LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV ĐỖ VĂN THỌ (Biên Soạn Lần 1) Năm 2012 Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV Đỗ Văn Thọ Chuyên Đề: Hệ Phương Trình I Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương: * Dạng 1: Trong hệ có phương trình bậc với ẩn x y ta tìm cách rút y theo x ngược lại Ví dụ: Giải hệ phương trình  x  y  1 x  y  1  x  x  1   2   xy  x   x  Giải: x2  Ta thấy x  không nghiệm (2) nên từ (2) ta có y   x thay vào (1) ta x2   x 1 2 x x   x  x    x  1 x  1   x  1 x  1 x  x    x  1  x  x  x  1   x  1 x  1   x  1  x  x  x   x    x  với x  loại   x  2  5  Suy nghiệm hệ 1; 1  2;   2  * Dạng 2: Một phương trình hệ đưa dạng tích phương trình bậc hai ẩn Ví dụ: Giải hệ phương trình  xy  x  y  x  y 1   x y  y x   2x  y 2  Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV Đỗ Văn Thọ Giải: Điều kiện: x  1; y  1  x  xy  y   x  y     x  y  x  y    x  y   Từ điều kiện ta có x  y   x  y    x  y  thay vào (2) ta được: y  x  y  y    y  1   y   (do y  )  y 2 x5 * Dạng 3: Đưa phương trình hệ dạng phương trình bậc hai ẩn, ẩn cịn lại tham số Ví dụ: Giải hệ phương trình  y   x    x  1   2  y  x  xy  16 x  y  16     Giải: Biến đổi phương trình (2) dạng y   x   y  x  16 x  16  Xem phương trình (2) phương trình ẩn y tham số x ta có  '  9x từ  y  x   3 ta nghiệm   y   x  4   x  y0 Thay (3) vào (1) ta  x     x    x     x   y  x   y  Thay (4) vào (1) ta   x    x    x    x   y    Vậy nghiệm hệ  0;4  ;  4;0  ;   ;0    Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV Đỗ Văn Thọ II Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ: Điểm quan trọng hệ dạng phát ẩn phụ u  f  x; y  ; v  g  x; y  có phương trình xuất sau phép biến đổi đẳng thức phép chia biểu thức khác Ví dụ:  x   y  y  x   y 1    x  1  y  x    y    Giải Ta có y  khơng thỏa mãn (1) nên ta có  x2   yx4   y   x    y  x     y    a  b  x2  Đặt a  ;b  y  x     a  b  Từ ta có hệ ab  y   x2   y Giải tiếp  x  y  Ví dụ: Giải hệ phương trình  xy   x  y   7   x  y   2 x    x y  Giải Điều kiện x  y  Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV Đỗ Văn Thọ 2  3 x  y    x  y   7   x  y  HPT   x  y   x  y   x y  Đặt a  x  y  ;  a   b  x  y Khi ta hệ phương x y 3a  b  13 1  trình  Giải hệ ta a  2; b  (do a  ) từ  2 a  b    x y 2 x  y  x   x y ta có    x  y   y  x  y   III Hệ sử dụng phương pháp hàm số:  f  x  f  y   Hệ loại ta gặp nhiều dạng  ; f hàm đơn điệu  f  x; y    tập D x, y thuộc D Nhiều ta cần phải đánh giá ẩn x, y thuộc tập mà hàm f đơn điệu * Dạng 1: Một phương trình hệ có dạng f  x   f  y  , phương trình cịn lại giúp ta giới hạn x, y thuộc tập D để hàm f đơn điệu Ví dụ:  x3  x  y  y 1  Giải hệ phương trình   2 x  y   Giải  f  x  f  y   Rõ ràng ta thấy hệ thuộc dạng   f  x; y    Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV Đỗ Văn Thọ Ta giới hạn x; y từ phương trình (2) x  1; y   x  1; y  Xét hàm số f  t   t  5t với t   1;1 có f '  t   3t   0; t   1;1 , f  t  nghịch biến khoảng  1;1 hay PT 1  x  y thay vào PT (2) ta x8  x   Đặt a  x  giải phương trình ta 1  1   y  x  4 2 * Dạng Là dạng hệ đối xứng loại hai mà giải thường dẫn đến hai trường hợp (1) (2)  x  x  x   y 1   Ví dụ: Giải hệ phương trình  x 1 y  y  2y   1  a  a   3b 1  Đặt a  x  1; b  y  ta hệ  b  b   3a 2  Trừ vế theo vế hai phương trình ta được: a  a   3a  b  b   3b  3 a t2 1  t t Xét hàm số f  t   t  t   ; f '  t    3t ln t2 1 Vì t   t  t  t   t   f '  t   0, t hàm số f  t  đồng biến R nên phương trình (3)  a  b thay vào phương trình (1) ta a  a   3a   Theo nhận xét   a  a   nên phương trình (4)  ln a  a   a ln  (lấy ln hai vế) Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình  GV Đỗ Văn Thọ  Xét hàm số g  a   ln a  a   a ln g ' a    ln   ln  0, a  R hay hàm g  a  nghịch biến a 1 R PT (4) có nghiệm a  nên PT (4) có nghiệm a  Từ ta nghiệm hệ ban đầu x  y  IV Sử dụng phương pháp đánh giá: Với phương pháp cần lưu ý phát biểu thức không âm nắm vững cách vận dụng bất đẳng thức Ví dụ: Giải hệ phương trình xy  x  x2  y  x  2x    xy y   y2  x  y2  y   Giải Cộng vế với vế hai phương trình ta xy xy   x  y 1 x  2x  y2  y  Ta có xy xy xy x  x    x  1       xy 3 2 x  2x  x  2x  xy Tương tự  xy mà theo bất đẳng thức côsi x  2x  x  y  x  y  xy nên VT 1  VP 1 Dấu xảy  thử x y0  lại ta nghiệm hệ  0;0  ; 1;1 Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV Đỗ Văn Thọ  y   x3  3x   Ví dụ: Giải hệ phương trình  x  y  y   Giải  y     x3  3x    y     x  1  x   1   HPT    x   2 y  y  2  x    y  1  y       Nếu x  từ (1) suy y   điều mâu thuẫn với PT (2) có  x    y   dấu Tương tự với x  ta suy điều vơ lí Vậy nghiệm hệ x  y  V Phương pháp biểu thức ẩn Ví dụ: Giải hệ phương trình  x  y  1 x  y  1  x  x  1   2   xy  x   x  Giải Dễ thấy x  khơng nghiệm hệ phương trình Do x2  thay vào (1)  2  y   x x2    x   x   x    3x  x  x   x    x  1 x  1   x  1 x  1   x  1  x  x  x  1   x  1 x  1  x     x  1  x  x  x     x   y  1   x  2  y    Với x  loại Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV Đỗ Văn Thọ 5  Vậy nghiệm hệ 1; 1 ;  2;   2   x  y  xy  1  Ví dụ: Giải hệ phương trình   x   y   2  Giải  x  y   xy  HPT    x  y    x  1 y  1  16  Điều kiện x  y  3; xy   x  0; y    x  y   xy   x  y   xy    xy   x  1 y  1  11   xy  xy  11  xy    x  y   xy    x  y   xy   3 xy  26 xy  105  4  xy  xy  121  22 xy  xy    x  y   xy   35 xy   xy     35 Với xy   loại Tự giải tiếp Bài tập  y  y x  3x  y   3  3  Bài 1:  ĐS:  ; ;  ;   2  2  x  xy       x  x3 y  x y  x   Bài 2:  (Khối B - 2008) ĐS:  x  xy  x    17   4;  4  Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV Đỗ Văn Thọ  x2   y2   x  y      17 13  Bài 3:  ĐS:  ;1 ;  ;     20 20   x2   y2   x  y    x  y  xy   Bài 4:  ĐS:  y0 ; y0  ; y0  x y    y x   x2  y2  x  y   Bài 5:   x  x  y  1  y  y  1   ĐS: 2; ;  2;  ; 1;2  ;  2; 1     x y  x y 2 y   4 Bài 6:  ĐS:  1;   5  x  5y    x2 y2  y4   y2  Bài 7:  ĐS: 1;1 ;  1; 1  xy  x  y  2y  x y  2  Bài 8:  ĐS:  2; 1 x 2 xy  y  x    x  y  xy   Bài 9:   x 1  2y 1   VI Thế số  1  5 ĐS:  2;  ;  10;   2  2  x3  y   Ví dụ: Giải hệ phương trình  2  x y  xy  y   10 1 2 Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV Đỗ Văn Thọ Giải  x  y   x  xy  y    x  y   x  xy  y    3   HPT    2  y  x  xy  y    y  y  x   4   Thay (3) vào (4) ta    y  x  y    x  y   x  xy  y    x  y   y  x  y    x  xy  y        x  y   2 x  yx  y     x3  y  I    x  y  Như  I     x  y3    II    2 x  xy  y   Hệ (I) vô nghiệm 2 x  xy y phương trình bậc hai theo x  Hệ  II    3 x  y    x  y  x  y     Tự giải tiếp x  y    1   1  ĐS  ;  ;  ;   2  9  x3  x  y  y  Ví dụ: Giải hệ phương trình  x    y  1   Giải   x3  y   x  y   3  x  y    x  y  1 HPT    2 2 x  3y   2 x  3y    11 Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV Đỗ Văn Thọ Thay (2) vào (1) ta có: 2 3 x  y3  x  y  x  y     x  x y  12 xy    2 2  x  3y    x  3y    x x  xy  12 y    2  x  3y      x   3 y   VN     x  y thay vµo (2)   3;1 ;  3; 1      x  4 y thay vµo (2)   4 ;  ;  ;     13 13   13 13       6  6  Vậy nghiệm hệ  3;1 ; 3; 1 ;  4 ; ;  ;   13 13   13 13           Bài tập: Bài 1: Bài 2: Bài 3: Bài 4:  x  y  xy   ĐS: 1;0  ; 1;0   3 x  y  x  3y   x3  y  xy  1    ĐS:  0;1 ; 1;0  ; 1;1 ;  ;3    25 25  4 x  y  x  y  x  y   ĐS: 1;3 ; 3;1  x  y  x  y   280    x  y  x  12  y  ĐS:  3;5 ; 3;5 ; 4;5  ;  4;5  2  x y  x  12  12 Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình  x5  y   Bài 5:  ĐS  0;1 ; 1;0  4 x  y  x  y  2 y  x   Bài 6:  ĐS 1;1 1; 1 2 x  y  y  x   x3  xy  12 y   Bài 7:  ĐS  2;1 ;  2; 1 8 y  x  12  GV Đỗ Văn Thọ 3 x  y  x  y  3 1 Bài 8: (Khối B - 2002)  ĐS: 1;1 ;  ;  2 2 x  y  x  y   x2  y2  x  y   Bài 9: (Dự bị - 2005)  ĐS:  x  x  y  1  y  y  1    2;1 ; 1; 2   2x  y   x  y   Bài 10: (Dự bị - 2005)  3x  y   x2   y  x  y   y  Bài 11: (Dự bị 2006)   x  1  x  y    y  ,  x  y  x y Bài 12: (A - 2003)  ĐS: 2 y  x3    x8  x  y  y  Bài 13: (Dự bị 2006)  x    y  1   13 ĐS:  2; 1 Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình ĐS: GV Đỗ Văn Thọ  y2  3 y  x2  Bài 14: (B - 2003)  ĐS: x2  3x   y2   x  xy  y   x  y   Bài 15: (Dự bị 2006)  2 x  xy  y   x  y    ĐS:  x  y   x  y   13  Bài 16: (Dự bị 2006)  2  x  y   x  y   25  ĐS:  x  x  y  1    Bài 17: (D - 2009):  x  y  1   x  ĐS:  x  x3 y  x y   Bài 18: (Dự bị 2007)   x y  x  xy   ĐS:  x  1 x   y  3  y   Bài 19: (A - 2010)  4 x  y   x   ĐS: 14 Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV Đỗ Văn Thọ xy  x  x2  y  x  2x   Bài 20: (Dự bị 2007)  xy y   y2  x  y2  y    x  y  x y  xy  xy     Bài 21: (A - 2008)  ĐS:  x  y  xy 1  x      Bài 22: (B - 2008)  x  x3 y  x y  x    ĐS:  x  xy  x    x  y  xy  x  y  Bài 23: (D - 2008)  x y  y x 1  2x  y  ĐS:  xy  x   y Bài 24: (B - 2009)  2  x y  xy   13 y ĐS: 2 y  x  y   3x  Bài 25:  2  x  x  y   10 y  ĐS: 15 Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình  x  y    x  y    x  y 2   Bài 26:  2x  y  3  2x  y  ĐS: Bài 27: Bài 28: Bài 29: Bài 30: Bài 31: Bài 32: Bài 33:  x  xy   5   x  2y  ĐS: x   3  x  2y  x y x y 6 5  x y x y  ĐS:  xy    x  y  x  y  20   ĐS: x  y  136    2x  y   x  y    ĐS: 3x  y    x y  y x    ĐS:  x y  y x  20   x  y  xy    ĐS:  4;   x y 4   xy  3x  y  16  2  x  y  x  y  33 16 GV Đỗ Văn Thọ Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình Bài 34: Bài 35: Bài 36: Bài 37: Bài 38: Bài 39: Bài 40:  x  y  3x  y    2 3x  y  x  y    x   x 3       12   y   y  ĐS:   xy   xy     y  xy  x   ĐS:  x2 y2  5x2   x  3y   x  x2  y    ĐS: y  3x y  0 2  x y   x  xy  12 y    ĐS:  x  y  12    10  x  2y    x  2y    x  2y  x   x  2y    x  2y  x    ĐS: x   4  x  2y  17 GV Đỗ Văn Thọ Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình Bài 41: Bài 42: Bài 43: Bài 44: Bài 45: Bài 46: Bài 47: Bài 48: Bài 49:  x  y  25  xy   ĐS: y  x  y   10    x  xy  y  19  x  y    2  x  xy  y   x  y    x  y  x  y  12   ĐS: 2  y x  y  12   20 y  x y  x y   x  ĐS: 16 x   x y  x y  5y  3x  x  y     ĐS: x  5x  y      x  y   x  y     ĐS: 2  x  y   x  y   15   xy  3x  y  16  x  y  x  y  33   x  2 y    ĐS:  2 x  y    x  6 y    ĐS:  y  6 x   18 GV Đỗ Văn Thọ Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình  x  xy  y  y    Bài 50:  2  x  xy  y  11x  y    ĐS:  y  x  64  x y  Bài 51  ĐS:  x    y   1  x  y   xy  Bài 52:  1 3x y    7 2 x y xy   x  y  2x  y    Bài 53:  ĐS: 3x  y  23    x  xy  y   Bài 54:  ĐS: x  x  y   xy    x3  3x  y  3x   Bài 55:  ĐS: x  xy  y     x5  y2   Bài 56:  ĐS:  x2  y5    x y 5  Bài 57:   x5  y5   19 GV Đỗ Văn Thọ Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV Đỗ Văn Thọ  x  y  x  2y    Bài 58:  ĐS:  2x 1  y 1     4   x 2 y  2x   Bài 59:     y    y  2x    1   1 1     3;  ;   3;   3 ĐS:    16 8      x  y  1       xy  Bài 60:   x  y 1    49   x2 y2      ĐS: 3   y  1  x  y  Bài 61:  ĐS: x  8y  x  y    x  y  xy   Bài 62:  4 2  x  y  x y  21  x2  y2  x  y   Bài 63:   x  x  y  1  y  y  1   20