CHƢƠNG 6 GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT 6.1. Dạng giao tuyến trong các trường hợp 1.Đa diện cắt đa diện 2.Đa diện cắt mặt cong 3.Mặt cong cắt mặt cong 6.2.Cách xác định giao tuyến – Các ví dụ 1. Trƣờng hợp đặc biệt (biết một hình chiếu của giao tuyến) 2. Trƣờng hợp tổng quát 6.3 .Một số trường hợp đặc biệt trong giao tuyến của hai mặt bậc hai Định lý 1 - Định lý 2 - Định lý 3 Trong thực tế, các công trình, chi tiết kết cấu hay vật thể thường được cấu tạo nên từ nhiều khối hình học gộp lại. Việc biểu diễn các mặt hình học(các khối cơ bản) đã nghiên cứu ở những bài trƣớc. Chƣơng này sẽ trình bày các phƣơng pháp xác định giao tuyến của các mặt cơ bản với nhau. Để vẽ đƣợc giao tuyến của hai mặt, trước tiên ta phải xác định được dạng của giao tuyến đó. MỞ ĐẦU 6.1. Dạng giao tuyến trong các trường hợp Hai mặt có thể là mặt đa diện hoặc mặt cong, nên ta có ba trƣờng hợp cơ bản của giao tuyến là: - Đa diện cắt đa diện. - Đa diện cắt mặt cong. - Mặt cong cắt mặt cong. Giao tuyến của hai đa diện thường là một hay một số đường gẫy khúc kín. Trong đó: - Mỗi cạnh (đoạn gẫy) của đƣờng gẫy khúc là giao tuyến của một mặt của đa diện này với một mặt của đa diện kia. - Mỗi đỉnh(điểm gẫy) của đường gẫy khúc là giao điểm của một cạnh của đa diện này với một mặt của đa diện kia. 1. Đa diện cắt đa diện 5 2 A B C A' B' C' F D E F’ D' E' 1 3 4 6 8 7 Nhƣ vậy, từ việc nhận dạng đó cho ta thấy để vẽ giao tuyến của hai đa diện ta có hai cách: 1.Xác định các điểm gẫy: Là giao điểm của các cạnh đa diện này với các mặt đa diện kia – quy về bài toán đƣờng thẳng cắt mặt phẳng. 2.Xác định các đoạn gẫy: Giao tuyến của các mặt đa diện này với các mặt đa diện kia – quy về bài toán mặt phẳng cắt mặt phẳng. Giao tuyến của một đa diện với một mặt cong bậc n là một hoặc một số đường cong gẫy (khép kín) bậc n trong không gian, thực chất là tập hợp các cung phẳng bậc n. 2. Đa diện cắt mặt cong Trong đó: - Các cung phẳng này là giao tuyến của các mặt đa diện với mặt cong. - Các điểm gẫy khúc của giao tuyến chính là giao điểm của các cạnh đa diện với mặt cong A B C B' C' S A' Nhƣ vậy, từ việc nhận dạng trên cho thấy để vẽ giao tuyến của đa diện với mặt cong ta đi tìm các điểm gẫy và các cung phẳng của giao tuyến: 1.Xác định các cung phẳng: Là giao tuyến của các mặt đa diện với mặt cong – quy về bài toán mặt phẳng cắt mặt cong. 2.Xác định các điểm gẫy: Là giao điểm của các cạnh đa diện với mặt cong – quy về bài toán đƣờng thẳng cắt mặt mặt cong. 3. Mặt cong cắt mặt cong Giao tuyến của hai mặt cong thường là một hoặc một số đường cong ghềnh. Nếu hai mặt cong là các mặt đại số bậc m và n thì giao tuyến của c húng là đường cong đại số bậc mxn. Hình chiếu của đƣờng cong này nói chung cũng có bậc là mxn. Trong trƣờng hợp đặc biệt, bậc của hình chiếu này cũng có thể(suy biến) nhỏ hơn mxn Xảy ra khi một trong hai mặt là lăng trụ chiếu hoặc mặt trụ chiếu. Lăng trụ chiếu: là lăng trụ có các cạnh bên cùng vuông góc với một mặt phẳng hình chiếu. Mặt trụ chiếu: là mặt trụ có trục là đƣờng thẳng chiếu. 6.2. Cách xác định giao tuyến – Các ví dụ 6.2.1. Trường hợp đặc biệt (biết một hình chiếu của giao tuyến) Khi một trong hai mặt là lăng trụ chiếu hoặc mặt trụ chiếu thì ta xác định đƣợc một hình chiếu của giao tuyến, nó trùng với hình chiếu suy biến của mặt này. Từ đó suy ra hình chiếu thứ hai của giao tuyến bằng c ách giải bài toán về sự liên thuộc của điểm với đa diện hoặc mặt cong (gắn các điểm cần tìm vào các đƣờng đặc biệt của mặt thứ hai (đƣờng sinh, vĩ tuyến,…). Sau khi tìm đƣợc các đỉnh của giao tuyến (các điểm gẫy), ta nối các điểm lại thành giao tuyến cần tìm và xét thấy khuất trên các hình biểu diễn. 1.Cách giải [...]... của hai mặt Mặt phụ trợ có thể là mặt phẳng hoặc mặt cong (mặt cầu) Các mặt phụ trợ đƣợc chọn sao cho các giao tuyến phụ dễ vẽ và có thể xác chính xác các giao điểm của các giao tuyến phụ g e c R 6. 3.Một số trường hợp đặc biệt trong giao tuyến của hai mặt bậc hai Đặt vấn đề Mặt cong ta thƣờng gặp trong kỹ thuật là mặt bậc hai (nón, trụ, cầu, elipxoit,…) Giao tuyến không suy biến của hai mặt bậc hai. .. thẳng - Hai đƣờng thẳng và một đƣờng bậc hai - Hai đường bậc hai - Một đƣờng thẳng và một đƣờng bậc ba Một số ví dụ về giao tuyến của hai mặt bậc hai đặc biệt Sau đây là một số định lý về giao của hai mặt bậc hai trong các trƣờng hợp đặc biệt Áp dụng các định lý này ta dễ dàng hơn trong việc xác định dạng của giao tuyến và cách vẽ các giao tuyến của hai mặt bậc hai 1.Định lý 1: Nếu hai mặt bậc hai đã... mặt bậc hai thứ ba thì giao của chúng là hai đường bậc hai đi qua hai giao điểm của hai đường tiếp xúc Ví dụ: Tìm giao tuyến của hai mặt nón tròn xoay và ; có hai trục là đƣờng thẳng chiếu bằng, đƣờng thẳng chiếu cạnh cắt nhau tại O, cùng ngoại tiếp mặt cầu tâm O Giải:- Hai mặt nón cùng ngoại tiếp mặt bậc hai (mặt cầu): Mặt nón (S) tiếp xúc với mặt cầu theo đường tròn c; mặt tiếp nón (T) xúc với mặt. .. ở hai điểm và đường thẳng nối hai điểm tiếp xúc đó không thuộc một đường sinh nào trong hai mặt bậc hai đó thì giao tuyến của hai mặt bậc hai sẽ là hai đường cong bậc hai đi qua hai điểm tiếp xúc đó Ví dụ: Tìm giao tuyến của mặt trụ tròn xoay và mặt elipxoit tròn xoay có chung trục là một đƣờng thẳng chiếu bằng Giải: - Hai mặt tiếp xúc với nhau tại hai điểm A, B và đoạn thẳng AB không thuộc hai mặt. .. nào của giao tuyến Do đó, sau khi xác định dạng giao tuyến, đi tìm các điểm chung của hai mặt và nối chúng lại với nhau Để tìm các điểm chung của hai mặt, ta thƣờng sử dụng các mặt cắt phụ trợ hoặc dùng các phép biến đổi, phương pháp chiếu phụ Phương pháp mặt cắt phụ trợ: Ta dùng mặt phụ trợ cắt hai mặt đã cho theo các giao tuyến phụ, tìm giao điểm của các giao tuyến phụ này ta đƣợc các điểm chung của. .. mắt lƣới đƣợc các đoạn gẫy của giao tuyến 1 1 1 1 1 1 1 1 Khi nối các đỉnh của giao tuyến cần lưu ý: *Chỉ đƣợc nối hai đỉnh bằng một đoạn thẳng khi hai đỉnh đó cùng thuộc hai mặt bên nào đó của hai đa diện *Khi xét thấy, khuất của giao tuyến hai đa diện chúng ta cần lƣu ý: 1.Một điểm gẫy, đoạn gẫy sẽ thấy trên một hình chiếu nào đó khi và chỉ khi nó thuộc hai mặt bên (của hai đa diện) đều thấy trên... bậc hai thì chúng còn cắt nhau theo một đường bậc hai nữa Ví dụ: Vẽ hình chiếu đứng của giao tuyến của mặt nón với mặt trụ có chung đáy là một đƣờng tròn và chung mặt phẳng đối xứng là một mặt phẳng mặt Giải: Theo định lý 1, vì hai mặt đã có chung một đường tròn đáy nên sẽ có chung một đƣờng bậc hai nữa Đƣờng bậc hai này phải S1 thuộc mặt phẳng R vuông góc với mặt phẳng đối xứng chung của hai mặt. .. tìm hình chiếu đứng của giao tuyến và xét thấy khuất cho hình biểu diễn 41 11 I2 N1 E1 A1 C1 e1 61 O1 L1 M1 31 81 J1 71 21 51 B'1 C'1 A'1 N2 12 22 I2 E2 B2 B'2 O2 e2 42 32 C2 52 82 J1 62 72 A 2 A'2 M2 L2 C'2 *Mặt cong cắt mặt cong: Ví dụ 3: Tìm giao tuyến của mặt nón và mặt trụ đều có trục là đƣờng thẳng chiếu bằng Giải: - Mặt nón và mặt trụ tròn xoay là hai mặt cong bậc hai nên giao tuyến là một đường... mặt bên của lăng trụ thuộc các mặt phẳng chiếu bằng, các mặt đáy của B’1 lăng trụ thuộc các mặt phẳng bằng, nên dễ thấy chỉ có 3 mặt bên của lăng trụ cắt mặt B B’ 2 2 cầu Ta lần lƣợt tìm các cung phẳng là giao tuyến của 3 mặt này với mặt cầu là: (BCC’B’), (AA’B’B) và (BB’C’C) A1 C1 A’1 C’1 C2 C’2 A2 A’2 B1 - Hình chiếu bằng của giao tuyến thuộc hình chiếu bằng suy biến của lăng trụ thành tam giác A2B2C2... là mặt chiếu đứng, và giao tuyến này là một cung x M1 E1 F 1 C1 D1 của một elip f (mặt phẳng R cắt mặt nón và mặt trụ theo B1 C2 một elip) Elíp f này có hình E2 chiếu đứng là đoạn thẳng f1=A1B1, hình chiếu bằng là elip f2 có trục dài là A2B2 và B 2 S2 trục ngắn C2D2 M2 Nhƣ vậy, giao tuyến của hai mặt và là đƣờng F2 tròn e và cung EAF của elip f D2 A1 e1 N1 e2 A2 N2 2.Định lý 2: Nếu hai mặt bậc hai . CHƢƠNG 6 GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT 6. 1. Dạng giao tuyến trong các trường hợp 1.Đa diện cắt đa diện 2.Đa diện cắt mặt cong 3 .Mặt cong cắt mặt cong 6. 2.Cách xác định giao tuyến – Các ví dụ 1 xác định được dạng của giao tuyến đó. MỞ ĐẦU 6. 1. Dạng giao tuyến trong các trường hợp Hai mặt có thể là mặt đa diện hoặc mặt cong, nên ta có ba trƣờng hợp cơ bản của giao tuyến là: - Đa diện. cắt mặt cong. - Mặt cong cắt mặt cong. Giao tuyến của hai đa diện thường là một hay một số đường gẫy khúc kín. Trong đó: - Mỗi cạnh (đoạn gẫy) của đƣờng gẫy khúc là giao tuyến của một mặt của