Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH TỚI HẠN CỦA LÒ PHẢN ỨNG HẠT NHÂN NƠTRON NHIỆT CÓ VÀNH PHẢN XẠ (LÝ THUYẾT MỘT NHÓM NƠTRON) 5.1 Phương trình tổng quát Trong các chương trước, chúng ta đã xem xét các vấn đề về lò phản ứng hạt nhân nhiệt trong vùng hoạt, với biên phân cách với môi trường bên ngoài được giả thiết là không khuếch tán nơtron. Trong thực tế của đa số các trường hợp, lò phản ứng hạt nhân gồm có một vùng hoạt lò phản ứng và một lớp bao quanh, gọi là vành phản xạ. Tác dụng của vành phản xạ là để phản xạ các nơtron trở lại vùng hoạt càng nhiều càng tốt. Các nơtron được phản xạ vào vùng hoạt cũng tham gia vào phản ứng phân hạch hạt nhân dây chuyền, và kết quả là làm nhỏ hơn khối lượng tới hạn khi so với lò phản ứng hạt nhân không có vành phản xạ. Lợi ích mang lại từ vành phản xạ là cao hơn chi phí để xây dựng vành phản xạ. Trong lò phản ứng hạt nhân không có vành phản xạ, mật độ thông lượng nơtron có cực đại tại tâm vùng hoạt lò phản ứng và bằng không tại biên ngoại suy của nó. Điều đó có nghĩa rằng đối với lò phản ứng không có vành phản xạ, các thanh nhiên liệu ở gần biên vùng hoạt bị cháy ít hơn. Trong lò phản ứng hạt nhân có vành phản xạ, mật độ thông lượng nơtron bằng không tại biên ngoại suy của vành phản xạ; còn ở gần biên của vùng hoạt, mật độ thông lượng nơtron được nâng cao lên. Vì vậy, nhiên liệu hạt nhân được sử dụng trong lò phản ứng có vành phản xạ sẽ cháy đồng đều hơn so với trong lò phản ứng không có vành phản xạ. Một vành phản xạ lò phản ứng có hiệu quả cần phải có những đặc tính sau: (1) Tiết diện tán xạ Σ s lớn: Chúng ta xem xét một nơtron đi từ vùng hoạt vào vành phản xạ. Nếu Σ s lớn, độ dài tự do trung bình khuếch tán λ s sẽ là nhỏ; nơtron sẽ chịu một va chạm rất gần với vùng hoạt và khả năng để trở lại vùng hoạt sẽ lớn hơn. (2) Tiết diện hấp thụ Σ a nhỏ: Tiết diện hấp thụ nơtron của vành phản xạ càng nhỏ thì khả năng nơtron tránh hấp thụ trong vành phản xạ và trở lại vùng hoạt càng lớn. (3) A nhỏ (các hạt nhân nhẹ): Việc rò nơtron từ vùng hạot vào vành phản xạ không chỉ đối với nơtron nhiệt mà cả đối với nơtron nhanh. Nếu vành phản xạ gồm các hạt nhân nhẹ thì vành phản xạ đồng thời có tác dụng như một chất làm chậm. Một phần các nơtron nhanh đi vào vành phản xạ sẽ bị nhiệt hoá và khuếch tán trở lại vùng hoạt. Vấn đề nhiệt hoá nơtron trong vành phản xạ có một thuận lợi lớn là không có hiện tượng hấp thụ công hưởng trong U 238 . Nhưng trái lại khi sử dụng các chất có A bé làm vành phản xạ cũng có một vấn đề rằng cosin trung bình của góc khuếch tán nơtron A3 2 0 = µ có giá trị lớn và nơtron có khuynh hướng giữ nguyên chiều chuyển động ban đầu sau khi va chạm; điều đó cũng làm giảm chút ít hiệu quả của vành phản xạ. Thông thường vành phản xạ được sử dụng là các chất: H 2 O, D 2 O, Be, BeO, và graphit. Lý thuyết lò phản ứng có vành phản xạ, nói chung, là phức tạp hơn nhiều so với lý thuyết lò phản ứng không có vành phản xạ. Lý thuyết tuổi không htể áp dụng được cho lò phản ứng hạt nhân có vành phản xạ. Phương trình tới hạn của Fermi (4.17) được rút ra dựa trên một thực tế rằng mật độ làm chậm nơtron q là tỷ lệ thuận với mật độ thông lượng nơtron nhiệt (4.15). Biểu thức này có giá trị chỉ trong trường hợp của lò phản ứng hạt nhân không có vành phản xạ. Trong lò phản ứng hạt nhân có vành phản xạ, một phần các nơtron được làm chậm trong vành phản xạ và biểu thức (4.15) sẽ không còn giá trị nữa. Để tính toán lò phản ứng hạt nhân có vành phản xạ, chúng ta sẽ trở lại phép gần đúng các nhóm nơtron. Trong lý thuyết một nhóm nơtron hay lý thuyết đơn nhóm nơtron, tất cả các nơtron trong vùng hoạt và vành phản xạ đều được coi là nơtron nhiệt. Trong lý thuyết hai nhóm nơtron, các nơtron trong lò phản ứng hạt nhân được chia thành hai nhóm theo năng lượng khác nhau: nhóm nơtron nhiệt và nhóm nơtron nhanh. Tương tự, người ta có thể phát triển thành lý thuyết nhiều nhóm nơtron. Sự chính xác của phép tính là tăng với số nhóm nơtron. Khi chúng ta tăng số nhóm nơtron lớn hơn hai, bài toán trở nên rất phức tạp và việc giải các phương trình được thực hiện bằng các chương trình trên máy tính điện tử. Nói chung, đối với lò phản ứng hạt nhân sử dụng uran tự nhiên làm nhiên liệu, lý thuyết hai nhóm nơtron cho kết quả tốt; còn đối với các lò phản ứng hạt nhân nhiên liệu bằng uran làm giàu, người ta cần phải sử dụng tối thiểu lý thuyết ba nhóm nơtron. Trong chương này, chúng ta chỉ nghiên cứu các vấn đề của lò phản ứng có vành phản xạ trong khuôn khổ của lý thuyết một nhóm nơtron, tức là coi tất cả các nơtron trong lò phản ứng (kể cả các nơtron phân hạch) đều là nơtron nhiệt. Chúng ta ký hiệu chỉ số “a” cho các đại lượng gắn liền với vùng hoạt và chỉ số “r” cho các đại lượng liên quan đến vành phản xạ. Mật độ thông lượng nơtron trong vùng hoạt miêu tả bởi phương trình (4.4) trong khuôn khổ của lý thuyết một nhóm cải tiến: 2 222 1 ;0)()( M k BrBr aaaa − ==+∇ ∞  φφ (5.1) Phương trình khuếch tán nơtron trong vành phản xạ không nguồn nơtron có dạng: 2 222 1 ;0)()( r rrrr L rr ==−∇ χφχφ  (5.2) Các phương trình (5.1) và (5.2) cùng với các điều kiện giới hạn tương ứng sẽ xác định kích thước tới hạn của vùng hoạt lò phản ứng hạt nhân. Để làm ví dụ, ta sẽ xem xét các vấn đề trong trường hợp của lò phản ứng hạt nhân hình cầu và hình trụ. 5.2 Lò phản ứng hạt nhân hình cầu có vành phản xạ Chúng ta ký hiệu R là bán kính vùng hoạt và T là độ dày của vành phản xạ (Hình 5.1). Lưu ý tới tính chất đối xứng của hình cầu và viết phương trình (5.1) trong hệ tọa độ hình cầu: 0)( )( 2 )( 2 2 2 =++ rB dr rd r dr rd aa aa φ φφ (5.1’) Để giải phương trình (5.1’), ta đặt r rR r a a )( )( = φ ; sau khi thay biểu thức này vào phương trình (5.1’), ta đươc: 0)( )( 2 2 2 =+ rRB dr rRd aa a (5.1’’) Nghiệm tổng quát của phương trình (5.1’’) là: rBCrBArR aaa cossin)( += ; do đó: r rB C r rB Ar aa a cossin )( += φ r R T Hình 5.1 Lò phản ứng hình cầu với vành phản xạ ở đây, A và C là các hằng số. Đối với r tiến đến không, số hạng thứ hai của nghiệm trên tiến đến vô cùng , do đó hằng số C cần phải bằng không và cuối cùng: r rB Ar a a sin )( = φ (5.3) Phương trình khuếch tán cho vành phản xạ trong hệ tọa độ cầu có dạng: 0)( )( 2 )( 2 2 2 =−+ r dr rd r dr rd rr rr φχ φφ (5.2’) Để giải phương trình (5.2’), ta đặt r rR r r r )( )( = φ và phương trình (5.2’) trở thành: 0)( )( 2 2 2 =− r dr rRd rr r φχ (5.2’’) Nghiệm tổng quát của phương trình (5.2’’) là: rchCrshArR rrr χχ 11 )( += do đó, r rch C r rsh Ar rr r χχ φ 11 )( += (5.4) trong đó, A 1 và C 1 là các hằng số. Phương trình tới hạn của lò phản ứng hạt nhân hình cầu với vành phản xạ được rút ra bằng cách loại trừ các hằng số A, A 1 , và C 1 . Để loại trừ các hằng số này, chúng ta cần áp dụng các điều kiện giới hạn như sau: I. ф a (R) = ф r (R) II. Rr r rRr a a dr d D dr d D == = )()( φ φ III. ф r (R= T’) = 0 trong đó, T’ = T + 0,71λ t là độ dào ngoại suy của vành phản xạ. Trước hết ta áp dụng điều kiện giới hạn III: 0 ' )'( ' )'( 11 = + + + + + TR TRch C TR TRsh A rr χχ ; từ đó, ta thu được hằng số C 1 : C 1 = - A 1 th χ r (R + T’) Nghiệm (5.4) khi đó trở thành: [ ] r rchTRshrshTRch TRch A rchTRthrsh r A r rrrr r rrrr χχχχ χ χχχφ )'().'( )'( )'()( 1 1 +−+ + = =+−= hay: r rTRsh Ar r r )'( )( 2 −+ = χ φ (5.5) trong đó, A 2 là một hằng số mới. Tiếp theo, ta áp dụng các điều kiện giới hạn I và II cho các biểu thức (5.3) và (5.4): R Tsh A R RB A r a ' sin 2 χ = 2 2 2 ''. sincos. R TshTchR AD R RBRBRB AD rrr r aaa a χχχ −− = − Các hằng số A và A 2 được đơn giản đi khi ta chia phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất: )1'.()1.( +−=− TcthRDRctgBRBD rrraaa χχ , từ đó, chúng ta sẽ thu được dạng cuối cùng của phương trình tới hạn: ')1( 1 Tcth BD D D D RB RctgB r a r a r a r a a χ χ −−= (5.6) Biểu thức này cho phép ta xác định bán kính R của vùng hoạt lò phản ứng hạt nhân có vành phản xạ. Bán kính này là hàm số của các đặc trưng vật chất của vùng hoạt và vành phản xạ. Nếu độ dày của vành phản xạ có thể được xem như là vô hạn (trong thực tế, người ta có thể xem bề dày của vành phản xạ là vô hạn khi T > 2L r ), khi đó phương trình (5.6) có dạng đơn giản hơn: a r a r a r a a BD D D D RB RctgB χ −−= )1( 1 (5.7) Nếu vành phản xạ được tạo thành bởi cùng một vật chất với chất làm chậm của vùng hoạt, tức là D a ≈ D r , phương trình (5.7) trở thành: raa r a LBB RctgB 1 −=−= χ hay: tg(π – B a R) = B a L r . (5.7’) Nếu lò phản ứng hạt nhân có kích thước lớn, đối số của tang là nhỏ và ta có thể lấy gần đúng: π – B a R = B a L r hay: rr a LRL B R −=−= 0 π (5.8) trong đó, R 0 là bán kính tới hạn của lò phản ứng hạt nhân không có vành phản xạ. Trong trường hợp lò phản ứng hạt nhân có vành phản xạ, độ nhỏ đi của bán kính vùng hoạt là bằng với độ dài khuếch tán của nơtron trong vành phản xạ. 5.3 Lò phản ứng hạt nhân hình trụ có vành phản xạ Bài toán về một vùng hoạt hình trụ được bao bọc toàn bộ bằng vành phản xạ không thể giải được bằng phương pháp giải tích. Do đó, chúng ta sẽ xem xét riêng từng vấn đề: lò phản ứng hạt nhân hình trụ với vành phản xạ bao xung quanh thành và lò phản ứng hạt nhân hình trụ với vành phản xạ ở hai đáy. Nghiệm thu được của hai trường hợp cho phép tính toán gần đúng lò phản ứng hạt nhân hình trụ được vành phản xạ bao quanh toàn bộ. 5.3.1 Lò phản ứng hạt nhân hình trụ với vành phản xạ xung quanh thành. Chúng ta viết các phương trình (5.1) và (5.2) trong hệ tọa độ trụ (Hình 5.2): 0),( ),(),( 1 ),( 2 2 2 2 2 =+ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ zrB z zr r zr r r zr aa aaa φ φφφ (5.9) 0),( ),(),( 1 ),( 2 2 2 2 2 =− ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ zr z zr r zr r r zr rr rrr φχ φφφ (5.10) Nghiệm tổng quát của phương trình (5.9) thỏa mãn điều kiện giới hạn để mật độ thông lượng nowtrron hữu hạn tại tâm vùng hoạt là: zrAJzr a βαφ cos)(),( 0 = (5.11) trong đó, α 2 + β 2 = 2 a B (5.12) Để giải bài toán lò phản ứng hạt nhân hình trụ có vành phản xạ xung quanh thành, chúng ta có các điều kiện giới hạn sau đây: I 0) 2 ' ,( =± H r a φ II 0) 2 ' ,( =± H r r φ III ),(),( zRzR ra φφ = IV Rr r rRr a a r D r D == ∂ ∂ = ∂ ∂ )()( φ φ V 0)'( 1 =R r φ trong đó, H’ = H + 2 . 0,71λ t và t RR λ 71,0' 11 += . Khi áp dụng điều kiện giới hạn đầu tiên, I , cho biểu thức (5.11), ta được: 'H π β = (5.13) R 1 H 0 r z 0 R Hình 5.2 Lò phản ứng hình trụ với vành phản xạ bao quanh thành Giải phương trình khuếch tán trong vành phản xạ được thực hiện bằng phương pháp tách biến. Sự liên tục của mật độ thông lượng nơtron và điều kiện giới hạn, II, cho ф r (r,z) giống như là ф a (r,z). Do đó: ф r (r,z) = X(r) cosβz (5.14) trong đó, β được xác định bởi (5.13). Khi thay thế (5.14) vào (5.10), ta được: 0cos)(cos)( )(1)( cos 22 2 2 =−−       + zrXzrX dr rdX r dr rXd z r βχβββ hay 0)( )(1)( 2 2 2 =−+ rX dr rdX r dr rXd λ (5.15) trong đó, ta đã đặt: 22222 ) ' ( rr H χ π χβλ +=+= (5.16) Nghiệm tổng quát của phương trình (5.15) là: X(r) = E I 0 (λr) + F K 0 (λr) với E và F là các hằng số. Mật độ thông lượng nơtron trong vành phản xạ là: [ ] zrFKrEIzr r βλλφ cos)()(),( 00 += (5.17) Điều kiện giới hạn V cho ta: )'( )'( ;0)'()'( 10 10 1010 RI RK FERFKREI λ λ λλ −==+ Khi thay thế biểu thức của E vào (5.17), ta được: [ ] zrKRIrIRKGzr r βλλλλφ cos)()'()()'(),( 010010 −= (5.18) trong đó, )'( 10 RI F G λ −= là một hằng số mới. Phương trình tới hạn được xác định bằng cách loại bỏ các hằng số A và G từ các biểu thức (5.11) và (5.18), khi sử dụng các điều kiện liên tục của mật độ thông lượng nơtron và mật độ dòng nơtrron III và IV tại biên phân cách giữa vùng hoạt và vành phản xạ lò phản ứng hạt nhân. Nếu chia hai vế của các biểu thức thu được sau khi áp dụng các điều kiện giới hạn, ta được:       − − = == = RrRr r Rr a dr dK RI dr dI RKD RKRIRIRK dr dJ D RJ 0 10 0 10 010010 0 0 )'()'( )()'()()'()( λλ λλλλα Nếu chú ý đến các tính chất của hàm Bessel: )( )( );( )( );( )( 1 0 1 0 1 0 rK dr rdK rI dr rdI rJ dr rdJ λλ λ λλ λ αα α −==−= Ta thu được phương trình tới hạn của lò phản ứng hạt nhân hình trụ với vành phản xạ xung quanh thành: )()'()()'( )()'()()'( )( )( 110110 010010 1 0 RKRIRIRK RIRKRKRI D D RJ RJ r a λλλλ λλλλ λαα α + − = (5.19) Phương trình này có thể được giải bằng phương pháp đồ thị. Với mục đích này, người ta miêu tả vế phải và vế trái của phương trình theo hàm số của R (chiều cao H được cố định). Bán kính tới hạn được xác định bằng điểm cắt của hai đường cong. Vế phải của phương trình (5.19) có một ý nghĩa vật lý đơn giản. Ta nhận thấy rằng vế trái của phương trình miêu tả tỷ số giữa mật độ thông lượng nơtron tại biên của vùng hoạt và đạo hàm của mật độ thông lượng nơtron với dấu thay đổi. Khi ta dựng đường tiếp tuyến với phần bán kính của mật độ thông lượng nơtron tai gần biên phân cách, đường tiếp tuyến này cắt trục ox tai khoảng cách Λr kể từ biên phân cách giữa vùng hoạt và vành phản xạ (Hình 5.3). Thật vậy, 0 θ J 0 (αR) R) J 0 (αr) r Λ r Hình 5.3 Ngoại suy của mật độ thông lượng nơtron trong vành phản xạ )(. )( 1 0 RJ dr rdJ tg Rr αα α θ −==− = (5.20) )( )()( 1 00 RJ RJ tg RJ r αα α θ α ==Λ Như vậy, Λ r là độ dài ngoại suy của mật độ nơtron trong vành phản xạ còn d = 0,71 λ t là độ dài ngoại suy trong chân không. Theo các biểu thức (5.19) và (5.20), độ dài ngoại suy của mật độ thông lượng nơtrron trong vành phản xạ là: )()'()()'( )()'()()'( )( 110110 010010 RKRIRIRK RIRKRKRI D D R r a r λλλλ λλλλ λ + − =Λ (5.21) Ta có thể được viết một cách gần đúng như sau: 0]),([ =Λ+ zR ra αφ và [ ] 0)( 0 =Λ+ r RJ α suy ra: 0 )( jR r =Λ+ α Vậy: rr R j R Λ−=Λ−= 0 0 α (5.22) trong đó, R 0 là bán kính tới hạn của lò phản ứng hạt nhân không có vành phản xạ. Bán kính tới hạn của lò phản ứng hạt nhân có vành phản xạ là bé hơn so với R 0 một đại lương Λ r . Nếu độ dày của vành phản xạ đủ lớn (R 1 lớn), nó có thể đươc coi như xấp xỉ với vô hạn. Trong trường hợp này, (5.21) trở thành: )( )( 1 0 RK RK D D r a r λ λ λ =Λ Nếu lò phản ứng hạt nhân có kích thước lớn (R và H lớn), ta có: )()( 10 RKRK λλ ≈ , 0 ' ≈= H π β ; do đó: r r L 1 =≈ χλ và r r a r L D D =Λ Nếu giả sử rằng vành phản xạ được cấu tạo bởi cùng một vật liệu với vật liệu của vùng hoạt, hệ số khuếch tán trong hai môi trường đó là bằng nhau (D a = D r ) và ta có: Λ r ≈ L r và R = R o - L r [...]...Như vậy, bán kính của lò phản ứng hạt nhân hình trụ có vành phản xạ xung quanh thành là bé hơn so với bán kính của lò phản ứng hạt nhân không có vành phản xạ một đại lượng bằng với độ dài khuếch tán trong vành phản xạ 5.3.2 Lò phản ứng hạt nhân hình trụ có vành phản xạ ở hai đáy Trong lò phản ứng hạt nhân có vành phản xạ ở hai đáy (Hình 5.4), phân bố mật độ thông lượng... vành phản xạ: Λ z (H ) = Da thkT ' Dr k (5.29) Nếu vành phản xạ có độ dày lớn vô hạn (T’ → ∞ và Λz = Da Dr k còn khi Da ≈ Dr và α 2