Chương 5: Đạo hàm §1: ĐẠO HÀM VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM A. LÝ THUYẾT: 1) Định nghĩa: • Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x 0 ∈ (a; b): 0 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim lim x x f x x f x y f x x x D ® D ® + -D D = = D D (∆x = x – x 0 , ∆y = f(x 0 + ∆x) – f(x 0 )) ( ta có thể tính → − = − 0 0 0 x x 0 f(x) f(x ) f'(x ) lim x x ) • Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x 0 thì nó liên tục tại diểm đó. 2) Đạo hàm của hàm số trên khoảng  Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là có đạo hàm trên J nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên J. Kí hiệu f’(x) hoặc y’  Định lí: ( Đạo hàm một số hàm số thường gặp): • ( ) '( ) 0f x c f x= =Þ • ( ) '( ) 1f x x f x= =Þ • 1 ( ) ( , 2) '( ) . n n f x x n n f x n x¥ - = =Î³Þ • 1 ( ) ,( 0) '( ) 2 f x x x f x x = > =Þ 3) Ý nghĩa hình học của đạo hàm:  f ′ (x 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại ( ) 0 0 M x ;f(x ) .  Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại ( ) 0 0 M x ;f(x ) là: y – y 0 = f ′ (x 0 ).(x – x 0 ) 4) Ý nghĩa vật lí của đạo hàm:  Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t) tại thời điểm t 0 là v(t 0 ) = s ′ (t 0 ).  Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm t 0 là I(t 0 ) = Q ′ (t 0 ). B. CÁC DẠNG BÀI TẬP: Dạng 1: Tính số gia của hàm số y=f(x) tại điểm x 0 Ví dụ 1: Tính số gia của hàm số 2 ( ) 3 2y f x x= = − tại điểm x 0 =1, biết a) 0,1x∆ = b) 0,01x∆ = − Ví dụ 2: Tính số gia của hàm số 2 ( ) 2y f x x= = − tương ứng với sự biến thiên của đối số a) Từ x 0 =1 đến 0 2x x+ ∆ = b) Từ x 0 =1 đến 0 0,08x x+ ∆ = Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm y=f(x) tại điểm x 0 bằng định nghĩa Phương pháp: + B1: + B2: Ví dụ 1: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau đây tại điểm chỉ ra a) 0 ( ) 2 1, 1y f x x x= = + = − b) 2 0 ( ) , 2y f x x x= = − = 1 Chương 5: Đạo hàm c) 0 3 2 ( ) , 1 x y f x x x − = = = d) 0 ( ) 2, 3y f x x x= = + = Ví dụ 2: Dùng định nghĩa, tính đaoh hàm của hàm số ( ) (1 )(2 ) (2007 )y f x x x x x= = + + + tại điểm x=0 Ví dụ 3: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau đây trên R a) 2 3y x x= − b) 3 2y x= − Ví dụ 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau trên khoảng đã chỉ ra a) 3y x= + trên khoảng ( 3; )− +∞ b) 2 1 y x = − trên các khoảng ( ;1)−∞ và (1; )+∞ Dạng 3: Quan hệ giữa đạo hàm và tính liên tục của hàm số Ví dụ 1: Cho hàm số ( ) 2y f x x= = − . Chứng minh rằng hàm số f(x) liên tục tại x 0 =2 nhưng không có đạo hàm tại đó ( Minh họa bằng đồ thị). Dạng 4: Ý nghĩa hình học của Đạo hàm Ví dụ 1: Cho dồ thị (C) 3 ( )y f x x= = a) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ 1, 2, 2− − b) Tìm điểm trên đồ thị hàm số mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc là 3, 27 Ví dụ 2: Cho hàm số 3 ( ) 2y f x x= = − có đồ thị là đường cong (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số trong những trường hợp sau: a) Tiếp tuyến tại điểm (2;-16) b) Tiếp tuyến có hệ số góc là -3/2 c) Tiếp tuyến song song với đường thẳng 6x+y-1=0 d) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 5 24 y x= + Ví dụ 3: Cho hàm số 2 ( )y f x x mx n= = + + a) Tìm m và n biết đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y=-x+2 tại điểm x=1 b) Viết PTTT với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến cắt tia Ox tại A, cắt tia Oy tại B sao cho OB=3OA C. BÀI TẬP ÔN LUYỆN Tính số gia của hàm số Bài 1: Tính số gia của hàm số 2 2 3y x= − tại điểm x 0 =-2 biết a) 0,1x∆ = b) 0,01x∆ = − Bài 2: Tính số gia của hàm số 3 y x = tại điểm x 0 =1 chính xác đến hàng phần nghìn biết a) 0,01x∆ = b) 0,001x∆ = − Bài 3: Tính số gia của hàm số 3y x= + tại điểm x 0 =1 biết a) 0,01x∆ = b) 0,001x∆ = − Tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa Bài 4: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau đây tại điểm chỉ ra a) 2 2y x x= − tại x 0 =-1 b) 0 2 , 2y x x − = = 2 Chương 5: Đạo hàm c) 0 2 , 1y x x= + = d) 0 1 , 4y x x = = Bài 5: Tính đạo hàm của hàm số sau trên R a) 3 2y x= b) 3 1y x= − + Bài 6: Tính đạo hàm của các hàm số sau a) 2 , 1 1 y x x = ≠ − + b) 2 , 2y x x= − < Bài 7: Cho hàm số 3 ( ) 3y f x x= = − a) Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x bất kì b) Tính '( 1), '( 2), '(2)f f f− Tìm điều kiện để hàm số có đạo hàm tại điểm chỉ ra Bài 8: Chứng minh rằng các hàm số sau đây không có đạo hàm tại điểm chỉ ra a) ( ) 3y f x x= = + , tại x 0 =-3 b) 1 ( ) 1 x y f x x − = = + tại x 0 =1 Bài 9: Cho hàm số 2 2 , 1 ( ) , 1 x ax b x y f x x x  + + <  = =  − ≥   a) Tìm điều kiện của a và b để f(x) liên tục tại x=1 b) Xác định a và b để f(x) có đạo hàm tại x=1 Bài 10: Cho hàm số 2 2 5 4, 0 ( ) 3 4, 0 x x x y f x x x x  + + ≥  = =  − + <   a) Tính đạo hàm của hàm số tại các điểm x 0 =-1, x 0 =1 b) Hàm số có đạo hàm tại điểm x 0 =0 hay không? Bài 11: Tính đạo hàm của hàm số ( 1)( 2)( 3) ( 2007) x y x x x x = − − − − tại điểm x=0 Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Bài 12: Cho hàm số 3 ( )y f x x= = a) Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x 0 =-2 b) Điểm nào trên đồ thị hàm số mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc là 4;-3; 3 c) Một tiếp tuyến của đồ thị tiếp xúc với đồ thị tại điểm có tung độ là 8. Viết phương trình tiếp tuyến đó. Bài 13: Cho hàm số 2 3 2y x x= − a) Tính hệ số góc của tiếp tuyến với ĐTHS tại các điểm có hoành độ x=-3,x=2,x=4 b) Tìm điểm trên đồ thị hàm số mà hệ số góc của tiếp tuyến tại đó là -2;4 Bài 14: Cho đồ thị (C) có phương trình 3 ( ) 2 1 x y f x x − = = + . Hãy viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong những trường hợp sau: a) Tiếp tuyến tại điểm 2 1; 3    ÷   b) Tiếp tuyến có hệ số góc là 7 4 − c) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=-7x+4 d) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 9x-7+3=0 3 Chương 5: Đạo hàm e) Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục hoành góc α mà 1 tan 7 α = − Bài 15: Cho hàm số 3 ( ) 2y f x x= = − a) Tìm điểm trên ĐTHS mà tiếp tuyến tại điểm đó có hệ số góc lớn nhất b) Điểm nào trên đồ thị hàm số mà tiếp tuyến chắn trên hai trục tọa độ một tam giác có diện tích 27 4 §2: CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM A. LÝ THUYẾT 1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích thương các hàm số: (u ± v)′ = u′ ± v′ (uv)′ = u′v + v′u 2 u u v v u v v ′   ′ − ′ =  ÷   (v ≠ 0) (ku)′ = ku′ 2 1 v v v ′   ′ = −  ÷   2. Đạo hàm của hàm số hợp  Khái niệm hàm số hợp: Nếu y=f(u) và u=u(x) thì hàm số y=f[u(x)] được gọi là hàm số hợp của biến số x qua hàm trung gian u.  Đạo hàm của hàm số hợp: Cho hàm số F(x)=f[u(x)]. Ta có '( ) '[ ( )]. '( )F x f u x u x= hay ' ' ' . x u x F f u= 3. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp: Với u=u(x), ta có: 1 ( )' . ( , 2) n n x n x n n¥ - = " γ 1 ( )' . . ' n n u n u u - = ' 2 1 1 ( 0)x x x æö ÷ ç = - ¹ ÷ ç ÷ ç è ø ' 2 1 1 . 'u u u æö ÷ ç = - ÷ ç ÷ ç è ø 1 ( )' ( 0) 2 x x x = > 1 ( )' . ' 2 u u u = Chú ý:  Tìm TXĐ của hàm số trước khi tính đạo hàm  Rút gọn hàm số trước khi tính đạo hàm B. CÁC DẠNG BÀI TẬP: Dạng 1: Tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số Ví dụ 1: Tính đạo hàm các hàm số sau đây tại điểm chỉ ra a) 2 0 3 2, 1y x x x= − − = b) 0 1 , 2 3 2 y x x = = − + c) 0 3 1, 2y x x= + = d) 0 3 4 , 4 2 1 x y x x + = = − + Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau đây a) 3 2 3 4 5 7 11y x x x x = − + − + b) 2 4 1 4 6 5 3 y x x x x= + − + 4 Chương 5: Đạo hàm c) 2 (2 1)( 3 2)y x x x= + − − + d) 2 3 1 4 1 x x y x + + = − Ví dụ 3: Tính đạo hàm các hàm số sau: a) 2 3 4 3 - 5 ( ) 3 y a ax ax x a const= + + = b) 2 1 ( , , 0) ax bx y a b const a ax b + + = = ≠ + Dạng 2: Đạo hàm của hàm số hợp Ví dụ 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau a) 6 (3 5)y x= − b) 2 10 3 1 ( 4) 2 2 y x x= + − c) 7 5 1 2 3 x y x −   =  ÷ +   d) 2 4 3 ( 5 4) ( 4 3)y x x x= − + − − Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 2 3 4 5y x x= − + b) 3 2 1 x y x − = + c) 2 1 2 3 y x x = + + d) 2 3 1 2 1 x x y x − − = − Ví dụ 3: Cho hàm số 2 2 3 ( ) 1 x y f x x x − + = = + + a) Tính đạo hàm của hàm số b) Tìm giá trị nguyên của x thỏa mãn ( ) 0 '( ) 0 f x f x >   <  Ví dụ 4: Cho hàm số y=f(x) xác định và có đạo hàm với mọi x. Chứng minh rằng a) Nếu f(x) là hàm số chẵn thì f’(x) là hàm số lẻ; nếu f(x) là hàm số lẻ thì f’(x) là hàm số chẵn b) Nếu f(x) là hàm số tuần hoàn thì f’(x) cũng là hàm số tuần hoàn C. BÀI TẬP ÔN LUYỆN Đạo hàm của tổng, hiệu, tích thương các hàm số Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau đây tại các điểm chỉ ra a) 2 0 4 1, 2y x x x= − − = b) 0 1 , 1 5 4 y x x = = − + c) 0 3 2 , 3y x x= − = − d) 0 5 2 , 1 3 9 x y x x + = = − − + Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau a) 3 2 1 4 6 3 2y x x x x = − + − + + b) 3 2 3 5 3 5 4 4 y x x x x= − + − + c) 2 ( 3 4 6)(7 1)y x x x= − + − − d) 2 5 4 2 3 4 x x y x − + = + Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau đây a) 2 ( 4 2 3)( 2 4)(3 1)y x x x x= − + + − + + b) 3 ( 2 1) 4 7 x x y x − + = − 5 Chương 5: Đạo hàm c) 6 5 (4 1)( 2 3) x y x x − + = − − + d) 2 4 ( 1)( 1)( 1)( 1)y x x x x= − + + + Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau a) 3 2 4y x x x = + − b) 2 3x x y x + = c) 2 1 (3 2 1)y x x x = + − d) 4 1 3 x y x + = − Đạo hàm của hàm số hợp Bài 5: Tính đạo hàm của các hàm số sau a) 8 ( 3 6)y x= − + b) 10 2 5 7 11 3 4 y x x   = − + +  ÷   c) 7 3 1 5 4 x y x − −   =  ÷ +   d) 2 4 3 ( 2 5 6) ( 2 9)y x x x= − + + − + Bài 6: Tính đạo hàm của các hàm số sau a) 3 2 2 4y x x= + b) 2 2 1 1 x y x + = − c) 1 3 1 1 3 1 x y x + + = − + d) 3 2 1 x y x + = − − Bài 7: Tính đạo hàm của các hàm số a) 1 1 1 1 x y x + + = − + b) 2 1y x x= + + c) 3 2 1 1 x y x   =  ÷ − −   d) 3 2 1 1x y x   + + =  ÷  ÷   Bài 8: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 1 1 1 1 y x x = − + − b) 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 x x y x x + − = + + + − + c) 2 ( )( 1) x x x x y x x x + + = − + d) 2 2 2 2 1 1 1 1 x x x x y x x x x + + + − = + + − + + Bài 9: Cho hàm số 3 2 5 12 9 1y x x x= − + − . Giải các phương trình và bất phương trình sau: a) y’=0 b) y’<0 Bài 10: Cho hàm số 2 3 ( ) ( 1) ( 2)y f x x x= = + − a) Tính đạo hàm của hàm số trên mỗi khoảng ( ;2), (2; )−∞ +∞ b) Hàm số có đạo hàm tại x=2 không? §3: ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A. LÝ THUYẾT: 1. Giới hạn 0 sin lim x x x → 6 Chương 5: Đạo hàm 2. Đạo hàm của các hàm số lượng giác (sin )' cosx x= (sin )' (cos ). 'u u u= (cos )' -sinx x= (cos )' (-sin ). 'u u u= 2 1 (tan )' ( ) cos 2 x x k x π π = ≠ + 2 1 (tan )' . ' ( ) cos 2 u u u k u = ≠ + π π 2 1 (cot )' ( ) sin x x k x π = − ≠ 2 1 (cot ) ' . ' ( ) sin u u u k u = − ≠ π B. CÁC DẠNG BÀI TẬP: Dạng 1: Tính giới hạn các hàm số lượng giác Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau a) 0 sin 3 lim 2 x x x → b) 2 0 1 cos5 lim x x x → − c) 2 0 cos3 -cos lim x x x x → d) 0 sin 2 lim 1 2 1 x x x → − + Dạng 2: Tính đạo hàm các hàm số lượng giác Ví dụ 1: Tính đạo hàm các hàm số lượng giác a) 3cos 2siny x x= − b) sin 3 .cos2y x x= c) 3sin 2 2cos 2 sin 2 cos 2 x x y x x + = − d) sin 3 cos .cos 2 x y x x = Ví dụ 2: Tính đạo hàm các hàm số sau a) tan 3 cosy x x= + b) sin 2 .coty x x= c) 2 tan(3 ) cot( 2 1) 3 y x x π = + − − + d) 3tan cot cot tan x x y x x − = + Ví dụ 3: Tính đạo hàm các hàm số a) 1 2 sin y x x = b) cos sin cos 1 x x x y x + = + c) 2 (2cos 1)(1 sin )y x x x= + + d) 1 2 cosy x x= + Ví dụ 4: Tính đạo hàm các hàm số sau a) 2 cot3x y x = b) 3 3 sin cos 1 cot x x y x + = + c) tan -y x x= d) 3 (tan - cos )y x x= Ví dụ 5: Cho hàm số ( ) 3cos2 2siny f x x x= = − . Giải phương trình f’(x)=0 Ví dụ 6: Cho hàm số 6 6 ( ) sin cos 2 2 x x y f x= = + a) Tính ' 6 f π   −  ÷   b) Giải phương trình 3 '( ) 4 f x = Ví dụ 7: Chứng minh rằng các hàm số sau đây có đạo hàm không phụ thuộc vào x a) 6 6 4 4 sin cos 1 sin cos 1 x x y x x + − = + − b) 2 sin sin .sin 1 6 3 y x x x π π     = − + − +  ÷  ÷     7 Chương 5: Đạo hàm C. BÀI TẬP ÔN LUYỆN Bài 1: Tính các giới hạn sau: a) 0 sin 4 lim 3 x x x → b) 2 0 1 cos6 lim 2 x x x → − c) 2 0 cos5 -cos3 lim x x x x → d) 0 sin 3 lim 1 4 1 x x x → − + Bài 2: Tính các giới hạn sau a) 0 1 cos3 lim 1 cos x x x → − − b) 0 sin 5 lim tan 4 x x x → c) 0 sin 2 lim 2 3 3 x x x x → + − + d) 0 1 cos 2 lim sin x x x x → − Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau đây tại điểm chỉ ra a) 0 3cos 2 , 6 y x x π = = − b) 0 2 sin , 2 3 x y x π = = c) 0 1 tan , 4 y x x π = = d) 0 3 cot , 2 x y x π = = − Bài 4: Tính đạo hàm các hàm số sau: a) 4cos 3siny x x= − b) 2cos sin 2sin cos x x y x x − = − c) cos 2y x x= d) (sin ). 1y x x= − + Bài 5: Tính đạo hàm các hàm số sau a) 2 cot3y x x= b) 3 1 coty x x= + c) cot 2 1 tan x y x − = d) cot tan x x y x x = + §4. VI PHÂN A. LÝ THUYẾT 1. Khái niệm vi phân: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trong khoảng (a;b). Tại điểm ( ; )x a bÎ cho số gia xD sao cho ( ; )x x a b+ DÎ . Tích số '( ).f x xD được gọi là vi phân của hàm số y=f(x) tại x ứng với số gia xD , kí hiệu df(x) hay dy. Ta có ( ) '( ).df x f x x= D Chú ý: Vì ( )' ( ) '( )dx x x x df x f x dx= = =D D® hay 'dy y dx= 2. Áp dụng vi phân vào tính gần đúng: Xét tại điểm x 0 và với xD khá nhỏ thì ta có: 0 0 0 ( ) ( ) '( )f x x f x f x x+ » +D D B. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Tính vi phân của các hàm số Ví dụ 1: Tính vi phân của các hàm số sau đây tại điểm x ứng với số gia xD đã cho 8 Chương 5: Đạo hàm a) 2 ( )f x x x= + tại điểm x=0 ứng với số gia 0,01x =D b) ( ) cos3f x x= tại điểm 12 x p = ứng với số gia 0,001x =D Ví dụ 2: Tính : a) 2 (2 3)d x x- + b) 2 ( 3 1)d x + c) 2 (cos )d x d) (tan3 )d x Dạng 2: Tính gần đúng nhờ vi phân Ví dụ 1: Tính gần đúng các giá trị sau: a) 9,001 b) sin31 o C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Tính vi phân của hàm số tại một điểm Bài 1: Tính vi phân của các hàm số sau đây tại điểm đã chỉ ra ứng với số gia xD a) 2 ( ) 2f x x x= - tại điểm x=1 ứng với 0,001x =D b) ( ) 3 1f x x= - tại điểm x=2 ứng với 0,001x =D c) ( ) cos2f x x= tại điểm 6 x p = ứng với 0,001x =D d) ( ) cotf x x= tại điểm 3 x p = ứng với 0,0001x =D Tính vi phân của hàm số Bài 2: Tính vi phân của các hàm số sau đây: a) 2 6 (4 2)y x x= - + b) 2 3 2y x x= + - c) 3 1 x x y x - = + d) 2 1 4 x y x + = - Bài 3: Tính vi phân của các hàm số sau đây a) 3sin2y x= - b) cos sin 1 x y x = + c) 2 cot( 2 3)y x= - + d) 2 tany x x= Bài 4: Tính a) 2 ( 4 1)d x x- + b) 2 2 3 2 1 x x d x æ ö + + ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç - è ø c) 3 2 1 2 1 d x x æ ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç + - è ø d) ( 1)d x x+ + Bài 5: Tính: a) (cos4 )d x b) (sin )d x p c) 2 (tan 1)d x + Tính gần đúng Bài 6: Tính gần đúng 9 Chương 5: Đạo hàm a) 160 b) 1 16,001 c) cos61 o §5. ĐẠO HÀM CẤP CAO A. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa: [ ] f x f x''( ) '( ) ′ = ; [ ] f x f x'''( ) ''( ) ′ = ; n n f x f x ( ) ( 1) ( ) ( ) − ′   =   (n ∈ N, n ≥ 4) 2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai: Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t 0 là a(t 0 ) = f ′′ (t 0 ). B. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Tính đạo hàm cấp cao tại điểm cho trước Ví dụ 1: Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra: a) 3 2 4 2 1y x x x= - + - , tính 1 ''( ) 4 y b) 2 1 3 x y x + = - + , tính (3) (0)y c) 2 1y x= + , tính y’’(1) d) y x x= , tính (3) (2)y Ví dụ 2: Tính đạo hàm tại điểm x 0 đến cấp đã chỉ ra a) siny x= , tính '' 3 y p æ ö ÷ ç ÷ - ç ÷ ç ÷ ç è ø b) (4) cos2 , tính y ( ) 6 y x p = c) 2 (4) 2 sin 2 , tính y 3 y x p æ ö ÷ ç ÷ = - ç ÷ ç ÷ ç è ø Dạng2: Tính đạo hàm cấp n của hàm số Chú ý: ta phải chứng minh kết quả bằng quy nạp Ví dụ 1: Chứng minh rằng: a) ( ) 1 1 ( 1) ! n n n n x x + æö - ÷ ç ÷ = ç ÷ ç ÷ ç è ø b) ( ) 1 1 ( 1) ! ( ) n n n n x a x a + æ ö - ÷ ç ÷ = ç ÷ ç ÷ ç + + è ø c) ( ) (sin ) sin 2 n n ax a ax n p æ ö ÷ ç ÷ = + ç ÷ ç ÷ ç è ø d) ( ) (cos ) cos 2 n n ax a ax n p æ ö ÷ ç ÷ = + ç ÷ ç ÷ ç è ø Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau: a) 3 ( ) 2 f x x = - b) 2 3 ( ) 2 x f x x + = - - c) 2 3 3 ( ) 1 x x f x x - + = + d) 2 3 ( ) 4 x f x x = - Ví dụ 3: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau a) sin2y x= b) sin .cos4y x x= c) 2 sin 3y x= d) 4 4 cos 3 sin 3y x x= + 10 [...]... è è b) y = sin 4 2 x thỏa mãn 8y + 5 1 (4 ) y ''+ y =3 8 128 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau x+ 1 1 a) y = 3 x 3 + 2 x 2 - x - 1 , tính y ' '( ) b) y = , tính y’’ (0 ) - 2x + 3 4 b) y = 1- 2 x , tính y (- 4) d) y = x 2 x , tính y (2 ) Bài 2: Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau p 1 a) y = sin 2 2 x , tính y ' '(- ) b) y = cos3 px , tính y '' '( ) 4 3... c) y = tan 2 3 x , tính y ' '( ) d) y = cot , tính y ' '( ) 9 2 4 Bài 3: Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau đây x a) y = x 1 + x 2 tính y” b) y = tính y” x - x2 1+ x x2 c) y = tính y”’ d) y = tính y”’ 1- x 1- x Bài 4: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau 2x + 3 2 x 2 + 3x + 2 2 - 3x 2x - 3 a) y = b) y = c) y = d) y = 2 x+ 1 x+ 1 x x - 1 Bài 5: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau x a)... b) y = cos c) y = sin x.cos 2 x d) y = sin x.sin 3 x 3 Bài 6: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau a) y = sin 2 x b) y = cos3 2 x d) y = sin 4 x + cos4 x e) y = sin 3 x (1 + sin 2 3 x ) Bài 7: Cho hàm số y = a) y”>0 x2 - x + 4 Hãy giải các bất phương trình sau x b) y " > y '+ y 11 Chương 5: Đạo hàm Bài 8: Cho hàm số f ( x ) = x n với n là số nguyên dương Chứng minh rằng: f (1 ) + f '(1 ) f ' '(1 ) f (. .. 5: Đạo hàm Dạng 3:Chứng minh các hệ thức liên quan đến đạo hàm các cấp Ví dụ 1: Chứng minh rằng các hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức đã chỉ ra 3x + 1 a) y = thỏa mãn hệ thức ( y - 3) y '' = 2( y ' )2 x- 1 b) y = 2 x 2 + x + 1 thỏa mãn hệ thức ( y ' )2 + y.y '' = 2 Ví dụ 2: Chứng minh rằng các hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức đã chỉ ra æ æ pö pö ÷ ÷ + a) y = 3sin 2 x + ÷ 2 cos 2 x + ÷thỏa mãn y (4 ) +... hàm Bài 8: Cho hàm số f ( x ) = x n với n là số nguyên dương Chứng minh rằng: f (1 ) + f '(1 ) f ' '(1 ) f ( n ) (1 ) + + + = 2n 1! 2! n! Bài 9: Cho đa thức f ( x ) = an x n + an- 1 x n- 1 + + a1 x + a0 Chứng minh rằng ak = Áp dụng: Tìm hệ số của x2 trong khai triển (2 x 2 + x + 1)1 00 12 f k (0 ) k! . − b) 2 0 ( ) , 2y f x x x= = − = 1 Chương 5: Đạo hàm c) 0 3 2 ( ) , 1 x y f x x x − = = = d) 0 ( ) 2, 3y f x x x= = + = Ví dụ 2: Dùng định nghĩa, tính đaoh hàm của hàm số ( ) (1 ) (2 ) (2 007. + + b) 3 ( 2 1) 4 7 x x y x − + = − 5 Chương 5: Đạo hàm c) 6 5 (4 1 )( 2 3) x y x x − + = − − + d) 2 4 ( 1 )( 1 )( 1 )( 1)y x x x x= − + + + Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau a) 3 2 4y x. + − + + b) 3 2 3 5 3 5 4 4 y x x x x= − + − + c) 2 ( 3 4 6 )( 7 1)y x x x= − + − − d) 2 5 4 2 3 4 x x y x − + = + Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau đây a) 2 ( 4 2 3 )( 2 4 )( 3 1)y x x x