BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG - - - - - - - - - - - - - - - - - - Chủ biên: Nguyễn Văn Mậu CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VÀ ĐỀ DỰ TUYỂN TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG NĂM 2012 KỶ YẾU TRẠI HÈ, MÔN TOÁN HỌC CAO BẰNG - NĂM 2012 www.VNMATH.com . 2 www.VNMATH.com KỶ YẾU TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG 2012 Môn TOÁN HỌC Cao Bằng, 01-04 tháng 8 năm 2012 www.VNMATH.com Mục lục Lời nói đầu 5 Đào Văn Lương Phương pháp lượng giác và áp dụng 7 Nguyễn Việt Hà Hệ phương trình không mẫu mực 17 Nguyễn Văn Xã Chứng minh bất đẳng thức theo phương pháp suy luận 24 Nguyễn Thế Hiệp Sử dụng hệ thức truy hồi trong bài toán đếm 35 Lê Hồ Quý Tính toán một số lớp tích phân xác định dạng đặc biệt 55 Nguyễn Anh Tuấn Một số phương pháp giải hệ ơhương trình 64 Trường THPT Chuyên Hạ Long Chuyên đề dãy số nguyên 121 Nguyễn Ngọc Xuân, Bùi Thị Hương Các phương pháp cơ bản khi giải hệ phương trình 137 Trần Ngọc Thắng Sử dụng dãy số trong một số dạng bài tập về phương trình hàm trên tập Z 154 Đề thi chính thức Môn Toán, Trại hè Hùng Vương 2011 155 3 www.VNMATH.com Đáp án đề thi chính thức Môn Toán, Trại hè Hùng Vương 2011 159 Đề thi dự bị Môn Toán, Trại hè Hùng Vương 2011 160 Đáp án đề thi dự bị Môn Toán, Trại hè Hùng Vương 2011 161 ===================== 4 www.VNMATH.com 5 Các chuyên đề Toán Trại hè Hùng Vương năm 2012, Cao Bằng 01-04/08/2012 Lời nói đầu Hoạt động bồi dưỡng theo các cụm, khu vực theo địa hình và đặc thù văn hoá, điển hình là các chương trình hoạt động của Trại hè Hùng Vương của khối các trường THPT chuyên khu vực vùng núi phía bắc và trung du Bắc bộ liên kết với một số trường khác như trường Vùng cao Việt Bắc, . . . đã thành truyền thống và ngày càng đi vào nề nếp. Đó là khối các trường THPT Chuyên Hùng Vương (Phú Thọ), THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ (Hòa Bình), THPT Chuyên tỉnh Vĩnh Phúc, THPT Chuyên tỉnh Bắc Giang, THPT Chuyên Chu Văn An (Lạng Sơn), THPT Chuyên Thái Nguyên, THPT Chuyên Tuyên Quang, THPT Chuyên Hà Giang, THPT Chuyên Lai Châu, THPT Chuyên Điện Biên, THPT Chuyên Bắc Kạn, THPT Chuyên Bắc Giang, THPT Chuyên Hạ Long (Quảng Ninh), THPT Chuyên Nguyễn Tất Thanh (Yên Bái) và Trường Vùng cao Việt Bắc. Trại hè Hùng Vương hoạt động tuân thủ theo Bản điều lệ của Trại hè, nhờ đó, các đơn vị chủ động xây dựng chương trình hành động và cách thức triển khai. Là một nội dung hoạt động toàn diện của trường THPT Chuyên trên cơ sở hoàn toàn tự nguyện tham gia của các trường THPT Chuyên khu vực miền núi - trung du phía Bắc. Thông qua hoạt động của trại hè phát triển tư duy môn học cho những học sinh có năng khiếu bộ môn văn hóa theo chương trình lớp 10 THPT Chuyên của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Đặc biệt trại hè hướng tới việc định hướng và rèn luyện cho học sinh kỹ năng sống, kỹ năng giao tiếp xã hội, gắn lý thuyết với thực tiễn xã hội ở địa phương và dất nước. Từ đó tăng cường chất lượng giáo dục văn hóa, thể chất , hiểu biết xã hội qua những hoạt động ngoài nhà trường góp phần nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện cho học sinh. Gắn với các hoạt động trên là việc bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ và năng lực tổ chức các hoạt động xã hội cho giáo viên đang giảng dạy ở các trường THPT Chuyên. Các semina bộ môn góp phần giúp giáo viên và học sinh được tiếp cận với những đơn vị kiến thức mới của bộ môn góp phần nâng cao chất lượng đào tạo học sinh giỏi bộ môn của các trường tham gia trại hè. Ban tổ chức trại hè đã xây dựng nội dung, chương trình kế hoạch cho các kỳ trại hè ; liên hệ mời các giáo sư cố vấn khoa học; tổ chức và chủ trì các hội nghị 5 www.VNMATH.com trù bị và trại hè chính thức. Sản phẩm của trại hè: Mỗi bộ môn xây dựng một tập san (kỷ yếu) trong đó lưu giữ các nội dung gồm các báo cáo khoa học bộ môn, các đề thi Olympic bộ môn, các đề đề xuất của các trường kèm theo lời giải và một số bài làm có chất lượng tốt của học sinh. Trại hè Hùng Vương là hoạt động giao lưu gữa các trường THPT chuyên khu vực Trung du - Miền núi phía bắc và trường Phổ thông Vùng cao Việt Bắc, trên cơ sở hoàn toàn tự nguyện tham gia, nhằm bồi dưỡng và phát triển năng khiếu cho học sinh về môn chuyên cho một số học sinh đạt kết quả xuất sắc của các trường chuyên, tăng cường sự hiểu biết về văn hoá xã hội vùng miền cho học sinh qua các hoạt động của trại hè, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện cho học sinh; rèn luyện cho học sinh kỹ năng sống, kỹ năng giao tiếp xã hội, gắn lý thuyết với thực tiễn xã hội ở địa phương và đất nước. Trại hè Hùng Vương với mục tiêu bồi dưỡng và nâng cao năng lực tổ chức các hoạt động xã hội cho giáo viên đang giảng dạy ở các trường THPT Chuyên, là nơi dể trao đổi chuyên môn, kinh nghiệm và các nguồn lực khác giữa các trường nhằm nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi và hoạt động giáo dục toàn diện của các trường chuyên tham gia trại hè. Ngoài phần hoạt động chuyên môn, Trại hè Hùng Vương còn tổ chức giao lưu văn hóa, văn nghệ, thăm quan học tập đối với học sinh và giáo viên các trường tham gia trại hè, thi Olympic các môn học cho học sinh. Năm nay Trại hè Hùng Vương được tổ chức tại trường THPT Chuyên Cao Bằng từ ngày 01.08 đến 04.08. Nhằm bồi dưỡng và trao đổi chuyên môn, chúng tôi giới thiệu một số tư liệu phục vụ trại hè này do các giáo viên và Ban chuyên môn biên soạn, nhằm tổ chức tốt các semina giữa các giáo viên tham gia trại hè, trao đổi tài liệu và các kinh nghiệm trong công tác giảng dạy. Vì thời gian rất gấp gáp, nên các khâu chế bản và nội dung chắc chắn còn nhiều khiếm khuyết. Mong nhận được sự góp ý của các thầy, cô và các em học sinh Trưởng ban cố vấn khoa học GS TSKH Nguyễn Văn Mậu 6 www.VNMATH.com 7 Các chuyên đề Toán Trại hè Hùng Vương năm 2012, Cao Bằng 01-04/08/2012 Phương pháp lượng giác và áp dụng Đào Văn Lương, Trường THPT Chuyên Lào Cai Tóm tắt nội dung Lượng giác là phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán THPT, ngoài những bài toán liên quan trực tiếp đến lượng giác, như biến đổi lượng giác, hệ thức lượng giác trong tam giác, tứ giác, phương trình lượng giác, tích phân của các hàm số lượng giác, , thì một lượng không nhỏ các bài toán lại được chuyển về làm việc với đối tượng là lượng giác thông qua các phép đặt lượng giác. Trong bài viết nay ta sẽ áp phương pháp lượng giác vào giải quyết một số dạng toán cơ bản là các bài toán về phương trình, hệ phương trình, các bài toán chứng minh bất đẳng thức và một số bài toán liên quan đến dãy số. 1 Các kết quả cơ bản 1.1 Một số đẳng thức lượng giác 1) sin 2 x + cos 2 x = 1, ∀x ∈ R 2) 1 + tan 2 x = 1 cos 2 x , ∀x = π 2 + kπ 3) 1 + cot 2 x = 1 sin 2 x , ∀x = kπ 4) cot x + 1 sin x = cot x 2 , ∀x = kπ 5) Với α; β; γ = π 2 + kπ, k ∈ Z, ta có: tan α + tan β + tan γ = tan α. tan β. tan γ ⇐⇒ α + β + γ = nπ(n ∈ Z) 6) Với α; β; γ = π 2 + kπ, k ∈ Z, ta có: tan α. tan β + tan β. tan γ + tan γ. tan α = 1 ⇐⇒ α + β + γ = π 2 + nπ(n ∈ Z) 1.2 Một số phép đặt lượng giác 7) Nếu x 2 + y 2 = 1 thì, đặt    x = sin t y = cos t 7 www.VNMATH.com 8) Nếu x 2 + y 2 = a 2 thì, đặt    x = a sin t y = a cos t 9) Nếu x 2 + y 2 + z 2 = 1 thì, đặt          x = cos ϕ y = sin ϕ. cos θ z = sin ϕ. sin θ 10) Nếu x 2 + y 2 + z 2 = a 2 thì, đặt          x = a cos ϕ y = a sin ϕ. cos θ z = a sin ϕ. sin θ 11) Trong mọi trường hợp ta đều có thể lượng giác hóa theo hàm tan x hoặc cot x 2 Áp dụng trong giải phương trình, hệ phương trình Ví dụ 2.1. Giải phương trình: x =  2 +  2 − √ 2 + x Giải. Điều kiện: 0 < x ≤ 2. Đặt x = 2. cos t, điều kiện: − π 2 < t < π 2 (∗). Khi đó phương trình trở thành: 2 cos t =  2 +  2 −  2(1 + cos t) ⇐⇒ 2 cos t =  2 +  2(1 − cos t 2 ) ⇐⇒ 2 cos t =  2 + 2 sin t 4 ⇐⇒ 2 cos t = √ 2(sin t 8 + cos t 8 ) ⇐⇒ sin( π 2 − t) = sin( π 4 + t 8 )(∗∗) Giải phương trình (**) và kết hợp với điều kiện (*), ta nhận được 2 giá trị của t thỏa mãn là: t 1 = 2π 9 ; t 2 = − 2π 7 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x = 2 cos 2π 9 và x = 2 cos 2π 7 . Ví dụ 2.2. Cho (x; y; z) là nghiệm của hệ phương trình:          x = y(4 − y) y = z(4 − z) z = x(4 − x) Tìm tất cả các giá trị mà tổng S = x + y + z có thể nhận được. Giải. Giả sử (x; y; z) là nghiệm của hệ phương trình đã cho. Cộng vế với vế tương ứng các phương trình của hệ, ta nhận được: 3S = x 2 + y 2 + z 2 ≥ 0 =⇒ S ≥ 0. Vì S ≥ 0 nên trong 3 số x, y, z phải có ít nhất một 8 www.VNMATH.com số không âm, không mất tính tổng quát, ta giả sử x ≥ 0, từ phương trình (1) của hệ ta suy ra 0 ≤ x ≤ 4. Bằng phép hoán vị vòng quanh ta có: 0 ≤ x, y, z ≤ 4. Đặt x = 4 sin 2 α, với 0 ≤ α ≤ π. Khi đó từ PT(3) suy ra: z = 4. sin 2 2α, thay vào PT(2), suy ra: y = 4. sin 2 4α, thay trở lại phương trình đầu, ta nhận được x = 4. sin 2 8α. Như vậy α là nghiệm của phương trình: sin 2 8α = sin 2 α ⇐⇒ cos 16α = cos 2α ⇐⇒ α = kπ 7 ; α = kπ 9 (k ∈ Z) Trường hợp 1: α = kπ 7 vì 0 ≤ α ≤ π, nên k ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}, tuy nhiên với k ∈ {4; 5; 6; 7} hay k ∈ {0; 1; 2; 3} đều cho cùng một giá trị của x, y, z. *) Với k = 0 =⇒ α = 0 =⇒ S = 0 *) Với k ∈ {1; 2; 3} thì S có cùng một giá trị bằng: S = 4 sin 2 π 7 + 4 sin 2 2π 7 + 4 sin 2 3π 7 = 7 Trường hợp 2: α = kπ 9 vì 0 ≤ α ≤ π, nên k ∈ {0; 1; 2; 3; 4}. *) Với k = 0 =⇒ α = 0 =⇒ S = 0. *) Với k ∈ {1; 2; 4} thì S có cùng một giá trị bằng: S = 4 sin 2 π 9 + 4 sin 2 2π 9 + 4 sin 2 4π 7 = 6. *) Với k = 3 thì S = 4 sin 2 π 3 + 4 sin 2 2π 3 + 4 sin 2 4π 3 = 9. Kết luận: S ∈ {0; 6; 7; 9}. Ví dụ 2.3. Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn x 6 +y 6 +z 6 −6(x 4 +y 4 +z 4 )+10(x 2 +y 2 +z 2 )−2(x 3 y+y 3 z+z 3 x)+6(xy+yz+zx) = 0 Giải. Biến đổi vế trái thành: P = (x 3 −3x − y) 2 + (y 3 −3y −z) 2 + (z 3 −3z −x) 2 Do đó P = 0 ⇐⇒          y = x 3 − 3x x = z 3 − 3z(∗) z = y 3 − 3y *) Nếu x > 2 thì y = x(x 2 − 3) > 2 =⇒ z = y(y 2 − 3) > 2. Từ đó cộng theo vế ba phương trình của hệ (*) ta có: 0 = x 3 + y 3 + z 3 − 4x − 4y −4z = x(x 2 − 4) + y(y 2 − 4) + z(z 2 − 4) > 0 (Vô lý). *) Lập luận hoàn toàn tương tự với x < −2, ta cũng có mâu thuẫn. Vậy |x| ≤ 2 Đặt x = 2 cos t, 0 ≤ t ≤ π, suy ra:          y = 2(4 cos 3 t − 3 cos t) = 2. cos 3t x = 2(4 cos 3 3t − 3 cos 3t) = 2. cos 9t z = 2(4 cos 3 9t − 3 cos 9t) = 2. cos 27t Dẫn đến, cos t = cos 27t ⇐⇒ t = kπ 13 (k = 0, 1, 2, , 13); t = lπ 14 (l = 0, 1, 2, , 14) Ngược lại, dễ dàng kiểm tra được rằng, nếu cos t = cos 27t thì bộ (x; y; z) = (2 cos t; 2 cos 3t; 2 cos 9t), thỏa mãn hệ (*). Thành thử các bộ (x; y; z) thỏa mãn đề bài là: (2 cos t; 2 cos 3t; 2 cos 9t), với t = kπ 13 (k = 0, 1, 2, , 13) hoặc t = lπ 14 (l = 0, 1, 2, , 14). 9 www.VNMATH.com [...]... áp dụng, NXB Giáo dục 2008 [3] Kỷ yếu hội nghị khoa học các chuyên đề toán học trong hệ THPT chuyên 2005 [4] Kỷ yếu toán học trại hè Hùng Vương [5] Các wedsite toán học http://www.mathscope.org, http://www.mathlinks.ro [6] Tạp trí toán học và tuổi trẻ 16 www.VNMATH.com Các chuyên đề Toán Trại hè Hùng Vương năm 2012, Cao Bằng 01-04/08 /2012 17 Hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Việt Hà, Trường THPT... Chung, Hệ phương trình bồi dưỡng HSG Nghệ An, 2007 [3] Lê Văn Đính, Tiểu luận của sinh viên khoa Toán, ĐHSPHN, 2010 [4] Nguyễn Anh Hoàng-Nguyễn Đức Tấn, Hệ phương trình không mẫu mực (Phương trình và hơn thế nữa) Kỷ yếu bồi dưỡng giáo viên, HCM -Hè 2010, pp 13-18; 23 www.VNMATH.com Các chuyên đề Toán Trại hè Hùng Vương năm 2012, Cao Bằng 01-04/08 /2012 24 Chứng minh bất đẳng thức theo phương pháp suy... + zx ≤ 7 27 Bài toán 2.11 Cho a, b, c là các số thực thoả mãn điều kiện a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 6 Chứng minh rằng 0 ≤ x2 y + y 2 z + z 2 x ≤ 6 34 www.VNMATH.com Các chuyên đề Toán Trại hè Hùng Vương năm 2012, Cao Bằng 01-04/08 /2012 35 Sử dụng hệ thức truy hồi trong bài toán đếm Nguyễn Thế Hiệp, Lớp 11 Toán, Trường THPT Chuyên Bắc Giang Bài toán đếm trong tổ hợp là một bài toán khá thông dụng... www.VNMATH.com 4 Bài tập rèn luyện Bài toán 4.1 Giải hệ phương trình  √  x − √y = 1  y− z=1 √ z− x=1 Bài toán 4.2 Giải hệ phương trình   x4 − 2y = − 1 2 1 y 4 − 2z = − 2  4 z − 2x = − 1 2 Bài toán 4.3 Giải hệ phương trình   x1 =        x2 = x3 = x4 = √ 3 9 √ 3 9 √ 3 9 √ 3 9 cos πx2 cos πx3 cos πx4 cos πx1 Bài toán 4.4 Tìm tất cả các nghiệm dương của hệ bất phương trình (x1 , x2 , x3 , x4 ,... với học sinh chuyên toán Việc đếm trực tiếp trong đa số các trường hợp là ”bất khả thi”, điều này hướng chúng ta tới một phương thức đếm khác là đếm gián tiếp Cùng với các phương pháp khác như: thiết lập song ánh hay sử dụng hàm Sinh, vận dụng số phức, thì phương pháp thiết lập quan hệ truy hồi cũng là một phương pháp khá hữu dụng và áp dụng rộng rãi, phổ biến đối với nhiều bài toán khác nhau Trong... 2 i=1 Giải Ta có: x1 = 2= Nhận xét 4.1 Qua các ví dụ trên ta thấy, việc đưa ra công thức số hạng tổng quát của dãy số, hoàn toàn phụ thuộc vào việc biến đổi và đánh dấu (coi) số hạng ban đầu x1 là giá trị lượng giác của một góc đặc biệt, sau đó dựa vào các phép biến đổi lượng giác, ta dự đoán được qui luật xác định của số hạng tổng quát, cuối cùng là chứng minh công thức dự đoán bằng phương pháp qui... ≤ 0 Bài toán 4.5 Chứng minh hệ phương trình sau có đúng một nghiệm thực dương: xy + yz + zx = 12 xyz − x − y − z = 2 Chứng minh rằng tồn tại nghiệm thực của hệ trên mà x, y, z phân biệt Bài toán 4.6 Tìm tất cả các số thực x, y thỏa mãn (1 + x)(1 + x2 )(1 + x4 ) = 1 + y 7 (1 + y)(1 + y 2 )(1 + y 4 ) = 1 + x7 22 www.VNMATH.com Tài liệu [1] Nguyễn Văn Mậu, Phương pháp giải phương trình và bất phương trình... 27t + 27 Ta có: f (t) ≥ các hàm số đồng biến Làm tương tự như bài toán 1, ta có nghiệm của hệ đã cho là (3; 3; 3) Hay một ví dụ khác mà việc đánh giá không còn đơn giản như bài toán trên nữa Bài toán 2.3 (Nguyễn Anh Hoàng-Nguyễn Đức Tấn: Phương trình và hơn thế nữa) Giải hệ phương trình   y 3 − 6x2 + 12x − 8 = 0  z 3 − 6y 2 + 12y − 8 = 0 x3 − 6z 2 + 12z − 8 = 0 Giải Cộng ba phương trình ta có: (x... có hai nghiệm x = y = z = 0 và x = y = z = 2 Bài toán 2.6 Tìm tất cả các nghiệm (x, y, z) với x > 0, y > 0, z > 0 của hệ   xy = z  yz = x zx = y Giải Nếu x > 1 thì z = xy > 1 và y = z x > 1 Do đó z = xy > x, x = y z > y , và y = z x > z , mâu thuẫn Tương tự, nếu x < 1, thì y < 1 và z < 1 Vậy, z = xy > x, x = y z > y , và y = z x > z , mâu thuẫn Nếu x = 1 thì z = z y = 1 và y = z x = 1 Do đó, hệ đã... Chuyên Cao Bằng Trong các kì thi học sinh giỏi Toán quốc gia, Olympic Toán các khu vực trong nước cũng như quốc tế ta thường thấy xuất hiện các bài toán về chứng minh bất đẳng thức Có những bất đẳng thức để chứng minh được ta phải sử dụng các bất đẳng thức AM-GM, Cauchy-Schwarz, Holder, Cheuyshev, Schur, Jensen,sử dụng đạo hàm vv ở mức độ phức tạp Tuy nhiên có một lớp các bài toán việc suy luận trong