Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu môn Tấm và Vỏ Chương 4 rất cần thiết cho chuyên ngành xây dựng, dành cho các anh chị học cao học.
Phần thứ hai LÝ THUYẾT VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH VỎ MỎNG Chương 4 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ VỎ 4.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ GIẢ THIẾT TÍNH TOÁN 4.1.1. Các định nghĩa Vỏ là vật thể được giới hạn bởi hai mặt cong có chiều dày δ nhỏ so với hai kích thước còn lại δ << (a, b), với a và b là chiều rộng và chiều dài vỏ. Mặt trung bình là mặt cách đều mặt trên và mặt dưới của vỏ. Vỏ được gọi là vỏ mỏng khi, [4, 16]: 1 20r δ ≤ hay min min 1 1 200 8 l l< δ < ( ( ) min min ,l a b= ). Ngược lại là vỏ dày. Trong phạm vi môn học giới thiệu lý thuyết tính toán vỏ mỏng đàn hồi được xây dựng trên cơ sở lý thuyết đàn hồi kết hợp với các giả thiết tính toán. 4.1.2. Các giả thiết tính toán Lý thuyết tính toán vỏ mỏng thừa nhận các giả thiết của Kirchhoff-Love, hình 4-1: 1. Bỏ qua ứng suất pháp tương tác giữa các lớp song song với mặt trung bình của vỏ. Từ đó rút ra 3 0σ = . 2. Phần tử thẳng m-n vuông góc với mặt phẳng trung bình trước biến dạng thì sau biến dạng vẫn thẳng, vẫn vuông góc với mặt phẳng trung bình và không thay đổi độ dài. Từ đó, rút ra biến dạng: 3 13 23 0ε = γ = γ = . 4.2. MỘT SỐ KHÁI NIỆM TỪ LÝ THUYẾT MẶT CONG Mặt trung bình của vỏ là mặt cong nên hình học của vỏ cũng như chuyển vị, biến dạng được biểu diễn trong hệ tọa độ cong. 4.2.1. Các phương trình biểu diễn mặt cong Phương trình mặt cong của vỏ, hình 4-1, có thể biểu diễn: - Trong hệ tọa độ cong: ( ) ,r r= α β r r (4.1) với: r r - véc tơ bán kính của mặt cong; α , β - tọa độ cong. 70 - Trong hệ tọa độ Descartes: ( ) ( ) ( ) , , ,r x i y j z k= α β + α β + α β r r r r (4.2) với ( ) ,x α β , ( ) ,y α β , ( ) ,z α β là hình chiếu véc tơ r r lên hệ trục tọa độ OXYZ, với i r , j r , k r là các véc tơ đơn vị trên các trục OX, OY và OZ. Mỗi một điểm trên mặt cong tương ứng với một cặp tọa độ cong ( ) ,α β . Hình 4-1. Vỏ và hệ tọa độ cong. Hình 4-2. Lưới tọa độ cong. 4.2.2. Mạng lưới tọa độ cong Từ phương trình mặt cong, khi cho tọa độ cong α biến thiên và constβ = và ngược lại cho β biến thiên và constα = sẽ tạo thành các đường cong tọa độ α và các đường cong tọa độ β , hình 4-2. Một điểm M bất kỳ trên mặt cong là giao điểm của hai đường cong tọa độ α và β . Trên hình 4-1, 4-2 ký hiệu: 1 e r - véc tơ đơn vị tiếp tuyến với đường cong tọa độ α tại điểm M. 2 e r - véc tơ đơn vị tiếp tuyến với đường cong tọa độ β tại điểm M. 3 e r - véc tơ đơn vị pháp tuyến tại điểm M. Một số định nghĩa: - Mặt phẳng pháp tuyến là mặt phẳng chứa véc tơ pháp tuyến 3 e r . - Đường cong pháp tuyến là giao tuyến của mặt phẳng pháp tuyến và mặt cong của vỏ. - Tiết diện pháp tuyến của vỏ là tiết diện tương ứng với đường cong pháp tuyến. Như vậy, với một pháp tuyến tại điểm M bất kỳ, sẽ có vô số các mặt phẳng pháp tuyến và vô số đường cong pháp tuyến. 71 Lý thuyết mặt cong đã chứng minh rằng: “Có hai mặt phẳng pháp tuyến vuông góc với nhau đi qua điểm M bất kỳ tương ứng với hai đường cong pháp tuyến có độ cong lớn nhất và nhỏ nhất”. Hai mặt phẳng này gọi là mặt phẳng pháp tuyến chính. Hai đường cong tương ứng với mặt phẳng pháp tuyến chính gọi là đường cong chính. Tương ứng với đường cong chính là độ cong chính, bán kính chính và tiết diện chính. 4.2.3. Tính chất của đường cong chính Do 2 đường cong chính nằm trong 2 mặt phẳng pháp tuyến chính vuông góc với nhau nên hai đường cong này có tính chất trực giao, nghĩa là tiếp tuyến của 2 đường cong này tại điểm M sẽ vuông góc với nhau và tích vô hướng: 1 2 . 0e e = r r . Độ cong chính tương ứng với đường cong chính α là 1 1 1 k r = Độ cong chính tương ứng với đường cong chính β là 2 2 1 k r = với 1 r , 2 r là bán kính chính của 2 đường cong chính α và β , hình 4-2. Ví dụ với vỏ trụ tròn có bán kính r , hình 4-3, chọn tọa độ cong xα = tương ứng với đường cong chính là đường sinh; tọa độ cong β = ϕ tương ứng với đường cong chính là đường tròn bán kính r . Khi đó: 1 1 1 1 0k r = = = ∞ ; 2 2 1 1 k r r = = Trong lý thuyết tính toán vỏ, để các biểu thức có dạng đơn giản nhất, vỏ được khảo sát trong hệ tọa độ cong chính. 4.2.4. Các yếu tố hình học của mặt cong Theo lý thuyết mặt cong, các yếu tố hình học của mặt cong như: chiều dài phân tố đường cong, diện tích phân tố mặt cong, bán kính cong, được xác định qua 06 hệ số của dạng bình phương thứ nhất và dạng bình phương thứ hai. Nói cách khác, nếu biết 06 hệ số này thì xác định được mặt cong trong không gian, [16]. 1. Dạng bình phương thứ nhất: Đặc trưng cho các yếu tố hình học trong mặt cong: đường cong, diện tích phân tố mặt cong, 72 Hình 4-3. Vỏ trụ tròn. Ký hiệu ( ) ,r α β r là véc tơ biểu diễn điểm M trên mặt cong. Khi điểm M di chuyển đến điểm N, hình 4-4, véc tơ r r có số gia dr r . Đoạn cong dS gọi là phân tố đường trong mặt cong. Theo lý thuyết mặt cong: r r dS dr d d ∂ ∂ = = α + β ∂α ∂β r r r r (4.3) trong đó: r d ∂ ∂ r α α , r d ∂ β ∂β r - số gia của r r theo đường cong tọa độ α và β ; r∂ ∂α r , r∂ ∂β r - véc tơ tiếp tuyến với đường cong tọa độ α và β . Độ dài của phân tố đường cong dS được xác định bằng tích vô hướng: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 . 2 . r r r r dS dr dr d d d d ∂ ∂ ∂ ∂ = = α + α β+ β ÷ ÷ ÷ ∂α ∂α ∂β ∂β r r r r r r (4.4) dưới dạng rút gọn: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2dS E d Fd d G d= α + α β+ β (4.5) với: 2 2 r E A ∂ = = ÷ ∂α r . r r F ∂ ∂ = ∂α ∂β r r 2 2 r G B ∂ = = ÷ ∂β r (4.6) Vế phải của (4.4), (4.5) gọi là dạng bình phương thứ nhất. Các tham số A , B gọi là các tham số Lame. Hình 4-4. Dạng bình phương thứ nhất. Từ (4.6), độ dài của véc tơ r∂ ∂α r bằng A và độ dài véc tơ r∂ ∂β r bằng B . Do đó, các véc tơ đơn vị được biểu diễn dưới dạng: 1 1 r e A ∂ = ∂α r r 2 1 r e B ∂ = ∂β r r 3 1 2 e e e= × r r r (4.7) Dấu ( × ) là tích có hướng của hai véc tơ. 73 Khi xét trong hệ tọa độ cong chính, do các véc tơ r∂ ∂α r , r∂ ∂β r vuông góc với nhau nên tích vô hướng của chúng bằng không, rút ra: . 0 r r F ∂ ∂ = = ∂α ∂β r r . Do đó, từ (4.5): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 dS A d B d dS dS= α + β = + (4.8) với: 1 2 . . dS A d dS B d = α = β (4.9) Theo (4.2), do ( ) ,x α β , ( ) ,y α β , ( ) ,z α β là hình chiếu của véc tơ r r lên các trục của hệ tọa độ Descartes, nên: 2 2 2 x y z A ∂ ∂ ∂ = + + ÷ ÷ ÷ ∂α ∂α ∂α 2 2 2 x y z B ∂ ∂ ∂ = + + ÷ ÷ ÷ ∂β ∂β ∂β (4.10a, b) Các tham số Lame A , B xuất hiện trong các biểu thức tính toán vỏ, có thể xác định bằng (4.9) hoặc (4.10). Trong trường hợp tổng quát, các tham số Lame phụ thuộc vào 02 tọa độ cong α , β . 2. Dạng bình phương thứ hai: Đặc trưng cho các yếu tố hình học ngoài mặt cong như: độ cong, bán kính cong,… Xét khoảng cách h giữa hai điểm M và N theo phương pháp tuyến với mặt cong tại điểm M. Trị số khoảng cách này là hình chiếu của véc tơ r∆ r lên phương của véc tơ pháp tuyến 3 e r , bằng tích vô hướng của hai véc tơ trên, hình 4-5. 3 .h e r= ∆ r r (4.11) Để xác định h sử dụng công thức Taylo: ( ) ( ) 2 2 2 3 3 1 . . 2 h e dr e d r d d = + + ε α + β r r r r (4.12) Trong (4.12), khi ( ) ( ) 2 2 0d dα + β → thì 0ε → . Do véc tơ dr r nằm trên mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cong tại điểm M nên 74 Hình 4-5. Dạng bình phương thứ hai. tích vô hướng 3 . 0e dr = r r . Bỏ qua vô cùng bé ( ) ( ) 2 2 d d ε α + β so với thành phần thứ hai của (4.12), nhận được: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 . . 2. . . r r r h e d r e d e d d e d ∂ ∂ ∂ = = α + α β+ β ∂α ∂α∂β ∂β r r r r r r r r (4.13) dưới dạng rút gọn: ( ) ( ) 2 2 2 2.h L d Md d N d= α + α β + β (4.14) trong đó: 2 3 2 . r L e ∂ = ∂α r r 2 3 . r M e ∂ = ∂α∂β r r 2 3 2 . r N e ∂ = ∂β r r (4.15) Vế phải của (4.13), (4.14) gọi là dạng bình phương thứ hai. Khi hệ tọa độ khảo sát là hệ tọa độ cong chính, 0M = . 3. Độ cong: Độ cong k của đường cong nối hai điểm M và N có tọa độ cong ( ) ,α β và ( ) ,d dα + α β+ β được xác định bằng công thức: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0 2 1 2 2 ds L d Md d N d h k lim r ds E d Fd d G d → α + α β+ β = − = − = − α + α β + β (4.16) Dấu (-) trong (4.16) để đảm bảo độ cong có giá trị dương. Nếu xét trong hệ tọa độ cong chính với 0M F = = , thì độ cong chính tương ứng với đường cong chính α và β xác định bằng công thức: 1 2 1 1 L L k r E A = − = = với ( ) 0, 0d dα ≠ β = (4.17) 2 2 2 1 N N k r G B = − = = với ( ) 0, 0d dα = β ≠ (4.18) 4.2.5. Điều kiện Codaxi-Gauss Điều kiện Codaxi-Gauss là quan hệ giữa các hệ số của dạng bình phương thứ nhất và dạng bình phương thứ hai, biểu thị điều kiện tồn tại và liên tục của mặt cong trước biến dạng, [16]. Khi xét trong hệ tọa độ cong chính: 1. Điều kiện Codaxi 1 2 1A A r r ∂ ∂ = ÷ ∂β ∂β 2 1 1B B r r ∂ ∂ = ÷ ∂α ∂α (4.19) 2. Điều kiện Gauss 1 2 1 1 . . B A A B A B r r ∂ ∂ ∂ ∂ + = − ÷ ÷ ∂α ∂α ∂β ∂β (4.20) 75 4.2.6. Cách tính tham số Lame đối vỏ xoay Các tham số Lame A , B biểu thị yếu tố hình học của vỏ, nó có mặt trong tất cả các công thức và phương trình cơ bản của lý thuyết tính toán vỏ. Trong trường hợp tổng quát, các tham số Lame là hàm của 02 tọa độ cong α , β . Hình 4-6. Vỏ xoay. Dưới đây giới hạn xét các tham số này đối với vỏ xoay, hình 4-6, trong đó chọn: ϑ - tọa độ cong theo đường kinh tuyến, đường cong tương ứng S ϑ , chiều dài phân tố dS ϑ , bán kính tương ứng là r ϑ . ϕ - tọa độ cong theo đường vĩ tuyến, đường cong tương ứng S ϕ , chiều dài phân tố dS ϕ , bán kính tương ứng là r ϕ . 1. Trong hệ tọa độ trụ: Biến trong hệ tọa độ trụ là: z , ϕ , ( ) r z , hình 4-7. Quan hệ giữa tọa độ Descartes và tọa độ trụ: ( ) x r z cos= ϕ ( ) y r z sin= ϕ z z= Chọn tọa độ cong: zα = , β = ϕ . Các tham số Lame được xác định theo (4.10) với các đạo hàm: 76 Hình 4-7. Hệ tọa độ trụ. x x x r dr cos z r z dz ∂ ∂ ∂ ∂ = = = ϕ ∂α ∂ ∂ ∂ y y y r dr sin z r z dz ∂ ∂ ∂ ∂ = = = ϕ ∂α ∂ ∂ ∂ 1 z z z ∂ ∂ = = ∂α ∂ x x rsin ∂ ∂ = = − ϕ ∂β ∂ϕ y y rcos ∂ ∂ = = ϕ ∂β ∂ϕ 0 z z∂ ∂ = = ∂β ∂ϕ nhận được: 2 1 dr A dz = + ÷ ( ) B r z= (4.21) 2. Trong hệ tọa độ cầu. Biến trong hệ tọa độ cầu là: ρ , ϑ , ϕ , hình 4-8. Quan hệ giữa tọa độ Descartes và tọa độ cầu: x sin cos= ρ ϑ ϕ y sin sin= ρ ϑ ϕ z cos= ρ ϑ Chọn hệ tọa độ cong: α = ϑ (đường cong kinh tuyến) β = ϕ (đường cong vĩ tuyến). Các tham số Lame được xác định theo (4.10) có dạng: r A sin = ρ = ϑ B sin= ρ ϑ (4.22) 3. Trong hệ tọa độ cong: Chọn tọa độ cong: α = ϑ (đường cong kinh tuyến) và β = ϕ (đường cong vĩ tuyến), hình 4-6. Áp dụng (4.9): .dS A d r d ϑ ϑ = α = ϑ rút ra: A r ϑ = (4.23.a) .dS B d rd r sin d ϕ ϕ = β = ϕ = ϑ ϕ rút ra: B r sin ϕ = ϑ (4.23.b) với r ϑ là bán kính đường cong tọa độ α (đường kinh tuyến) và r ϕ là bán kính đường cong tọa độ β (đường vĩ tuyến). Đối với vỏ cầu: 0 r r r ϑ ϕ = = nên: 0 A r= và 0 B r sin= ϑ (4.24) Đối với vỏ trụ tròn bán kính r , hình 4-3: chọn tọa độ cong xα = , β = ϕ 1 1. 1dS Ad dx A= α = → = 2 dS Bd rd B r= β = ϕ → = (4.25) 4.3. PHÂN LOẠI VỎ Theo lý thuyết mặt cong, các tính chất hình học của mặt cong liên quan chặt chẽ đến độ cong Gauss. Do đó, vỏ được phân loại theo độ cong Gauss. 77 Hình 4-8. Hệ tọa độ cầu. 4.3.1. Độ cong Gauss Độ cong Gauss K của mặt cong, được xác định bằng công thức: 1 2 1 2 1 1 . .K k k r r = = (4.26) trong đó: 1 r , 2 r là bán kính cong của đường cong tọa độ α và β . 1 k , 2 k là độ cong của đường cong tọa độ α và β . 4.3.2. Phân loại vỏ theo độ cong Gauss K Phân loại vỏ theo độ cong Gauss tương ứng với các trường hợp: độ cong Gauss 0K = ; độ cong Gauss 0K > và độ cong Gauss 0K < , hình 4-9. Hình 4-9. Phân loại vỏ. 1. Vỏ có độ cong Gauss 0K = khi một trong hai độ cong 1 k hoặc 2 k bằng không, tương ứng với đường cong tọa độ α hoặc đường cong tọa độ β là đường thẳng, ví dụ vỏ trụ, vỏ nón, hình 4-9a. 2. Vỏ có độ cong Gauss 0K > là vỏ lồi như: vỏ cầu, hình 4-9b, d. 3. Vỏ có độ cong Gauss 0K < là vỏ lõm như: vỏ yên ngựa, hình 4-9c. 78