Phương trình lượng giác ôn thi đại học

78 1.5K 1
Phương trình lượng giác ôn thi đại học

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Chơng I: Phơng trình lợng giác số phơng trình lợng giác thờng gặp Để giải PTLG , nói chung ta tiến hành theo bớc sau: Bớc 1: Đặt điều kiện để phơng trình có nghĩa Các điều kiện bao hàm điều kiện để có nghĩa,phân số có nghĩa, biểu thức log arit có nghĩa Ngoài PTLG có chứa biểu thức chứa tan x va cot gx cần điều kiện để tan x cot gx có nghĩa Bớc 2: Bằng phơng pháp thích hợp đa phơng trình đà cho phơng trình Bớc 3: Nghiệm tìm đợc phải đối chiếu với điều kiện đà đặt Những nghiệm không thoả mÃn điều kiện bị loại 1.1-Phơng trình lợng giác 1.1.1- Định nghĩa: Phơng trình lợng giác phơng trình chứa hay nhiều hàm số lợng giác 1.1.2- Các phơng trình lợng giác a) Giải biện luận phơng trình sin x = m (1) Do sin x ∈ [ −1;1] nên để giải phơng trình (1) ta biện luận theo bớc sau Bớc1: Nếu |m|>1 phơng trình vô nghiệm Bớc 2: Nếu |m| phơng trình vô nghiệm Bíc 2: NÕu m ≤ ta xÐt khả năng: -Khả 1: Nếu m đợc biểu diễn qua cos góc đặc biệt, giả sử góc Khi phơng trình có dạng x = α + k 2π cos x = cos α ⇔  ,k ∈¢  x = −α + k 2π -Khả 2: Nếu m không biểu diễn đợc qua cos góc đặc biệt x = + k đặt m = cos Ta cã: cos x = cos α ⇔   x = −α + k 2π Nh vËy ta cã thÓ kết luận phơng trình có họ nghiệm Ví Dụ Minh Hoạ Ví dụ 1: Giải phơng trình sau: cos x = ,k  Giải: Do cos(π − ) = cos = − nªn 3 2π π cos x = − ⇔ cos x = cos ⇔ x = ± + k 2π (k ∈ ¢ ) 3 VËy phơng trình có họ nghiệm Ví dụ 2: Giải phơng trình: 3cos(2 x + ) =1 Giải: 3cos(2 x + V× π π ) = ⇔ cos(2 x + ) = 6 1 [ 1;1 ] không giá trị cung đặc biệt nên tồn góc [ 0;π ] 3 cho cos α = π π Ta cã: cos(2 x + ) = cos α ⇔ x + = ±α + k 2π 6 π π α ± α + k 2π ⇔ x = − ± + kπ (k  ) 12 Vậy phơng trình có hai hä nghiƯm ⇔ 2x = − c) Gi¶i biện luận phơng trình lợng giác tan x = m (c) Ta biện luận phơng trình (c) theo bớc sau: Bớc 1: Đặt điều kiện cos x ≠ ⇔ x ≠ Bíc 2: XÐt kh¶ + k , k  -Khả 1: Nếu m đợc biểu diễn qua tan góc đặc biệt , giả sử phơng trình có dạng tan x = tan x = + k , k  -Khả 2: Nếu m không biểu diễn đợc qua tan góc đặc biệt , đặt m = tan ta đợc tan x = tan x = α + kπ , k ∈ ¢ NhËn xÐt: Nh với giá trị tham số phơng trình có nghiệm Ví Dụ Minh Hoạ: Ví dụ 1: Giải phơng trình tan x = Giải : π π π nªn ta cã: tan x = ⇔ tan x = tan ⇔ x = + kπ 6 Vậy phơng trình có họ nghiệm Do = tan k  Ví dụ 2: Giải phơng trình x) = Giải: tan( π π π §iỊu kiƯn: cos( − x) ≠ ⇔ − x ≠ + kπ 5 Do biểu diễn đợc qua tan góc đặc biệt nên ta đặt tan = Tõ ®ã ta cã π π π π − x) = ⇔ tan( − x) = tan α ⇔ − x = α + kπ ⇔ x = − α − kπ (k ∈ ¢ ) VËy 5 5 phơng trình có họ nghiệm tan( d) Giải biện luận phơng trình lợng giác cot x = m (d ) Ta cịng ®i biƯn ln theo m Bớc1: Đặt điều kiện sin x x ≠ kπ k ∈ ¢ Bíc 2: XÐt khả -Khả 1: Nếu m đợc biểu diễn qua cot góc đặc biệt , giả sử phơng trình có dạng cot x = cot α ⇔ x = α + kπ , k ∈  -Khả 2: Nếu m không biểu diễn đợc qua cot góc đặc biệt , đặt m = cot ta đợc cot x = cot α ⇔ x = α + kπ , k ∈  Nhận xét: Nh với giá trị tham số phơng trình (d) có nghiệm Ví Dụ Minh Hoạ: Ví dụ 1: Giải phơng trình sau: cot( π − x) = (1) Gi¶i: π π π §iỊu kiƯn cos( − x) ≠ ⇔ − x ≠ kπ ⇔ x ≠ − kπ k ∈ ¢ (*) 4 Ta cã: π π π π π − x) = cot ⇔ − x = + kπ ⇔ x = − − kπ 4 12 Họ nghiệm thoả mÃn điều kiện (*) Vậy phơng trình có họ nghiệm Ví dụ 2: Giải phơng trình (1) cot( k  cot(4 x + 35o ) = −1 Gi¶i: Ta nhËn thÊy cot( −45o ) = −1 nªn ta cã cot(4 x + 35o ) = −1 ⇔ cot(4 x + 35o ) = cot(−45o ) x + 35o = −45o + k180o ⇔ x = −80o + k180o x = −20o + k 45o (k ∈ ¢ ) Vậy phơng trình có họ nghiệm Lu ý: Không đợc ghi hai loại đơn vị ( radian ®é ) cïng mét c«ng thøc 1.2- Mét sè phơng trình lợng giác thờng gặp 1.2.1- Phơng trình bậc hai hàm số lợng giác Dạng 1: a sin x + b sin x + c = (a ≠ 0; a, b, c ∈ ¡ ) (1) Cách giải: Đặt t = sin x , điều kiện | t | Đa phơng trình (1) phơng trình bậc hai theo t , giải tìm t ý kết hợp với điều kiện giải tìm x Dạng 2: a cos x + b cos x + c = (a ≠ 0; a, b, c Ă ) (2) Cách giải: Đặt t = cos x ®iỊu kiƯn | t | ≤ ta đa phơng trình (2) phơng trình bậc hai theo t , giải tìm t tìm x D¹ng 3: a tan x + b tan x + c = (a ≠ 0; a, b, c Ă ) (3) Cách giải: Điều kiện cos x x Đặt t = tan x ( t∈¡ ) π + kπ , k ∈  ta đa phơng trình (3) phơng trình bậc hai theo t , ý tìm đ- ợc nghiệm x cần thay vào điều kiện xem thoả mÃn hay không Dạng 4: a cot x + b cot x + c = (a ≠ 0; a, b, c Ă ) (4) Cách giải: Điều kiÖn sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ k  Đặt t = cot x (t Ă ) Ta đa phơng trình (4) phơng trình bậc hai theo ẩn t Ví Dụ Minh Hoạ: Ví dụ 1: Giải phơng trình 2cos x 3cos x + = (1) Gi¶i:  x = k cos x = Phơng trình (1) ⇔ π 1⇔  x = ± + k 2π cos x =   VËy ph¬ng trình có họ nghiệm ,k  Ví dụ 2: Giải phơng trình: cot x tan x + 4sin x = sin x Giải: Điều kiện sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ ,k ∈¢ Ta cã: cos x sin x − + 4sin x = sin x cos x sin x 2 cos x − sin x ⇔ + 4sin x = sin x.cos x sin x 2cos x ⇔ + 4sin x = ⇔ cos x + 2sin 2 x = sin x sin x cos x = ⇔ 2cos x − cos x − = ⇔  ( *) cos x = −  Ta thấy cos x = không thoả mÃn điều kiƯn Do ®ã (*) ⇔ (2) ⇔ 2π π cos x = − ⇔ x = + k 2π ⇔ x = ± + kπ 3 Vậy phơng trình có họ nghiệm k  (2) Bài tập: Bài 1: Giải phơng trình: 5sin x − 4sin x − = Bµi Giải phơng trình: cos x 3cos x = Bài 4: Giải phơng trình: =0 cos(4 x + 2) + 3sin(2 x + 1) = Bài 5: Giải phơng trình: tan x − 3tan x + = Bµi 6: Giải phơng trình: cos x + 6cos 2 x = 3tan x − 3tan x Bài 3: Giải phơng trình: sin x 2cos x 2sin Bài 7: Giải phơng trình: 2 25 16 = tan x Bµi 8: Giải phơng trình + 2sin x sin x + sin x =1 2sin x.cos x Bài 9: Giải phơng trình cot x + = 25 sin x 1.2.2- Phơng trình bậc sin x,cos x a)Định nghĩa: Phơng trình a sin x + b cos x = c (1) ®ã a, b, c∈ ¡ a + b > đợc gọi phơng trình bậc sin x,cos x b) Cách giải Ta lựa chọn c¸ch sau: C¸ch 1: Thùc hiƯn theo c¸c bíc Bíc 1:KiĨm tra -NÕu a + b < c phơng trình vô nghiệm -Nếu a + b c để tìm nghiệm phơng trình ta thực tiếp bớc Bớc 2: Chia vế phơng trình (1) cho a a + b2 a V× ( a + b2 a a +b 2 b sin x + )2 + ( = cos α , a2 + b2 b a2 + b c a + b2 ) = nên tồn góc cho b a +b cos x = a + b , ta đợc = sin Khi phơng trình (1) có dạng sin x.cos + sin α cos x = c c ⇔ sin( x + α ) = a2 + b2 a + b2 Đây phơng trình sin mà ta đà biết cách giải Cách 2: Thực theo c¸c bíc x Bíc 1: Víi cos = ⇔ x = π + k 2π (k ∈ ¢ ) thử vào phơng trình (1) xem có nghiệm hay kh«ng? x Bíc 2: Víi cos ≠ ⇔ x ≠ π + k 2π ( k ∈ Z ) x 2t t2 Đặt t = tan suy sin x = , cos x = 1+ t2 1+ t2 Khi phơng trình (1) cã d¹ng 2t 1− t2 a +b = c ⇔ (c + b)t − 2at + c − b = (2) 2 1+ t 1+ t Bíc 3: Giải phơng trình (2) theo t , sau giải tìm x * Dạng đặc biệt: sin x + cos x = ⇔ x = − π + kπ ( k ∈ ¢ ) π + kπ ( k ∈ ¢ ) Chó ý: Từ cách ta có kết sau sin x − cos x = ⇔ x = − a + b ≤ a sin x + b cos x ≤ a + b tõ kết ta áp dụng tìm GTLN GTNN hàm số có dạng y = a sin x + b cos x , y = a sin x + b cos x phơng pháp c sin x + d cos x đánh giá cho số phơng trình lợng giác Ví Dụ Minh Hoạ: Ví Dụ 1: Giải phơng trình: Giải : sin x − 3cos x = (1) C¸ch 1: Chia hai vế phơng trình (1) cho 12 + 32 = 10 ta đợc 3 sin x − cos x = 10 10 10 §Ỉt = sin α , 10 = cos Lúc phơng trình (1) viết đợc dới d¹ng 10 cos α sin x − sin α cos x = sin α ⇔ sin(2 x − α ) = sin x  x = α + kπ  x − α = α + k 2π ⇔ ⇔  x = π + kπ  x − α = π − α + k Vậy phơng trình có nghiệm Cách 2:-Ta nhËn thÊy cos x = lµ nghiƯm cđa phơng trình k  2t t2 -Với cos x ≠ ⇔ x ≠ + kπ , k  Đặt t = tan x ,lúc sin x = , cos x = 1+ t2 1+ t2 2t t2 Phơng trình (1) sÏ cã d¹ng − = ⇔ 2t − 3(1 − t ) = 3(1 + t ) ⇔ t = 2 1+ t 1+ t Hay tan x = = tan α ⇔ x = + k ,k  Vậy phơng trình có họ nghiệm Cách 3: Biến đổi phơng trình vỊ d¹ng sin x = 3(1 + cos x) ⇔ 2sin x.cos x = 6cos x  cos x =  tan x = = tan α ⇔ (sin x − 3cos x)cos x = ⇔  ⇔ sin x − 3cos x = cos x =  x = α + kπ ⇔ ,k ∈¢  x = π + kπ Vậy phơng trình có hai họ nghiệm Chú ý: Khi làm toán dạng nên kiểm tra điều kiện trớc bắt tay vào giải phơng trình có số toán đà cố tình tạo phơng trình không thoả mÃn điều kiƯn Ta xÐt vÝ dơ sau: VÝ Dơ 2: Gi¶i phơng trình 2(sin x + cos x)cos x = + cos x Giải: Ta biến đổi phơng tr×nh (2) ( 2) ⇔ sin x + 2(1 + cos x) = + cos x ⇔ sin x + ( − 1)cos x = − Ta cã: a = ; b = −1 ; c = − a + b = + ( − 1) = − 2 c = (3 − 2) = 11 − Suy a + b < c Vậy phơng trình đà cho vô nghiệm Ngoài cần lu ý việc biến đổi lợng giác cho phù hợp với toán biểu diễn chẵn họ nghiệm Ta xét ví dụ sau Ví Dụ 3: Giải phơng trình (1 + 3)sin x + (1 − 3)cos x = (3) Giải : Cách 1:Thực phép biến đổi (3) ⇔ (1 + )sin x + (1 − )cos x = = 2 2 2 Đặt 1+ 3 = cos x; = sin x 2 2 Ph¬ng trình (3) đợc viết thành sin x.cos + sin α cos x = π π   x + α = + k 2π x = − α + k 2π   4 ⇔ ⇔  x + α = π − π + k 2π  x = 3π − α + k 2π  Vậy phơng trình có hai họ nghiệm Cách 2: Biến đổi phơng trình dạng ,k ∈¢ π ⇔ sin( x + α ) = sin Ta cã : (2) ⇔ 2sin x.2cos x + sin 2 x − 2(1 − cos x) = ⇔ (1 − cos x)( 2cos x + (1 − cos 2 x) − 2(1 − cos x) = ⇔ (1 − cos x)  2cos x + (1 + cos x) −  =   ⇔ (1 − cos x)(2cos x + cos x − 1) = 1 − cos x = ⇔  cos x + cos x − = 2 (2) (3) Ta cã: (2) ⇔ cos x =1⇔ x = k 2π ⇔ x = kπ Đặt cos x = t ( k  ) (4) t phơng trình (3) trở thành f (t ) = 2t + t − = Rõ ràng f (t ) hàm số đồng biến Ă Lại có f (0) = ⇒ t = lµ nghiƯm nhÊt cđa (3) trªn [ −1; 1] π π π + kπ ⇔ x = + k ( k ∈ ¢ ) (5) Từ (4) (5) suy phơng trình đà cho có hai tập nghiệm Ví dụ 3: Giải phơng trình : Với t = ta suy cos x = ⇔ x = log 2+sin x (4 + sin x) = log (1) Gi¶i: Ta cã: (1) ⇔ log (4 + sin x) = log ⇔ log (4 + sin x) = log 5.log (2 + sin x) log (2 + sin x) ⇔ log ( + sin x ) = log (2 + sin x) Đặt log ( + sin x ) = log (2 + sin x) = t 2 + sin x = 3t  Lóc ®ã ta cã:  t 4 + sin x =  (2) ⇒ = 5t − 3t ⇔ 2( )t + ( )t = (3) 5 XÐt hµm sè f (t ) = 2( )t + ( )t Ta thÊy f (t ) hàm nghịch biến Ă vµ 5 f (1) = ⇒ t = nghiệm phơng trình (3) + k 2π ( k ∈ ¢ ) VËy phơng trình có họ nghiệm Với t = thÕ vµo (2) ta cã sin x =1 x = Nhận xét: Phơng trình f ( x) = m f ( x) hàm đồng biến (hoặc nghịch biến ) miền xác định phơng trình , có nghiệm nghiệm Phơng trình f ( x) = g ( x) miền xác định phơng trình ,2 hàm số f ( x) g ( x) có tính đồng biến nghịch biến trái ngợc ,nếu có nghiệm nghiệm Ví dụ 4: Giải phơng trình : sin n x + cos n x =2 2− n n víi ≤ x ≤ π ,n > 2 Gi¶i: XÐt hµm sè f ( x) = sin n x + cos n x =2 2− n n víi ≤ x ≤ π ,n > 2 Ta cã f ( x)' = n sin n−1 x cos x − n sin x cos n−1 x = n sin x.cos x(sin n−2 x − cos n−2 x) f ( x)' = ⇔ sin n−2 x − cos n −2 x = ⇔ x = π B¶ng biÕn thiªn: x f ( x)' f ( x) 1 Dựa vào bảng biến thiªn ⇒ f ( x) ≥ f ( π ) = Tõ ®ã ta cã f ( x) = + π 2− n ⇔x= 2− n 2− n π ∈  0; π   2   π NhËn xÐt : Với phơng pháp khảo sát hàm số ta thờng áp dụng để chứng minh nghiệm ta nhẩm nghiệm dựa vào bảng biến thiên để suy nghiệm phơng trình Do đòi hỏi học sinh cần tinh ý xem toán nên áp dụng phơng pháp Đặc biệt phơng pháp thờng đợc áp dụng để tìm nghiệm PTLG dạng đại số Vậy phơng trình có nghiệm là: x = 2.8- Biện luận phơng trình lợng giác chứa tham số Cũng nh phơng trình có chứa tham số khác ,việc giải biện luËn PTLG cã chøa tham sè còng rÊt quan träng chơng trình toán phổ thông nh đề thi Đại Học.Thờng toán lợng giác chứa tham số yêu cầu tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm tìm điều kiện tham số để phơng trình có n nghiệm thuộc khoảng D Để có nhìn tổng quan phơng pháp giải phơng trình ta xét dạng Dạng 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x D Cho phơng trình Q(m , x) = (1) phơ thc vµo tham sè m , x D Tìm m để phơng trình có nghiệm Cách 1: Phơng pháp đạo hàm Bớc 1: Đặt Èn phơ t = h( x) ®ã h( x) biểu thức thích hợp phơng trình (1) Bớc 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) t tập xác định D Gọi miền giá trị t D1 Bớc 3: Đa phơng trình (1) phơng trình f ( m , t ) = Bớc 4: Lập bảng biến thiên hàm số f ( m , t ) trªn miỊn D1 Bíc 5: Căn vào bảng biến thiên kết bớc mà định giá trị m Cách 2: Phơng pháp tam thức bậc hai ( áp dụng đa Q( m , x ) dạng tam thức bậc hai ) Bớc 1: Đặt ẩn phụ t = h( x) h( x) biểu thức thích hợp phơng trình (1) Bớc 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) t tập xác định D Gọi miền giá trị t D1 Bớc 3: Đa phơng trình (1) phơng trình f ( m , t ) = at + bt + c = Bớc 4: Giải tìm điều kiện ®Ĩ tam thøc f ( m, t ) cã nghiƯm t ∈ U Bíc 5: KÕt luËn  π VÝ dụ 1: Tìm m để phơng trình có nghiệm x 0; ÷  4 m cos x − 4sin x.cos x + m − = Gi¶i: (1)  π Víi x∈ 0; ÷ ⇒ cos x ≠ Chia hai vế phơng trình cho cos x ta đợc m − tan x + (m − 2) (1 + tan x) = ⇔ ( m − 2) tan x − tan x + 2m − = (2) Đặt t = tan x x 0; ữ nên t ( 0; 1) ta đợc (m 2) t t + 2m − = ( 3) Khi (1) có nghiệm x 0; ữ vµ chØ (3) cã nghiƯm t∈ ( 0; 1)  4 Ta cã thÓ lùa chän mét hai c¸ch sau C¸ch 1: +) Víi m − = ⇔ m = 2, ®ã (3) cã d¹ng ∈ ( ; 1) VËy m = thỏa mÃn đề 4t +2 = ⇔ t = +)Víi m − ≠ ⇔ m ≠ ®ã (3) cã nghiƯm t∈ ( 0; 1) ⇔ (3) cã nghiÖm ∈ ( 0; 1) hc (3) cã nghiƯm ∈ ( 0; 1) (3m − 8)(2m − 2) <  f (1) f (2) <     −2 m + m ≥  ∆ ' ≥  (3m − 8)(m − 2) >  af (1) >  ⇔  ⇔  ⇔1 < m <   (m − 2)(2m − 2) >  af (0) >   0 < S <  0 < thoả mÃn điều kiện toán Ví dơ 3: BiƯn ln theo m sè nghiƯm ∈ 0; phơng trình (1) m sin x + cos x = 2m Gi¶i: cos x =m sin x Số nghiệm phơng trình số giao điểm đờng thẳng y = m Biến đổi phơng trình (1) dạng cos = m(2 sin x) Với đồ thị hàm số y = Xét hàm số y = Đạo hàm y ' = cos x  3π  trªn D = 0;  − sin x   cos x  Miền xác định D = 0; − sin x   − sin x(2 − sin x) + cos x.cos x − 2sin x = (2 − sin x) (2 − sin x) π  x=  y ' = ⇔ − 2sin x = ⇔ sin x = víi x ∈ D ta cã   x = 5π   B¶ng biÕn thiªn: x π 5π 6 − + y' + 3π y KÕt luận:Với m > phơng trình vô nghiệm Với m = 1 < m < phơng trình có nghiệm D 1 < m ≤ m < phơng trình có nghiệm D 3 NhËn xÐt chung: Kh«ng cã mét phơng pháp giải cụ thể cho toán lợng giác Vì việc nắm phơng trình lợng giác số phơng trình lợng giác thờng gặp điều cần thiết, đồng thời ta phải nắm vững phơng pháp giải số phơng trình lợng giác không mẫu mực để có hớng đắn cho toán Với Bài tập củng cố: Giải phơng trình sau sin ( + x) + sin x − + = π 8cos3 ( x + ) = cos3 x 3 cot x = tan x + 1+ tan x = 3.4 sin x π sin( − x ) cos x log sin x log sin x = 3sin x − 2sin x log ( sin x.cos x ) = log 2 7− x2 7− x π π   sin  x − ÷ = 5sin  x − ÷+ cos3 x 3 6   π  32sin  x + ÷− sin x = 4  π π   sin  x − ÷ = sin x.sin  x + ÷ 4 4   10 18cos x + 5(3cos x + 11 )+ +5=0 cos x cos x cos x + − 4cos x + cos x − 4cos x = 12 sin x − cos x + 4sin x = tan x = 13 14 ( − cos x − sin x 7+4 ) ( sin x + 15 log (3sin 17 2log3 ) sin x =4 cot 2log x = log cos x 16 7−4 x − 2) ( cos x +1) = 3cos x = 2cos x 18 cos x − cos6 x + 4(3sin x − 4sin x + 1) = 19 20 3sin x − −2sin x − 4cos x + = 4sin x + sin 3 x = 4sin x.sin x 21 x − x cos xy − 2sin xy + = 22 sin x + sin y + sin z + = 23 sin x + sin x + sin x = 24 cot x + cot x + ( + sin x + + sin y + + sin z =0 sin x.sin x.sin x 25 cos x − sin x − sin x − cos x + = 26 x − x sin xy + = 27 sin x + cos x + 1 sin y + =8+ 4 sin x cos x x x  x x  81  28  sin + sin −3 ÷+  cos3 + cos −3 ÷ = cos x 2  2  29 cos x + − 4cos x + cos x − 4cos x = ) 30 sin x + cos x + + sin x + 2cos x = 31 8cos x = 32 + sin x cos x 1 + tan x tan x + = cos x − cos x cos x cos3 x sin x 33 sin 2008 x + cos 2008 x = sin x + cos6 x 3cos x − cos x − cos x 34 sin x + cos x − sin x cos x = − ln sin x + sin x + cos x + sin x cos x 35 sin x + 3log2 = (sin x)log2 37 Cho phơng trình m cos x 2cos x − cos x =  π π X¸c định m để phơng trình có nghiệm x ; ữ 38 Cho phơng trình 4(cos x − sin x) + sin x = m Tìm m để phơng trình vô nghiệm 39 Cho phơng trình m sin x + (3m 4)sin x cos x + (3m − 7)sin x cos x + ( m − 3)cos x = Xác định m để phơng trình cã nghiƯm ph©n biƯt thc  − ;0  40 Cho phơng trình m cos x a Xác định m để phơng trình có nghiệm m sin x + ( m + 1)cos x = b Giả sử m giả thiết làm cho phơng trình có nghiệm x1 , x2 thoả mÃn x1 + x2 ≠ π + kπ TÝnh cos 2( x1 + x2 ) theo m 41 Cho phơng trình (cos x − 2) + (1 − cos x) = m Xác định m để phơng trình có nghiệm 42 Cho phơng trình sin x = m tan x Xác định m để phơng trình có nghiệm x k (k  ) 43 Cho phơng trình sin x − m cos x − ( m + 1)sin x + m = 0(1)  π Xác định m để phơng trình (1) có nghiƯm x ∈  0; ÷  2 44 Cho phơng trình (m 1) tan x + 2m = cos x Xác định giải thiết m để phơng trình có nhiều nghiệm x 0; ữ 45 Cho phơng trình cos x 2(m 1)sin x + 3m − = Xác định m để phơng trình có ®óng nghiƯm x ∈  − ; ÷  3 Xin chân thành cám ơn thầy Trần Anh Tuấn hỗ trợ

Ngày đăng: 05/04/2014, 22:38

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • Gi¶i:

  • §iÒu kiÖn:

  • Ph­¬ng tr×nh (2)

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan