Tọa độ trong không gian GV: Nguy ễn Tất Thu ĐT: 0918927276 Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai 1 Vấn đề 1: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1. Tọa độ véc tơ – Tọa độ điểm Cho 1 1 1 2 2 2 a (x ;y ;z ), b (x ;y ;z )   r r và số thực k . Khi đó * 1 2 1 2 a b (x x ;y y )     r r * 1 1 1 ka (kx ;ky ;kz )  r * 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 x x x y z a //b a kb k a b y y x y z z z                  r r r r r r . Chú ý: nếu ( ) 2 2 2 x 0 y 0,z 0 = = = thì ( ) 1 1 1 x 0 y 0,z 0 = = = * 2 2 2 1 1 1 |a | x y z    r * 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 a.b x x y y z z a b x x y y z z 0          r r r r * a.b cos(a,b) | a || b |  r r r r r r Cho A A A B B B C C C D D D A (x ;y ;z ), B (x ;y ;z ), C(x ;y ;z ), D(x ;y ;z )   . Khi đó: * B A B A B A AB (x x ;y y ;z z )     uuur * 2 2 2 B A B A B A AB | AB| (x x ) (y y ) (z z )        uuur * Trung điểm I của đoạn AB: A B A B A B x x y y z z I ( ; ; ) 2 2 2     *Trọng tâm G của ABC  : A B C A B C A B C x x x y y y z z z G( ; ; ) 3 3 3       *Trọng tâm G của tứ diện ABCD: A B C D A B C D A B C D x x x x y y y y z z z z G( ; ; ) 4 4 4          2. Tích có hướng của hai véc tơ và ứng dụng Định nghĩa: Cho   1 1 1 a x ; y ; z   và   2 2 2 b x ; y ; z   1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 y z z x x y [a,b] ; ; y z z x x y        r r Các tính chất: * a r cùng phương b a,b 0       r r r r * a,b a      r r r và a,b b      r r r * a,b a . b .sin(a,b)      r r r r r r Diện tích tam giác: ABC 1 S AB,AC 2       uuur uuur . Thể tích: Tọa độ trong không gian GV: Nguy ễn Tất Thu ĐT: 0918927276 Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai 2 * Hình hộp: ABCD.A ' B'C ' D' V AB,AD .AA'      uuur uuur uuur * Tứ diện: ABCD 1 V AB,AC .AD 6      uuur uuur uuur Điều kiện 3 véctơ đồng phẳng: * a,b,c r r r đồng phẳng a,b .c 0       r r r * A, B, C, D đồng phẳng AB,AC .AD 0       uuur uuur uuur Ví dụ1: Trong không gian cho bốn điểm A(0;2;0), B( 1;0; 3), C(0; 2;0), D(3;2;1)    1) Chứng minh rằng A,B,C,D không đồng phẳng 2) Tính diện tích tam giác BCD và đường cao BH cảu tam giác BCD 3) Tính thể tích tứ diện ABCD và đường cao của tứ diện hạ từ A 4) Tìm tọa độ E sao cho ABCE là hình bình hành 5) Tính góc giữa hai đường thẳng Ac và BD 6) Tìm điểm M thuộc Oy sao cho tam giác BCM cân tại M 7) Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD và chứng minh A, G, A’ thẳng hàng với A’ là trọng tâm tam giác BCD. Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có A trùng với gốc tọa độ, ( ) ( ) ( ) B a;0;0 ,D 0;a;0 ,A' 0;0;b với ( ) a 0,b 0 > > .Gọi M là trung điểm của CC' . Tính thể tích của khối tứ diện BDA'M Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1;2;1). B(5;3;4), (8; 3;2) - 1) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông 2) Tìm tọa độ chân đường phân giác trong góc B cảu tam giác ABC 3) TÍnh thể tích tứ diện OABC Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho 0 0 A(4;0;0), B(x ;y ;0) với x 0 , y 0 thỏa mãn AB 8 = và · 0 AOB 60 = . 1) Tìm C trên Oz sao cho thể tích tứ diện OABC bằng 8. 2) Gọi G là trọng tâm ΔABO và M trên cạnh AC sao cho AM=x. Tìm x để OM GM ^ . Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a ,AD = 2a đường cao SA = 2a.Trên cạnh CD lấy điểm M sao cho MD = x   0 x a   1)Tìm vị trí của M để diện tích tam giác SBM lớn nhất, nhỏ nhất. 2)Tìm vị trí của M để mp(SBM) chia hình chóp thành hai phần C.SBM S.ABCD 1 V V 3  Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Đề Các vuông góc Oxy cho tứ diện ABCD với A(2;3;2), B(6; 1; 2), C( 1; 4;3), D(1;6;-5) - - - - . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Tìm tọa độ M trên CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất. Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG Tọa độ trong không gian GV: Nguy ễn Tất Thu ĐT: 0918927276 Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai 3 1. Véc tơ pháp tuyến: Định nghĩa: Cho (). Véc tơ n 0  r r gọi là véc tơ pháp tuyến (VTPT) của mp() nếu n r nằm trên đường thẳng vuông góc với (), kí hiệu ( ) n   r . Chú ý: *Nếu n r là VTPT của () thì kn (k 0)  r cũng là VTPT của (). Vậy mp() có vô số VTPT. * Nếu hai véc tơ a,b r r (không cùng phương) nằm trên hai đường thẳng song song (hoặc nằm trên) () thì [ , ] n a b  r r r là một véc tơ pháp tuyến của (). Cặp véc tơ , a b r r gọi là cặp véc tơ chỉ phương của mp(). * Nếu ba điểm A,B,C không thẳng hàng thì véc tơ n [AB,AC]  r uuur uuur là một VTPT của mp(ABC). 2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng: * Cho mp() đi qua 0 0 0 M(x ;y ;z ) , có VTPT là n (A;B;C)  r . Khi đó phương trình tổng quát của mp() có dạng: 0 0 0 A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0       . * Nếu mp( ):Ax By Cz D 0      thì n (A;B;C)  r là một VTPT của mp(). * Nếu A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) thì phương trình của mp(ABC) có dạng: x y z 1 a b c    và được gọi là phương trình theo đoạn chắn của mp(). 3. Các ví dụ: Ví dụ 1: Lập phương trình của mp(P) trong các trương hợp sau: 1) (P) đi qua   A 1;2;1 và song song với mp   Q :x y 3z 1 0     . 2) (P) đi qua       M 0;1;2 , N 0;1;1 , P 2;0;0 . 3) (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn MN (M,N ở câu 2). 4) (P) đi qua các hình chiếu của A(1;2;3) lên các trục tọa độ. 5) (P) đi qua     E 1;2;0 , F 0;2;0 và vuông góc với mp   R : x y z 1 0     . Lời giải: 1) mp (Q) có VTPT Q n (1;1;3)  uur . Vì (P)//(Q) nên (P) có VTPT P Q n n (1;1;3)   uur uur . Vậy pt mp(P) là : 1(x 1) 1(y 2) 3(z 1) 0       hay x y 3z 6 0     . 2) (P) đi qua M,N,P nên (P) có cặp VTCP MN (0;0; 1), NP (2; 1; 1)      uuuur uuur , do đó VTPT của (P): n [MN,NP] ( 1; 2;0)     r uuuur uuur Vậy pt của (P): 2 0 x y   . 3) Gọi I là trung điểm của MN 3 I(0;1; ) 2  . mp(P) là mp trung trực của đoạn MN nên (P) đi qua I và nhận MN uuuur làm VTPT. Vậy phương trình (P): z-1=0. n r P Tọa độ trong không gian GV: Nguy ễn Tất Thu ĐT: 0918927276 Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai 4 4) Tọa độ hình chiếu của A lên các trục tọa độ là       1 2 3 A 1;0;0 ,A 0;2;0 , A 0;0;3 . Áp dụng phương trình đoạn chắn ta có phương trình của mp(P) là: x y z 1 6x 3y 2z 6 0 1 2 3         5) Vì mp(P) đi qua E,F và vuông góc với mp(R) nên (P) nhận ( 1;0;0) EF   uuur và (1;1;1) R n  uur làm cặp VTCP P R VTPT (P): n [EF,n ] (0;1; 1)     uur uur uuur Vậy phương trình mp(P): y 2 0   . Chú ý: 1)Qua các ví dụ trên ta thấy để lập phương trình của một mặt phẳng ta phải xác định một điểm mà mặt phẳng đi qua và VTPT của nó. Để xác định VTPT ta cần chú ý một số tính chất sau đây * Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì chúng có cùng VTPT. * Nếu mp(P) chứa hoặc song song với AB thì AB uuur là một VTCP của mp() * Nếu mp(P)(Q) thì VTPT của mặt phẳng này sẽ là VTCP của mặt phẳng kia. * Nếu mp(P)  AB thì AB uuur là một VTPT của mp(P). * Thông thường để lập phương trình mặt phẳng ta phải đi tìm cặp VTCP, từ đó tìm được VTPT. 2) 0 0 0 M(x ;y ;z ) (P): 0 0 0 Ax By Cz D 0 Ax By Cz D 0          . Ví dụ 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua   A 1;2;3  và vuông góc với hai mặt phẳng :   :x 2 0    ;   : y z 1 0     . Giải: Vì mp(P) vuông góc với hai mp ( )  và mp ( )  nên mp(P) có VTPT là P n [n ,n ] (0;1;1) pt mp(P):y z 5 0         uur uur uur . Ví dụ 3: Cho mp   P : 2x y z 1 0     và   A 1;2;3 . 1) Tìm hình chiếu vuông góc H của A lên (P). 2) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua mp(P). Giải: 1) Gọi H(x;y;z) là hình chiếu của A lên mp(P), ta có: 2x y z 1 0     (1) Mặt khác: AH (P) AH (x 1;y 2;z 3)       uuur cùng phương với P n (2;1;1)  uur x 1 y 2 z 3 t x 2t 1;y t 2;z t 3 2 1 1               thay vào (1) ta được: 4 5 2 5 2(2t 1) t 2 t 3 1 0 t H( ; ; ) 3 3 3 3             . 2) Gọi A'(x;y;z) đối xứng với A qua mp(P), khi đó H là trung điểm của AA’ 13 2 1 A'( ; ; ) 3 3 3    . Tọa độ trong không gian GV: Nguy ễn Tất Thu ĐT: 0918927276 Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai 5 Bài tập: Bài 1: Viết phương trình mp(P) biết 1) (P) đi qua   A 1;0; 3  và có VTPT n (1; 3;5)   r . 2) (P) đi qua       M 1; 1;1 , N 0;2;0 , P 2; 3; 4     . 3) (P) là mp trung trực của đoạn AB với     A 4;3;2 , B 0; 1;4   . 4) (P) đi qua   2;3;2 M và có cặp VTCP là     u 1;1; 2 ;v 3;1;2   r r . 5) (P) đi qua   2;3;4 M và song song với trục Ox;Oz . 6) (P) đi qua hai điểm     M 1; 2;1 ;N 1;1;3   và // với trục Oy . 7) (P) đi qua     M 2; 1;1 ;N 2;3; 1    và vuông góc với mp   Q :4x y 2z 1 0     . 8) (P) đi qua các hình chiếu của điểm   4; 1;2 M  trên các mặt phẳng toạ độ. Bài 2: Cho mp   P : 2x y z 1 0     và hai điểm     A 1;1;3 , B 0;2;1 . a) Tìm hình chiếu của A lên mp(P). b) Tìm   M 1;y;z thuộc (P) sao cho MA MB  . Bài 3: Cho mp   P : 3x 8y 7z 1 0     và hai điểm     A 0;0; 3 , B 2;0; 1   . Tìm M thuộc (P) sao cho tam giác AMB là tam giác đều. Bài 4: Cho tứ diện ABCD có         A 5;1;3 ;B 1;6;2 ;C 5;0;4 ;D 4;0;6 1) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). 2) Viết phương trình mặt phẳng   1 P đi qua A và vuông góc với BC 3) Viết phương trình mặt phẳng   2 P đi qua A,B và //CD 4) Viết phương trình mặt phẳng   3 P đi qua A và chứa Ox 5) Viết phương trình mặt phẳng   4 P đi qua B và // mặt phẳng (ACD) 6) Tìm toạ độ hình chiếu của A trên mặt phẳng (BCD). Vấn đề 3: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG 1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng : Cho hai mp(P): Ax By Cz D 0     và (Q): A’x B’y C’z D’ 0     Tọa độ trong không gian GV: Nguy ễn Tất Thu ĐT: 0918927276 Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai 6 * (P) cắt (Q)  A:B:C A’:B’:C’  . A B C D *(P)//(Q) A' B' C' D' A B C D *(P) (Q) A' B' C' D' *(P) (Q) AA' BB' CC' 0               2. Chùm mặt phẳng: Cho hai mp(P) và (Q) cắt nhau ; () là mp đi qua giao tuyến của (P) và (Q). Khi đó phương trình của () có dạng : (Ax By Cz D) (A'x B'y C'z D') 0           và được gọi là phương trình chùm mp. 3. Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho ba mặt phẳng: 1 2 ( ):x y z 3 0; ( ):2x 3y 4z 1 0           và 3 ( ): x 2y z 4 0      1) Xét vị trí tương đối giữa 1 2 ( ),( )   và 1 3 ( ),( )   . 2) Viết phương trình mp(P) đi qua   1;0;1 A và giao tuyến của 1 ( )  và 2 ( )  . 3) Viết pt mp(Q) đi qua giao tuyến của hai mp (α 1 ) và (α 3 ) và đồng thời vuông góc với mp (α 2 ). Giải: 1) Ta có: 1 1 1 1 ( ) 2 3 4     và 2 ( )  cắt nhau. Tương tự thì hai mặt phẳng 1 ( )  và 3 ( )  cũng cắt nhau. 2) Vì mp(P) đi qua giao tuyến của 1 ( )  và 2 ( )  nên phương trình của (P) có dạng: (x y z 3) (2x 3y 4z 1) 0           với 2 2 0     ( 2 )x ( 3 )y ( 4 )z 3 0                  . Vì A(1;0;1) (P) 5 0 5           Vậy phương trình mp(P): 7x 8y 9z 16 0     . 3) Phương trình của mp(Q) có dạng: (x y z 3) (x 2y z 4) 0           ( )x ( 2 )y ( )z 3 4 0                  Vì 2 2 Q (Q) ( ) n .n 0 2( ) 3( 2 ) 4( ) 0 0                      uur uuuur Vậy phương trình mp(Q): x 2y z 4 0     hay 3 (Q) ( )   . Ví dụ 2: Tìm m,n để hai mặt phẳng sau song song với nhau   P : 2x my nz 5 0     và     Q : m 1 x 6y 6z 2 0      . Giải: Tọa độ trong không gian GV: Nguy ễn Tất Thu ĐT: 0918927276 Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai 7 Hai mp (P) và (Q) song song với nhau m 1 6 6 2 2 m n 5        Từ 2 m 4 m 1 6 m m 12 0 m 3 2 m              . * Với m 4 n 4     * Với m 3 n 3     Vậy (m;n) ( 4;4), (3; 3)    là các cặp số cần tìm. Ví dụ 3: Tìm m,n để 3 mặt phẳng sau cùng đi qua một đường thẳng:   P : 2x my nz 3 0     ,   Q : x y 3z 1 0     ,   R : 2x 3y z 1 0     . Giải: Cách 1: Lấy hai điểm A,B thuộc cả hai mp(Q) và (R), khi đó tọa độ của A,B là nghiệm của hệ: x y 3z 1 0 2x 3y z 1 0            *Cho z 1 x 6,y 4 A(6; 4;1)        . *Cho z 0 x 4,y 3 A( 4;3;0)        . Ba mp đã cho cùng đi qua một đường thẳng A,B (P)   5 m 4m n 15 3 3m 5 25 n 3                     là giá trị cần tìm. Cách 2: Phương trình của mọi mp đi qua giao tuyến của (Q) và (R) đều có dạng ( 2 )x ( 3 )y ( 3 )z 0                 . Ba mp trên cùng đi qua một đường thẳng 2 3 3 2 m n 3                 Từ 2 8 2 3             , chọn 5 25 1 8 m ,n 3 3           . Bài tập: 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua   M 1;0;1 và đi qua giao tuyến của    và    . Với   :2x y z 4 0      ,   : x y 3z 1 0      . 2) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của hai mp (P): x y 2 0    và (Q):4y z 2 0    đồng thời song song với mặt phẳng(R): x 3y z 2 0     . 3) Xét vị trí tương đối giữa các cặp mặt phẳng sau: a) x 2y z 0    và 2x 4y 2z 1 0     b) 5 1 0 x y    và 5 1 0 y x    4) Tìm m,n để hai mp sau đây song song với nhau (P):mx 2y (n 1)z 1 0 ; 3x (m 1)y mz 2 0           5) Với giá trị nào của m thì hai mp sau đây vuông góc với nhau Tọa độ trong không gian GV: Nguy ễn Tất Thu ĐT: 0918927276 Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai 8 (P):mx 2y (2m 1)z 1 0 ; 3x (m 1)y 3z m 1 0            6) Chứng minh rằng ba mp sau cùng đi qua một đường thẳng: (P):x 3y 2z 1 0; (Q):3x y z 1 0; (R):25x 5y 6z 9 0             . Vấn đề 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. Phương trình tổng quát của đường thẳng: Cho hai mp   P : Ax By Cz D 0     và   Q : A’x B’y C’z D’ 0     . Giả sử (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ( ). Khi đó phương trình của  có dạng. Ax By Cz D 0 A'x B'y C'z D' 0            (1) (1) Gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng . 2. Phương trình tham số của đường thẳng: a) Định nghĩa: Cho đường thẳng . Véc tơ 0 n  r r gọi là véc tơ chỉ phương của đ/t  nếu nó nằm trên đường thẳng song song hoặc trùng với . Chú ý: * Nếu  có pt tổng quát (1) thì [ , '] u n n  r r ur là một véc tơ chỉ phương của . * Đường thẳng AB có AB uuur là VTCP . b) Cho đường thẳng đi qua 0 0 0 M(x ;y ;z ) và có VTCP u (a;b;c)  r . Khi đó phương trình đường thẳng  có dạng: 0 0 0 x x at y y bt t R (2) z z ct             (2) gọi là phương trình tham số của đường thẳng , t gọi là tham số. 3. Phương trình chính tắc: Cho đường thẳng đi qua 0 0 0 M(x ;y ;z ) và có VTCP u (a;b;c)  r . Khi đó phương trình đường thẳng  có dạng: 0 0 0 x x y y z z (3) a b c      (3) gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng . Chú ý: Trong (3) nếu mẫu bằng 0 thì ta quy ước tử cũng bằng 0. 4. Cách chuyển từ pttq sang ptts và ngược lại: a) Chuyển từ tham số sang tổng quát Từ 1 trong 3 phương trình của hệ (2) ta rút t rồi thế vào hai pt còn lại b) Chuyển từ pttq sang ptts Tọa độ trong không gian GV: Nguy ễn Tất Thu ĐT: 0918927276 Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai 9 C 1: Từ (1) suy ra VTCP [ , '] u n n  r r ur , để chọn điểm đi qua ta cho một ẩn và giải hệ tìm hai ẩn còn lại. C 2: Đặt một ẩn bằng t, giải hai ẩn còn lại qua t ta tìm được ptts. 5. Các ví dụ: Ví dụ 1: Lập ptts, ptct và pttq của đường thẳng d biết: 1) d đi qua   A 2;0;1 và có VTCP u (1; 1; 1)    r . 2) d đi qua   A 1;2;1 và   B 1;0;0  . 3) d đi qua   M 2;1;0  và vuông góc với mp(P): x 2y 2z 1 0     . 4) d đi qua   N 1;2; 3   và song song với đường thẳng x y z 3 0 : 2x y 5z 4 0             . Giải: 1) Phương trình tham số của d: x 2 t y t z 1 t            Phương trình chính tắc của d: x 2 y z 1 1 1 1       Phương trình tổng quát của d: x 2 y x y 2 0 1 1 y z 1 y z 1 0 1 1                        . 2) Vì d đi qua A và B nên d nhận AB ( 2; 2; 1)     uuur là VTCP Phương trình tham số của d: x 1 2t y 2 2t z 1 t            Phương trình chính tắc của d: x 1 y 2 z 1 2 2 1         Phương trình tổng quát của d: x 1 y 2 x y 1 0 2 2 y 2 z 1 y 2z 0 2 1                           . 3) Vì d vuông góc với mp(P) nên d nhận VTPT của (P) P n (1;2; 2)   uur làm VTCP Phương trình tham số của d: x 2 t y 1 2t z 2t             Tọa độ trong không gian GV: Nguy ễn Tất Thu ĐT: 0918927276 Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai 10 Phương trình chính tắc của d: x 2 y 1 z 1 2 2      Phương trình tổng quát của d: x 2 y 1 2x y 5 0 1 2 y 1 z y z 1 0 2 2                        . 4) Đường thẳng  có VTCP: 1 2 u [n ,n ] (4; 7; 3)      uur uur uur Vì d//  nên d nhận d u (4; 7; 3)    uur làm VTCP. Phương trình tham số của d: x 1 4t y 2 7t z 3 3t              Phương trình chính tắc của d: x 1 y 2 z 3 4 7 3        . Phương trình tổng quát của d: x 1 y 2 7x 4y 1 0 4 7 y 2 z 3 3y 7z 27 0 7 3                           . Chú ý: Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết: 1) Nó là giao tuyến của hai mặt phẳng: Vì có nhiều cặp mp đi qua đường thẳng nên khi chọn cặp mp ta cần chú ý các tính chất sau: *) Nếu đường thẳng d đi qua M và vuông góc với d’ thì đường thẳng d nằm trong mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d’ *) Nếu đường thẳng d đi qua M và cắt đường thẳng d’ thì đường thẳng d nằm trong mặt phẳng đi qua M và đường thẳng d’ *) Nếu đường thẳng d đi qua M và song song với mặt phẳng (P) thì đường thẳng d nằm trong mặt phẳng đi qua M và song song vơi mp(P) *) Nếu đường thẳng d song song với đường thẳng d’ và cắt đường thẳng d” thi đường thẳng d nằm trong mặt phẳng chứa d” và song song với đường thẳng d’ 2) Đi qua một điểm và VTCP. Ví dụ 3: Viết phương trình của đường thẳng  biết 1)  đi qua   M 1;0; 1  và vuông góc với hai đường thẳng 1 2 x y z 3 0 2x y 1 0 (d ): (d ): 2x y 6z 2 0 z 0                   . Giải: Ta có: 1 d có VTCP 1 u (5; 8; 3)    uur ; 2 d có VTCP 2 u (1; 2;0)   uur Cách 1: Giả sử u (a;b;c)  r là một VTCP của  . Vì  vuông góc với d 1 và d 2 nên [...]... và  2) Viết phương trình hình chiếu của  lên mp(P) 3) Tìm tọa độ B’ đối xứng với B qua  4) Tìm điểm B’’ đối xứng với B qua (P) 5) Viết phương trình đường thẳng ’ đối xứng với  qua (P) Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai 33 Tọa độ trong không gian GV: Nguyễn Tất Thu ĐT: 0918927276 Bài 5: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;2; -1), đường thẳng x2 y z2  có phương... S.OMAN không phụ thuộc vào m và n 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SMN) Bài 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz cho các điểm A(1,1,3), B(-1,3,2) và C(-1,2,3) 1) Kiểm chứng A, B ,C không thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ba điểm này Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (P) 2) Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện OABC x 1 y  3 z  3 Bài 10: Trong không. ..  cos 2   cos 2   1 Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc tọa độ, B(a;0;0),D(0;a;0),A'(0;0;b) (a>0,b>0) Gọi M là trung điểm cạnh CC’ a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b a b) Xác định tỉ số để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau b Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxyz cho hai... và cố định trên đường thẳng d sao cho AB  117 Khi C di động trên đường thẳng d',tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác ABC Bài 7 : Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz cho hai điểm A(2;0;0) và uuu r B(0;0;8) và C sao cho AC  (0;6;0) Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA Bài 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Đề các vuông góc Oxyz cho hai điểm S(0;0;1),A(1;1;0)... phẳng (P)  mx  y  mz  1  0 Bài 6: Trong hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng dm:   x  my  z  m  0 1) Viết phương trình đường thẳng  là hình chiếu vuông góc của đường thẳng dm lên mặt phẳng Oxy 2) Chứng minh rằng đường thẳng  luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định có tâm là gốc toạ độ Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai 34 Tọa độ trong không gian GV: Nguyễn Tất Thu ĐT: 0918927276... (a;a; a 2)  a(1;1;  2)   :   1 1  2 c   2a  Ví dụ 4: (ĐH Khối A – 2006 ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với A (0;0;0),B( 1;0;0),D (0;1;0),A '(0;0;1).Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và CD Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai 28 Tọa độ trong không gian GV: Nguyễn Tất Thu ĐT: 0918927276 1) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A 'C và... Phong – Biên Hòa – Đồng Nai 14 Tọa độ trong không gian GV: Nguyễn Tất Thu ĐT: 0918927276 x  1  t  x  2y  z  4  0  Bài 6 Cho hai đường thẳng (d1 ) :  (d 2 ) :  y  2  t  x  2y  2z  4  0 z  1  2t  1) Viết pt mp(P) chứa (d1) song song với (d2) 2) Cho M(2;1;4) Tìm H thuộc (d2) sao cho MH nhỏ nhất (ĐH Khối A-2002) Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng  x ... y  4z  0 và cắt hai đường thẳng d1, d2 (ĐH Khối A -2007) Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A( 4; 2;4) và đường thẳng x  3 y 1 z 1 :   Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông và cắt 2 1 4 đường thẳng  (ĐH Khối B – 2004 ) Bài 9: Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai 15 Tọa độ trong không gian GV: Nguyễn Tất Thu ĐT: 0918927276 Vấn đề 5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI... 10: Trong không gian cho đường thẳng  :   và mặt phẳng 1 2 1 (P): 2x  y  2z  9  0 1) Tìm tọa độ điểm I thuộc  sao cho khoảng cách từ I đến mp(P) bằng 2 2) Tìm tạo độ giao điểm A của đường thẳng  với mp(P) Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mp(P), đi qua A và vuông góc với  (ĐH Khối B – 2005 ) Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai 26 Tọa độ trong không gian GV: Nguyễn Tất... của AA”  A"( 10 8 10 ; ; ) 3 3 3 Bài tập Bài 1: Trong không gian cho A(2;0;0), C(0;4;0), S(0;0;4) 1) Tìm tọa độ B thuộc mp Oxy sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật 2) Tìm tọa độ A’ đối xứng với A qua SC Bài 2: Cho đường thẳng () : x 1 y 1 z  3 và mp(P): 2x  2y  2z  3  0   1 2 2 1) Tìm tọa độ giao điểm của () và mp(P) 2) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A(1;-2;3) qua mp(P) Bài 3: Viết . 2; t 1) B d B(2 2y; 1 3y;1 5y) MB (2y 6;3y 4; 5y 2) ì ï ì ì Î - + - - - = + - + - - ï ï ï ï ï ï Þ Þ í í í ï ï ï Î + - + - = + + - - ï îï î ï ï î uuur uuur  đi qua M nên MA uuur cùng phương. D Þ = Û = - Þ - uuur uur Cách 2 : Gọi (P) là mp đi qua A vuông góc với D (P):2(x 2) (y 3) 2(z 1) 0 2x y 2z 5 0 Þ - + - - - = Û + - - = Tọa độ trong không gian GV: Nguy ễn Tất Thu ĐT: 0918927276. 5 A'( ; ; ) 9 9 9 Þ - . 2) M M(2 2t;1 t; 1 2t) AM (2t;t 2; 2t 2) MA 4 Î D Þ + + - - Þ = - - - Þ = uuur 2 2 2 2 2 2 19 4t (t 2) 4(t 1) 16 9t 4t 8 0 t 9 - ± Û + - + + = Û + - = Û = Vậy 14 4