Đang tải... (xem toàn văn)
Khóa luận tốt nghiệp "Sử dụng phép vị tự và phép vị tự quay để giải một số bài toán hình học phẳng" Sử dụng phép vị tự và phép vị tự quay để giải một số bài toán hình học phẳng
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC PHẠM THỊ THU KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ VÀ PHÉP VỊ TỰ QUAY ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG Chuyên ngành: Hình học Sơn La, năm 2010 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC PHẠM THỊ THU KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ VÀ PHÉP VỊ TỰ QUAY ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn: Th.S. Hoàng Ngọc Anh Sơn La, năm 2010 2 LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiện khóa luận này, em đã nhận đựơc sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy giáo – Th.s Hoàng Ngọc Anh, sự giúp đỡ, tạo điều kiện của các thầy cô giáo trong Khoa Toán – Lý – Tin, cũng như sự ủng hộ, động viên, góp ý của các bạn trong lớp K47 ĐHSP Toán. Đồng thời, việc hoàn thành khóa luận đã nhận được sự giúp đỡ, tạo điều kiện của Phòng Đào tạo, phòng QLKH và QHQT, thư viện và một số phòng, ban, khoa trực thuộc Trường Đại học Tây Bắc. Nhân dịp này, cho phép em được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy, cô, các bạn sinh viên đã giúp đỡ giúp em hoàn thành khóa luận trong thời gian qua. Em xin chân thành cảm ơn! Sơn La, tháng 5 năm 2010 Người thực hiện khóa luận Phạm Thị Thu 3 MỤC LỤC 4 MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN KHÓA LUẬN Lý thuyết về các phép biến hình thuộc lĩnh vực hình học sơ cấp, trong giáo trình chỉ đề cập những vấn đề cơ bản của phép vị tự và phép vị tự quay, chưa đưa ra được nhiều ứng dụng để giải toán. Vì vậy nghiên cứu phép vị tự và phép vị tự quay cho ta nhiều vấn đề bổ ích trong việc giải toán hình học. Với mong muốn tổng hợp lại một số kiến thức của bộ môn hình học sơ cấp đã được học và tìm hiểu sâu hơn một số nội dung của môn học ít được nghiên cứu. Do vậy, em đã chọn khoá luận: “ Sử dụng phép vị tự và phép vị tự quay để giải một số bài toán hình học phẳng” thuộc hình học sơ cấp để làm đề tài nghiên cứu cho mình. II. MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ, ĐỐI TƯỢNG, PHƯƠNG PHÁP VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 1. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu một số khái niệm, tính chất và ứng dụng của phép vị tự và phép vị tự quay để giải một số bài toán trong hình học phẳng. 2. Nhiệm vụ Thống kê, tập hợp, trình bày lại các khái niệm, tính chất, ứng dụng của phép vị tự và phép vị tự quay một cách có hệ thống, logic. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đại cương về phép biến hình và phép dời hình trong mặt phẳng. Một số vấn đề của hình học liên quan đến phép biến hình. - Các phép đồng dạng phẳng, trong đó ta xét một phép đồng dạng đặc biệt đó là phép vị tự. - Phép vị tự và phép vị tự quay bao gồm: định nghĩa, các tính chất (có chứng minh). - Sử dụng phép vị tự và phép vị tự quay để giải các bài toán hình học 5 phẳng như: các đa giác vị tự với nhau, các đường tròn vị tự với nhau, dựng hình và các tập hợp điểm, tích các phép vị tự, phép vị tự quay. 4. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu. - Phân tích, tổng hợp các kiến thức. - Kinh nghiệm bản thân, trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn. III. GIẢ THIẾT KHOA HỌC Có thể dựa vào các mối quan hệ và các bất biến của các thứ hình học khác nhau như hình học xạ ảnh, hình học afin, hình học đồng dạng, hình học Euclid để tìm ra một số phương pháp và công cụ khác nhau để giải một bài toán trong hình học phẳng. IV. ĐÓNG GÓP CỦA KHÓA LUẬN Khoá luận có thể làm tài liệu học tập cho sinh viên ngành toán, tài liệu tham khảo cho giáo viên toán và học sinh THPT. 6 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ I. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 1.1. Khái niệm hình Các môn toán thường được xây dựng trên lý thuyết tập hợp vì vậy hình cũng được hiểu với nghĩa một tập hợp điểm. Như vậy toàn thể không gian cũng là một hình và tập hợp gồm một điểm hoặc không có điểm nào ( tập rỗng) cũng là một hình. Việc hiểu theo nghĩa tập hợp còn giúp ta hiểu thêm một số khái niệm khác liên quan đến lý thuyết tập hợp như: giao, hợp, thuộc, tập con, bộ phận… của một điểm hay của một hình. Chẳng hạn: Điểm A thuộc đường thẳng d : A d∈ Điểm B là giao của hai đường thẳng a và b : B a b= ∩ 1.2. Phép biến hình Kí hiệu tập tất cả các điểm của mặt phẳng là P . Khi đó mỗi hình H bất kì của mặt phẳng đều là tập con của P và được kí hiệu là H P⊂ . 1.2.1. Định nghĩa Một song ánh f : P P→ từ một tập điểm của mặt phẳng P lên chính nó được gọi là một phép biến hình của mặt phẳng. Như vậy cho một phép biến hình f : P P→ là cho một quy tắc để với bất kì điểm M P ∈ ta tìm được điểm ( ) M f M ′ = hoàn toàn xác định thoả mãn hai điều kiện sau: - Nếu M , N là hai điểm bất kì của P thì ( ) f M , ( ) f N là hai điểm phân biệt của P . - Với một điểm M P ′ ∈ bao giờ cũng tồn tại một điểm M P∈ sao cho ( ) M f M ′ = . 7 Điểm ( ) f M được gọi là ảnh của M qua phép biến hình f và điểm M là tạo ảnh của điểm ( ) f M qua phép biến hình f . Nếu H là một hình nào đó H P ∈ thì ta có thể xác định ( ) ( ) { } f H f M / M H= ∈ khi đó ( ) f H gọi là ảnh của hình H qua phép biến hình f và H được gọi là tạo ảnh của hình ( ) f H qua phép biến hình f . Kí hiệu G là tập hợp gồm tất cả các phép biến hình trong mặt phẳng P . 1.2.2. Điểm bất động của phép biến hình Một điểm M thuộc P là điểm bất động (hoặc là điểm kép) đối với phép biến hình f nếu ( ) f M M= . Như vậy điểm M là điểm bất động đối với phép biến hình f nếu điểm M đó biến thành chính nó qua phép f . Đối với phép đồng nhất e: P P→ , mọi điểm của e đều là điểm bất động. 1.2.3. Tính chất của phép biến hình Trong khuôn khổ của khóa luận em chỉ đưa ra một số tính chất sau: Kí hiệu: “ o ” là tích các phép biến hình, khi đó: - Tích của hai phép biến hình là một phép biến hình. - Tích các phép biến hình có tính chất kết hợp, nghĩa là nếu gọi f, g, h là các phép biến hình bất kì ta có: ( ) ( ) f g h f g h=o o o o . - Có phép biến hình đồng nhất kí hiệu là e sao cho với bất cứ phép biến hình f nào của G ta cũng có f e e f f= =o o . Phép biến hình e đó gọi là phép biến hình đơn vị. - Với mọi phép biến hình f của G bao giờ ta cũng có một phép biến hình g của G sao cho f g e=o . Phép biến hình như thế gọi là phép biến hình đảo ngược của f , kí hiệu: 1 g f − = . 1.3. Phép dời hình 1.3.1. Định nghĩa 8 Một phép biến hình f : P P→ được gọi là phép dời hình nếu trong mặt phẳng P với hai điểm M , N bất kì và hai ảnh của chúng lần lượt là ( ) ( ) M f M ,N f N ′ ′ = = ta luôn có M N MN ′ ′ = . Nhận xét: - Phép dời hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì nên người ta gọi nó là phép biến hình đẳng cự hay gọi vắn tắt là phép đẳng cự. - Phép đồng nhất e là một phép dời hình . - Đảo ngược của một phép dời hình là một phép dời hình. Nghĩa là f là phép dời hình thì 1 f − cũng là phép dời hình . 1.3.2. Tính chất của phép dời hình Định lí 1.3.2.1. Phép dời hình biến 3 điểm A , B , C thẳng hàng với B nằm giữa A , C thành 3 điểm A ′ , B ′ , C ′ thẳng hàng với B ′ nằm giữa A ′ và C ′ . Chứng minh Giả sử có một phép dời hình f biến A thành A ′ , B thành B ′ , C thành C ′ ta có: AB A B ′ ′ = , BC B C ′ ′ = , CA C A ′ ′ = . Mà AB BC AC+ = ⇒ A B B C A C ′ ′ ′ ′ ′ ′ + = ⇒ A ′ , B ′ , C ′ thẳng hàng và B ′ nằm giữa A ′ , C ′ . Hệ quả 1: Phép dời hình biến một đường thẳng thành một đường thẳng, một tia thành một tia, một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó . Hệ quả 2: Phép dời hình biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, một góc thành một góc bằng nó, một đường tròn thành một đường tròn bằng nó với tâm đường tròn này thành tâm đường tròn kia. Định lí 1.3.2.2. Tích của hai phép dời hình là một phép dời hình. Chứng minh Gọi f và g là hai phép dời hình, ta xét tích g fo Giả sử: f (A) A ′ = , f (B) B ′ = , g(B ) B ′ ′′ = , g(A ) A ′ ′′ = Vì f và g đều là phép dời hình nên AB A B ′ ′ = và A B A B ′ ′ ′′ ′′ = . Vậy tích g fo biến A thành A ′′ , B thành B ′′ thoả mãn AB A B ′′ ′′ = . 9 ⇒ tích g fo là một phép dời hình ( phép dời hình bảo tồn khoảng cách ). Hệ quả: - Tích của n phép dời hình là một phép dời hình. - Tích của một phép dời hình và một phép nghịch đảo của nó là một phép đồng nhất. Định lí 1.3.2.3. Tích các phép dời hình có tính chất kết hợp. Chứng minh Giả sử f , g , h đều là phép dời hình. Ta cần chứng minh: ( ) ( ) g h f g h f=o o o o . Thật vậy: Giả sử f biến M thành M ′ , h biến M ′ thành M ′′ , g biến M ′′ thành M ′′′ Ta sẽ có: ( ) ( ) g h M M ′ ′′′ =o ⇒ ( ) ( ) ( ) g h f M M ′′′ =o o Và ( ) ( ) h f M M ′′ =o ⇒ ( ) ( ) g h f M M ′′′ =o o ⇒ ( ) ( ) g h f g h f=o o o o (Vì cả hai đều biến M thành M ′′′ , với M∀ bất kì trong mặt phẳng). Định lí 1.3.2.4. Một phép dời hình phẳng có ba điểm bất động không thẳng hàng là phép biến hình đồng nhất. Chứng minh Giả sử f : P P→ là một phép dời hình phẳng có ba điểm bất động không thẳng hàng ( ) A A f A ′ = = , ( ) B B f B ′ = = và ( ) C C f C ′ = = . Với mọi điểm M P∈ , gọi ( ) M f M ′ = . Do f là phép dời hình, nên MA M A MB M B MC M C ′ = ′ = ′ = Nếu M M ′ ≠ thì A, B, C thuộc đường trung trực của MM ′ . Suy ra A, B, C thẳng hàng, vô lí. Vậy M M ′ ≡ . 10 M M ′ f M ′′ M ′′′ g h [...]... của một phép vị tự và một phép quay hay phép tịnh tiến (theo thứ tự đó hay theo thứ tự ngược lại) 22 2.4 Phép vị tự quay 2.4.1 Định nghĩa Mọi phép đồng dạng thuận trong mặt phẳng khác với phép tịnh tiến đều có một điểm bất động duy nhất O và tương đương với tích giao hoán của một phép vị tự và một phép quay cùng tâm O Tích giao hoán này được gọi là phép vị tự - quay và là dạng chính tắc của phép. .. thuận trong mặt phẳng Nói ngắn gọn, phép vị tự quay là tích của một phép vị tự và một phép quay với cùng một tâm Phép đồng vị tự quay tâm O góc ϕ và tỉ số k được kí hiệu là Ζ ( O,ϕ ,k ) ϕ k k ϕ Như vậy: Ζ ( O,ϕ ,k ) = Q O ×VO = VO ×Q O Tỉ số của phép vị tự quay có thể coi là một số dương, bởi vì: ° k − Q180 ×VO = VO k O 2.4.2 Tính chất Phép vị tự quay tâm O , góc ϕ , tỉ số k là phép đồng dạng thuận... chất của phép đồng dạng 23 CHƯƠNG 2: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ VÀ PHÉP VỊ TỰ QUAY ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG I CÁC ĐA GIÁC VỊ TỰ VỚI NHAU 1.1 Các ví dụ Ví dụ 1.1.1 Chứng minh rằng các đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm H , đồng thời điểm H nằm trên cùng một đường thẳng với trọng tâm M và tâm đường tròn ngoại tiếp O của các tam giác (chính xác hơn, điểm M nằm trên đoạn thẳng OH và chia... ( ) k Vậy phép vị tự VO biến điểm M thành M′′ , với k = k 2 ×k1 Nếu k 2 ×k1 = 1 thì tích đó là một phép đồng nhất Định lí 2.2.5.2 Tích của hai phép vị tự khác tâm là một phép vị tự có tâm thẳng hàng với hai tâm của phép vị tự đã cho, hoặc đặc biệt là một phép tịnh tiến hay đồng nhất Chứng minh B′ B B′′ A′ A A′′ O1 O2 O Giả sử phép vị tự f1 có tâm O1 tỉ số k1 , phép vị tự f 2 có tâm O 2 tỉ số k 2 Với... Nếu A′ và B′ là ảnh của các điểm u ur uu uu ur A, B thì A′B′ = kAB với k là một hằng số a) Chứng minh rằng nếu k = 1 thì f là một hằng số tịnh tiến b) Chứng minh rằng nếu k ≠ 1 thì f là một phép vị tự Hướng dẫn Sử dụng trực tiếp định nghĩa và tính chất của phép tịnh tiến và phép vị tự để chứng minh Bài tập 2 (Sử dụng phép vị tự để chứng minh định lí Ceva) Định lí: Cho ba điểm P, Q, R theo thứ tự trên... R′ ) tiếp xúc trong tại T′ thì T′ là tâm vị tự thuận của hai đường tròn đó I I' T' 2.2.5 Tích của hai phép vị tự Định lí 2.2.5.1 Tích của hai phép vị tự cùng nhận O làm tâm và có tỉ số vị tự lần lượt là k1 , k 2 là một phép vị tự tâm O có tỉ số vị tự k = k 2 ×k1 Chứng minh k Gọi M′ là ảnh của điểm M qua phép vị tự VO 1 , M′′ là ảnh của điểm M′ k qua phép vị tự VO 2 19 u ur uu uu uuu u u u ur r u ur... mặt phẳng thành điểm M′ sao cho OM′ = kOM được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k k Kí hiệu: VO hay V ( O, k ) , điểm O gọi là tâm vị tự, số k gọi là tỉ số vị tự Phép vị tự gọi là thuận nếu k > 0 , nghịch nếu k < 0 Như vậy phép vị tự sẽ xác định khi biết tâm vị tự và tỉ số vị tự k của nó 2.2.2 Các trường hợp đặc biệt u ur u u u u uu r - Nếu k = 1 , khi đó OM′ = OM tức là M′ trùng với M , lúc đó phép vị. .. AB,BC,CA qua phép quay góc ϕ và tiếp đó là phép vị tự tỉ số k Giả sử M, M′ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và A1B1C1 , ta u u u ur uu u u r chứng minh AM = AM1 Từ đó suy ra M ≡ M1 Bài 2 Chứng minh rằng tâm của phép vị tự quay biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng A′B′ trùng với tâm của phép vị tự quay biến đoạn thẳng AA′ thành đoạn thẳng BB′ Hướng dẫn Giả sử O là tâm của phép vị tự quay Z1... ∆A′B′C′ − thì phép Ζ1 1 oΖ 2 là một phép đồng dạng tỉ số 1 biến ∆ABC thành chính nó, tức − − là Ζ1 1 oΖ 2 là phép đồng nhất e hay Ζ1 1 oΖ 2 = e Vậy Ζ1 = Ζ 2 Hệ quả 1: Một phép đồng dạng phẳng bao giờ cũng có thể phân tích được thành tích của một phép vị tự và một phép đẳng cự (dời hình hoặc phản dời hình) theo thứ tự đó hay theo thứ tự ngược lại Hệ quả 2: Một phép đồng dạng thuận trong mặt phẳng tương... hàng Hệ quả: Phép vị tự biến đường thẳng a thành đường thẳng a′ cùng phương với a , biến một tia thành một tia cùng phương với tia đó 16 Định lí 2.2.3.3 Phép vị tự biến một đường tròn thành một đường tròn Chứng minh k Cho phép vị tự VO và đường tròn tâm I , bán kính R k Gọi I′ là ảnh của I qua phép vị tự VO Gọi M là một điểm bất kì trên đường tròn (I, R) và M′ là ảnh của M qua phép vị tự đó u u ur . minh). - Sử dụng phép vị tự và phép vị tự quay để giải các bài toán hình học 5 phẳng như: các đa giác vị tự với nhau, các đường tròn vị tự với nhau, dựng hình và các tập hợp điểm, tích các phép vị tự, . sâu hơn một số nội dung của môn học ít được nghiên cứu. Do vậy, em đã chọn khoá luận: “ Sử dụng phép vị tự và phép vị tự quay để giải một số bài toán hình học phẳng thuộc hình học sơ cấp để làm. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC PHẠM THỊ THU KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ VÀ PHÉP VỊ TỰ QUAY ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG Chuyên ngành: Hình học Sơn La, năm