Đang tải... (xem toàn văn)
Bài tập hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
trung tâm luyện thi đại học: trí đức - 32/2 Núi Thành Đà nẵng ĐT: 0905.100.499 - 0511.624925 www.VNMATH.com hoán vị chỉnh hợp tổ hợp Hoán vị Pn = n! = 1·2·3 · · · n (sè c¸ch xắp xếp thứ tự n đối tợng khác nhau) Ví dơ Rót gän biĨu thøc A= 6! (m + 1)! · m(m + 1) 4!(m − 1)! Gi¶i 4! · · (m − 1)!m(m + 1) · = 30 m(m + 1) 4!(m − 1)! Chó ý n! = (n − k)!(n − k + 1) · · · n A= n k · k! VÝ dơ Rót gän An = k=1 Gi¶i k · k! = (k + 1) − ·k! = (k + 1)! − k! =⇒ An = (2! − 1!) + (3! − 2!) + · · · + ((n + 1)! − n!) = (n + 1)! − VÝ dô Chøng minh 1 1 + + + · · · + < 1! 2! 3! n! Gi¶i =1 1! 1 =1− 2! 1 1 = = − 3! · 2 1 1 < = − 4! · 4 1 1 < = − n! (n − 1)n n n Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh www.VNMATH.com trung tâm luyện thi đại học: trí đức - 32/2 Núi Thành Đà nẵng ĐT: 0905.100.499 - 0511.624925 www.VNMATH.com Céng vÕ 1 1 + + · · · + < − < 1! 2! n! n! Ví dụ Giải pt a) n! − (n − 1)! = , (n + 1)! b) (n + 1)! = 72 (2) ; n nguyên dơng (n 1)! (1)(n nguyên dơng) Gi¶i a) Ta cã (1) ⇐⇒ n(n − 1)! − (n − 1)! n−1 = ⇐⇒ = (n + 1)n(n − 1)! (n + 1)n ⇐⇒ n2 − 5n + = ⇐⇒ n=2 n = b) Ta cã (2) ⇐⇒ (n + 1) · n · (n − 1)! = 72 n nguyªn d−¬ng (n − 1)! ⇐⇒ n2 + n − 72 = ⇐⇒ n = −9 (lo¹i) n = Chỉnh hợp E tập hợp gồm n phần tử r phần tử phân biệt, có kể thứ tự phần tử tập E (1 r n) đợc gọi chỉnh hợp n chập r Bé Chó ý (i) Thø tù (ii) n = r = chỉnh hợp hoán vị Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh www.VNMATH.com trung tâm luyện thi đại học: trí đức - 32/2 Núi Thành Đà nẵng §T: 0905.100.499 - 0511.624925 www.VNMATH.com C«ng thøc Ar = n(n − 1) · · · (n − r + 1) = n n! (n − r)! Chó ý An = Pn = n! n n An = Ar · An−r , ≤ r ≤ n n n−r A6 + A5 VÝ dơ Rót gän A = n n , < n ∈ R An Gi¶i n(n − 1) · · · (n − 5) + n(n − 1) · · · (n − 4) n(n − 1) · · · (n − 3) = (n − 4)(n − 5) − (n − 4) = (n − 4)2 A= VÝ dơ Gi¶i A12 + A11 A10 + A9 M = 49 10 49 − 17 17 A49 A17 49! 49! 17! 17! + + 37! 38! − 7! 8! = 49! 17! 39! 9! VÝ dô Chøng minh An+2 + An+1 = k · An n+k n+k n+k Gi¶i (n + k)! VT = 1+ (k − 2)! k−1 k(n + k)! k 2(n + k)! = = = k 2·An n+k (k − 1)(k − 2)! k! Ví dụ Tìm n nguyên dơng biết a) A3 = 20n n b) A5 = 18 · A4 n n2 Giải Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh www.VNMATH.com trung tâm luyện thi đại học: trí đức - 32/2 Núi Thành Đà nẵng ĐT: 0905.100.499 - 0511.624925 www.VNMATH.com a) A3 = 20 ⇐⇒ n n! n∈Z = 20n ⇐⇒ n2 − 3n − 18 ⇐⇒ n = (n − 3)! b) A5 = 18A4 ⇐⇒ n n−2 (n − 2)! n! = 18 · (n − 5)! (n − 6)! ⇐⇒ n2 − 19n + 90 = ⇐⇒ n=9 n = 10 Ví dụ Tìm n nguyên dơng biết Pn+3 = 720A5 à Pn5 n ĐS: n=7 Tổ hợp E mét tËp gåm n phÇn tư Mét tËp cđa E gồm r phần (1 r n) đợc gọi tổ hợp chập r n Công thøc r Cn = n! r!(n − r)! Chó ý (i) (xÕp thø tù) TËp hỵp − − − → −−− Tỉ hỵp (tËp con) (ii) Quy ớc (iii) hoán vị r=n (xếp thứ tự) − − → chØnh hỵp −−− 0! = =⇒ Cn = r−1 r n−r r r Cn = Cn , Cn = Cn−1 + Cn−1 VÝ dô 10 Rót gän biĨu thøc A= Cn n Cn Cn + · + · · · + n n1 Cn Cn Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh www.VNMATH.com trung tâm luyện thi đại học: trí đức - 32/2 Núi Thành Đà nẵng ĐT: 0905.100.499 - 0511.624925 www.VNMATH.com Gi¶i Cn = n n! Cn 2!(n − 2)! =n−1 2· =2· n! Cn 1!(n − 1)! ··············· n Cn n n−1 = n · = n! Cn (n − 1)!1! =⇒ A = n + (n − 1) + · · · + = n(n + 1) VÝ dơ 11 Chøng minh víi c¸c sè r, n nguyên, không âm cho r n, ta cã r Cn Gi¶i r−1 nCn−1 = r r−1 nCn−1 n (n − 1)! n! r = · = = Cn r r r!(n − r)! r!(n − r)! VÝ dơ 12 Chøng minh víi c¸c sè r, n nguyên, không âm cho r ≤ n, ta cã r r+1 r nCn = (r + 1)Cn + rCn Gi¶i n! n! = (n − r) + r · r!(n − r)! r!(n − r)! n! n! = (n − r) · +r· r!(n − r)! r!(n − r)! n! n! = (r + 1) · +r· (r + 1)!(n − r − 1)! r!(n − r)! r+1 r = (r + 1)Cn + rCn r nCn = n à Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh www.VNMATH.com trung tâm luyện thi đại học: trí đức - 32/2 Núi Thành Đà nẵng ĐT: 0905.100.499 - 0511.624925 www.VNMATH.com a) Chøng minh víi c¸c sè r, n nguyên, không âm cho Ví dụ 13 r ≤ n, ta cã 0≤ r r−1 r−1 r−1 Cn = Cn−1 + Cn−2 + · · · + Cr−1 b) Chøng minh víi k, n ∈ N, ≤ k ≤ n ta cã k k−1 k−2 k−3 k Cn + 3Cn + 3Cn + Cn = Cn+3 Gi¶i a) r−1 n−1 r r r r V P = (Cn − Cn−1) + (Cn−1 − Cn−2 ) + · · · + Cr−1 = Cn = V T b) k k−1 k−1 k−2 k−2 k−3 V T = Cn + Cn +2 Cn + Cn + Cn + Cn k = · · · = Cn+3 VÝ dơ 14 Chøng minh víi ≤ k ≤ n vµ k, n ∈ Z ta luèn cã n n n C2n+k à C2nk (C2n)2 Giải Cố định n n n, xÐt d·y uk = C2n+k · C2n−k , k Z Bất đẳng thức cần chứng minh đợc viết lại: uk u0, k Z, k Chứng minh dÃy (uk )k đơn ®iƯu gi¶m ThËt vËy (2n + k + 1)! (2n − k − 1)! (2n + k)! (2n − k)! · < · n!(n + k + 1)! n!(n − k − 1)! n!(n + k)! n!(n − k)! 2n + k + 2n − k < ⇐⇒ n + 2nk > : ®óng ⇐⇒ n+k+1 n−k uk+1 < uk ⇐⇒ Suy n n n uk ≤ u0 víi ≤ k ∈ Z ⇐⇒ C2n+k · C2nk (C2n)2 : đpcm Ví dụ 15 Tìm k ∈ N biÕt k k+2 k+1 C14 + C14 = 2C14 Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh www.VNMATH.com trung tâm luyện thi đại học: trí đức - 32/2 Núi Thành Đà nẵng ĐT: 0905.100.499 - 0511.624925 HD: §iỊu kiƯn k ∈ N, k ≤ www.VNMATH.com 12 Phơng trình trở thành k 12k + 32 = cã hai nghiÖm k = 4, k = Ví dụ 16 Tìm số x Z+ thoả m n phơng trình Cx + 6Cx + 6Cx = 9x2 − 14x HD: §iỊu kiƯn ≤ x ∈ N (∗) (∗) V T = x3 Phơng trình trở thành x3 9x2 + 14x = ⇐⇒ x = k+2 k+1 k VÝ dụ 17 Tìm k cho số C7 , C7 , C7 theo thứ tự lập thành cấp sè céng HD: §iỊu kiƯn ≥ k ∈ N k+1 k+2 k ⇐⇒ k − 5k + = ⇐⇒ C7 + C7 = 2C7 k=1 k = Bµi tËp Chøng minh r»ng víi k, n ∈ Z, ≤ k ≤ n, ta cã k−2 k k(k − 1)Cn = n(n − 1)Cn−2 Chøng minh r»ng víi k, n ∈ Z, ≤ k ≤ n, ta cã k k−1 k−2 k−3 k−4 k Cn + 4Cn + 6Cn + 4Cn + Cn = Cn+4 Giải bất phơng trình ĐS: Tìm ĐS: A2x A2 · Cx + 10 x x ≤ x ≤ x, y ∈ Z+ ®Ĩ y y+1 y−1 Cx+1 Cx Cx = = x=8 y = Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh www.VNMATH.com trung tâm luyện thi đại học: trí đức - 32/2 Núi Thành Đà nẵng ĐT: 0905.100.499 - 0511.624925 www.VNMATH.com TÝnh §S: TÝnh A2 A A = + 10 P2 7P5 46 S = P A + P A2 + P A + P A4 − P P P P §S: 2750 TÝnh C= P5 P4 P3 P1 + + + A A A A1 5 5 A2 §S: 42 2A2 + 50 = a2 x 2x Gi¶i phơng trình ĐS: x = Tìm n cho ĐS: 10 Tìm ĐS: Pn+3 = 720 à A5 · Pn−5 n n = n cho A3 + 3A2 = Pn+1 n n n = 11 Giải phơng trình a) A2 = x §S: b) 3Px = Ax §S: (*) c) x = 1, x = Pn+5 = 240 · Ak+3 n+3 Pn−k §S: d) x = ≤ k ≤ 11, n = 11 x−1 A2 · Cx = 48 x ĐS: x = Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh www.VNMATH.com trung tâm luyện thi đại học: trí đức - 32/2 Núi Thành Đà nẵng ĐT: 0905.100.499 - 0511.624925 www.VNMATH.com e) Px+2 = 210 x−4 Ax−1 · P3 §S: §S x = §S: f) x = x = §S: x = 1 − x = x x C4 C5 C6 12 Giải phơng trình a) b) 24 A4 x = x−4 A3 − Cx 23 x+1 Cx + Cx + Cx = x Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh www.VNMATH.com trung tâm luyện thi đại học: trí đức - 32/2 Núi Thành Đà nẵng ĐT: 0905.100.499 - 0511.624925 10 www.VNMATH.com Nhị thức Newton ứng dụng I Nhị thức Newton công thức nhị thức newton Với cặp số a, b số nguyên n > 0, ta cã: n−1 n (a + b)n = Cn an + Cn an−1b + Cn an−2b2 + · · · + Cn abn−1 + Cn bn (1) n i Cnan−ibi = i=0 C¸c nhËn xÐt công thức khai triển Số số hạng bên vế phải công thức (1) n + 1, n số mũ nhị thức vế trái Tổng số mũ a b số hạng n Các hệ số khai triển lần lợt n−1 n Cn , Cn , Cn , , Cn , Cn víi chó ý k n−k Cn = Cn , ≤ k ≤ n k Cn = n−k+1 k−1 · Cn k Biªn soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh www.VNMATH.com trung tâm luyện thi đại học: trí đức - 32/2 Núi Thành Đà nẵng ĐT: 0905.100.499 - 0511.624925 = có 49 www.VNMATH.com cách chọn Vậy trờng hợp ta nhận đợc 1.1.3 = số Vậy, số số gồm chữ số phân biệt nhỏ 278, hình thành tõ tËp E, b»ng + = sè Cách 2: Ta có * Gọi C tập số chẵn gồm chữ số phân biệt, hình thành từ E, nhỏ 278 * Gọi C1,2 tập số chẵn gồm chữ số phân biệt, hình thành từ E, bắt đầu chữ số 1, tận chữ số 2, suy C1,2 ⊂ C&|C1,2| = C1,2 lµ tËp số chẵn gồm chữ số phân biệt, hình thành từ E, bắt đầu chữ số 1, tận chữ số 8, suy * Gọi C1,8 C&|C1,8| = C2,8 tập số chẵn gồm chữ số phân biệt, hình thành từ E, bắt đầu chữ số 2, tËn cïng b»ng ch÷ sè 8, suy * Gäi C2,8 ⊂ C&|C2,8| = Ta cã C = C1,2 C1,8 C2,8 C1,2, C1,8, C28 đôi không giao Theo qui tắc cộng: |C| = |C1,2 + |B1,8| + |C2,8| = sè Chó ý: Chøng ta ®Ịu biÕt r»ng mét sè: α = a1a2 , có nghĩa a1 = Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh www.VNMATH.com trung tâm luyện thi đại học: trí đức - 32/2 Núi Thành Đà nẵng §T: 0905.100.499 - 0511.624925 50 www.VNMATH.com Do ®ã tr−êng hợp E chứng ta cần xét trờng hợp riêng Ví dụ Với 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, cã thể lập đợc số có chữ số phân biệt Giải Đặt E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Ta cã thÓ lùa chọn hai cách trình bày sau: Cách Một số chữ số đợc ký hiệu: = a1a2a3a4a5, víi a1 ∈ E, i = 1, vµ a1 = Ta có: * a1 đợc chọn từ tËp E \{0} =⇒ Cã c¸ch chän * a2 , a3 , a4 , a5 phân biệt thứ tự đợc chọn từ chỉnh hợp chËp E \{a1} ®ã nã =⇒ Cã A4 c¸ch chän VËy, sè c¸c sã gåm chữ số phân biệt, hình thành từ tập E, bằng: 9.A4 = 27216 sè C¸ch 2: Ta cã * Gọi A tập số có chữ số khác nhau, hình thành từ tập E, suy ra: |A| = A5 10 A1 tập số có chữ số khác nhau, hình thành từ tập E, bắt đầu chữ số 0,suy ra: * Gọi A1 A&|A1| = A4 A1 tập số có chữ số khác nhau, hình thành từ tập E, bắt đầu chữ số 0,suy ra: * Gọi A = A1 ∪ A2&A1 ∩ A2 = ∅ Theo qui t¾c céng: |A| = |A1| + |A2| =⇒ |A2| = |A| − |A1| = A5 − A4 = 27216 số 10 Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh www.VNMATH.com trung tâm luyện thi đại học: trí đức - 32/2 Núi Thành Đà nẵng ĐT: 0905.100.499 - 0511.624925 VÝ dơ 51 www.VNMATH.com Cã bao nhiªu sè tù nhiên gồm chữ số hai chữ số kề phải khác Giải Đặt E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Mét số chữ số đợc ký hiệu: = a1a2a3a4a5, víi a1 ∈ E, i = 1, vµ a1 = Ta cã: E \{0} =⇒ Cã c¸ch chän E \{a1} =⇒ Cã c¸ch chän * a3 ®−ỵc chän tõ tËp E \{a2 } =⇒ Cã cách chọn * a4 đợc chọn từ tập E \{a3 } = Có cách chọn * a5 đợc chọn tõ tËp E \{a4 } =⇒ Cã c¸ch chän * a1 đợc chọn từ tập * a2 đợc chọn từ tập Vậy, số số thỏa mÃn điều kiện đầu bài, bằng: 9.9.9.9.9 = 59049 số Ví dụ Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, ta lập đợc số gồm chữ số có mặt lần, số khác có mặt lần Giải Bộ (0, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5) sÏ t¹o đợc số có chữ số dạng: = a1a2a3a4a5a6a7a8, víi a1 = tõ ®ã suy ra: * a1 cã c¸ch chän * a2 , , a8 phân biệt thứ tự đợc chọn từ chữ số lại hoán vị phần tử, nhng có số nên bị lặp lại 3! lần 7! =⇒ Cã c¸ch chän 3! VËy, sè c¸c sè tháa mÃn điều kiện đầu bài, bằng: 7! = 5880 số 3! VÝ dơ 10 Víi tËp E = {0, 1, 2, 3, 4, 5} lập đợc Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh www.VNMATH.com trung tâm luyện thi đại học: trí đức - 32/2 Núi Thành Đà nẵng ĐT: 0905.100.499 - 0511.624925 a) Số gồm www.VNMATH.com chữ số phân biệt b) Số chẵn gồm c) Số gồm 52 chữ số phân biệt chữ số phân biệt, có chữ số Giải Một số chữ số đợc ký hiệu: α = a1a2a3a4a5, víi a1 ∈ E, i = 1, vµ a1 = a) Ta cã: * a1 đợc chọn từ tập E \{0} = Có cách chọn a2, a3, a4, a5 phân biệt thứ tự đợc chọn từ E \{a1} chỉnh hợp chập = Có A4 cách chọn Vậy, số số gồm chữ số phân biệt, hình thành từ tập E, bằng: * 5.A4 = 600 sè b) Ta xÐt hai tr−êng hỵp: Tr−êng hỵp 1: NÕu a5 = =⇒ Cã cách chọn Khi đó, a1 , a2 , a3 , a4 phân biệt thứ tự đợc chọn từ E \{0} chỉnh hợp chËp =⇒ Cã A4 c¸ch chän VËy, trờng hợp nhận đợc: 1.A4 = 120 số Trờng hợp 2: Nếu a5 đợc chọn tõ tËp {2, 4} =⇒ Cã c¸ch chän * a1 đợc chọn từ tập E \{0, a5 } = Cã c¸ch chän * a1 , a3 , a4 phận thứ tự đợc chọn từ E \{a1 , a5 } chỉnh hợp chập Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh www.VNMATH.com trung tâm luyện thi đại học: trí đức - 32/2 Núi Thành Đà nẵng ĐT: 0905.100.499 - 0511.624925 53 www.VNMATH.com =⇒ Cã A3 c¸ch chän VËy trờng hợp nhận đợc: 2.4.A3 = 192 số Vậy, số số chẵn gồm chữ số phân biệt, hình thành từ tập E, 120 + 192 = 312 sè c) Ta cã lËp luận: * Gọi B tập số gồm chữ số phân biệt hình thành từ tập E Theo a) ta có: |B| = 600 B1 tập số gồm chữ số phân biệt hình thành từ tập E, chữ số 0, suy * Gäi B1 ⊂ B&|B1| = P5 = 5! = 120 sè B1 = B \ B1 lµ tËp số gồm chữ số khác nhau, hình thành từ tập E, có chữ số Ta ®−ỵc: Khi ®ã |B1| = |B \ B1| = |B| − |B1| = 480 sè VÝ dô 11 Cho tËp hỵp E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} lập đợc số gồm chữ số khác đôi lấy từ E trờng hợp sau: a) Là số chẵn b) Một chữ số phải băng Giải Một số chữ số đợc ký hiệu = a1a2a3a4a5, víi a1 ∈ E, i = 1, vµ a1 = a) Ta xÐt hai tr−êng hỵp Tr−êng hợp 1: Nếu a5 = = Có cách chän * a1 , a2 , a3 , a4 lµ phân biệt thứ tự đợc chọn từ E\{0} chỉnh hợp chập Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh www.VNMATH.com trung tâm luyện thi đại học: trí đức - 32/2 Núi Thành Đà nẵng ĐT: 0905.100.499 - 0511.624925 54 www.VNMATH.com = Có A4 cách chọn Vậy, trờng hợp nhận đợc 1.A4 = 840 số Trờng hợp 2: Nếu a5 đợc chọn từ tập {2, 4, 6} = Có cách chọn * a1 đợc chọn từ tËp E \{0, a5 } =⇒ Cã c¸ch chän * a2 , a3 , a4 lµ mét bé phËn thứ tự đợc chọn từ E \{a1 , a5 } đo chỉnh hợp chập = Có A3 cách chọn Vậy trờng hợp nhận đợc: 3.6.A3 = 2160 số Vậy, số số chẵn gồm chữ số phân biệt, hình thành từ tập E, 840 + 2160 = 3000 sè b) Ta xÐt hai tr−êng hỵp Tr−êng hợp 1: Nếu a1 = = Có cách chän * a2 , a3 , a4 , a5 lµ phân biệt thứ tự đợc chọn từ E\{1} chỉnh hợp chập = Có A4 cách chọn Vậy, trờng hợp nhận đợc 1.A4 = 840 số Trờng hợp 2: Nếu a2 = a3 = = Có cách chọn * a1 đợc chọn từ tËp E \{0, 1} =⇒ Cã c¸ch chän * a3 , a4 , a5 (hc a1 , a4 , a5 ) phận thứ tự phân biệt đợc chọn từ E \{a1, a2} chỉnh hợp chập Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh www.VNMATH.com trung tâm luyện thi đại học: trí đức - 32/2 Núi Thành Đà nẵng ĐT: 0905.100.499 - 0511.624925 55 www.VNMATH.com =⇒ Cã A3 c¸ch chän Vậy trờng hợp nhận đợc: 2.6.A3 = 1440 sè VËy, sè c¸c sè tháa mÃn đầu bài, 840 + 1440 = 2280 số Ví dụ 12 Từ sáu chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập đợc số gồm chữ số khác nhau, có số chia hết cho Giải Đặt E = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Mét sè ch÷ số đợc ký hiệu = a1a2a3a4, với a1 E, i = 1, vµ a1 = Ta xÐt hai tr−êng hỵp Tr−êng hỵp 1: NÕu a5 = =⇒ Cã c¸ch chän * a1 , a2 , a3 , a4 phân biệt thứ tự đợc chọn từ E\{1} chỉnh hợp chập = Có A4 cách chọn Vậy, trờng hợp nhận đợc 1.A4 = 120 sè Tr−êng hỵp 2: NÕu a5 = = Có cách chọn * a1 đợc chọn tõ tËp E \{0, 5} =⇒ Cã c¸ch chän * a2 , a3 , a4 lµ mét bé phËn thứ tự đợc chọn từ E\{5, a1 } đo chỉnh hợp chập = Có A3 cách chọn Vậy trờng hợp nhận đợc: 1.4.A3 = 96 số Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh www.VNMATH.com trung tâm luyện thi đại học: trí đức - 32/2 Núi Thành Đà nẵng ĐT: 0905.100.499 - 0511.624925 www.VNMATH.com Vậy, số số thỏa mÃn điều kiện đầu hình thành từ 56 E b»ng: 120 + 96 = 216 sè VÝ dô 13 Cho tập chữ số E = {1, 2, , n} Có thể lập đợc số gồm n chữ số phân biệt cho chữ số không đứng cạnh ? Giải Ta có lập luận: * Gọi A tập số gồm n chữ số phân biệt, hình thành từ tập E, suy |A| = Pn = n! B lµ tập số gồm n chữ số phân biệt cho chữ số đùng cạnh §Ĩ tÝnh |B| ta tiÕn hµnh theo hai b−íc sau: * B−íc 1: Chän mét bé n − phÇn tö tõ tËp F = {α, 3, 4, , n}, = (1, 2) = Có Pn1 cách chọn * Bớc 2: Chọn hoán vị phần tư cđa α =⇒ Cã P2 c¸ch chän * Gäi VËy, |B| = Pn−1.P2 = 2.(n − 1)! Ta cã B = A\B tập số gồm n chữ số phân biệt cho chữ số cạnh Ta đợc: |B| = |A\B| = |A| − |B| = n! − 2, (n − 1)! = (n − 2).(n − 1)! c¸ch VÝ dơ 14 Víi ch÷ sè , 1, 2, 3, 4, Có thể lập đợc số gồm chữ số phân biệt thỏa mÃn điều kiện: a) Mỗi số nhỏ 40000 b) Mỗi số nhỏ 45000 Giải Đặt E = {1, 2, 3, 4, 5} Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh www.VNMATH.com trung tâm luyện thi đại học: trí đức - 32/2 Núi Thành Đà nẵng ĐT: 0905.100.499 - 0511.624925 Một số 57 www.VNMATH.com chữ số đợc ký hiệu = a1a2a3a4a5, với a1 ∈ E, i = 1, vµ a1 = a) Ta lựa chọn hai cách trình bày sau: Cách 1: Ta có: * Vì nhỏ 40000 nên a1 {1, 2, } = Có c¸ch chän * a2 , a3 , a4 , a5 phân biệt thứ tự đợc chọn từ E \{a1 } hoán vị phần tử = Có P4 cách chọn Vậy,các số gồm chữ số phân biệt nhỏ 40000, hình thành từ tập E, bằng: 3.P4 = 360 số Cách 2: Gọi A tập số gồm chữ số phân biệt, hình thành từ E số nhỏ 40000 * Gọi A1 tập số có chữ số khác nhau, hình thành từ tập E, bắt đầu chữ số 1, suy ra: A1 ⊂ A&|A1| = P4 = 24 A2 tập số có chữ số khác nhau, hình thành từ tập E, bắt đầu chữ số 2,suy ra: * Gäi A2 ⊂ A&|A2| = P4 = 24 A3 tập số có chữ số khác nhau, hình thành từ tập E, bắt đầu ch÷ sè 3,suy ra: * Gäi A3 ⊂ A&|A3| = P4 = 24 Ta cã: A = A1 ∪ A2 A3&A1, A2, A3 đôi không giao Theo qui tắc cộng Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh www.VNMATH.com trung tâm luyện thi đại học: trí đức - 32/2 Núi Thành Đà nẵng ĐT: 0905.100.499 - 0511.624925 58 www.VNMATH.com |A| = |A1| + |A2| + |A3| = 3.24 = 72 số b) Vì nhỏ 45000 nªn a1 ∈ {1, 2, 3, 4} XÐt hai tr−êng hỵp: Tr−êng hỵp 1: NÕu a1 ∈ {1, 2, 3} =⇒ Cã c¸ch chän * a2 , a3 , a4 phân biệt thứ tự đợc chọn từ E \{a1 } hoán vị phần tử = Có P4 cách chọn Vậy, trờng hợp nhận đợc 3.P4 = 72 sè Tr−êng hỵp 2: NÕu a1 = =⇒ Cã c¸ch chän * a2 ∈ {1, 2, 2} =⇒ Cã c¸ch chän * a3 , a4 , a5 phận thứ tự đợc chọn từ E \{a1 , a2 } đo hoán vị phần tử = Có P3 cách chọn Vậy trờng hợp nhận đợc: 1.3.6.P3 = 18 số Vậy, số số chẵn gồm tập chữ số phân biệt nhỏ 45000, hình thµnh tõ E, b»ng 72 + 18 = 90 sè Ví dụ 15 Có số nguyên, dơng với chữ số phân biệt, nhỏ 10000? Giải Đặt E = {0, 1, 2, 3, , 9} Gäi A tập số gồm chữ số phân biệt, hình thành từ tập E, nhỏ 10000 Gọi Ak , k = 1, tập số có k chữ số phân biệt, hình thành từ tập E Ta có Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh www.VNMATH.com trung tâm luyện thi đại học: trí đức - 32/2 Núi Thành Đà nẵng ĐT: 0905.100.499 - 0511.624925 59 www.VNMATH.com * Ak ⊂ A Ak , k = 1, ứng với chỉnh hợp 10 chập k phần tử E, chữ số đứng đầu khác 0, suy ra: * Mỗi số thuộc k1 |Ak | = Ak − A9 = 10 9(10 − 1)! (10 − k)! tõ ®ã |A1| = 9, |A2| = 81, A3| = 648, A4| = 4536 Ta cã: A = Y Ak (k = 1, 4)&Ak , k = 1, đôi không giao Theo qui tắc céng: |A| = |A1| + |A2| + |A3| + |A4| = 5274 số Chú ý: Trong lời giải ta ®· sư dơng c«ng thøc tÝnh: Ak − Ak−1 = n n−1 n! (n − 1)! (n − 1)(n − 1)! − = (n − k)! (n − k)! (n k)! Tất nhiên, không cần sử dụng tới công thức II Đếm số phơng án Phơng pháp Sử dụng phơng pháp mô hình hóa qui tắc đếm Ví dô minh häa VÝ dô Cã tem th− khác bì th khác Ngời ta muèn chän tõ ®ã tem th−, bì th dán tem lên bì th đà chọn Một bì th dán tem th Hỏi có cách làm nh ? Giải Ta có ngay: Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh www.VNMATH.com trung tâm luyện thi đại học: trí đức - 32/2 Núi Thành Đà nẵng ĐT: 0905.100.499 - 0511.624925 60 www.VNMATH.com C5 c¸ch chän tem th− * C6 cách chọn bì th * 3! cách dán tem đó, số cách làm * 3 C5 C6 3! Ví dụ Một ban châp hành niên có 11 ngời, có nam nữ Ngời ta muốn chọn ban thờng trực ngời, phải có nữ Có cách chọn ban thờng trực ? Giải * Gọi A tập cách chọn ban th−êng trùc, suy |A| = C11 * Gäi B tập cách chọn ban thờng trực không cã n÷, suy |B| = C7 Ta cã B = A\B tập cách thành ban thờng trực ngời, phải có nữ Ta đợc: |B| = |A\B| = |A| |B| = 130 c¸ch VÝ dơ Trong 100 vÐ sè cã vÐ tròng th−ëng NÕu mua 12 vÐ sè có trờng hợp: a) Không vé tróng th−ëng ? b) Cã Ýt nhÊt c) Cã ®óng vÐ tróng th−ëng ? vÐ tróng th−ëng ? Giải 100 vé số có vé trúng thởng 98 vé không trúng thởng Gọi A tập bé 12 vÐ sè bé 12 vÐ sè bé 100 chiÕc, suy Trong 12 |A| = C100 b) Ta có a1 = A\A1 tập vé trúng htởng Ta đợc: 12 12 |A1| = |A\A1| = |A| − |A1| = C100 − C98 Biªn soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh www.VNMATH.com trung tâm luyện thi đại học: trí đức - 32/2 Núi Thành Đà nẵng ĐT: 0905.100.499 - 0511.624925 c) Số 12 61 www.VNMATH.com vÐ, cã ®óng mét vÐ tróng th−ëng b»ng: 11 C2 C98 VÝ dô Ng−êi ta muốn thành lập tổ công tác gồm nữ nam, nữ chọn 10 nữ, nam chọn nam, có anh Bình chị An a) Có cách lập tổ ? b) Có cách lập tổ mà anh Bình chị An không tổ? Giải a) Muốn thành lập tổ công tác, tiến hành theo hai b−íc sau: B−íc 1: Chän n÷ 10 n÷ =⇒ Cã C10 c¸ch chän B−íc 2: Chän nam nam =⇒ Cã C7 c¸ch chän VËy sè c¸ch chän tỉ b»ng C10.C7 = 4200 cách b) Gọi A số cách thành lập tổ, ta có: |A| = 42000 B tập cách thành lập tổ mà nah Bình chị An ë cïng mét tæ, suy B ⊂ A Muèn tÝnh |B| ta tiÕn hµnh theo hai b−íc sau: B−íc 1: Chọn nữ nữ (vì đà có chị An) = Có C9 cách chọn Bớc 2: Chọn nam nam (vì đà có anh Bình) = Có C6 cách chọn Gọi Vậy |B| = C9 C6 = 720 c¸ch Ta cã B = A\ tập cách thành lập tổ mà anh Bình chị An không B tổ Ta đợc |B| = |A\B| = |A| |B| = 3480 cách Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh www.VNMATH.com trung tâm luyện thi đại học: trí đức - 32/2 Núi Thành Đà nẵng ĐT: 0905.100.499 - 0511.624925 62 www.VNMATH.com Trong mét hép chøa 100 s¶n phÈm có Ví dụ 90 sản phẩn đạt yêu cầu 10 sản phẩm cha đạt yêu cầu HÃy lấy ngẫu nhiên từ hộp 10 sản phẩm a) Có kết khác ? b) Có 10 sản phẩm có sản phẩm đạt yêu cầu ? Giải a) Số 10 sản phẩm khác 10 C100 b) Số 10 sản phẩm có sản phẩm đạt yêu cầu C90.C10 Ví dụ Ngời ta muốn phân loại hệ niên theo giới tính (nam nữ), theo tình trạng hôn nhân (đà lập gia đình cha lập gia đình), theo nghỊ nghiƯp (17 nghỊ nghiƯp x· héi) Cã cách phân loại khác ? Giải (x,yj , zk ), đó: * xi phần tử tập E = { nam nữ } * yj phần tử tập F = { đà lập gia đình, cha lập gia đình} * zk phÇn tư cđa tËp K, gåm 17 phÇn tư vỊ nghệ nghiệp xà hội Vậy, (xi , yj , zk ) phần tử tích Đềcác E ì F ì K Mỗi cách phân loại ứng với ba pần tử Vậy số cách phân loại b»ng: |E × F × K| = |E| × |F | ì |K| = 2.2.17 = 68 cách Ví dụ Gieo xúc xắc mặt k lần a) Có kết khác ? b) Có kết quả, điểm không lần xuất ? Giải Đặt E = {1, 2, 3, 4, 5} tập số điểm mặt xúc xắc a) Một kết k lần giao xúc xắc ứng với (1 , α2 , , αk ) cã k phÇn tư, ®ã αi ∈ E, i = 1, k, αi số điểm mặt xúc xắc lần gieo thứ i Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh www.VNMATH.com 63 trung tâm luyện thi đại học: trí đức - 32/2 Núi Thành Đà nẵng ĐT: 0905.100.499 - 0511.624925 www.VNMATH.com Vậy, (1 , , , k ) có k phần tử tích Đềcác E14ì2 4ì3 E = n lần E (k) Vậy số cách phân loại bằng: |E (k)| = |E|k = 6k cách k lần gieo xúc xắc, mặt điểm không lần xuất hiện, ứng với (α1 , α2 , , αk ) cã k phÇn tư, ®ã αi ∈ E1 = E \ {1}, i = 1, k, i số điểm mặt xúc xắc lần gieo thứ i Vậy (1 , , , k ) phần tử tích Đềcác E14ì2 4ì3 E1 = b) Một kết n lần E (k) = (k) E1 Vậy số cách phân loại (k) |E1 | = |E1|k = 5k cách Các toán chọn lọc Bài (ĐH Thái Nguyên 99) Có 12 bánh khác Hỏi có cách xếp chúng vào hộp giống , hộp có bánh Kết quả: C12 = 66 C66 = 9085768 Bài (ĐHSP Vinh 99) Một ôổ sinh viên có 20 em có em chØ biÕt tiÕng Anh, em chØ biÕt tiÕng Pháp, em biết tiếng Đức Cần lập nhãm ®i thùc tÕ gåm em biÕt tiÕng Anh, em biết tiếng Pháp, em biết tiếng Đức Hỏi có cách lập nhóm Kết quả: C8 C7 C5 = 19600 cách Bài (ĐHYK 98) Một chi đoàn có 20 đoàn viên 10 nữ Tôt công tác có ngời Có cách chọn tổ cần nữ Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh www.VNMATH.com ... toán đếm Đếm số chữ số thỏa mÃn tính chất k hình thành từ tập Phơng pháp Sử dụng: * Mô số tập hợp số * Các định nghĩa hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp * Các qui tắc đếm Ví dụ minh họa Biên soạn: GVC -... = (loại) n = Chỉnh hợp E tập hợp gồm n phần tử r phần tử phân biệt, có kể thứ tự phần tử tập E (1 r n) đợc gọi chỉnh hợp n chập r Bộ Chú ý (i) Thø tù (ii) n = r =⇒ chØnh hợp hoán vị Biên... n ĐS: n=7 Tổ hợp E tập gồm n phÇn tư Mét tËp cđa E gåm r phần (1 r n) đợc gọi tổ hợp chập r n Công thức r Cn = n! r!(n − r)! Chó ý (i) (xÕp thø tù) TËp hỵp − − − → −−− Tổ hợp (tập con) (ii)