Phương pháp tính Nguyễn Cảnh Hoàng CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP SỐ Bài 1. PHƯƠNG PHÁP SỐ LÀ GÌ?  Numerical Analysic  Methods numeric  Computational methods Tất cả các tên gọi đó đều nhắm tới một bộ môn toán học có mục đích giải quyết các bài toán ứng dụng liên quan nhiều tới các tính toán, các con số cụ thể. Bộ môn này có thể phải sử dụng rất nhiều kiến thức có sở từ các chuyên ngành khác, ví dụ:  Giải tích, giải tích hàm  Đại số  Xác suất thống kê Một vài bài toán chính của phương pháp số là:  Xấp xỉ hàm: Thay một hàm phức tạp hoặc chưa biết rõ bằng một hàm giải tích đơn giải hơn mà thể hiện được khá gần đúng hàm đó. Đó là các bài toán nội suy, xấp xỉ đều, xấp xỉ trung bình phương,…  Tính đạo hàm, tích phân bằng số gần đúng với các hàm số.  Giải gần đúng phương trình: Phương trình đại số, phương trình siêu việt, hệ phương trình đại số tuyến tính, các bài toán tìm vector riếng, giá trị riêng, phương trình vi phân, tích phân,…  Giải gần đúng các bài toán tối ưu, quy hoạch tuyến tính và phi tuyến. Hiểu một cách nôm na, phương pháp số là bộ môn khoa học bao gồm những phương pháp tính toán bằng số cụ thể một cách hữu hiệu (có thể gần đúng) các bài toán cụ thể. Tính hữu hiệu (khả thi) đó được thể hiện bởi:  Độ chính xác  Khối lượng phép tính  Ước lượng được sai số Ở mức độ phù hợp với thực tế và chấp nhận được. Bài 2. SỰ KHÁC BIỆT GIỮA TOÁN HỌC TÍNH TOÁN VÀ TOÁN HỌC LÝ THUYẾT Toán học lý thuyết và thực hành trong thực tế nhiều khi không song hành, đặc biệt khi chúng ta gặp những bài toán thực nghiệm, được thiết lập không chính xác, có những dung sai nào đó trong xây dựng mô hình hoặc số liệu. Thông thường, toán học lý thuyết quan tâm tới sự tồn tại và duy nhất của nghiệm, dáng điệu, định tính của hàm số (rất cứng nhắc và cực đoan) trong khi học tính toán thì đề xuất thuật giải toán (chính xác hoặc gần đúng) và đặc biệt quan tâm tới:  Thời gian tính toán (chấp nhận được so với các công cụ hiện có)  Bộ nhớ  Tốc độ hội tụ  Sự ổn định thuật toán Tính thiết thực, phù hợp với thực tế: Có sai số nhưng sai số đủ bé, chấp nhận được. Ví dụ vui:  Để tìm chàng rể, bố mẹ và cô giái thường có các quan điểm hoàn toàn khác nhau, một bên thực tế, một bên lý thuyết.  Để đi tới Bắc cực, theo nhà lý thuyết chẳng có gì đơn giản hơn: Lấy la bàn, theo phương Bắc, đi mãi sẽ tới. Điều đó là hoàn toàn đúng và hợp lý nếu ta là người ngoài hành tinh đến để thám hiểm Trái đất hay có phép cân đẩu vân như Tôn Ngộ Không. Trong khi với nhà thực hành trên Trái Đất thì đó là một việc vô cùng khó khăn, và thực tế là đúng như vậy.  Archimedes đã từng nói: “Hãy cho tôi 1 điểm tựa, tôi sẽ nâng cả Trái Đất”. Điều đó tương đương với việc lý thuyết vậy, còn thực tế thì ta thừa biết chuyện đó không thể thực hiện được. Ta xét vài ví dụ cụ thể sau: Ví dụ 1: Giải hệ  với A ma trận cấp n×n Về lý thuyết, phương trình Cramer cho các nghiệm             Và đối với các sinh viên năm thứ 1, đây là một điều đơn giản, không có gì đáng phải bàn cãi. Tuy nhiên ta thử tính xem, số phép tính ta sẽ phải tính sẽ phải là bao nhiêu: Để đơn giản, ta hãy chỉ tính các phép nhân chia mà thôi: Ta cần tính n+1 định thức cấp n, mỗi định thức có n! số hạng, mỗi số hạng n thừa số. Vậy số phép tính nhân cần thực hiện sẽ là:            Với n = 20, số phép toán sẽ vào cỡ 10 20 , và với các máy tính có tốc độ 10 9 phép tính nhân/giây, ta sẽ mất 3.10 3 năm tất cả! Nghĩa là nếu dùng máy tính đó, tính từ thời bà Trưng, Bà Triệu tới giờ ta vẫn chưa giải được một hệ phương trình nào cả. Trong khi đó, trên thực tế ta phải giải nhiều bài toán với n cỡ 100 cho các bài toán về:  Dự báo thời tiết  Kinh tế: Dự báo, quy hoạch,…  Hàng không: Cất & hạ cánh máy bay  Địa chất: Khai thác, thăm dò khoáng sản  … Điều đó có nghĩa rằng trong thực tế tính toán không ai sử dụng định lý Cramer cả. Ví dụ 2: Tính          Lấy tích phân từng phần ta được:                          Ngoài ra:                     Theo lý thuyết với (1.1) và (1.2) ta có thể tính được bất kỳ   nào, với giá trị e cho trước: từ đó tính      Tuy nhiên theo cách trên, với độ chính xác của e khá cao, ta có:    Và cứ tiếp tục tính ta được:    Điều này vô lý vì với mọi n ta phải luôn có    do trong đoạn    hàm số dưới dấu tích phân luôn dương. Có 2 câu hỏi được đặt ra:  (1.1), (1.2) là đúng, tại sao cuối cùng   lại sai!?  Liệu có cách nào tính   chính xác hơn không? Ta trả lời câu hỏi thứ 2 trước:  Ta thấy từ (1.1) suy ra:                   Với sai số:        Trong đó   là sai số ở bước thứ . Vậy theo nguyên lý kẹp ta có      Nếu ta lấy    thì sai số      . Theo (1.3) ta tính được               Với sai số:              Tiếp tục tính ta được                       Chắc chắn kết quả này chính xác hơn kết quả trước.  Lí do: Theo (1.1) thì     suy ra     trong khi đó theo (1.4):        Nên:        Nghĩa là theo (1.4) ta có sai số luông giảm  lần sau mỗi bước cho nên kể cả   rất lớn   cũng sẽ trở nên vô cùng bé, trong khi đó tính theo công thức (1.1) thì sai số sẽ tăng theo từng bước cho nên   sẽ rất lớn làm cho   . Ví dụ 3: Tính gần đúng số  hoặc tính diện tích hình bất kỳ. Có rất nhiều cách khác nhau để tính gần đúng số  với các sai số khác nhau. Ta có thể nêu 2 cách khá đơn giản như sau:  Để biết đường kính một cây cổ thụ, ta đo chu vi rồi chia cho 3, nói một cách khác ta đã lấy gần đúng số  bằng 3.  Ném  mũi tên vào hình vuông trong đó có chứa hình S. Tỉ lệ giữa số lần ta ném vào trong hình S trên tổng số lần ném xấp xỉ tỉ lệ diện tích hình S trên diện tích hình vuông. Nếu cho S là một hình tròn đường kính  nào đó, ta biết được diện tích S, từ đó suy ra giá trị gần đúng của số . Bài 3. QUAN HỆ GIỮA PHƯƠNG PHÁP SỐ VÀ TIN HỌC Như đã nêu trên, thường với các bài toán thực tế, ta phải thực hiện các tính toán cụ thể và do vậy mà phải sử dụng tới máy tính. Nghĩa là CNTT được xem như công cụ để thực hiện các tính toán và quy trình để giải sẽ được tiến hành theo các bước sau: 1. Mô hình hóa bài toán. 2. Phân tích mô hình 3. Tính tương thích với thực tế 4. Sự tồn tại của lời giải 5. Phương pháp tính toán 6. Rời rạc (module) hóa mô hình: Đưa bài toán liên tục về bài toán rời rạc, thường sử dụng các phương pháp sai phân, phương trình hữu hạn (chẳng hạn để đưa số liệu của một đường con ta chỉ đưa một số hữu hạn điểm) 7. Xây dựng thuật toán: Độ phức tạp, tính ổn định và hội tụ. 8. Cài đặt và khai thác tin học. Bài 4. MỘT SỐ KIẾN THỨC GIẢI TÍCH HÀM 4.1. Không gian Metrix Hàm số (Ánh xạ)   thỏa mãn:       dấu bằng xảy ra                          được gọi là metric (hay độ đo, khoảng cách) và    được gọi là không gian metric nếu đã biết rõ metric d, ta chỉ cần nói không gian metric X là được Một số ví dụ đơn giản về độ đo: km, dặm,… trong không gian   ; ngày, tháng, năm,… trong không gian về trục thời gian. Trong không gian metric ta có một số khái niệm sau:  Hình cấu mờ:                  Hình cầu đóng:                  Hình cầu đóng:                  Mặt cầu:                   Dãy hộ tụ:             khi   Ánh xạ liên tục  nếu     thì            Dãy Cauchy:         Ta có mệnh đề sau: Mọi dãy Cauchy đều hội tụ. Không gian đầy đủ: Một không gian được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy hội tụ đều hội tụ tới phần tử thuộc không gian đó. Ánh xạ co  được gọi là ánh xạ co nếu     sao cho với      ta có                (nghĩa là kích thước của ảnh bao giờ cũng nhỏ hơn kích thước thật của vật) Nguyên lý ánh xạ co Giả sử A là ánh xạ co trong không gian Metric đầy đủ X. Khi đó: Tồn tại duy nhất    sao cho        (điểm   đó được gọi là điểm bất động của ánh xạ A). Mọi dãy lặp        xuất phát từ   bất kỳ đều hội tụ tới   và:                                                   Chứng minh: Ta có                                 Do vậy                                                                          Suy ra   là dãy cơ bản và hội tụ tới   nào đó. Cho , qua giới hạn ta có                   Do  là đầy đủ nên    và        nên khi qua giới hạn ta được        nghĩa là   là điểm bất động của ánh xạ A. Để chứng minh bất đẳng thức thứ hai, ta cũng làm như trên:                                                                        Qua giới hạn khi  ta được bất đẳng thức thứ hai. Bây giờ ta chứng minh rằng chỉ có 1 điểm bất động duy nhất: Giả sử có 2 điểm bất động  thì                        Vậy      Ý nghĩa: Để giải phương trình      nào đó, ta tìm cách chuyển về giải phương trình     , tức  là điểm bất động của ánh xạ . Nếu  là ánh xạ co trong đoạn    nào đó thì có thể tiến hành quá trình lặp:  Chọn   bất kỳ thuộc miền xác định.  Lấy        với  Dãy     sẽ hội tụ tới   là điểm bất động của g và do vậy ta có thể chọn một   với  đủ lớn là một nghiệm gần đúng của phương trình. (Ở đây điều kiện có nghiệm duy nhất có thể làm nhẹ bởi việc chọn đoạn    để trong đó phương trình có nghiệm duy nhất) Cả 2 bất đẳng thức về sai số trên đều cho ta ước lượng sai số khi lấy giá trị gần đúng     . Sự khác biệt của hai ước lượng trên là ở chỗ:  Bất đẳng thức (1): Ước lượng tiền nghiệm. Cho biết sai số bước  cần thiết để đạt được độ chính xác  nào đó, khi chỉ mới biết     mà thôi.  Bất đẳng thức (2): Ước lượng hậu nghiệm. Cho biết sai số toán học  khi đã thực hiện đến bước thứ . Hiển nhiên là sai số ở (2) phải chính xác hơn (bé hơn) ở (1). 4.2. Không gian tuyến tính Ta nói rằng trên  xác định một cấu trúc tuyến tính  gồm phép cộng (+) trong X và nhân (×) với số thực :  Tính giao hoán:       Tính kết hợp:             Tính phân phối: o       o                             Không gian tuyến tính    với tập nền  thường viết tắt là . Ta có một khái niệm và tính chất sau:  Tập  được gọi là kín (đóng) với phép cộng    và phép nhân    nếu    và khi đó  được gọi là không gian con của .  Bao đóng tuyến tính          Hệ     với       được gọi là độc lập tuyến tính nếu        suy ra   , ngược lại gọi là phụ thuộc tuyến tính.  Số chiều của không gian tuyến tính: là số lớn nhất các vector độc lập tuyến tính trong không gian đó Nghĩa là nếu n là chiều của không gian tuyến tính thì: o  vector       độc lập tuyến tính, tập  vetor này được gọi là cơ sở của không gian tuyến tính  và mỗi vector của không gian  đều có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính duy nhất các vector cơ sở:         (mọi cơ sở đều có đúng n vector độc lập tuyến tính) o       vector       là phụ thuộc tuyến tính.  Tập lồi: Nếu  ta có                 thì  gọi là tập lồi. 4.3. Không gian tuyến tính định chuẩn Trong không gian tuyến tính ta xác định một chuẩn     nếu nó thỏa mãn: a.         b.            c.              Không gian tuyến tính định chuẩn là không gian metric với          . CHƯƠNG 2. SAI SỐ Bài 1. SAI SỐ TƯƠNG ĐỐI, SAI SỐ TUYỆT ĐỐI Định nghĩa: Gọi  – giá trị chính xác của đại lượng nào đó.   – giá trị gần đúng của đại lượng đó mà ta đo được. Khi đó ta gọi:        là sai số tuyệt đối.      là sai số tương đối. Tuy nhiên ta không biết được chính xác a, do vậy mà bao giờ cũng chỉ được lấy        Nhận xét:  thể hiện mức độ chính xác hơn  Ví dụ:  Chiều dài Hà Nội – Thành phố Hồ Chí Minh ,    chính xác hơn nhiều so với chiều cao của bạn A là  mà sai số    .  Cân 1 con voi và 1 con gà cùng sai số  thì rõ ràng việc cân con voi là chính xác hơn rất nhiều. Xét một hàm số liên tục, khả vi     trong    ta có:                                                                    Tương tự với hàm hiều biến:                                   Bài 2. CÁC PHÉP TOÁN VỀ SAI SỐ 2.1. Cộng – Trừ          Từ (2.1) suy ra:     2.2. Nhân với một hằng số      2.3. Nhân – Chia              Theo (2.2)                                                          2.4. Lũy thừa                                  Như vậy nếu:   độ chính xác giảm       độ chính xác tăng (phép khai căn)   (nghịch đảo) Ví dụ:            nên ta lấy         Ta có:     trong khi đó thực tế  Ta thử tính xam ta phạm sai số như thế nào                          Nghĩa là       Tóm lại là sai số phạm phải có thể còn cai hơn rất nhiều so với 2 như trên. Do vậy với các phép toán gần đúng phải rất cần thận trong việc tính toán và ước lượng sai số, nhất là trong việc chia cho các số bé. Bài 3. SAI SỐ THU GỌN Trong nhiều trường hợp ta không cần hoặc không thể nêu giá trị chính xá của số mà chỉ cần nêu giá trị gần đúng của nó được thu gọn, ví dụ dân số Việt Nam là 80 triệu người. Làm tròn: Giả sử                Cần giữ đến số hạng thứ , vứt bỏ phần μ còn lại. Ta có                      Với                 Còn nếu    thì tùy ý, ta thường chọn   là số chẵn cho dễ tính, ví dụ 11.5 làm tròn lên 12 còn 10.5 làm tròn xuống 10. Chữ số có nghĩa: là mọi chữ số khác không trong biểu diễn thập phân của 1 số gần đúng, hoặc nó là chữ số 0 nằm giữa 2 chữ số có nghĩa, hoặc nó là 0 đại diện cho hàng được giữ lại. Ví dụ: Với  thì mọi con số trên đều có nghĩa. Nếu làm tròn 1.209790 thì con số 0 sau cùng có nghĩa 1.210 thì con số 0 sau cùng không có nghĩa Chữ số chắc: Là chữ số   trong                     Mà   (hay chữ số chắc chắn đúng) Ví dụ: nếu sai số là 0.01 thì 3.14 là chữ số chắc. Bài 4. QUAN HỆ GIỮA SAI SỐ VÀ CHỮ SỐ CHẮC Gọi  là số chữ số chắc của . Xét ví dụ số     với toàn chữ số, chắc khi đó           , chứng tỏ   không phụ thuộc vào vị trí dấu chấm thập phân mà     , trong đó   là  gồm toàn chữ số chắc với chữ số cuối cùng hàng đơn vị. Do vậy nếu     thì  chính xác hơn . Xét 2 bài toán sau: a. Biết  tìm : Giả sử        với  ta có:                                  b. Biết  tìm : Giả sử            và       Ta có           Tạm dời vị trí dấu thập phân của a để có a m với m+1 chữ số trước dấu thập phân ta có:                              Rõ ràng        nên  Nếu        tức     có    chữ số chắc và ko thể có nhiều hơn (vì   )  Nếu        thì     có m chữ số chắc và không thể ít hơn Do lý luận trên không phụ thuộc vào dấu chấm thập phân nên ta có quy tắc: Giả sử            và       . Khi đó:   có    chữ số chắc nếu          có  chữ số chắc nếu         có ít nhất m chữ số chắc nếu không biết  Ví dụ: Cho hình vuông cạnh a, diện tích  với sai số  hãy tính a? [...]... kỳ, ta dùng công thức Lagrange để xác định nội suy, và đó cũng chính là ( ) Thay 𝑥 vào ta được giá trị ( ) Ví dụ: Cho đa thức bậc 3 với các giá trị theo bảng: x 0 2 3 -1 y 1 5 19 -1 Khi đó: ( ) = ( − 0 )( − 3 )( + 1) ( − 0 )( − 2 )( + 1) ( − 2 )( − 3( + 1) 1 + 5 + 19 (0 − 2 )(0 − 3 )(0 + 1) (2 − 0 )(2 − 3 )(2 + 1) (3 − 0 )(3 − 2 )(3 + 1) ( − 0 )( − 2 )( − 3) + ( 1) ( 1 − 0 )( 1 − 2 )( 1 − 3) = 𝑥3... 𝑛−𝑖 ( 𝑑𝑧) 𝐻 𝑖𝑛 = ∫ ( − 𝑧 − 𝑖)𝑖! ( − 𝑖)! 𝑛 𝑛 𝑛 1 ( − 𝑧 )( − 1 − 𝑧) … (1 − 𝑧 )( 𝑧) ( 1) 𝑛−𝑖 𝑑𝑧 = ∫ ( − 𝑧 − 𝑖)𝑖! ( − 𝑖)! 𝑛 0 𝑛 1 ( − 1) … ( − 𝑛 + 1 )( − 𝑧) ( 1) 𝑛−𝑖 ( 1) 𝑛+2 𝑑𝑧 = ∫ ( − 𝑧 + 𝑖)𝑖! ( − 𝑖)! 𝑛 0 𝑛 1 ( − 1) … ( − 𝑛 + )( − 𝑛) ( 1)−𝑖 𝑑𝑧 = ∫ 𝑛 [𝑧 − ( − 𝑖) ]( − 𝑖)! [𝑧 − ( − 𝑖)]! 0 𝑛 1 ( − 1) … ( − 𝑛 + )( − 𝑛) ( 1) 𝑛 ( −𝑖) 𝑑𝑧 = ∫ 𝑛 [𝑧 − ( − 𝑖) ]( − 𝑖)! [𝑧 − ( − 𝑖)]! 0 = 𝐻 𝑛𝑛−𝑖... − 2 )( − 3) 1! 2! 3! 1 = ( + 1 )(2 𝑛 + 1) 6  Công thức Newton lùi với 𝑥 𝑛 = 4 16 7 2 𝑆 𝑛 = 30 + ( − 4) + ( − 4 )( − 3) + ( − 4 )( − 3 )( − 2) 1! 2! 3! 1 = ( + 1 )(2 𝑛 + 1) 6  Công thức Gauss I với 𝑥0 = 3 16 7 2 𝑆 𝑛 = 14 + ( − 3) + ( − 3 )( − 4) + ( − 3 )( − 4 )( − 2) 1! 2! 3! 1 = ( + 1 )(2 𝑛 + 1) 6  Công thức Gauss II với 𝑥0 = 3 9 7 2 𝑆 𝑛 = 14 + ( − 3) + ( − 3 )( − 2) + ( − 3 )( − 2 )( −... 𝑥1 ) … ( ̂𝑥 𝑖 ) … ( − 𝑥 𝑛 ) − 𝑃𝑖 ( ) = ( 𝑖 − 𝑥0 )( 𝑖 − 𝑥1 ) … ( ̂𝑥 𝑖 ) … ( 𝑖 − 𝑥 𝑛 ) 𝑖− 𝑤 𝑖 ( ) ( ) = = 𝑤 𝑖 ( 𝑖 ) ( − 𝑥 𝑖 )𝑤 𝑖 ( 𝑖 ) Trong đó:    Dấu ^ ở trên nhị thức nào thì nhị thức đó không tồn tại 𝑤 𝑖 ( ) = ( − 𝑥0 )( − 𝑥1 ) … ( ̂𝑥 𝑖 ) … ( − 𝑥 𝑛 ) − ( ) = ( − 𝑥0 )( − 𝑥1 ) … ( − 𝑥 𝑛 ) = ( − 𝑥 𝑖 )𝑤 𝑖 ( ) 𝑃𝑖 ( 𝑖 ) = 1 Ta có thể thấy rằng 𝑃𝑖 ( ) có các tính chất sau: { 𝑃𝑖 ( 𝑗 )... phân biệt Tương tự 𝐹 ′′ ( ) = 0 có 𝑛 nghiệm phân biệt … 𝐹 ( +1) ( ) = 0 có một nghiệm ξ Mà 𝐹 ( +1) ( ) = [ ( ) − ( ) − 𝐾 ( ) ]( +1) bậc n bậc 𝑛 + 1 ( +1) ⇒ 𝐾= ( ) 𝑓 ( + 1)! ( ) = 𝑓 ( +1) ( ) ( ) ( + 1)! Gọi 𝑀= sup |𝑓 ( +1) ( )| 𝑥∈[𝑥0 ,𝑥 𝑛 ] 𝑀 | ( )| (3 .5) ( + 1)! Là công thức ước lượng sai số của phép nội suy đa thức (cho bất kỳ phép nội suy đa thức nào) ⇒ ( ) = | ( ) − ( )| ≤ Ta thấy rằng sai... + ( ) = ( + 1)𝑓 𝑛 𝑛 𝑖=0 𝑖=0 𝑛 𝑛 ( + 𝑛ℎ) = ( + 1) 𝑓 = ∑ ( ) ( 𝑖 1 𝑛−𝑖 )𝑓 = ∑ ( ) Δ 𝑖 𝑓 𝑖 𝑖 𝑛 𝑛 7 Δ 𝑓 = 𝑛 ∑ 𝑖= 1( 𝑖𝑛) ( 1) 𝑖 ( + ( − 𝑖)ℎ) Chứng minh: 𝑛 𝑛 𝛥 𝑓 = [( + 1) − 1] 𝑓 = ∑ ( ) ( 1) 𝑖 ( + 1) 𝑛−𝑖 𝑓 𝑖 𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑛 = ∑ ( ) ( 1) 𝑖 ( + ( − 𝑖)ℎ) 𝑖 𝑖=0 Do ( + 1) ( ) = ( + ℎ) 8 Nếu 𝑓 ∈ 𝐶 𝑛 ( , 𝑏) thì tồn tại 𝜃 ∈ (0 ,1] đủ bé sao cho Δ𝑛 𝑓 = 𝑓 ( ) ( + 𝑛𝜃ℎ) ℎ𝑛 Chứng minh: Ta chứng minh công. .. 𝑓 (4 ) ( ) ( − 𝑥2𝑖 )( − 𝑥2𝑖 )( − 𝑥2𝑖+1 )( − 𝑥2𝑖+2 ) 𝑅 𝑖 ( ) = 4! Sai số của phép tích phân sẽ là: 𝑥2𝑖+2 𝑥2𝑖+2 𝑟𝑖 = ∫ 𝑅 𝑖 ( ) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥2𝑖 𝑥2𝑖 2ℎ =∫ 0 𝑓 (4 ) ( ) ( − 𝑥2𝑖 )( − 𝑥2𝑖 )( − 𝑥2𝑖+1 )( − 𝑥2𝑖+2 ) 𝑑𝑥 4! 𝑓 (4 ) ( ) 2 𝑡 ( − ℎ )( − 2ℎ) 𝑑𝑡 4! 2ℎ 𝑓 (4 ) ( ) 𝑡 5 𝑡4 𝑡3 ℎ5 = ( − 3ℎ + 2ℎ2 )| = −𝑓 (4 ) ( ) 4! 5 4 3 0 90 Vậy ta có sai số địa phương: 𝑀ℎ5 𝑟𝑖 = , với 90 2 Sai số toàn cục: 𝑀 = 𝑠𝑢𝑝 |𝑓 (4 ) ( )|... , 𝑛 công thức Lagrange có thể có dạng dễ sử dụng hơn Ta đặt 𝑥 = 𝑥0 + 𝑖ℎ ⇒ 𝑡 = 𝑥 − 𝑥0 , 𝑥 − 𝑥 𝑖 = 𝑥 − ( 0 + 𝑖ℎ) = ( − 𝑖)ℎ ℎ và khi đó: ( ) = ( + 𝑡ℎ) = ℎ 𝑛+1 ( − 1 )( − 2) … ( − 𝑛) Công thức Lagrange sẽ có dạng ℎ 𝑛+1 ( − 1 )( − 2) … ( − 𝑛) ( − 𝑖)ℎ 𝑛+1 𝑖! ( − 𝑖) ( − 𝑖)! ( 1) 𝑛−1 1 𝑛! ( − 1 )( − 2) … ( − 𝑛) = 𝑡 − 𝑖 𝑖! ( − 𝑖)! 𝑛! ( 1) 𝑛−1 𝑛 ( − 1 )( − 2) … ( − 𝑛) 1 = ( 1) 𝑛−1 ( ) ... 𝑖)𝑖! ( − 𝑖)! Do vậy: 𝑛 𝑛 𝐼 ≈ ∫∑ 0 𝑖=0 ( − 1) … ( − 𝑛) ( 1) 𝑛−𝑖 𝑦 𝑖 𝑑𝑡 ( − 𝑖)𝑖! ( − 𝑖)! 𝑛 𝑛 1 ( − 1) … ( − 𝑛) ( 1) 𝑛−𝑖 𝑑𝑡 = ( − 𝑎) ∑ 𝑦 𝑖 ∫ ( − 𝑖)𝑖! ( − 𝑖)! 𝑛 𝑖=0 0 Đặt: 𝑛 1 ( − 1) … ( − 𝑛) ( 1) 𝑛−𝑖 𝑑𝑡 𝐻 𝑖𝑛 = ∫ ( − 𝑖)𝑖! ( − 𝑖)! 𝑛 0 Ta được: 𝑛 𝐼 = ( − 𝑎) ∑ 𝐻 𝑖𝑛 𝑦 𝑖 𝑖=0 (4 .10) Công thức này được gọi là công thức Newton-Cotes và nó có những tính chất sau:   Cách thay thế ( ) vởi ( )... ( +1) 𝑛 ( ) 𝑑 𝑑𝑡 𝑑𝑅 1 ℎ 𝑓 = = [ ( − 𝑖)] ( + 1)! 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ℎ 𝑑𝑥 𝑖=0 𝑛 ( +1) = ( ) 𝑑 𝑛+1 ℎ 𝑓 [𝑡 + ⋯ + ( 1) 𝑛 𝑛! 𝑡] ( + 1)! 𝑑𝑡 = ℎ 𝑛 𝑓 ( +1) ( ) [( + 1)𝑡 𝑛 + ⋯ + ( 1) 𝑛 𝑛!] ( + 1)! Với 𝑥 = 𝑥0 tức 𝑡 = 0 thì ℎ 𝑛 𝑓 ( +1) ( ) ℎ 𝑛 𝑓 ( +1) ( ) ( 1) 𝑛 𝑛! = ( 1) 𝑛 𝑅 ′ ( 0 ) = ( + 1)! 𝑛+1 ( 1) 𝑛 𝑛 Δ 𝑛+1 𝑦0 ( 1) 𝑛 Δ 𝑛+1 𝑦0 ≈ ℎ = ( + 1)ℎ 𝑛+1 ℎ 𝑛+1 Ví dụ: Cho hàm ( ) theo bảng 𝑥 ( ) 50 1.6990 55 1.7404 60 1.7782 . Phương pháp tính Nguyễn Cảnh Hoàng CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP SỐ Bài 1. PHƯƠNG PHÁP SỐ LÀ GÌ?  Numerical Analysic  Methods numeric . . Tuy nhiên công thức này với số mốc ít ( ) thì tính toán rất đơn giản. Với các công thức Lagrange và công thức (3 .3) ta lại thấy một ý tưởng của phương pháp số: Công thức có vẻ. số ở (2 ) phải chính xác hơn (bé hơn) ở (1 ). 4.2. Không gian tuyến tính Ta nói rằng trên  xác định một cấu trúc tuyến tính  gồm phép cộng (+ ) trong X và nhân ( ) với số thực :  Tính giao