LỜI CẢM ƠN Lời ñầu tiên, tôi xin kính gởi ñến thầy Phạm Hoàng Quân, lời cảm ơn sâu sắc về sự tận tình giúp ñỡ của thầy ñối với tôi trong suốt khóa học và nhất là trong việc hoàn thành luận văn này. Xin chân thành cảm ơn thầy ðặng ðức Trọng ñã tận tình hướng dẫn, cung cấp cho tôi những kiến thức cần thiết và những lời ñộng viên chân thành, cũng như ñã ñọc và cho những nhận xét bổ ích ñối với luận văn này. Xin cám ơn tất cả Quý Thầy Cô trong hội ñồng chấm luận văn ñã dành cho tôi thời gian quý báu và những góp ý sâu sắc cho buổi bảo vệ luận văn. Xin cám ơn Quý Thầy Cô khoa toán, trường ðại học Khoa Học Tự Nhiên ñã tận tình hướng dẫn và cung cấp cho tôi những tư liệu cần thiết trong suốt thời gian học tập tại trường. Xin cám ơn Quý Thầy Cô thuộc phòng quản lý sau ðại học – trường ðại học Khoa Học Tự Nhiên ñã tạo ñiều kiện thuận lợi cho tôi về thủ tục hành chính trong khóa học. Cám ơn các bạn học viên lớp cao học Giải tích khóa 16 ñã hỗ trợ cho tôi rất nhiều trong thời gian qua. Lời thân thương nhất xin gởi ñến gia ñình tôi, nơi tạo cho tôi mọi ñiều kiện thuận lợi ñể học tập và thực hiện tốt luận văn. Nguyễn Thanh Quang MỤC LỤC Trang Mục lục 0 Mở ñầu 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 5 1.1.Không gian Hilbert 5 1.1.1. ðịnh nghĩa 5 1.1.2. Không gian p L 6 1.1.3. Không gian Sobolev ( ) ( ) 1 ,Ω Ω ⊆ ℝ H 9 1.1.4. Quá trình trực giao hóa Hilbert-Schmidt 9 1.2. Các hệ trực chuẩn ñặc biệt trong ( ) 2 0,1 L 10 1.2.1. ða thức Legendre 10 1.2.1.1. Dạng ña thức và dạng vi phân 10 1.2.1.2. Dạng tích phân 11 1.2.2. ða thức Muntz 14 1.3. Tính trù mật 18 1.4. Bài toán không chỉnh 22 1.5. Biến ñổi Laplace 23 Chương 2. Bài toán moment Hausdorff và phương pháp moment hữu hạn 24 2.1. Tính không chỉnh của bài toán 2.1 24 2.1.1. Ví dụ 1 24 2.1.2. Ví dụ 2 26 2.2. Chỉnh hóa bằng phương pháp moment hữu hạn 27 Chương 3. Bài toán moment từ biến ñổi Laplace 43 Chương 4. Ví dụ số 46 Chương 5. Kết Luận 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 1 MỞ ðẦU Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát bài toán xấp xỉ hàm ( ) 2 0 0, u L ∈ ∞ thỏa ( ) ( ) 0 0 , 0,1,2, , k x k k u u x e dx k β β µ ∞ − ≡ = = ∫ 0 L (0.1) trong ñó ( ) k k β ∈ ℕ là dãy số thực phân biệt và 1 > , 0,1,2, , 2 k k β = Trong trường hợp tổng quát chúng ta có lớp các bài toán tìm hàm u thỏa ( ) ( ) ( ) 0 px u p u x e dx g p ∞ − ≡ = ∫ L (0.2) trong ñó p w ∈ , ( ) g p cho trước là ảnh của u trên tập w (với { } Re > w p α ⊂ ) và ( ) u p L là hàm giải tích trên nửa mặt phẳng { } Re > p α với α ∈ ℝ là chỉ số tăng của hàm u . Tùy thuộc vào tập w , chúng ta sẽ có phương pháp thích hợp xây dựng hàm u từ những giá trị cho trước trong tập hợp ( ) { } : u p p w ∈L . Vì vậy, không có một phương pháp chung ñối với bài toán biến ñổi Laplace ngược. Nếu ( ) g p cho trước trên tập { } : ; ,w p p a iy a y = = + ∈ ℝ thì trong [25], p. 67, Widder ñã sử dụng công thức ngược Bromwich ñể tìm hàm ( ) u x . Nếu { } : > 0 w p p ⊂ ∈ ℝ thì chúng ta có bài toán biến ñổi Laplace ngược thực. Trong trường hợp này thì công thức ngược Bromwich không sử dụng ñược. Trong những trường hợp cụ thể và dựa vào tính giải tích của dữ liệu chính xác ( ) g p , chúng ta có nhiều công thức ngược ñể tìm hàm ( ) u x ([8,12,15,21,22,24]). Trong [8], Al-Shuaibi xấp xỉ hàm u bởi 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 k x x N k k k d e g e u x b a dx = ≅ ∑ . trong ñó ( ) k b a là hệ số chính quy, g là biến ñổi Laplace của u cho trước. Trong [9,10,21,22], Saitoh và nhóm của Saitoh ñã xấp xỉ hàm u bởi tích phân có dạng ( ) ( ) ( ) 0 , 1,2, st N N u t g s e P st ds N ∞ − = = ∫ trong ñó N P (xem [10]). Sử dụng công thức Saitoh, chúng ta có thể ñánh giá sai số trực tiếp. Tuy nhiên, trong trường hợp dữ liệu không chính xác, chúng ta gặp một số vấn ñề bởi tính không chỉnh của bài toán: nghiệm tương ứng với dữ liệu không chính xác không tồn tại nếu dữ liệu không trơn, và trong trường hợp nghiệm tồn tại thì nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu. Do ñó một phương pháp chính quy là cần thiết. Trong [20], Liên, Trọng và ðịnh biến ñổi bài toán (0.2) thành bài toán nội suy giải tích trên không gian Hardy. Sau ñó, sử dụng ña thức Laguerre và hệ số của ña thức Lagrange ñể xây dựng hàm u ứng với dữ liệu rời rạc không chính xác. Trong [12], ðặng ðình Áng, Lund và Stenger ñã chính quy bài toán (0.2) bằng phương pháp Tikhonov. Trong phương pháp này, tác giả xấp xỉ hàm u bởi hàm u β thỏa , > 0. u u g β β β β = * * +L L L (0.3) Vì L - là tự liên hợp (chứng minh[7]), (0.3) ñược viết lại như sau ( ) ( ) 0 0 st u s u ds e g s ds s t β β β ∞ ∞ − + = + ∫ ∫ ðây là bài toán chỉnh. Từ tính chất giải tích của ( ) u p L , nếu ( ) u p L ñược biết trên một tập con ñếm ñược của { } Re > w p α ⊂ hội tụ ñến một ñiểm thì ( ) u p L ñược biết trên toàn không 3 gian { } Re > p α . Vì vậy, trên một tập các dữ liệu rời rạc là ñủ ñể xây dựng một xấp xỉ cho hàm u . ðó là một bài toán moment. Trong bài toán (0.1) chúng ta chú ý rằng dãy hàm ( ) k x e β − là hệ ñộc lập tuyến tính và hơn nữa không gian vectơ sinh bởi các dãy sau ñó là trù mật trong ( ) 2 0, L ∞ . Trong [11], ðặng ðình Áng, R.Gorenflo, L.K.Vy và ðặng ðức Trọng ñã sử dụng phương pháp khai triển chặt cụt (the method of truncated expansion). Trong luận văn này, chúng tôi biến ñổi bài toán (0.1) thành bài toán moment Hausdorff , bài toán tìm hàm 2 (0,1) u L∈ thỏa 1 0 ( ) , 0,1,2, k k u x x dx k α µ = = ∫ (0.4) trong ñó ( ) k α là dãy các số thực phân biệt thỏa: 1 2 k α − > với mọi 0,1,2, k = và ( ) k µ là dãy các số thực bị chặn. Bài toán (0.4) là bài toán không chỉnh. Trong [11], Áng, Gorenflo, Vy, Trọng ñã khảo sát trường hợp ñặc biệt của bài toán (0.4), ( ) k α là dãy các số nguyên dương. Trong luận văn này, chúng tôi sẽ xấp xỉ hàm chưa biết u bởi phép chiếu trực giao trên không gian ñược sinh bởi hệ các ña thức trực giao ( ) 0,1,2, i n = i L , trong ñó i L là ña thức Muntz (Phương pháp moment hữu hạn). Nội dung của luận văn này dựa trên kết quả bài báo của Dũng, Huy, Quân, Trọng ([18]), có thêm phần tính số ñể minh họa cho kết quả của bài toán (0.4). Toàn bộ luận văn này sẽ chia thành các chương sau ñây: Chương mở ñầu là phần giới thiệu tổng quát về bài toán và ñiểm qua các kết quả trước ñó, ñồng thời giới thiệu bố cục của luận văn. Chương 1 là phần giới thiệu ký hiệu và các không gian hàm, các hệ trực chuẩn ñặc biệt trong ( ) 2 0,1 L như: ña thức Legendre, ña thức Muntz. 4 Chương 2 khảo sát chi tiết bài toán (0.4), kết quả chính của chương này là ñịnh lý 2.1 và ñịnh lý 2.4 phương pháp xấp xỉ nghiệm u và ñánh giá sai số. Chương 3 khảo sát bài toán (0.1) dựa trên kết quả ñã trình bày trong chương 2. Chương 4 là phần tính số minh họa cho bài toán (0.4). Chương 5 là phần kết luận về các kết quả thu ñược trong luận văn. Sau cùng là tài liệu tham khảo. 5 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Không gian Hilbert 1.1.1. ðịnh nghĩa Cho H là không gian vectơ tuyến tính trên ℝ (hay trên ℂ ). Ta ñịnh nghĩa trên H một ánh xạ H H × → ℝ ( , ) , . x y x y 〈 〉 ֏ Thỏa i) , 0, x x x H 〈 〉 ≥ ∀ ∈ . ii) , 0 0. x x x 〈 〉 = ⇔ = iii) , , , , x y y x x y H 〈 〉 = 〈 〉 ∀ ∈ . iv) , , , , , ,x y z x z y z x y z H α α α 〈 + 〉 = 〈 〉 + 〈 〉 ∀ ∈ ∈ ℝ ; . Khi ñó ta nói .,. 〈 〉 là một tích vô hướng (dạng Hermite) trên H . Hơn nữa, trên H ta có thể ñịnh nghĩa chuẩn của một vectơ thông qua tích vô hướng , , x x x x H = 〈 〉 ∀ ∈ . Nếu với chuẩn ñịnh nghĩa như trên, mà H là không gian Banach thì H ñược gọi là không gian Hilbert. Khái niệm về tính trực giao , 0. x y x y ⊥ ⇔ 〈 〉 = M H ⊆ , ta kí hiệu : { } : , M x H x y y M ⊥ = ∈ ⊥ ∀ ∈ là không gian trực giao với M . M H ⊆ là không gian vectơ con ñóng. Với mỗi x H ∈ , tồn tại duy nhất , y M z M ⊥ ∈ ∈ thỏa x y z = + và 6 ( , ) , d x M x y z = − = Họ vectơ ( ) i i I x H ∈ ⊂ ñược gọi là hệ trực giao nếu ( ) , , . i j x x i j I i j I ⊥ ∀ ∈ ≠ là tập ñánh chỉ số. Họ vectơ ( ) i i I x H ∈ ⊂ ñược gọi là hệ trực chuẩn nếu ( ) i i I x ∈ trực giao và 1, i x i I = ∀ ∈ . ðịnh lý 1.1 1) Cho họ 1, ( ) i i n x = là họ trực giao, ta có 2 2 1 1 . n n i i i i x x = = = ∑ ∑ 2) Cho họ 1, ( ) i i n x = là họ trực chuẩn, ( ) 1, i i n t = là n số thực hay phức, ta có 2 2 1 1 . n n i i i i i t x t = = = ∑ ∑ 3) ðặt 1 2 , , . n n X x x x = Họ ( ) i i x ∈ ℕ là cơ sở trực chuẩn của H nếu H X ∞ ∪ n n=1 = Khi ñó i) x H ∀ ∈ , tồn tại duy nhất 1 : n n n i i n i x X x c x x ⊥ = ∈ = + ∑ , ii) 1 ( , ) n i i n n i x c x x d x X = − = = ∑ , iii) 1 0 n n i i i x c x →∞ = − → ∑ , iv) 2 2 1 n i i c x = ≤ ∑ (Bất ñẳng thức Bessel), v) 2 2 1 i i x c ∞ = = ∑ (ñẳng thức Bessel–Parseval), với , i i c x x = 〈 〉 là hệ số Fourier của x ứng với hệ trực chuẩn ( ) i i x ∈ ℕ . 1.1.2. Không gian p L Một số ñịnh lý của lý thuyết tích phân. 7 ðịnh lý 1.2 (ðịnh lý hội tụ ñơn ñiệu). Cho ( ) n f là dãy tăng các hàm khả tích Lesbesgue trên Ω ⊂ ℝ sao cho sup n n f < ∞ ∫ . Khi ñó, n f hội tụ h.k.n (hầu khắp nơi) trên Ω về một hàm khả tích trên Ω và ( ) ( ) 1 0 n n f f f x f x dx Ω − = − → ∫ khi n → ∞ ( 1 . là chuẩn trong không gian ( ) 1 L Ω ). ðịnh lý 1.3 (ðịnh lý hội tụ bị chặn Lesbesgue). Cho ( ) n f là một dãy các hàm (thực hoặc phức) khả tích trên Ω . Giả sử i) ( ) ( ) n f x f x → h.k.n trên Ω , ii) tồn tại hàm g khả tích sao cho với mỗi ( ) ( ) , n n f x g x < h.k.n trên Ω . Khi ñó f khả tích và ( ) ( ) 1 0 n n f f f x f x dx Ω − = − → ∫ khi n → ∞ Hệ quả: Cho f là hàm ño ñược và g khả tích trên Ω . Ta có Nếu ( ) ( ) f x g x < h.k.n trên Ω thì f khả tích trên Ω . Nếu f khả tích thì f khả tích và ngược lại. ðịnh lý 1.4 (Fubini). Cho F khả tích trên 1 2 Ω ×Ω . Khi ñó, với hầu hết 1 x ∈Ω ( ) ( ) ,. : , F x y F x y ֏ khả tích trên 2 Ω và ( ) 2 , x F x y dy Ω ∫ ֏ khả tích trên 1 Ω . Kết luận tương tự khi ñổi vai trò x cho y , 1 Ω cho 2 Ω . Hơn nữa, ta có ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 2 , , , dx F x y dy dy F x y dx F x y dxdy Ω Ω Ω Ω Ω ×Ω = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ . 8 Không gian ( ),1 p L p Ω ≤ ≤ ∞ . Giả sử n Ω ⊂ ℝ là một tập ño ñược, ta có các ñịnh nghĩa Với 1 p ≤ < ∞ { ( ) : p L f f Ω = ño ñược trên , p f Ω khả tích Lebesgue trên Ω }, Với p = ∞ { ( ) : L f f ∞ Ω = ño ñược trên Ω và tồn tại ( ) } : . . C f x C h k n ≤ , và ký hiệu ( ) ( ) 1 p p p f f x dx Ω = ∫ , ( ) { } inf ; . . f C f x C h k n ∞ = ≤ , là các chuẩn tương ứng. Không gian ( ),1 p L p Ω ≤ ≤ ∞ là một không gian ñịnh chuẩn ñầy ñủ Trong không gian này ta ñồng nhất ( ) ( ) . . f g f x g x h k n = ⇔ = . ðặc biệt 2 p = , ta ñịnh nghĩa { 2 ( ) : L f f Ω = ño ñược trên 2 , f Ω khả tích Lebesgue trên Ω }, với tích trong ñược ñịnh nghĩa , ( ) ( ) f g f x g x dx Ω 〈 〉 = ∫ và chuẩn ( ) ( ) 1 2 2 2 f f x dx Ω = ∫ , thì 2 ( ) L Ω là không gian Hilbert. ðịnh lý 1.5 (Bất ñẳng thức Holder). Cho ( ) p f L ∈ Ω và ( ) q g L ∈ Ω , với 1 p ≤ < ∞ và 1 1 1 p q + = . Khi ñó ( ) 1 f g L ⋅ ∈ Ω và ( ) ( ) p q f x g x dx f g Ω ≤ ⋅ ∫ Tích chập Cho hai hàm số f và g xác ñịnh trên ℝ thì hàm số f g ∗ ñịnh bởi ( ) ( ) ( ) f g x f x y g y dy ∗ = − ∫ ℝ , [...]... a f Bài toán tìm hàm g c F có th xem là bi n ñ i Laplace ngư c hay bài toán gi i phương trình tích phân c p m t sau ñây ∫ ∞ 0 e − pt f ( t ) dt = F ( p ) (1.21) Bài toán tìm hàm f th a phương trình ( 1.21 ) là bài toán không ch nh, vì có th vô nghi m, ho c nghi m không ph thu c liên t c vào v ph i, nghĩa là s nhi u r t nh c a v ph i có th d n ñ n s nhi u l n c a f 24 Chương 2 BÀI TOÁN MOMENT HAUSDORFF. .. c a f 24 Chương 2 BÀI TOÁN MOMENT HAUSDORFF VÀ PHƯƠNG PHÁP MOMENT H U H N Trong chương này chúng tôi kh o sát bài toán tìm hàm u ∈ L2 (0,1) th a 1 ∫ u( x ) x αk 0 (2.1) dx = µk , k = 0,1,2, Trong ñó (α k ) là dãy các s th c phân bi t th a : α k > − 1 v i m i k = 0,1, 2, 2 và ( µk ) là dãy các s th c b ch n 2.1 Tính không ch nh c a bài toán Ta xét bài toán trong trư ng h p dãy (α k ) là các s th... liên t c vào y Nghi m ph i ph thu c liên t c vào d li u, nghĩa là ∀ ( xn ) ⊂ X th a Kxn → Kx thì xn → x 23 Ngư c l i bài toán vi ph m m t trong ba tính ch t trên thì ta nói bài toán ñó không ch nh ð nh lý sau ñây cho ta m t d u hi u nh n bi t m t bài toán là không ch nh ð nh lý 1.10 Cho X , Y là hai không gian ñ nh chu n Xét toán t K : X → Y tuy n tính, compac v i Ker ( K ) = { x ∈ X : Kx = 0} và dim... nghi m chính xác c a bài toán M t khác xét bài toán (2.1) v i d li u nhi u là α k = k , µn ,k = n , k; n ∈ ℕ k + n2 + 1 2 thì un ( x ) = nx n là nghi m duy nh t c a bài toán 1 n ∫ u ( x )x dx = k + n k 0 2 +1 , k = 0,1,2, Tuy nhiên sup µn ,k − µk → 0, n → ∞ k Nhưng 2 1 2 un − u = ∫ n 2 x 2 n dx = 0 n2 1 n →∞  → 2 2n + 1 2 Suy ra bài toán (2.1) không tho tính n ñ nh V y bài toán (2.1) không ch nh... + n2 + 1 Khi ñó sup µn ,k − µk → 0 khi n → ∞ k 2 và un ( x ) = nx n là nghi m duy nh t c a bài toán nhi u tương ng 1 ∫ u ( x )x 0 αk dx = n , k = 0,1, 2, αk + n2 + 1 Tuy nhiên 2 1 2 un − u = ∫ n 2 x 2 n dx = 0 n2 1 n →∞  → 2 2n + 1 2 Suy ra bài toán (2.1) không th a tính n ñ nh V y bài toán (2.1) không ch nh 27 2.2 Ch nh hóa b ng phương pháp moment h u h n Cho m Lm ( x ) = ∑ C mj x αj j =0 Trong... k +1 =∞ (2.2) Khi ñó theo nh n xét i) và ii) c a ñ nh lý 1.9 thì bài toán (2.1) có nghi m duy nh t ho c xem ph n ch ng minh tính duy nh t nghi m trong ñ nh lý 2.1 Sau ñây ta xét hai ví d ñ minh h a tính không ch nh c a bài toán (2.1) (Tính duy nh t nghi m ñư c th a n u nghi m t n t i) 2.1.1.Ví d 1 T n t i nghi m Xét bài toán (2.1) v i α k = k , k = 0,1, 2, ,và ( µk ) k là dãy s th c b ch n, th a... nghi m Ta xét bài toán (2.1) v i (α k ) là dãy các s th c dương tùy ý th a (2.2) và dãy µk = 1 αk + 1 2 , khi ñó u ( x ) = 1 ∫ u ( x) x αk 0 dx = 1 là nghi m bài toán x 1 1 αk + 2 , k = 0,1, 2, Nhưng 2  1  2 ∫0  x  dx = lim ( − ln δ ) = ∞ Suy ra u ∉ L ( 0,1) δ →0   1 n ñ nh Xét (α k ) là dãy các s th c dương th a (2.2) V i µk = 0, k = 0,1,2, ta th y u ≡ 0 là nghi m duy nh t c a bài toán 2.1 M... 1 ∫ u ( x ) L ( x)dx = 0, n 0 ∀n ∈ ℕ Do h ( Ln ( x ) )n∈ℕ là tr c chu n ñ y ñ trong L2 ( 0,1) và u ∈ L2 ( 0,1) Nên 2 1 2 u = ∫ u ( x ) dx = 0 suy ra u = 0 h.k n trên ( 0,1) 0 1.4 Bài toán không ch nh Cho X , Y là hai không gian ñ nh chu n Xét toán t K : X → Y , khi ñó phương trình Kx = y ñư c g i là bài toán ch nh, n u th a ñ ng th i ba tính ch t sau: i ) T n t i nghiêm: ∀y ∈ Y , ∃x ∈ X : Kx = y... k =0  j =0  (2.5) Khi ñó bài toán (2.1) tương ñương v i bài toán tìm hàm u ∈ L2 (0,1) th a 1 ∫ u( x)L ( x)dx = λ k k , k = 0,1, 2, 0 Chú ý (2.6) ñúng v i m i k = 0,1,2, (2.6) 28 Ký hi u : Pn , ρ n là các toán t chi u tr c giao tương ng lên các không gian và span {xα , xα , , xα span {1, x, x 2 , , x m −1 } 0 1 n −1 } ð nh lý 2.1 cho µ = ( µk ) là dãy các s th c b ch n và (α k ) là dãy các s th c... = ρ n (u ) và  n  − 1 p (µ) − u ≤   3r  n −1 ( F (u ) ) 1 2 +c u q n −1 3r (2.10) , trong ñó r và q là nh ng s th c tùy ý th a r> ln(3 + 2 2) δ 1 2 , q = (3 + 2 2)e − rδ , F (u ) = ∫ x(1 − x ) u '( x ) dx và là chu n trong L2 (0,1) 0 (2.11) 29 Chú ý : N u lim α k = α ≥ 0 , chúng ta ñ t k →∞ w( x ) = u( x ) x αk + 1 4 , βk = αk − α − 1 4 Khi ñó bài toán (2.1) tương ñương v i bài toán tìm ω . Hausdorff và phương pháp moment hữu hạn 24 2.1. Tính không chỉnh của bài toán 2.1 24 2.1.1. Ví dụ 1 24 2.1.2. Ví dụ 2 26 2.2. Chỉnh hóa bằng phương pháp moment hữu hạn 27 Chương 3. Bài toán moment. và ðặng ðức Trọng ñã sử dụng phương pháp khai triển chặt cụt (the method of truncated expansion). Trong luận văn này, chúng tôi biến ñổi bài toán (0.1) thành bài toán moment Hausdorff , bài. thức Muntz (Phương pháp moment hữu hạn) . Nội dung của luận văn này dựa trên kết quả bài báo của Dũng, Huy, Quân, Trọng ([18]), có thêm phần tính số ñể minh họa cho kết quả của bài toán (0.4).