WWW.VNMATH.COM ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ – Năm học 2013-2014 Mơn TỐN Lớp 11 Thời gian làm 90 phút Đề số I Phần chung cho hai ban Bài Tìm giới hạn sau: − x − x2 x →1 x −1 1) lim 2) lim x→ − ∞ x − x + 12 3) lim + x →3 7x −1 x −3 4) lim x →3 Bài 1) Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định nó:   x − 5x + x > f (x) =  x − 2 x + x ≤  x +1 − − x2 2) Chứng minh phương trình sau có hai nghiệm : x − x + x + = Bài 1) Tìm đạo hàm hàm số sau: b) y = a) y = x x + (2 x + 5)2 x −1 2) Cho hàm số y = x +1 a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x = – b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với d: y = x −2 Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy, SA = a 1) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông 2) Chứng minh rằng: (SAC) ⊥ (SBD) 3) Tính góc SC mp (SAB) 4) Tính góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) II Phần tự chọn Theo chương trình chuẩn Bài 5a Tính lim x3 + x→ − x + 11x + 18 x − x − x − Giải bất phương trình y / ≤ Theo chương trình nâng cao Bài 6a Cho y = Bài 5b Tính lim x − 2x −1 − 12 x + 11 x − 3x + Bài 6b Cho y = Giải bất phương trình y / > x −1 x →1 x Hết Họ tên thí sinh: SBD : WWW.VNMATH.COM ĐÁP ÁN ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ – Năm học 2011-2012 Mơn TỐN Lớp 11 Thời gian làm 90 phút Đề số Bài − x − x2 (− x − 2)( x − 1) = lim = lim(− x − 2) = −3 x →1 x →1 x →1 x −1 ( x − 1) 1) lim 2) lim x→ − ∞ 3) lim+ x →3 x − x + 12 = lim x 2 + x →−∞ 12 + = +∞ x x4 7x −1 x −3 Ta có: lim+ ( x − 3) = 0, lim+ (7 x − 1) = 20 > 0; x − > x → 3+ nên I = +∞ x →3 x →3 x +1 − 4) lim 9− x x →3 = lim x −3 x →3 (3 + x )(3 − x )( x + + 2) −1 = lim x →3 ( x + 3)( x + + 2) =− 24 Bài   x − 5x + 1) Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định nó: f ( x ) =  x − 2 x +  • Hàm số liên tục với x ≠ • Tại x = 3, ta có: + f (3) = + lim− f ( x ) = lim− (2 x + 1) = x →3 x →3 + lim f ( x ) = lim x →3 x →3 + + 2) Chứng minh phương trình sau có hai nghiệm : x − x + x + = Xét hàm số: f ( x ) = x − x + x + ⇒ Hàm số f liên tục R Ta có: f (0) = >  +  ⇒ PT f(x) = có nghiệm c1 ∈ (0;1) f (1) = −1  f (2) = −1 <  +  ⇒ PT f(x) = có nghiệm c2 ∈ (2;3) f (3) = 13 >  Mà c1 ≠ c2 nên PT f(x) = có nghiệm Bài 2) y = 2x2 + x2 + b) y = (2 x + 5)2 ⇒ y' = − 12 (2 x + 5)3 x −1 ⇒ y′ = ( x ≠ −1) x +1 ( x + 1)2 a) Với x = –2 ta có: y = y′ (−2) = ⇒ PTTT: y − = 2( x + 2) ⇔ y = x + x −2 1 có hệ số góc k = ⇒ TT có hệ số góc k = 2 x = 1 Gọi ( x0 ; y0 ) toạ độ tiếp điểm Ta có y′ ( x0 ) = ⇔ = ⇔  2 ( x + 1)  x = −3 b) d: y = x ≤ ( x − 2)( x − 3) = lim+ ( x − 2) = ( x − 3) x →3 ⇒ Hàm số không liên tục x = Vậy hàm số liên tục khoảng (−∞;3), (3; +∞) 1) a) y = x x + ⇒ y ' = x > WWW.VNMATH.COM 1 x− 2 + Với x0 = −3 ⇒ y0 = ⇒ PTTT: y = x + 2 Bài 1) • SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AB, SA ⊥ AD S ⇒ Các tam giác SAB, SAD vng A • BC ⊥ SA, BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vuông B • CD ⊥ SA, CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ SD ⇒ ∆SCD vuông D 2) BD ⊥ AC, BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ (SBD) ⊥ (SAC) + Với x0 = ⇒ y0 = ⇒ PTTT: y = 3) A ) • ∆SAB vng A ⇒ SB = SA2 + AB = 3a2 ⇒ SB = a BC • ∆SBC vuông B ⇒ tan BSC = ⇒ BSC = 30 = SB D O C B ( • BC ⊥ (SAB) ⇒ SC ,(SAB ) = BSC 4) Gọi O tâm hình vng ABCD ( ) • Ta có: (SBD ) ∩ ( ABCD ) = BD , SO ⊥ BD, AO ⊥ BD ⇒ (SBD ),( ABCD ) = SOA • ∆SAO vng A ⇒ tan SOA = Bài 5a I = lim x →−2 Bài 6a y = x3 + x + 11x + 18 SA =2 AO ( x + 2)( x − x + 4) x − x + 12 = lim = x →−2 x →−2 x+9 ( x + 2)( x + 9) = lim x − x − x − 18 ⇒ y ' = x − x − BPT y ' ≤ ⇔ x − x − ≤ ⇔ − 10 ≤ x ≤ + 10 Bài 5b lim x − 2x −1 x →1 x Bài 6b y = − 12 x + 11 = lim ( x − x − 1) ( x + x + 11 ) x →1 ( x − 12 x + 11) ( x + x − ) = lim x →1 ( x − 11) x − 3x + x2 − x ⇒ y' = x −1 ( x − 1)2 BPT y′ > ⇔ x2 − 2x   > ⇔ x − 2x > ⇔ x < x > ( x − 1) x ≠ ======================= ( x − 1) (x + x − 1) =0 WWW.VNMATH.COM ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ – Năm học 2013-2014 Mơn TỐN Lớp 11 Thời gian làm 90 phút Đề số 14 Bài 1: Tính giới hạn sau: a) lim x →−∞ ( x2 − x + − 2x ) b) lim ( x →+∞ 4x2 + x + − 2x ) Bài 2: Chứng minh phương trình x − 10 x − = có hai nghiệm Bài 3: Tìm m để hàm số sau liên tục x = –1  x2 −  f ( x ) =  x + x < −1 mx + x ≥ −1  Bài 4: Tính đạo hàm hàm số sau: 3x − a) y = 2x + b) y = ( x − x + 1).sin x Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = : x b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = − x + a) Tại điểm có tung độ Bài 6: Cho tứ diện S.ABC có ∆ABC cạnh a, SA ⊥ ( ABC ), SA = a Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh: (SBC) vng góc (SAI) b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) c) Tính góc (SBC) (ABC) Hết Họ tên thí sinh: SBD : WWW.VNMATH.COM ĐÁP ÁN ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ – Năm học 2011-2012 Mơn TỐN Lớp 11 Thời gian làm 90 phút Đề số 14 Bài 1: a) lim ( x →−∞ x2 − x + − 2x     3 = lim  x − + − x  = lim  − x + − + − 2x   x →−∞x   x →−∞  x x2 x x2     )   = lim (− x )  − + +  = +∞   x →−∞ x x2   b) lim x →+∞ ( x +1 ) x + x + − x = lim x →+∞ 4x + x + + 2x = lim x →+∞ 1 x = 1 +2 4+ + x x 1+ Bài 2: Xét hàm số f ( x ) = x − 10 x − ⇒ f(x) liên tục R • f (−1) = 1, f (0) = −7 ⇒ f (−1) f (0) < ⇒ PT f ( x ) = có nghiệm c1 ∈ (−1; 0) • f (0) = −7, f (3) = 17 ⇒ f (0) f (3) < ⇒ PT f ( x ) = có nghiệm c2 ∈ (0;3) • c1 ≠ c2 nên phương trình cho có hai nghiệm thực Bài 3: Ta có:  x2 −  f ( x ) =  x + x < −1 mx + x ≥ −1  • f (−1) = −m + • lim f ( x ) = lim x →−1− x →−1− x2 −1 = lim ( x − 1) = −2 x + x →−1− • lim f ( x ) = lim (mx + 2) = −m + x →−1+ x →−1+ Hàm số f ( x ) liên tục x = –1 ⇔ − m + = −2 ⇔ m = Bài 4: 2x + − 3x − x + 13 x + = 3(2 x + 5) − = a) y = ⇒ y'= 2x + (2 x + 5) x + (2 x + 5) x + 2x + b) y = ( x − x + 1).sin x ⇒ y ' = (2 x − 3)sin x + ( x − x + 1) cos x Bài 5: y = 1 ⇒ y′ = − ( x ≠ 0) x x2 1 1 ta có = ⇔ x0 = ; y′ (2) = − ⇒ PTTT: y = − x + x0 2 4 b) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −4 x + nên tiếp tuyến có hệ số góc k = –4 a) Với y0 =   x0 = Gọi ( x0 ; y0 ) toạ độ tiếp ⇒ y′ ( x0 ) = −4 ⇔ − = −4 ⇔  x0 x = −  • Với x0 = ⇒ y0 = ⇒ PTTT : y = −4 x + • Với x0 = − ⇒ y0 = −2 ⇒ PTTT : y = −4 x − 2 WWW.VNMATH.COM Bài 6: S H B A I C a) Chứng minh: (SBC) vng góc (SAI) • SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC, AI ⊥BC ⇒ BC ⊥ (SAI) ⇒ (SBC) ⊥ (SAI) b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) • Vẽ AH ⊥ SI (1) BC ⊥ (SAI) ⇒ BC ⊥ AH (2) Từ (1) (2) ⇒AH ⊥ (SBC) nên d( A,(SBC)) = AH 1 4 16 3a • = + = + = ⇒ AH = 2 2 2 9a 3a 9a AH AI SA c) Tính góc (SBC) (ABC) • (SBC ) ∩ ( ABC ) = BC , AI ⊥ BC , SI ⊥ BC ⇒ ( (SBC ),( ABC )) = SIA a SA = ⇒ SIA = 60 • tan SIA = = IA a ============================== WWW.VNMATH.COM ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ – Năm học 2013-2014 Mơn TỐN Lớp 11 Thời gian làm 90 phút Đề số I Phần chung cho hai ban Bài Tìm giới hạn sau: 1) lim x→ − ∞ x − x − + 3x 2x + 2) lim (−2 x − x + 1) x→ + ∞ 3) lim+ x→ x − 11 5− x 4) lim x→ Bài x3 + − x2 + x   x − x ≠ 1) Cho hàm số f(x) = f ( x ) =  x − Xác định m để hàm số liên tục R 2m + x =  2) Chứng minh phương trình: (1 − m ) x − x − = ln có nghiệm với m Bài 1) Tìm đạo hàm hàm số: a) y = − 2x + x2 x2 −1 b) y = + tan x 2) Cho hàm số y = x − x + (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C): a) Tại điểm có tung độ b) Vng góc với d: x + y − = Bài Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC, đơi vng góc OA = OB = OC = a, I trung điểm BC 1) Chứng minh rằng: (OAI) ⊥ (ABC) 2) Chứng minh rằng: BC ⊥ (AOI) 3) Tính góc AB mặt phẳng (AOI) 4) Tính góc đường thẳng AI OB II Phần tự chọn Theo chương trình chuẩn n −1 Bài 5a Tính lim( ) + + + 2 n +1 n +1 n2 + Bài 6a Cho y = sin x − cos x Giải phương trình y / = Theo chương trình nâng cao Bài 5b Cho y = x − x Chứng minh rằng: y3 y / / + = Bài 6b Cho f( x ) = f ( x ) = 64 x3 − 60 − x + 16 Giải phương trình f ′ ( x ) = x Hết Họ tên thí sinh: SBD : WWW.VNMATH.COM ĐÁP ÁN ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ – Năm học 2011-2012 Mơn TỐN Lớp 11 Thời gian làm 90 phút Đề số Bài 1:   1 1 x  − 1− − + 3 − + 3x   x x2 x x2 x − x − + 3x  =1 = lim = lim  1) lim x →−∞ x →−∞ x →−∞ 2x +   7 7 x2 +  x2+  x x     2) lim ( −2 x − x + 1) = lim x  −2 − +  = −∞ x →+∞ x →+∞ x x3   x 1− x − 11 x →5 − x  lim ( − x ) = +   x →5 Ta có:  lim ( x − 11) = −1 < +  x →5 x > ⇔ 5− x <   3) lim+ 4) lim x →0 x3 + − x2 + x = lim x →0 ⇒ lim+ x →5 x3 x ( x + 1) ( x + + 1) x − 11 = +∞ 5− x = lim x →0 x2 ( x + 1) ( x + + 1) =0 Bài 2: 1) • Khi x ≠ ta có f ( x ) = x3 − = x + x + ⇒ f(x) liên tục ∀ x ≠ x −1 • Khi x = 1, ta có:  f (1) = 2m +  ⇒ f(x) liên tục x = ⇔ f (1) = lim f ( x ) ⇔ 2m + = ⇔ m = lim f ( x ) = lim( x + x + 1) = 3 x →1  x →1 x →1  Vậy: f(x) liên tục R m = 2) Xét hàm số f ( x ) = (1 − m ) x − x − ⇒ f(x) liên tục R Ta có: f (−1) = m2 + > , ∀ m; f (0) = −1 < 0, ∀ m ⇒ f (0) f (1) < 0, ∀m ⇒ Phương trình có nghiệm c ∈ (0;1) , ∀m Bài 3: 1) a) y = −2 − x + x x2 − ⇒ y' = x2 + x + b) y = + tan x ⇒ y ' = ( x − 1)2 + tan2 x + tan x 2) (C): y = x − x + ⇒ y′ = x − x x = a) Với y = ⇔ x − x + = ⇔  x =   x = −1 • Với x = ⇒ k = y′ (0) = ⇒ PTTT : y = • Với x = −1 ⇒ k = y′ (−1) = −2 ⇒ PTTT : y = −2( x + 1) + ⇔ y = −2 x + • Với x = ⇒ k = y′ (1) = ⇒ PTTT : y = 2( x − 1) + ⇔ y = x + b) d: x + y − = có hệ số góc kd = − ⇒ Tiếp tuyến có hệ số góc k = 2 WWW.VNMATH.COM Gọi ( x0 ; y0 ) toạ độ tiếp điểm Ta có: y′ ( x0 ) = ⇔ x0 − x0 = ⇔ x0 = ( y0 = ) ⇒ PTTT: y = 2( x − 1) + ⇔ y = x + Bài 4: 1) • OA ⊥ OB, OA ⊥ OC ⇒ OA ⊥ BC (1) A • ∆OBC cân O, I trung điểm BC ⇒ OI ⊥ BC Từ (1) (2) ⇒ BC ⊥ (OAI) ⇒ (ABC) ⊥ (OAI) 2) Từ câu 1) ⇒ BC ⊥ (OAI) 3) K O ( • BI = B ) • BC ⊥ (OAI) ⇒ AB,( AOI ) = BAI C I (2) BC a = 2 • ∆ABC ⇒ AI = • ∆ABI vng I ⇒ cos BAI = BC a a = = 2 AI = ⇒ BAI = 30 ⇒ AB,( AOI ) = 300 AB ( ) 4) Gọi K trung điểm OC ⇒ IK // OB ⇒ ( AI , OB ) = ( AI , IK ) = AIK • ∆AOK vuông O ⇒ AK = OA2 + OK = 6a2 • AI = a2 • IK = 2 5a2 • ∆AIK vng K ⇒ cos AIK = IK = AI  n −1  Bài 5a: lim  + + (1 + + + + (n − 1))  = lim 2 2 n +1 n +1  n +1 n +1 1− (n − 1) (1 + (n − 1) ) (n − 1)n n =1 = lim = lim = lim 2 2 2(n + 1) n +1 2+ n2 Bài 6a: y = sin x − cos x ⇒ y′ = cos x + 2sin x  π  x = + k 2π sin x =  π PT y ' = ⇔ cos x + 2sin x = ⇔ 2sin x − sin x − = ⇔  ⇔  x = − + k 2π sin x = −     7π  x = + k 2π  Bài 5b: y = x − x ⇒ y ' = Bài 6b: f ( x ) = 64 x3 − 1− x 2x − x2 ⇒ y" = −1 (2 x − x ) x − x ⇒ y3 y "+ = 60 192 60 − x + 16 ⇒ f ′( x ) = − + −3 x x4 x2  192 60  x = ±2 PT f ′( x ) = ⇔ − + − = ⇔  x − 20 x + 64 = ⇔   x = ±4 x x x ≠ ===================== WWW.VNMATH.COM ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ – Năm học 2013-2014 Mơn TỐN Lớp 11 Thời gian làm 90 phút Đề số Bài Tính giới hạn sau: 1) lim (− x + x − x + 1) 2) lim − x →−1 x →−∞ 4) lim 3 2 x − 5x − x − x →3 x 3x + x +1 − 13 x + x −  3x + −   Bài Cho hàm số: f ( x ) =  x − ax +   x →2 x +2 −2 x +7 −3 −5 n 5) lim 3) lim n n + 3.5n x >2 Xác định a để hàm số liên tục điểm x = x ≤ Bài Chứng minh phương trình x − x + x − = có ba nghiệm phân biệt khoảng (–2; 5) Bài Tìm đạo hàm hàm số sau: 5x − 1) y = 2) y = ( x + 1) x + x + x + x +1 3) y = + tan x 4) y = sin(sin x ) Bài Cho hình chóp S.ABC có ∆ABC vng A, góc B = 600 , AB = a; hai mặt bên (SAB) (SBC) vng góc với đáy; SB = a Hạ BH ⊥ SA (H ∈ SA); BK ⊥ SC (K ∈ SC) 1) Chứng minh: SB ⊥ (ABC) 2) Chứng minh: mp(BHK) ⊥ SC 3) Chứng minh: ∆BHK vuông 4) Tính cosin góc tạo SA (BHK) x − 3x + (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp x +1 tuyến song song với đường thẳng d: y = −5 x − Bài Cho hàm số f ( x ) = Bài Cho hàm số y = cos2 x 1) Tính y′′ , y′′′ 2) Tính giá trị biểu thức: A = y′′′ + 16 y′ + 16 y − Hết Họ tên thí sinh: SBD : WWW.VNMATH.COM Từ (3) (4) ta có IJ đoạn vng góc chung OA BC Bài 4: y = f ( x ) = x − x + ⇒ y′ = x − x Tiếp tuyến // với d: y = x + 2011 ⇒ Tiếp tuyến có hệ số góc k =  x = −1 2 Gọi ( x0 ; y0 ) toạ độ tiếp điểm ⇒ x0 − x0 = ⇔ x0 − x0 − = ⇔   x0 = • Với x0 = −1 ⇒ y0 = −2 ⇒ PTTT : y = x + • Với x0 = ⇒ y0 = ⇒ PTTT : y = x − 25 Bài 5: f ( x ) = 1 x2 − = x − ⇒ f ′( x ) = + x x x2 1.2 n! f ′′( x ) = − , f ′′′( x ) = (−1)4 Dự đoán f (n ) = (−1)n+1 (*) x x x n+1 • Thật vậy, (*) với n = k! Giả sử (*) với n = k (k ≥ 2), tức có f (k )( x ) = (−1)(k +1) x k +1 ′ k !(k + 1) x k (k + 1)! = (−1)k +2 ⇒ (*) với n = k + Vì f (k +1) ( x ) =  f (k ) ( x ) = (−1)k +2   x (2 k +2) x k +2 n! Vậy f (n ) = (−1)n+1 x n+1 =========================== WWW.VNMATH.COM ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ – Năm học 2013-2014 Mơn TỐN Lớp 11 Thời gian làm 90 phút Đề số 10 A PHẦN BẮT BUỘC: Câu 1: Tính giới hạn sau: x +3 a) lim Câu 2: x →−3 x + 2x − ( x + 1)3 − x →0 x b) lim c) lim x →−2 x2 + − x+2 a) Chứng minh phương trình sau có nghiệm: x − 10 x − = x+3  b) Xét tính liên tục hàm số f ( x ) =  x − , x ≠ −1 tập xác định 2 , x = −1  Câu 3: a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thi hàm số y = x điểm có hồnh độ x0 = −1 b) Tính đạo hàm hàm số sau: • y = x + x • y = (2 − x ) cos x + x sin x Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) ABCD hình thang vng A, B AB = BC = a, ADC = 450 , SA = a a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vng b) Tính góc (SBC) (ABCD) c) Tính khoảng cách AD SC B PHẦN TỰ CHỌN: Theo chương trình chuẩn  1  Câu 5a: a) Tính lim  −  + x →2  x − x −  Chứng minh: f ′(−2) = f ′(2) x Câu 6a: Cho y = x − x + Giải bất phương trình: y′ < b) Cho hàm số f ( x ) = Câu 7a: Cho hình hộp ABCD.EFGH có AB = a , AD = b , AE = c Gọi I trung điểm đoạn BG Hãy biểu thị vectơ AI qua ba vectơ a , b , c Theo chương trình nâng cao Câu 5b: a) Tính gần giá trị 4, 04 b) Tính vi phân hàm số y = x.cot x Câu 6b: Tính lim x →3+ x − 3x + x −3 Câu 7b 3: Cho tứ diện cạnh a Tính khoảng cách hai cạnh đối tứ diện Hết Họ tên thí sinh: SBD : WWW.VNMATH.COM ĐÁP ÁN ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ – Năm học 2011-2012 Mơn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm 90 phút Đề số 10 Câu 1: x+3 1 = lim =− x →−3 x + x − x →−3 x − a) lim c) lim x →−2 ( x + 1)3 − = lim x + x + = x →0 x →0 x ( b) lim ) ( x − )( x + ) x2 + − x −2 = lim = lim =− =− x →−2 x →−2 2 x+2 ( x + ) ( x + + 3) x +5 +3 Câu 2: a) Xét hàm số: f(x) = x − 10 x − ⇒ f(x) liên tục R • f(–1) = 1, f(0) = –7 ⇒ f ( −1) f ( ) < nên phương trình có nghiệm thuộc c1 ∈ ( −1;0 ) • f(0) = –7, f(3) = 17 ⇒ f(0).f(3) < ⇒ phương trình có nghiệm c2 ∈ ( 0;3 ) • c1 ≠ c2 nên phương trình cho có hai nghiệm thực x+3  b) f ( x ) =  x − , x ≠ −1 2 , x = −1  • Tập xác định D = R \ {1} x +3 xác định nên liên tục x −1 • Xét x = ∉ D nên hàm số không liên tục x = • Xét x = –1 x+3 lim f ( x ) = lim = −1 ≠ f ( −1) = nên hàm số không liên tục x = –1 x →−2 x →−2 x − Câu 3: a) y = x ⇒ y′ = x • Với x ∉ {−1;1} hàm số f ( x ) = Với x0 = −1 ⇒ y0 = −1, y′ (−1) = ⇒ PTTT: y = x + b) Tính đạo hàm • y = x + x2 ⇒ y ' = + x2 + x2 1+ x2 ⇔ y' = + x2 + x2 • y = (2 − x ) cos x + x sin x ⇒ y ' = −2 x cos x + ( x − 2)sin x + 2sin x + x cos x ⇒ y ' = x sin x Câu 4: a) CM mặt bên tam giác vuông  SA ⊥ AB •SA ⊥ ( ABCD ) ⇒   SA ⊥ AD ⇒ ∆SAB ∆SAD vng A •BC ⊥ AB, BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥(SAB) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vuông B 2 2 2 • SB = SA + AB = 2a + a = 3a SC = SB + BC = 3a2 + a2 = 4a2 • hạ CE ⊥ AD ⇒ ∆CDE vuông cân E nên EC = ED = AB = a ⇒ CD = a ⇒ AD = AE + ED = BC + ED = 2a ⇒ SD = SA2 + AD = 6a2 • SC + CD = 4a2 + 2a2 = 6a2 = SD nên tam giác SDC vng C b) Tính góc (SBC) (ABCD) WWW.VNMATH.COM ) ( • (SBC ) ∩ ( ABCD ) = BC , SB ⊥ BC , AB ⊥ BC ⇒ (SBC ),( ABCD ) = SBA ⇒ tan SBA = SA = AB c) Tính khoảng cách AD SC • Ta có SC ⊂ (SBC ), BC AD ⇒ d ( AD, SC ) = d ( A,(SBC )) • Hạ AH ⊥ SB ⇒ = 1 + ⇔ AH = AB SA2 = 2a = 6a2 a ⇔ AH = AH AB2 SA2 AB + SA2 3a2 a • Vậy d ( AD, SC ) = Câu 5a:  1  −x −1 a) Tính I = lim+  −  = lim+ x →2  x − x −  x →2 x −  lim (− x − 1) = −3 <  x →2 +  • Ta có  lim ( x − 4) = ⇒ I = −∞ +  x →2  x > ⇒ x2 − >  8 b) f ( x ) = ⇒ f ′( x ) = − , f ′(−2) = −2, f ′(2) = −2 ⇒ f ′(−2) = f ′(2) x x2 Câu 6a: y = x − x + ⇒ y′ = x − x BPT: y ' < ⇔ x − x − < ⇔ x ∈ (1 − 2;1 + ) Câu 7a: 1 AI = ( AB + AG ) = ( AB + AB + AD + AE ) 2 1 = ( 2a + b + c ) = a + b + c 2 Câu 5b: a) Tính gần giá trị 4, 04 x , ta có f ' ( x ) = • Đặt f(x) = x , theo công thức tính gần ta có với: x0 = 4, ∆ x = 0, 04 ⇒ f (4, 04) ≈ f (4 + 0, 04) + f ′(4).0, 04 4, 04 = + 0, 04 ≈ + Tức ta có 0, 04 = + 0, 01 = 2, 01 ⇒ 4, 04 ≈ 2, 01 b) Tính vi phân y = x.cot x ⇒ y ' = cot x − x ⇒ dy = (cot x − x cot x − x cot x )dx cot x sin x ⇔ y ' = cot x − x cot x (1 + cot x ) WWW.VNMATH.COM  lim ( x − x + 1) = >  x →3+ x − 3x + x − 3x +  ⇒ lim+ = +∞ Câu 6b: Tính lim Ta có  lim x − = + x −3 x −3 x →3 x →3+  x →3 x > ⇒ x − >  Câu 7b: Tứ diện ABCD đều, nên ta tính khoảng cách hai cạnh đối diện AB CD a a , AM = ⇒ AMN = 90 2 3a2 a2 2a2 ⇒ MN = AN − AM = − = 4 a ⇒ d ( AB, CD ) = NA = NB = =============================== WWW.VNMATH.COM ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ – Năm học 2013-2014 Mơn TỐN Lớp 11 Thời gian làm 90 phút Đề số 11 II Phần bắt buộc Câu 1: 1) Tính giới hạn sau: − 2x x →+∞ x + x − a) lim b) lim x →2 x3 + 3x2 − 9x − x3 − x − c) lim ( x − x + + x ) x →−∞ 2) Chứng minh phương trình x − x + = có nghiệm phân biệt Câu 2: 1) Tính đạo hàm hàm số sau: 2 x  a) y =  + x  ( x − 1)  b) y = x + sin x c) y = x2 − 2x x −1 2) Tính đạo hàm cấp hai hàm số y = tan x 3) Tính vi phân ham số y = sinx.cosx Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) SA = a 1) Chứng minh : BD ⊥ SC , (SBD ) ⊥ (SAC ) 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) 3) Tính góc SC (ABCD) II Phần tự chọn Theo chương trình chuẩn Câu 4a: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − giao điểm với trục hồnh x 60 64 − + Giải phương trình f ′( x ) = x x3 Câu 6a: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a Tính AB.EG Câu 5a: Cho hàm số f ( x ) = x + Theo chương trình nâng cao Câu 4b: Tính vi phân đạo hàm cấp hai hàm số y = sin x.cos x Câu 5b: Cho y = x3 x2 + − x Với giá trị x y′ ( x ) = −2 Câu 6b: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Xác định đường vng góc chung tính khoảng cách hai đường thẳng chéo BD′ B′C Hết Họ tên thí sinh: SBD : WWW.VNMATH.COM ĐÁP ÁN ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ – Năm học 2011-2012 Mơn TỐN Lớp 11 Thời gian làm 90 phút Đề số 11 Câu 1: − 2x x 1) a) lim = lim x =0 x →+∞ x + x − x →+∞ 1+ − x x2 x + 3x − x − b) lim = lim x3 − x − x →2 c) lim x →−∞ ( − ( x − 2)( x + x + 1) x →2 ( x − 2)( x ) x − x + + x = lim x →−∞ = lim x →−∞ = lim x + 5x + = 15 11 + x + 3) x →2 x + x + 3− x 3− x = lim x − x + − x x →−∞ − x  − +   x x2   −    −x   −1 x =  + 1 1− +  x x2  2) Xét hàm số f ( x ) = x − x + ⇒ f(x) liên tục R • f(–2) = –1, f(0) = ⇒ phuơng trình f(x) = có nghiệm c1 ∈ ( −2; ) • f(0) = 1, f(1) = –1 ⇒ phương trình f(x) = có nghiệm c2 ∈ ( 0;1) • f(1) = –1, f(2) = ⇒ phương trình f(x) = có nghiệm c3 ∈ (1;2 ) • Phương trình cho phương trình bậc ba, mà c1 , c2 , c3 phân biệt nên phương trình cho có ba nghiệm thực Câu 2: 2  1) a) y =  + x  x  (   2   x −1 ⇒ y ' =  − +  x − +  + 3x     x  x  x  2 =− + +3 x −3+ + x= x− + −3 2 x x x x x x x x2 ) ( ) b) y = x + sin x ⇒ y ' = + cos x c) y = x2 − 2x x2 − 2x + ⇒ y' = x −1 ( x − 1) ( 2) y = tan x ⇒ y ' = + tan2 x ⇒ y " = tan x + tan x ) 3) y = sinx cosx ⇒ y = sin x ⇒ dy = cos xdx Câu 3: a) Chứng minh : BD ⊥ SC ,(SBD ) ⊥ (SAC ) • ABCD hình vng nên BD ⊥ AC, BD⊥ SA (SA ⊥ (ABCD)) ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥SC • (SBD) chứa BD ⊥ (SAC) nên (SBD) ⊥ (SAC) b) Tính d(A,(SBD)) • Trong ∆SAO hạ AH ⊥ SO, AH ⊥ BD (BD⊥ (SAC)) nên AH ⊥ (SBD) WWW.VNMATH.COM a , SA = a ( gt ) ∆SAO vuông A 1 1 13 nên = + = + = 2 2 AH SA AO 6a a 6a 6a2 a 78 ⇒ AH = ⇒ AH = 13 13 c) Tính góc SC (ABCD) • Dế thấy SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu SC (ABCD) AC ⇒ góc SC (ABCD) • AO = S H B A SCA Vậy ta có: O tan SCA = C D SA a = = ⇒ SCA = 600 AC a 1 ⇒ y′ = + x x2 • Các giao điểm đồ thị hàm số với trục hoành A ( −1; ) , B (1; ) Câu 4a: y = x − • Tại A(–1; 0) tiếp tuyến có hệ số góc k1 = nên PTTT: y = 2x +2 • Tại B(1; 0) tiếp tuyến có hệ số góc k2 = nên PTTT: y = 2x – Câu 5a: f ( x ) = x + 60 64 60 128 − + ⇒ f ′( x ) = − + x x x2 x4   x2 = x = ± ′( x ) = ⇔ − 60 + 128 = ⇔ x − 60 x + 128 = ⇔  PT f 16 ⇔   x2 = x2 x4 x = ±   Câu 6a: F G Đặt AB = e1 , AD = e2 , AE = e3 ⇒ AB.EG = e1 EF + EH = e1 e1 + e2 = e1.e1 + e1.e2 = a2 E ( H ) ( ) Cách khác: AB.EG = EF.EG = EF EG cos ( EF , EG ) = a.a 2.cos 450 = a2 B C D A Câu 4b: y = sin2x.cos2x • y = sin x ⇒ y ' = cos x ⇒ y " = −8sin x Câu 5b: y = x3 x2 + − 2x ⇒ y ' = x2 + x − x = • y′ = −2 ⇔ x + x − = −2 ⇔ x ( x + 1) = ⇔   x = −1 WWW.VNMATH.COM Câu 6b: D’ C’ A’ Gọi M trung điểm B′C, G trọng tâm ∆AB′C Vì D′.AB′C hình chóp đều, có cạnh bên có độ dài a , nên BD’ đường cao chóp ⇒ BD′ ⊥ (AB′C) ⇒ BD′ ⊥ GM Mặt khác ∆AB′C nên GM ⊥ B′C ⇒ GM đoạn vng góc chung BD’ B’C B’ M •Tính độ dài GM = G D 3 a AC = a = 3 C O A B ====================================== WWW.VNMATH.COM Reader Edited by Foxit Copyright(C) HỌC KÌ Software học 2013-2014 ĐỀ ÔN TẬP by Foxit – Năm Company,2005-2006 For Evaluation Only Mơn TỐN Lớp 11 Thời gian làm 90 phút Đề số 12 Bài 1: Tính giới hạn sau: a) lim 3n+1 − 4n 4n−1 + b) lim x →3 x +1 − x2 − Bài 2: Chứng minh phương trình x − x + = có nghiệm thuộc ( −2; ) Bài 3: Chứng minh hàm số sau khơng có đạo hàm x = −3  x2 −  x ≠ −3 f (x) =  x + 1 x = −  Bài 4: Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = (2 x + 1) x − x b) y = x cos x x +1 có đồ thị (H) x −1 a) Viết phương trình tiếp tuyến (H) A(2; 3) Bài 5: Cho hàm số y = b) Viết phương trình tiếp tuyến (H) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = − x + Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a, SA vng góc với (ABCD) Gọi I, K hình chiếu vng góc A lên SB, SD a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vng b) Chứng minh: (SAC) vng góc (AIK) c) Tính góc SC (SAB) d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD) Hết Họ tên thí sinh: SBD : WWW.VNMATH.COM ĐÁP ÁN ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ – Năm học 2011-2012 Mơn TỐN Lớp 11 Thời gian làm 90 phút Đề số 12 Bài 1: Tính giới hạn: a) lim b) lim 3n+1 − 4n x →3 4n−1 + x +1 − x2 − = lim 9.3n−1 − 4.4n−1 4n−1 + = lim x →3 ( x + 3) 3   = lim   ( x + + 2) 1+ = n −1 −4 = −4 4n−1 24 Bài 2: Chứng minh phương trình x − x + = có nghiệm thuộc ( −2; ) Xem đề 11 Bài 3: Chứng minh hàm số sau khơng có đạo hàm x = −3  x2 −  x ≠ −3 f (x) =  x + 1 x = −  • Khi x ≠ −3 ⇒ f ( x ) = x − f ( x ) − f (3) x−4 x−4 x−4 = −∞; lim = +∞ nên hàm số khơng có đạo mà lim + = lim − x →−3 x →−3 x + x +3 x →−3 x + x →−3 x + hàm x = –3 Chú ý: Có thể chứng minh hàm số f(x) không liên tục x = –3 ⇒ f(x) khơng có đạo hàm x = –3 • lim Bài 4: Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = (2 x + 1) x − x ⇒ y'=2 x − x + (2 x + 1) 1− x 2x − x2 ⇒ y' = −4 x + x + 2x − x2 b) y = x cos x ⇒ y ' = x.cos x − x sin x x +1 −2 ⇒ y′ = x −1 ( x − 1)2 a) Tại A(2; 3) ⇒ k = y′ (2) = −2 ⇒ PTTT : y = −2 x − Bài 5: y = 1 b) Vì tiếp tuyến song song với đường thằng y = − x + nên hệ số góc tiếp tuyến k = − 8  x = −3 Gọi ( x0 ; y0 ) toạ độ tiếp điểm ⇒ y′ ( x0 ) = k ⇔ − = − ⇔ ( x0 − 1)2 = 16 ⇔  ( x − 1)  x0 = 1 ⇒ PTTT : y = − ( x + 3) + 3 • Với x0 = ⇒ y0 = ⇒ PTTT : y = − ( x − 5) + • Với x0 = −3 ⇒ y0 = WWW.VNMATH.COM Bài 6: S I K H B A O D C a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vng • SA⊥ (ABCD) nên SA⊥ BC, AB ⊥ BC (gt) ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vng B • SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ CD, CD ⊥ AD (gt) ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ SD ⇒ ∆SCD vng D • SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB, SA ⊥ AD ⇒ tam giác SAB SAD vuông A b) Chứng minh: (SAC) vuông góc (AIK) • SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BD, BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ (SAC) • ∆SAB ∆SAD vuông cân A, AK ⊥ SA AI ⊥ SB nên I K trung điểm AB AD ⇒ IK//BD mà BD ⊥ (SAC) nên IK ⊥ (SAC) ⇒ (AIK) ⊥ (SAC) c) Tính góc SC (SAB) • CB ⊥ AB (từ gt),CB ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD)) nên CB ⊥ (SAB) ⇒ hình chiếu SC (SAB) SB ⇒ ( SC ,(SAB) ) = ( SC , SB ) = CSB • Tam giác SAB vng cân có AB = SA = a ⇒ SB = a ⇒ tan CSB = d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD) Hạ AH ⊥ SO , AH ⊥ BD BD ⊥ (SAC) ⇒ AH ⊥ (SBD) 1 1 a ⇒ = + = + = ⇒ AH = 2 2 2 AH SA AO a a a ( ) ⇒ d A, ( SBD ) = a 3 ==================== BC = SB WWW.VNMATH.COM ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ – Năm học 2013-2014 Mơn TỐN Lớp 11 Thời gian làm 90 phút Đề số 13 Bài 1: Tính giới hạn sau: a) lim x →1 x + 3x − x2 − b) lim x →1+ x3 + x + x −1 Bài 2: Chứng minh phương trình x − 2mx − x + m = ln có nghiệm với m Bài 3: Tìm a để hàm số liên tục x =  x3 − x + x −  f (x) =  3x + a 3 x + a  Bài 4: Tính đạo hàm hàm số: a) y = + x + − + x x2 x4 x ≠ x = b) y = cos x x + x sin x Bài 5: Cho đường cong (C): y = x − x + Viết phương trình tiếp tuyến (C): a) Tại điểm có hồnh độ b) Biết tiếp tuyến vng góc đường thẳng y = − x + Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, OB = a , SO ⊥ ( ABCD ) , SB = a a) Chứng minh: ∆SAC vuông SC vng góc với BD b) Chứng minh: (SAD ) ⊥ (SAB), (SCB) ⊥ (SCD ) c) Tính khoảng cách SA BD Hết Họ tên thí sinh: SBD : WWW.VNMATH.COM ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ – Năm học 2011-2012 Mơn TỐN Lớp 11 Thời gian làm 90 phút Đề số 13 Bài 1: a) lim x + 3x − 2x + = x →1 x + = lim x2 − x3 + x + b) lim+ x −1 x →1  lim ( x − 1) =  x →1+ x3 + x +  Ta có  x − > ⇒ lim+ = +∞ x −1 x →1  lim ( x + x + 1) = >  x →1+  x →1 Bài 2: Xét hàm số f ( x ) = x − 2mx − x + m ⇒ f(x) liên tục R • f (m) = − m3 , f (0) = m ⇒ f (0) f (m) = −m • Nếu m = phuơng trình có nghiệm x = • Nếu m ≠ f (0) f (m) < 0, ∀m ≠ ⇒ phương trình ln có nhát nghiệm thuộc (0; m) (m; 0) Vậy phương trình x − 2mx − x + m = ln có nghiệm  x3 − x + x −  x ≠ Bài 3: f (x) =  3x + a 3 x + a x =  x3 − x2 + x − ( x − 1)( x + 2) = lim x →1 x →1 3x + a 3x + a • lim f ( x ) = lim x →1 ( x − 1)( x + 2) x2 + = lim = > f (1) = nên hàm số không x →1 x →1 3( x − 1) • Nếu a = –3 lim f ( x ) = lim x →1 liên tục x = ( x − 1)( x + 2) = , f (1) = + a ≠ nên hàm só khơng liên x →1 3x + a • Nếu a ≠ –3 lim f ( x ) = lim x →1 tục x = Vậy khơng có giá trị a để hàm số liên tục x = Bài 4: 3 a) y = + x + − ⇒ y'= − + + − + x x2 x x 2 3x + x x b) y = cos x x sin x cos x + x + ⇒y= x x sin x sin x ⇒ y' = − x sin x − cos x x2 + sin x − x cos x sin x = − sin x − cos x x2 + − x cos x(1 + cot x ) sin x Bài 5: y = x − x + ⇒ y ' = x − x a) x0 = ⇒ y0 = −2, y′ (2) = ⇒ PTTT y = −2 b) Vì tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = − x + nên tiếp tuyến có hệ số góc k = 3 x = 1− 2 Gọi ( x0 ; y0 ) toạ độ tiếp điểm ⇒ x0 − x0 = ⇔ x0 − x0 − = ⇔   x0 = +  WWW.VNMATH.COM • Với x0 = − ⇒ y0 = ⇒ PTTT: y = ( x − + ) + ⇔ y = x + − • Với x0 = + ⇒ y0 = − ⇒ PTTT: y = ( x − − ) − ⇔ y = x − − Bài 6: S a) • Chứng minh: ∆SAC vng + SO = SB − OB = a2 − 3a 6a2 a ⇔ SO = ⇔ SO = 9 + OA = OC = BC − OB = a2 − H I K A B O D b) ⇒ tam giác SAC vng S • Chứng minh SC ⊥ BD BD ⊥ SO, BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ SC • Chứng minh: (SAD ) ⊥ (SAB), (SCB) ⊥ (SCD ) Gọi H trung điểm SA SA = OA = C 3a2 a = = SO 2a SA a ⇒ OH = = 3 ⇒ OH = OB = OD ⇒ ∆HBD vuông H ⇒ DH ⊥ BH (1) • ∆SOA vng cân O, H trung điểm SA ⇒ OH ⊥ SA (2) • SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ BD, mặt khác AC ⊥ BD ⇒ BD ⊥ (SAC ) ⇒ SA ⊥ BD (3) • Từ (2) (3) ta suy SA ⊥ (HBD) ⇒ SA ⊥ HD (4) Từ (1) (4) ta suy DH ⊥ (SAB), mà DH ⊂ (SAD) nên (SAD) ⊥ (SAB) • Gọi I trung điểm SC dễ thấy OI = OH = OB = OD ⇒ ∆IBD vuông I ⇒ ID ⊥ BI 6a2 3a2 + = a = CD ⇒ ∆DSC cân D, IS = IC nên ID ⊥ SC 9 Từ (5) (6) ta suy ID ⊥ (SBC), mà ID ⊂ (SCD) nên (SBC) ⊥ (SCD) • SD = SO + OD = c) Tính khoảng cách SA BD OH ⊥ SA, OH ⊥ BD nên d (SA, BD ) = OH = a ============================ (5) (6) ... SBD : WWW.VNMATH.COM ĐÁP ÁN ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ – Năm học 2011-2012 Mơn TỐN Lớp 11 Thời gian làm 90 phút Đề số 14 Bài 1: a) lim ( x →−∞ x2 − x + − 2x   ... SBD : WWW.VNMATH.COM ĐÁP ÁN ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ – Năm học 2011-2012 Mơn TỐN Lớp 11 Thời gian làm 90 phút Đề số Bài 1:   1 1 x  − 1− − + 3 − + 3x   x x2... SBD : WWW.VNMATH.COM ĐÁP ÁN ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ – Năm học 2011-2012 Mơn TỐN Lớp 11 Thời gian làm 90 phút Đề số Bài 1:  1  1) lim (− x + x − x + 1) = lim x