trung bình 60 (tạ/ha) độ lệch chuẩn (tạ/ha) Với mức ý nghĩa 5% cho suất giống lúa tỉnh A đồng Các giá trị xác suất P[ U < 1] = 0,8413 P[U < 1,645] = 0,95 P[ U < 1,2] = 0,8849 P[ U < 0,39] = 0,6517 P[ F(40, 40) < 1,693] = 0,95 P[ χ2(40) < 55,76] = 0,95 P[ T(40) < 1,684] = 0,95 Sinh viên không dùng tài liệu – Nộp lại đề với thi ... 4 .5 Nguyên lý xác suất nhỏ, xác suất lớn - Nguyên lý xác suất nhỏ: Nếu biến cố có xác suất nhỏ thực tế cho phép thử biến cố khơng xảy -Ngun lý xác suất lớn: Nếu biến cố có xác suất gần thực tế. .. sản xuất ra, X~B (5; 0, 15) 0 1 P(0 X 1)= C5 0, 15 0, 85 C 0, 15 0, 85 0,8 352 b Gọi Y số phẩm rút ra, Y~B(10;0, 85) EY= np = 8 ,5 P[ Y EY 1] P[ Y 8 ,5 1] P(7 ,5< Y