TRUNG TÂM ĐÀO TẠO VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC SỐ 1 VIỆT NAM TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG YÊN PHONG II Địa chỉ :Yên Trung – Yên Phong - Bắc Ninh ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CẤP TỐC THEO CHỦ ĐỀ I. PHẦN BẮT BUỘC (7 điểm): Câu 1 (2 điểm): - Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. - Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: Chiều biến thiên của hàm số; cực trị; giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số; tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số; tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước; tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng)… Câu 2 (2 điểm): - Phương trình, bất phưong trình; hệ phương trình đại số - Công thức lượng giác, phương trình lượng giác Câu 3 (1 điểm): - Tìm giới hạn - Tìm nguyên hàm, tính tích phân. - Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay Câu 4 (1 điểm): - Hình học không gian (tổng hợp): Quan hệ song song, quan hệ vuông góc của đường thẳng, mặt phẳng; diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; thể tích của khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu. Câu 5 (1 điểm): - Bài toán tổng hợp II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2) 1. Theo chương trình Chuẩn: Câu 6.a (2 điểm): - Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian: + Xác định toạ độ của điểm, vectơ + Đường tròn, elip, mặt cầu. + Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng + Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng; vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. Câu 6.a (1 điểm): - Số phức - Tổ hợp, xác suất, thống kê. - Bất đẳng thức; cực trị của biểu thức đại số 2. Theo chương trình Nâng cao: Câu 5.b (2 điểm): - Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian: + Xác định toạ độ của điểm, vectơ + Đường tròn, ba đường cônic, mặt cầu. + Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng + Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng; vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. Câu 6.b (1 điểm): - Số phức - Đồ thị của hàm phân thức hữu tỷ dạng y = và một số yếu tố liên quan. - Sự tiếp xúc của hai đường cong - Hệ phương trình mũ và lôgarit - Tổ hợp, xác suất, thống kê. - Bất đẳng thức; cực trị của biểu thức đại số Phần thứ nhất: NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ THEO CÁC CHUYÊN ĐỀ 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 1. Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x) Số giao điểm của hai đường (C 1 ) y= f(x) và (C 2 ) y=g(x) là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của (C 1 ), (C 2 ): f(x) = g(x) (1) 2. Sự tiếp xúc của hai đường cong: Hai đường cong (C 1 ), (C 2 ) tiếp xúc với nhau khi chỉ khi hệ sau có nghiệm: ( ) ( ) '( ) '( ) f x g x f x g x =   =  Viết PTTT của đồ thị (C) hàm số y =f(x) Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại M 0 (x 0 ;y 0 ) ∈ (C). Tìm các thành phần chưa có x 0 , y 0 , f’(x 0 ) thay vào y – y 0 = f’(x 0 ) ( ) 0 x x− Bài toán 2: Viết pttt của (C): y = f(x) biết hệ số góc k của tiếp tuyến. (hay: biết tiếp tuyến song song, vuông góc với 1 đường thẳng (D) ) - Lập phương trình f’(x) = k ⇒ ⇒ x = x 0 ( hoành độ tiếp điểm) - Tìm y 0 và thay vào dạng y = k(x – x 0 ) + y 0 . ta có kết quả Bài toán 3: Viết pttt của (C): y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua hay xuất phát từ A(x A ;y A ) - Viết pt đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc k: y – y A = k(x – x A ) (1) - (d) là tiếp tuyến của (C) khi chỉ khi hệ sau có nghiệm: A A f (x) k(x x ) y f '(x) k(*) = − +   =  - Giải pt ( ) '( )( ) A A f x f x x x y= − + tìm x và thay vào (*) tìm k , thay vào (1) ta có kết quả. 2. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN 1) Dạng cơ bản:    = ≥ ⇔=•    = ≥ ⇔=• BA 0B BA BA 0B BA 2 2) Tổng quát: - Phương pháp chung là bình phương, lập phương hai vế của phương trình đã cho để khử dấu căn, sau khi đã đặt điều kiện cho phương trình mới tương đương với hệ đã cho. - Nếu phép bình phương, lập phương dẫn đến phương trình bậc cao, phức tạp thì ta tìm cách biến đổi thành tích hoặc dùng ẩn phụ. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Các kiến thức cần nhớ: 1) Dạng cơ bản:      ≤ ≥ ≥ ⇔≤•           ≥ >    ≥ ≤ ⇔≥• 2 2 BA 0A 0B BA BA 0B 0A 0B BA 2) Tổng quát: - Phương pháp chung là bình phương hai vế của bất phương trình đã cho để khử dấu căn, đôi khi phải dùng ẩn số phụ trước khi bình phương. - Một số ít bài có thể dùng tính đơn điệu - Lưu ý: Xét các trường hợp về dấu của hai vế có thể thỏa mãn trước khi bình phương 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH Hệ phương trình đối xứng 1) Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 2) Hệ phương trình đối xứng loại 1: - Dạng:    = = 0)y,x(g 0)y,x(f trong đó f(x , y) và g(x , y) là biểu thức đối xứng theo x và y - Cách giải: Dùng ẩn phụ S = x + y, P = xy (điều kiện: S 2 - 4P )0≥ - Chú ý: + Đôi khi phải sử dụng ẩn phụ trước khi tiến hành đặt S, P + Do tính đối xứng nên nếu (x , y) là nghiệm thì (y , x) cũng là nghiệm. 3) Hệ phương trình đối xứng loại 2: - Dạng:    = = 0)x,y(f 0)y,x(f (hoán vị vai trò của x và y thì phương trình này thành phương trình kia) - Cách giải: + Trừ vế theo vế ta được một phương trình có thể phân tích thành (x - y)g(x,y) = 0 + Khi đó hệ phương trình đã tương đương với: )II( 0)y,x(f 0)y,x(g )I( 0)y,x(f 0yx    = = ∨    = =− - Lưu ý: (II) tương đương với    =+ = 0)x,y(f)y,x(f 0)y,x(g (Hệ đối xứng loại 1) Hệ phương trình đẳng cấp - Dạng:    = = 0)y,x(g 0)y,x(f trong đó f(x , y) và g(x , y) là biểu thức đẳng cấp cùng bậc (tổng số mũ của x và y trong cùng một hạng tử bằng nhau) - Cách giải: + Giải hệ với x = 0 (hoặc y = 0) + Với x khác 0 (hoặc y khác 0), đặt y = tx (hoặc x = tx) Ta được hệ phương trình 2 ẩn x và t. + Khử x, ta được phương trình 1 ẩn t. Hệ phương trình mũ, lôgarit Phương pháp chung thường hay được sử dụng là: Biến đổi với các tính chất tương ứng, sau đó dưa về hệ phương trình đại số (có thể phải qua bước dùng ẩn phụ). Để ý: Trong hai phương trình của một hệ thường có một phương trình có thể giúp chúng ta rút được một ẩn theo ẩn kia để thế vào phương trình còn lại. Hệ phương trình khác Dùng phương pháp biến đổi tương đương, đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình đơn giản hơn. Thường ta dùng các phép biến đổi sau: 1) Nếu biểu thị một ẩn theo các ẩn còn lại thì dùng phương pháp thế 2) Nếu biến được một phương trình của hệ thành tích thì ta phân tích hệ thành nhiều hệ đơn giản hơn. 3) Nếu biến đổi hệ thành những biểu thức đồng dạng thì đặt ẩn phụ. 4. LƯỢNG GIÁC Các công thức biến đổi: 1) Hệ thức giữa các giá trị lượng giác của các cung góc có liên quan đặc biệt: * Cung đối nhau: cos(-x) = cosx; sin(-x) = -sinx; tg(-x) = - tgx; cotg(-x) = - cotgx * Cung bù nhau: cos( π - x) = - cosxsin( π - x) = sinxtg( π - x) = - tgx cotg( π - x) = -cotgx * Cung phụ nhau: cos( x 2 π − ) = sinx sin( x 2 π − ) = cosxtg( x 2 π − ) = cotgx cotg( x 2 π − ) = tgx * Cung hơn kém nhau π : cos( π + x) = - cosxsin( π + x) = - sinx tg( π - x) = tgx cotg( π - x) = cotgx 2) Công thức cộng: cos(a + b) = cosa cosb - sina sinb cos(a - b) = cosa cosb + sina sinb sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa sin(a - b) = sina cosb - sinb cosa tg(a + b) = tgatgb1 tgbtga − + tg(a - b) = tgatgb1 tgbtga + − 3) Công thức nhân đôi: sin2a = 2sina cosa; cos2a = 2cos 2 a - 1 = 1 - 2sin 2 a = cos 2 a - sin 2 a; tg2a = atg1 tga2 2 − 4) Công thức hạ bậc: )a2cos1( 2 1 acos 2 += ; )a2cos1( 2 1 asin 2 −= ; a2cos1 a2cos1 atg 2 + − = 5) Công thức tính sina, cosa, tga theo t = 2 a tg : 22 2 2 t1 t2 tga; t1 t1 acos; t1 t2 asin − = + − = + = 6) Công thức biến đổi tổng thành tích: 2 ba cos 2 ba cos2bcosacos −+ =+ ; 2 ba sin 2 ba sin2bcosacos −+ −=− 2 ba cos 2 ba sin2bsinasin −+ =+ ; 2 ba sin 2 ba cos2bsinasin −+ =− bcos.acos )basin( tgbtga; bcos.acos )basin( tgbtga − =− + =+ 7) Công thức biến đổi tích thành tổng: 2cosacosb = cos(a - b) + cos(a + b) 2sinasinb = cos(a - b) - cos(a + b) 2sinacosb = sin(a - b) + sin(a + b) Các dạng phương trình đã biết cách giải tổng quát: 1) PTLG cơ bản: π+=⇔=π+=⇔= π+±=⇔=    π+−π= π+= ⇔= kvugvcotgucot;kvutgvtgu 2kvuvcoscou; 2kvu 2kvu vsinusin 2) PT bậc nhất, bậc hai, theo một HSLG 3) Phương trình bậc nhất theo sinu và cosu: asinu + bcosu = c - Cách giải: Chia hai vế cho 22 ba + . Đặt: α= + α= + sin ba b ;cos ba a 2222 - Điều kiện có nghiệm: 222 cba ≥+ 4) Phương trình đẳng cấp: 0ucos.cucosusinbusina 22 =++ - Xét cosu = 0 - Trường hợp cosu 0 ≠ , chia hai vế của phương trình cho cos 2 u 5) Phương trình theo ucosusin ± và sinu.cosu: - Đặt t = ucosusin ± , suy ra: sinu.cosu = 2 1t 2 − ± - Lưu ý: ) 4 usin(2ucosusin π ±=± , 2u ≤ Một số gợi ý giải phương trình lượng giác: - Đối với một PTLG tổng quát, trong quá trình giải ta cố gắng dùng các công thức lượng giác thích hợp để đưa về PTLG đã biết cách giải tổng quát ở trên hoặc là tích của các phương trình đó. - Trong quá trình biến đổi ưu tiên việc biến đổi thành tích A.B = 0 trước, sau đó là ưu tiên đưa về cùng một góc lượng giác. - Nếu trong phương trình có chứa mẫu thức hoặc tg, cotg thì phải đặt điều kiện trước khi giải. Tùy theo trường hợp mà điều kiện có thể để nguyên phương trinh lượng giác cơ bản hay giải tường minh ra x. - Nếu đưa được PT về theo một hàm lượng giác của cùng một góc thì dùng ẩn phụ (với điều kiện tương ứng). - Nếu trong phương trình chỉ chứa tgx và sin2x, cos2x, tg2x, cotg2x hoặc chỉ chứa toàn bộ các hàm lượng giác của cùng góc x thì đặt t = tgx. (Nếu Pt bậc n thu được giải được) Lưu y: Các nhận xét trên chỉ mang tính chất tương đối, nhiều phương trình phải dựa vào đặc trưng riêng của phương trình đó mà đưa ra cách giải thích hợp. 5. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT Phương trình, bất phương trình mũ 1) Hàm số mũ y = a x : - TXĐ: R, a x > 0 với mọi x. - Hàm số đồng biến trên R nếu a > 1, nghịch biến trên R nếu 0 < a < 1. - Các tính chất của lũy thừa. 2) Dạng cơ bản: )x(glog)x(f 0)x(g,1a0 )x(ga );x(g)x(f 1a0 aa a )x(f)x(g)x(f =⇔    >≠< = =⇔    ≠< =    < << ∨    > > ⇔> )x(g)x(f 1a0 )x(g)x(f 1a aa )x(g)x(f 3) Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ: - Đưa về cùng cơ số - Lôgarít hai vế (dạng: cba,ba )x(g)x(f)x(g)x(f == ) - Dùng ẩn phụ để đưa về dạng cơ bản - Đoán nghiệm và dùng tính đơn điệu chứng minh duy nhất Phương trình, bất phương trình lôgarit - Định nghĩa: y a axxlogy =⇔= - Hàm số: y = log a x có tập xác định: x > 0, 1a0 ≠< . Tập giá trị: R - Tính chất: Hàm số đồng biến nếu a > 1, nghịch biến nếu 1a0 ≠< - Các công thức biến đổi: 1alog a = 01log a = xa xlog a = log a (N 1 .N 2 )= log a |N 1 | + log a |N 2 | 2a1a 2 1 a NlogNlog N N log −= blog.clogblog caa = alog 1 blog b a = c a c log b log b log a = [...]... thẳng: Cho 2 đường thẳng: (d) qua M0(x0 ;y0 ;z0), có VTCP = ( a; b; c) và (d’) qua M’0(x’0 ;y’0 ;z’0), có VTCP = ( a’; b’; c’) ’ (d) và (d ) đồng phẳng ⇔ r ur uuuuuur  u, u ' M 0 M '0 = 0   r ur uuuuuur '  u, u ' M 0 M 0 = 0   r u ur u' (d) và (d’) cắt nhau ⇔ và a:b:c ≠ a’:b’:c’ (d) // (d’) ⇔ a:b:c = a’:b’:c’≠ (x’0 – x0 ):( y’0 – y0) :( z’0 – z0) (d) ≡ (d’) ⇔ a:b:c = a’:b’:c’ = (x’0 – x0 ):( y’0... c r1 = F1M = a + x a c r2 = F2 M = a − x a -c 2 Phương trình chính tắc: x 2 y2 + = 1 ( a > b > 0, b 2 = a 2 − c 2 a 2 b2 ) - Các đỉnh: A1(-a,0) , A2(a,0) , B1(0,-b) và B2(0,b) - Các trục: - Trục lớn A1A2 = 2a - Trục nhỏ B1B2 = 2b Tâm sai: e= c a - Các đường chuẩn: x± a =0 e 9 PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Kệ toạ độ trong r không gian r 1 Tọa độ vect : Cho a = ( a1 , a 2 , a 3 ) , b = ( b1 , b... phần: P(x)lnx, P(x)eax, P(x)sinax, P(x)cosax, eaxcosax, eaxsinax Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng (C1 ) : y = f ( x) (C ) : y = g ( x )  2 (H ) :  ∆1 : x = a ∆ 2 : x = b  y x=a (H ) O a x=b (C1 ) : y = f ( x) (C 2 ) : y = g ( x) x b y (C 2 ) : x = y=b b (H ) a S = ∫ [ f ( y ) − g ( y )] dy y=a x O (C1 ) : x = f ( y ) b b (C1 ) : x = f ( y ) (C ) : x = g ( y )  (H ) :  2 ∆ 1 :. ..  2 3 3 1 1 2 - Điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng: rrr a, b,c đồng phẳng rr r ⇔  a, b  c = 0   r rr r b ⇔ a, b  = 0   r a - cùng phương - Diện tích hình bình hành ABCD SABCD k/h: : uuu uuu r r =  AB, AD    - Diện tích tam giác ABC : - Thể tích tứ diện ABCD SABC = r r 1 uuu uuu  AB, AC   2 : VABCD = r r r 1 uuu uuu uuu  AB, AC  AD  6 - Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D' : uuu uuu uuuu... b; c), bán kính R: (S) : (x − a) 2 + (y − b) 2 + (z − c) 2 = R 2 - Phương trình: x2 + y2+ z2 +2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với A2 + B2 +C2 - D > 0 là phương trình mặt cầu tâm I(-A ; -B; -C), bán kính R = A 2 + B2 + C2 − D 2) Giao của mặt cầu và mặt phẳng - Phương trình đường tròn: Cho mặt cầu (S) : (x − a) 2 + (y − b) 2 + (z − c) 2 = R 2 với tâm I(a ; b; c), bán kính R và mặt phẳng (P ): Ax + By + Cz + D... tâm I(a,b), bán kính R có phương trình chính tắc:(x- a)2 + (y - b)2 = R2 2 Phương trình x2+y2 + 2ax + 2by + c = 0 (a 2 + b2 - c > 0) là phương trình của đường tròn với tâm I(-a ; -b), bán kính R = a 2 + b2 − c Elip 1 Định nghĩa: Trong mp cho 2 điểm cố định F1,F2 và số dương 2a không đổi ( 2a > F1F2=2c) (E) = {M : M F1 + MF2 = 2a} y • F1,F2 : Tiêu điểm - F1F2 = 2c tiêu cự ( c < a ) • r1 = M F1 , r2... z0) và có một VTPT là → n = (A; B; C) thì có pt: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 + Phương trình mp cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm (a ; 0 ; 0), (0 ; b ; 0), (0 ; 0; c) l : x y z + + =1 a b c (phương trình theo đọan chắn) + MpOxy: z = 0 + Mp(Oyz ): x = 0 + Mp(Ozx ): y = 0 3) Phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mp (Ptrình chùm mặt phẳng ):: Ax+By + Cz +D = 0 và A'x+B'y+ C'z + D'=0 là... triển (a + b)n ta được (n+1) số hạng - Tổng số mũ của a và b trong mỗi số là n - Số hạng tổng quát thứ k+1 trong khai triển (a + b) n là k Tk+1 = Cn an-k b k Các dạng bài tập - Dạng 1 : Tìm hệ số của xn trong khai triển nhị thức Niutơn - Dạng 2 : Tính tổng hoặc chứng minh một đẳng thức, áp dụng giải bài toán khác Phương pháp : 1) Nếu trong tổng có tích phân k Cn , k +1 ta khai triển ( ax + b ) rồi lấy... thẳng: -Phương trình tham s :  x = x 0 + a1 t   y = y0 + a 2 t , z = z + a t 0 3  chỉ phương của đường thẳng -Phương trình chính tắc: với r a = (a1 ; a 2 ;a 3 ) là x − x 0 y − y0 z − z 0 = = a1 a2 a3 vectơ 2) Cách xác định vị trí tương đối, tìm giao điểm của hai đường thẳng: 3) Cách viết phương trình đường thẳng: Tìm một điểm và một VTCP (hoặc cặp VTPT) của đường → PTTS thẳng Một số dạng toán. .. trong mp(α ), qua giao điểm A của d và α , u u r a1 α1 ∆ ∆1 ur u a2 M M2 α2 ∆2 B 1: Viết phương trình mặt phẳng(α qua M và vuông góc ∆ 1 B 2: Tìm N = (α ) ∩ (∆ 2) B 3: Phương trình ∆ là phương trình đường MN ∆1 ∆2 M1 α α A M2 B 1: Tìm M1 = ∆ 1 ∩ (α ) B 2: Tìm M2 = ∆ 2 ∩ (α ) B 3: ∆ là đường thẳng M1M2 B 1: Tìm điểm A = ∆ ∆ B 2: ∆ d β ∩ (α qua A   r uu uu r r  Coù vtcp a =  nα , ad      ) vuông góc . VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC SỐ 1 VIỆT NAM TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG YÊN PHONG II Địa chỉ :Yên Trung – Yên Phong - Bắc Ninh ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CẤP TỐC THEO CHỦ ĐỀ I. PHẦN BẮT BUỘC (7 điểm ): Câu. cho.        =∆ =∆ = = bx ax xgyC xfyC H : : ) (:) ( ) (:) ( :) ( 2 1 2 1        =∆ =∆ = = by ay ygxC yfxC H : : ) (:) ( ) (:) ( :) ( 2 1 2 1 a b 0 = y ) (:) ( xfyC = b ax = bx = x y O b a x y 0 = x O ) (:) ( yfxC = by = ay = x y )(H a b ) (:) ( 1 xfyC = ) (:) ( 2 xgyC = ax = bx = O x y )(H a b ) (:) ( 1 yfxC = ) (:) ( 2 ygxC = ay = by = O Quy. biến đổi: 1) Hệ thức giữa các giá trị lượng giác của các cung góc có liên quan đặc biệt: * Cung đối nhau: cos(-x) = cosx; sin(-x) = -sinx; tg(-x) = - tgx; cotg(-x) = - cotgx * Cung bù nhau: cos( π