Ta . p ch´ı Tin ho . c v`a Diˆe ` u khiˆe ’ n ho . c, T.21, S.3 (2005), 216—229 NGHI ˆ EN C ´ U . U THU . . C NGHI ˆ E . M M ˆ O . T PHU . O . NG PH ´ AP CHIA MI ˆ E ` N GIA ’ I C ´ AC B ` AI TO ´ AN V ´ O . I DI ˆ E ` U KI ˆ E . N BI ˆ EN H ˆ O ˜ N HO . . P TRONG MI ˆ E ` N H ` INH HO . C PH ´ U . C TA . P D ˘ A . NG QUANG ´ A 1 , V ˜ U VINH QUANG 2 1 Viˆe . n Cˆong nghˆe . thˆong tin 2 Khoa CNTT - Da . i ho . c Th´ai Nguyˆen Abstract. In this paper we propose a method of domain decomposition based on the update of conormal derivative of the function to be found for solving elliptic problems with mixed boundary conditions in domains of complicated geometry. The results of experimental study on convergence of the method for examples in domains consisting of two, three or more rectangles with various configuration are presented. These results confirm the applicability of the method for problems complicated in both boundary conditions and geometry of domains. T´om t˘a ´ t. Trong b`ai b´ao n`ay ch´ung tˆoi dˆe ` xuˆa ´ t mˆo . t phu . o . ng ph´ap chia miˆe ` n gia ’ i c´ac b`ai to´an biˆen elliptic v´o . i c´ac diˆe ` u kiˆe . n biˆen hˆo ˜ n ho . . p trong miˆe ` n h`ınh ho . c ph´u . c ta . p v`a tr`ınh b`ay kˆe ´ t qua ’ nghiˆen c´u . u thu . . c nghiˆe . m su . . hˆo . i tu . cu ’ a phu . o . ng ph´ap trˆen mˆo . t sˆo ´ th´ı du . v´o . i c´ac miˆe ` n cˆa ´ u th`anh t`u . hai, ba ho˘a . c nhiˆe ` u ho . n h`ınh ch˜u . nhˆa . t v´o . i c´ac cˆa ´ u h`ınh kh´ac nhau. C´ac kˆe ´ t qua ’ n`ay kh˘a ’ ng di . nh kha ’ n˘ang ´ap du . ng phu . o . ng ph´ap cho c´ac b`ai to´an ph´u . c ta . p ca ’ vˆe ` miˆe ` n h`ınh ho . c v`a diˆe ` u kiˆe . n biˆen. 1. MO . ’ D ˆ A ` U Trong [1] d˜a dˆe ` xuˆa ´ t mˆo . t phu . o . ng ph´ap chia miˆe ` n m´o . i gia ’ i phu . o . ng tr`ınh elliptic v´o . i diˆe ` u kiˆe . n Dirichlet v`a d˜a ch´u . ng minh du . o . . c su . . hˆo . i tu . cu ’ a phu . o . ng ph´ap c˜ung nhu . chı ’ ra tham sˆo ´ l˘a . p tˆo ´ i u . u cho tru . `o . ng ho . . p miˆe ` n ch˜u . nhˆa . t. Trong b`ai b´ao n`ay ch´ung tˆoi tiˆe ´ p tu . c ph´at triˆe ’ n phu . o . ng ph´ap d´o cho c´ac b`ai to´an v´o . i c´ac diˆe ` u kiˆe . n biˆen hˆo ˜ n ho . . p Dirichlet v`a Neumann. Dˆo . ng co . th´uc dˆa ’ y ch´ung tˆoi ph´at triˆe ’ n phu . o . ng ph´ap n`ay l`a su . . ca ’ i thiˆe . n mˆo . t phˆa ` n vˆe ` tˆo ´ c dˆo . hˆo . i tu . v`a th`o . i gian t´ınh to´an cu ’ a phu . o . ng ph´ap n`ay so v´o . i phu . o . ng ph´ap cˆa . p nhˆa . t h`am trˆen biˆen chung m`a Saito v`a Fujita [2] d˜a su . ’ du . ng khi x´et b`ai to´an Dirichlet. Su . . ca ’ i thiˆe . n n`ay s˜e du . o . . c ch´ung tˆoi chı ’ ra trˆen mˆo . t th´ı du . trong mu . c 3 cu ’ a b`ai b´ao. 2. M ˆ O TA ’ PHU . O . NG PH ´ AP X´et b`ai to´an −∆u = f(x), x ∈ Ω, (1) u = ϕ(x), x ∈ ∂Ω, (2) NGHI ˆ EN C ´ U . U THU . . C NGHI ˆ E . M M ˆ O . T PHU . O . NG PH ´ AP CHIA MI ˆ E ` N 217 trong d´o Ω l`a miˆe ` n gi´o . i nˆo . i trong R 2 v´o . i biˆen Lipschitz ∂Ω cˆa ´ u th`anh t`u . c´ac phˆa ` n biˆen tro . n ∂Ω = k  j=1 S j , ∆ l`a to´an tu . ’ Laplace,  l`a to´an tu . ’ diˆe ` u kiˆe . n biˆen, f(x) v`a ϕ(x) l`a c´ac h`am cho tru . ´o . c. Gia ’ su . ’ r˘a ` ng u =  i u = ϕ i (x), x ∈ S i , (i = 1, . . . , k), (3) trong d´o  i u = u (diˆe ` u kiˆe . n biˆen Dirichlet), ho˘a . c  i u = ∂u ∂ν i (diˆe ` u kiˆe . n biˆen Neumann) v´o . i ν i l`a ph´ap tuyˆe ´ n ngo`ai cu ’ a phˆa ` n biˆen S i . Ta s˜e nghiˆen c´u . u phu . o . ng ph´ap chia miˆe ` n gia ’ i b`ai to´an (1), (2) trong c´ac miˆe ` n h`ınh ho . c ph´u . c ta . p. Dˆo ´ i v´o . i b`ai to´an biˆen Dirichlet, t´u . c l`a khi u = u , nhiˆe ` u t´ac gia ’ d˜a dˆe ` xuˆa ´ t v`a nghiˆen c´u . u c´ac phu . o . ng ph´ap chia miˆe ` n kh´ac nhau (xem, ch˘a ’ ng ha . n [ 2, 5]). M´o . i dˆay trong [1] ch´ung tˆoi d˜a dˆe ` xuˆa ´ t mˆo . t phu . o . ng ph´ap chia miˆe ` n m´o . i du . . a trˆen viˆe . c t´ınh la . i gi´a tri . da . o h`am cu ’ a nghiˆe . m trˆen biˆen chung gi˜u . a c´ac miˆe ` n, phu . o . ng ph´ap n`ay c´o thˆe ’ xem l`a ngu . o . . c dˆo ´ i v´o . i phu . o . ng ph´ap du . o . . c nghiˆen c´u . u trong [2]. Su . . hˆo . i tu . cu ’ a phu . o . ng ph´ap v`a gi´a tri . tˆo ´ i u . u cu ’ a tham sˆo ´ l˘a . p d˜a du . o . . c thiˆe ´ t lˆa . p. Theo ch´ung tˆoi du . o . . c biˆe ´ t chu . a c´o nghiˆen c´u . u n`ao du . o . . c cˆong bˆo ´ vˆe ` phu . o . ng ph´ap chia miˆe ` n cho b`ai to´an v´o . i c´ac diˆe ` u kiˆe . n biˆen hˆo ˜ n ho . . p. Ch´ınh v`ı thˆe ´ , trong b`ai b´ao n`ay ch´ung tˆoi tiˆe ´ p tu . c ph´at triˆe ’ n phu . o . ng ph´ap d˜a du . o . . c nghiˆen c´u . u cho c´ac b`ai to´an v´o . i diˆe ` u kiˆe . n biˆen hˆo ˜ n ho . . p trong mˆo . t sˆo ´ miˆe ` n h`ınh ho . c ph´u . c ta . p cˆa ´ u th`anh t`u . hai, ba ho˘a . c nhiˆe ` u ho . n h`ınh ch˜u . nhˆa . t con. Dˆe ’ dˆe ˜ h`ınh dung ´y tu . o . ’ ng cu ’ a phu . o . ng ph´ap , du . ´o . i dˆay ch´ung tˆoi mˆo ta ’ phu . o . ng ph´ap chia miˆe ` n gia ’ i b`ai to´an (1), (2) khi miˆe ` n Ω du . o . . c chia th`anh 2 miˆe ` n Ω 1 v`a Ω 2 v´o . i biˆen chung Γ . K´y hiˆe . u G i = ∂Ω i \ Γ, u i = u| Ω i , (i = 1, 2) , trong d´o ∂Ω i l`a biˆen cu ’ a miˆe ` n Ω i . D˘a . t g = ∂u 1 ∂ν 1     Γ v´o . i ν 1 l`a ph´ap tuyˆe ´ n ngo`ai cu ’ a ∂Ω 1 . Qu´a tr`ınh l˘a . p o . ’ m´u . c vi phˆan du . o . . c thu . . c hiˆe . n nhu . sau: xuˆa ´ t ph´at t`u . xˆa ´ p xı ’ ban dˆa ` u g (0) , v´o . i k = 0, 1, 2, gia ’ i liˆen tiˆe ´ p 2 b`ai to´an          −∆u (k) 1 = f trong Ω 1 , u (k) 1 = ϕ trˆen G 1 , ∂u (k) 1 ∂ν 1 = g (k) trˆen Γ, (3)      −∆u (k) 2 = f trong Ω 2 , u (k) 2 = ϕ trˆen G 2 , u (k) 2 = u (k) 1 trˆen Γ. (4) Xˆa ´ p xı ’ m´o . i cu ’ a g du . o . . c t´ınh theo cˆong th´u . c g (k+1) = θg (k) − (1 − θ) ∂u (k) 2 ∂ν 2     Γ , (5) 218 D ˘ A . NG QUANG ´ A, V ˜ U VINH QUANG trong d´o θ l`a tham sˆo ´ l˘a . p cˆa ` n cho . n dˆe ’ qu´a tr`ınh l˘a . p hˆo . i tu . . Trong tru . `o . ng ho . . p miˆe ` n cu ’ a b`ai to´an du . o . . c chia th`anh n + 1 miˆe ` n con v´o . i c´ac biˆen chung Γ 1 , Γ 2 , . . . , Γ n phu . o . ng ph´ap l˘a . p (3)-(5) s˜e du . o . . c ´ap du . ng dˆe ’ hiˆe . u chı ’ nh da . o h`am ph´ap tuyˆe ´ n cu ’ a h`am trˆen c´ac biˆen chung. Tham sˆo ´ l˘a . p θ trˆen mˆo ˜ i biˆen chung c´o thˆe ’ kh´ac nhau. Dˆe ’ hiˆe . n thu . . c ho´a phu . o . ng ph´ap l˘a . p (3)-(5) ch´ung tˆoi thay c´ac b`ai to´an vi phˆan (3), (4) bo . ’ i c´ac lu . o . . c dˆo ` sai phˆan c´o xˆa ´ p xı ’ bˆa . c 2 v`a su . ’ du . ng cˆong th´u . c sai phˆan c`ung bˆa . c dˆe ’ t´ınh da . o h`am ph´ap tuyˆe ´ n trong (5). Khi c´ac miˆe ` n con l`a h`ınh ch˜u . nhˆa . t ch´ung tˆoi d˜a xˆay du . . ng bˆo . chu . o . ng tr`ınh gia ’ i c´ac b`ai to´an vi phˆan ´u . ng v´o . i mˆo ˜ i b`ai to´an vi phˆan (3), (4) v`a c´ac loa . i diˆe ` u kiˆe . n biˆen hˆo ˜ n ho . . p kh´ac nhau. K´y hiˆe . u L 1 v`a L 2 l`a dˆo . d`ai cu ’ a c´ac ca . nh h`ınh ch˜u . nhˆa . t, h = L 1 /M, k = L 2 /N l`a c´ac bu . ´o . c lu . ´o . i trˆen c´ac ca . nh, (M +1), (N +1) l`a c´ac sˆo ´ diˆe ’ m n´ut trˆen mˆo ˜ i ca . nh. Su . ’ du . ng phu . o . ng ph´ap sai phˆan ta chuyˆe ’ n b`ai to´an vˆe ` da . ng phu . o . ng tr`ınh hˆe . vecto . 3 diˆe ’ m. −Y j−1 + CY j − Y j+1 = F j , 1  j  N − 1, Y 0 = F 0 , Y N = F N , (6)      CY 0 − 2Y 1 = F 0 , j = 0, −Y j−1 + CY j − Y j+1 = F j , 1  j  N − 1, −2Y N−1 + CY N = F N , j = N, N = 2 n , (7) dˆo ´ i v´o . i b`ai to´an biˆen hˆo ˜ n ho . . p, trong d´o Y j l`a c´ac vecto . nghiˆe . m, F j l`a c´ac vecto . M chiˆe ` u ch´u . a c´ac gi´a tri . h`am vˆe ´ pha ’ i v`a gi´a tri . h`am ho˘a . c da . o h`am trˆen biˆen, C l`a mˆo . t ma trˆa . n 3 du . `o . ng ch´eo thoa ’ m˜an t´ınh chˆa ´ t ch´eo trˆo . i. K´y hiˆe . u b1, b2, b3, b4 l`a c´ac gi´a tri . biˆen Dirichlet ho˘a . c Neumann trˆen c´ac biˆen tr´ai, pha ’ i, du . ´o . i v`a trˆen cu ’ a miˆe ` n ch˜u . nhˆa . t. ´ Ap du . ng c´ac thuˆa . t to´an thu go . n ho`an to`an [4] gia ’ i hˆe . c´ac phu . o . ng tr`ınh vecto . 3 diˆe ’ m dˆe ’ thu du . o . . c c´ac ma trˆa . n nghiˆe . m ta . i c´ac diˆe ’ m lu . ´o . i, ch´ung tˆoi tiˆe ´ n h`anh xˆay du . . ng c´ac thu ’ tu . c b˘a ` ng ngˆon ng˜u . MATLAB dˆe ’ gia ’ i c´ac b`ai to´an co . ba ’ n sau: + U0000(b1, b2, b3, b4, L 1 , L 2 , M, N) tra ’ la . i nghiˆe . m cu ’ a b`ai to´an trong tru . `o . ng ho . . p b1, b2, b3, b4 l`a c´ac gi´a tri . biˆen Dirichlet. + U1000(b1, b2, b3, b4, L 1 , L 2 , M, N) tra ’ la . i nghiˆe . m cu ’ a b`ai to´an trong tru . `o . ng ho . . p b1 l`a gi´a tri . biˆen Neumann, b2, b3, b4 l`a c´ac gi´a tri . biˆen Dirichlet. + U0100(b1, b2, b3, b4, L 1 , L 2 , M, N) tra ’ la . i nghiˆe . m cu ’ a b`ai to´an trong tru . `o . ng ho . . p b2 l`a gi´a tri . biˆen Neumann, b1, b3, b4 l`a c´ac gi´a tri . biˆen Dirichlet. + U0010(b1, b2, b3, b4, L 1 , L 2 , M, N) tra ’ la . i nghiˆe . m cu ’ a b`ai to´an trong tru . `o . ng ho . . p b3 l`a gi´a tri . biˆen Neumann, b1, b2, b4 l`a c´ac gi´a tri . biˆen Dirichlet. + U0001(b1, b2, b3, b4, L 1 , L 2 , M, N) tra ’ la . i nghiˆe . m cu ’ a b`ai to´an trong tru . `o . ng ho . . p b4 l`a gi´a tri . biˆen Neumann, b1, b2, b3 l`a c´ac gi´a tri . biˆen Dirichlet. C´ac thu ’ tu . c h`am U0101(b1, b2, b3, b4, L 1 , L 2 , M, N), U1001(b1, b2, b3, b4, L 1 , L 2 , M, N) , U0110(b1, b2, b3, b4, L 1 , L 2 , M, N), U1010(b1, b2, b3, b4, L 1 , L 2 , M, N) , du . o . . c k´y hiˆe . u l`a c´ac thu ’ tu . c h`am tra ’ la . i nghiˆe . m cu ’ a b`ai to´an trong tru . `o . ng ho . . p c´o hai biˆen Neumann kˆe ` nhau. NGHI ˆ EN C ´ U . U THU . . C NGHI ˆ E . M M ˆ O . T PHU . O . NG PH ´ AP CHIA MI ˆ E ` N 219 3. THU . . C NGHI ˆ E . M GIA ’ I M ˆ O . T S ˆ O ´ B ` AI TO ´ AN Su . ’ du . ng phu . o . ng ph´ap l˘a . p d˜a dˆe ` xuˆa ´ t c`ung v´o . i c´ac thu ’ tu . c h`am d˜a xˆay du . . ng, ch´ung tˆoi tiˆe ´ n h`anh t´ınh to´an thu . . c nghiˆe . m cho mˆo . t sˆo ´ tru . `o . ng ho . . p chia miˆe ` n dˆo ´ i v´o . i c´ac b`ai to´an biˆen hˆo ˜ n ho . . p trong c´ac miˆe ` n h`ınh ho . c ph´u . c ta . p m`a c´ac t´ac gia ’ kh´ac chu . a dˆe ` cˆa ´ p dˆe ´ n. Trong c´ac b`ai to´an n`ay ch´ung tˆoi cho . n tru . ´o . c c´ac h`am u ∗ l`a nghiˆe . m d´ung, c`on c´ac diˆe ` u kiˆe . n biˆen v`a vˆe ´ pha ’ i du . o . . c t´ınh t`u . u ∗ . Qu´a tr`ınh l˘a . p du . o . . c thu . . c hiˆe . n cho dˆe ´ n khi dˆo . lˆe . ch cu ’ a hai xˆa ´ p xı ’ liˆen tiˆe ´ p u (k) v`a u (k−1) t´ınh theo chuˆa ’ n dˆe ` u cu ’ a h`am lu . ´o . i nho ’ ho . n dˆo . ch´ınh x´ac  cho tru . ´o . c. Du . ´o . i dˆay, nˆe ´ u khˆong chı ’ r˜o gi´a tri . cu ’ a  th`ı ch´ung ta s˜e lˆa ´ y  = 10 −4 . B`ai to´an 1.                    −∆u = f trong miˆe ` n Ω, u = ϕ, trˆen {−a  x  a, y = −b} ∪ {0  x  a, y = b} ∪{x = −a, −b  y  0} ∪ {x = a, −b  y  b}, ∂u ∂y = β(x) trˆen {−a  x  0, y = 0}, ∂u ∂x = g(y) trˆen {x = 0, 0  y  b}, (H`ınh 1). Γ b y 0 0 0 0 0 0 1 1 -a a Ω 1 Ω 2 x Γ b y 0 0 0 0 0 0 1 1 -a a Ω 1 Ω 2 x H`ınh 1 1 - Biˆen Neumann; 0 - Biˆen Dirichlet Chia Ω th`anh hai miˆe ` n Ω 1 v`a Ω 2 bo . ’ i biˆen chung Γ = {0  x  a, y = 0} v`a k´y hiˆe . u u i l`a nghiˆe . m trong Ω i , (i = 1, 2), ξ = ∂u 1 ∂y     Γ . Viˆe . c gia ’ i b`ai to´an du . o . . c thu . . c hiˆe . n bo . ’ i qu´a tr`ınh l˘a . p sau dˆay: Cho tru . ´o . c ξ (0) = 0 . V´o . i k = 0, 1, . . . thu . . c hiˆe . n c´ac bu . ´o . c sau: Bu . ´o . c 1: Gia ’ i b`ai to´an trong miˆe ` n Ω 1 T`ım nghiˆe . m u (k) 1 = U0001(. . . ) trong d´o b1, b2, b3 l`a c´ac gi´a tri . trˆen c´ac phˆa ` n biˆen d˜a biˆe ´ t, b4 =  ξ (k) , 0  x  a, y = 0, β(x), −a  x  0, y = 0. Bu . ´o . c 2: Gia ’ i b`ai to´an trong miˆe ` n Ω 2 220 D ˘ A . NG QUANG ´ A, V ˜ U VINH QUANG T`ım nghiˆe . m u (k) 2 = U1000(. . . ) trong d´o b1, b2, b4 l`a c´ac gi´a tri . trˆen c´ac phˆa ` n biˆen d˜a biˆe ´ t, b3 = u (k) 1 l`a gi´a tri . biˆen nhˆa . n du . o . . c t`u . b`ai to´an trong miˆe ` n Ω 1 . Bu . ´o . c 3: T´ınh xˆa ´ p xı ’ cu ’ a h`am ξ trˆen Γ : ξ (k+1) = θξ (k) + (1 − θ) ∂u (k) 2 ∂y     Γ . Kˆe ´ t qua ’ thu . . c nghiˆe . m kha ’ o s´at su . . hˆo . i tu . cu ’ a phu . o . ng ph´ap phu . thuˆo . c tham sˆo ´ l˘a . p du . o . . c cho trong ba ’ ng du . ´o . i dˆay, trong d´o cˆo . t “Sai sˆo ´ ” chı ’ sai sˆo ´ cu ’ a nghiˆe . m gˆa ` n d´ung so v´o . i nghiˆe . m d´ung trong chuˆa ’ n dˆe ` u. Tiˆeu chuˆa ’ n d`u . ng l˘a . p l`a  = 10 −4 . Kˆe ´ t qua ’ : K´ıch thu . ´o . c miˆe ` n a = b = 1 , lu . ´o . i chia 64 × 64 . u ∗ =10x(1-x)y(1-y) u ∗ =10x(1-x)y 2 (1-y) u ∗ = sin x sin y Tham sˆo ´ Sai Sˆo ´ lˆa ` n Tham sˆo ´ Sai Sˆo ´ lˆa ` n Tham sˆo ´ Sai Sˆo ´ lˆa ` n teta sˆo ´ l˘a . p teta sˆo ´ l˘a . p teta sˆo ´ l˘a . p 0.3 2.10 −6 18 0.3 5.10 −5 10 0.3 7.10 −6 15 0.4 9.10 −7 11 0.4 6.10 −5 6 0.4 6.10 −6 8 0.5 3.10 −7 6 0.5 5.10 −5 5 0.5 6.10 −6 6 0.6 2.10 −6 10 0.6 4.10 −5 8 0.6 7.10 −6 11 0.7 2.10 −6 16 0.7 5.10 −5 12 0.7 7.10 −6 16 Kˆe ´ t luˆa . n: So . dˆo ` l˘a . p gia ’ i b`ai to´an trˆen hˆo . i tu . kh´a nhanh v´o . i gi´a tri . tham sˆo ´ l˘a . p du . o . . c cho . n trong khoa ’ ng (0.3, 0.7) , gi´a tri . tˆo ´ i u . u xˆa ´ p xı ’ b˘a ` ng 0.5 . Nhˆa . n x´et: V´o . i c´ach chia miˆe ` n nhu . H`ınh 1 ch´ung tˆoi d˜a gia ’ i b`ai to´an b˘a ` ng c´ach l˘a . p cˆa . p nhˆa . t gi´a tri . cu ’ a h`am trˆen biˆen chung Γ nhu . ´y tu . o . ’ ng cu ’ a Saito-Fujita [2]. Khi d´o th´u . tu . . gia ’ i c´ac b`ai to´an trong c´ac miˆe ` n con pha ’ i thu . . c hiˆe . n ngu . o . . c la . i: dˆa ` u tiˆen trong Ω 2 gia ’ i b`ai to´an v´o . i diˆe ` u kiˆe . n biˆen Dirichlet trˆen Γ , sau d´o trong Ω 1 gia ’ i b`ai to´an v´o . i diˆe ` u kiˆe . n biˆen Neumann trˆen Γ . Kˆe ´ t qua ’ thu . . c nghiˆe . m vˆe ` tˆo ´ c dˆo . hˆo . i tu . v`a th`o . i gian t´ınh to´an cu ’ a phu . o . ng ph´ap cˆa . p nhˆa . t da . o h`am du . o . . c mˆo ta ’ o . ’ trˆen v`a phu . o . ng ph´ap cˆa . p nhˆa . t h`am [2] trˆen th´ı du . , trong d´o nghiˆe . m d´ung l`a h`am u = 10x(1 − x)y 2 (1 − y) dˆo ´ i v´o . i lu . ´o . i 32 × 32 v`a 64 × 64 du . o . . c cho trong c´ac ba ’ ng sau. Ba ’ ng 1. Lu . ´o . i 32 × 32 v`a  = 10 −3 phu . o . ng ph´ap cˆa . p nhˆa . t da . o h`am phu . o . ng ph´ap Saito-Fujita Tham sˆo ´ Sˆo ´ lˆa ` n Th`o . i gian Sai Sˆo ´ lˆa ` n Th`o . i gian Sai teta l˘a . p t´ınh (giˆay) sˆo ´ l˘a . p t´ınh (giˆay) sˆo ´ 0.3 7 2.1 9.10 −4 14 4.0 5.10 −4 0.4 5 1.6 3.10 −4 9 2.7 5.10 −4 0.5 4 1.3 3.10 −4 6 1.9 2.10 −4 0.6 6 1.9 4.10 −4 7 2.1 4.10 −4 0.7 9 2.6 5.10 −4 11 3.1 7.10 −4 So s´anh kˆe ´ t qua ’ thu . . c nghiˆe . m vˆe ` hai phu . o . ng ph´ap dˆe ˜ thˆa ´ y r˘a ` ng phu . o . ng ph´ap cˆa . p nhˆa . t da . o h`am cu ’ a ch´ung tˆoi c´o phˆa ` n nhanh ho . n phu . o . ng ph´ap cˆa . p nhˆa . t h`am trong [2]. Ch´ınh diˆe ` u n`ay l`a dˆo . ng co . th´uc dˆa ’ y ch´ung tˆoi ph´at triˆe ’ n phu . o . ng ph´ap cˆa . p nhˆa . t da . o h`am dˆe ’ gia ’ i c´ac b`ai to´an kh´ac ph´u . c ta . p ho . n. NGHI ˆ EN C ´ U . U THU . . C NGHI ˆ E . M M ˆ O . T PHU . O . NG PH ´ AP CHIA MI ˆ E ` N 221 Ba ’ ng 2. Lu . ´o . i 64 × 64 v`a  = 10 −4 phu . o . ng ph´ap cˆa . p nhˆa . t da . o h`am phu . o . ng ph´ap Saito-Fujita Tham sˆo ´ Sˆo ´ lˆa ` n Th`o . i gian Sai Sˆo ´ lˆa ` n Th`o . i gian Sai teta l˘a . p t´ınh (giˆay) sˆo ´ l˘a . p t´ınh (giˆay) sˆo ´ 0.3 10 10.7 5.10 −5 14 14.9 7.10 −5 0.4 6 6.6 6.10 −4 7 7.6 5.10 −5 0.45 5 5.6 2.10 −5 8 8.6 2.10 −5 0.5 5 5.6 5.10 −5 6 6.6 4.10 −5 0.55 6 6.6 8.10 −5 7 7.6 7.10 −5 B`ai to´an 2.                          −∆u = f trong miˆe ` n Ω, u = ϕ, trˆen {−a  x  a, y = −b} ∪ {0  x  2a, y = b} ∪{x = −a, −b  y  0} ∪ {x = 2a, 0  y  b}, ∪{a  x  2a, y = 0} ∪ {x = a, −b  y  0}, ∂u ∂y = β(x) trˆen {−a  x  0, y = 0}, ∂u ∂x = g(y) trˆen {x = 0, 0  y  b}, (H`ınh 2). Γ b y 0 0 0 0 0 0 1 1 a Ω 1 Ω 2 x 0 2 a Γ b y 0 0 0 0 0 0 1 1 a Ω 1 Ω 2 x 0 2 a H`ınh 2 1 - Biˆen Neumann; 0 - Biˆen Dirichlet Chia Ω th`anh hai miˆe ` n Ω 1 v`a Ω 2 bo . ’ i biˆen chung Γ = {0  x  a, y = 0} , k´y hiˆe . u u i l`a nghiˆe . m triˆen miˆe ` n Ω i , (i = 1, 2), ξ = ∂u 1 ∂y     Γ . Viˆe . c gia ’ i b`ai to´an du . o . . c thu . . c hiˆe . n bo . ’ i qu´a tr`ınh l˘a . p sau dˆay: Cho tru . ´o . c ξ (0) = 0 . V´o . i k = 0, 1, . . . thu . . c hiˆe . n c´ac bu . ´o . c sau: Bu . ´o . c 1: Gia ’ i b`ai to´an trong miˆe ` n Ω 1 T`ım nghiˆe . m u (k) 1 = U0001(. . . ) trong d´o b1, b2, b3 l`a c´ac gi´a tri . trˆen c´ac phˆa ` n biˆen d˜a 222 D ˘ A . NG QUANG ´ A, V ˜ U VINH QUANG biˆe ´ t, b4 =  ξ (k) , 0  x  a, y = 0, β(x), −a  x  0, y = 0. Bu . ´o . c 2: Gia ’ i b`ai to´an trong miˆe ` n Ω 2 T`ım nghiˆe . m u (k) 2 = U1000(. . . ) trong d´o b1, b2, b4 l`a c´ac gi´a tri . trˆen c´ac phˆa ` n biˆen d˜a biˆe ´ t, b3 =  u (k) 1 l`a gi´a tri . biˆen nhˆa . n du . o . . c t`u . b`ai to´an 1, ϕ(x), a  x  2a, y = 0. Bu . ´o . c 3: Hiˆe . u chı ’ nh gi´a tri . cu ’ a h`am ξ trˆen Γ : ξ (k+1) = θξ (k) + (1 − θ) ∂u (k) 2 ∂y     Γ . Kˆe ´ t qua ’ : K´ıch thu . ´o . c miˆe ` n a = b = 1 , lu . ´o . i chia 64 × 64 . u ∗ =10x(1-x)y(1-y) u ∗ =10x(1-x)y 2 (1-y) u ∗ = sin x sin y Tham sˆo ´ Sai Sˆo ´ lˆa ` n Tham sˆo ´ Sai Sˆo ´ lˆa ` n Tham sˆo ´ Sai Sˆo ´ lˆa ` n teta sˆo ´ l˘a . p teta sˆo ´ l˘a . p teta sˆo ´ l˘a . p 0.1 0.036 20 0.1 0.021 20 0.1 0.014 20 0.2 3.10 −4 20 0.2 8.10 −4 17 0.2 1.10 −4 20 0.3 1.10 −6 18 0.3 8.10 −4 10 0.3 7.10 −6 15 0.4 2.10 −6 10 0.4 8.10 −4 6 0.4 7.10 −6 9 0.5 5.10 −7 8 0.5 8.10 −4 4 0.5 7.10 −6 5 0.6 1.10 −6 12 0.6 8.10 −4 6 0.6 7.10 −6 8 0.7 2.10 −6 18 0.7 8.10 −4 8 0.7 7.10 −6 13 0.8 2.10 −4 20 0.8 8.10 −4 15 0.8 6.10 −6 20 0.9 0.019 20 0.9 0.0049 20 0.9 0.0015 20 Kˆe ´ t luˆa . n: So . dˆo ` l˘a . p gia ’ i b`ai to´an trˆen hˆo . i tu . v´o . i gi´a tri . tham sˆo ´ l˘a . p du . o . . c cho . n trong khoa ’ ng (0.1, 0.9) , gi´a tri . tˆo ´ i u . u xˆa ´ p xı ’ b˘a ` ng 0.5 . B`ai to´an 3.                    −∆u = f trong miˆe ` n Ω, u = ϕ, trˆen {−a  x  a, y = −b} ∪ {−a  x  a, y = 2b} ∪{x = −a, −b  y  0} ∪ {x = −a, b  y  2b}, ∪{x = a, −b  y  2b, ∂u ∂y = β(x) trˆen {−a  x  0, y = 0} ∪ {−a  x  0, y = b}, ∂u ∂x = g(y) trˆen {x = 0, 0  y  b}, (H`ınh 3). Chia Ω th`anh ba miˆe ` n Ω 1 , Ω 2 v`a Ω 3 bo . ’ i 2 biˆen chung Γ 1 = {0  x  a, y = 0} v`a Γ 2 = {0  x  a, y = b} k´y hiˆe . u u i l`a nghiˆe . m trong 3 miˆe ` n Ω i , (i = 1, 2, 3), ξ 1 = ∂u 1 ∂y     Γ 1 , ξ 2 = ∂u 2 ∂y     Γ 2 . NGHI ˆ EN C ´ U . U THU . . C NGHI ˆ E . M M ˆ O . T PHU . O . NG PH ´ AP CHIA MI ˆ E ` N 223 Γ 1 b y 0 0 0 0 0 0 1 1 a Ω 1 Ω 2 x 1 Γ 2 Ω 3 Γ 1 b y 0 0 0 0 0 0 1 1 a Ω 1 Ω 2 x 1 Γ 2 Ω 3 H`ınh 3 1 - Biˆen Neumann; 0 - Biˆen Dirichlet Viˆe . c gia ’ i b`ai to´an du . o . . c thu . . c hiˆe . n bo . ’ i qu´a tr`ınh l˘a . p sau dˆay: Kho . ’ i dˆo . ng ξ (0) 1 = 0, ξ (0) 2 = 0 . V´o . i k = 0, 1, . . . thu . . c hiˆe . n c´ac bu . ´o . c sau: Bu . ´o . c 1: Gia ’ i b`ai to´an 1 trong miˆe ` n Ω 1 T`ım nghiˆe . m u (k) 1 = U0001(. . . ) trong d´o b1, b2, b3 l`a c´ac gi´a tri . trˆen c´ac phˆa ` n biˆen d˜a biˆe ´ t, b4 =  ξ (k) 1 , 0  x  a, y = 0, β(x), −a  x  0, y = 0. Bu . ´o . c 2: Gia ’ i b`ai to´an 2 trong miˆe ` n Ω 2 T`ım nghiˆe . m u (k) 2 = U0010(. . . ) trong d´o b1, b2, b4 l`a c´ac gi´a tri . trˆen c´ac phˆa ` n biˆen d˜a biˆe ´ t, b3 =  ξ (k) 2 , 0  x  a, y = b, β(x), −a  x  0, y = 0. Bu . ´o . c 3: Gia ’ i b`ai to´an trong miˆe ` n Ω 3 T`ım nghiˆe . m u (k) 3 = U1000(. . . ) trong d´o b1, b2 l`a c´ac gi´a tri . trˆen c´ac phˆa ` n biˆen d˜a biˆe ´ t, b3 = u (k) 1 l`a gi´a tri . biˆen nhˆa . n du . o . . c t`u . b`ai to´an 1, b4 = u (k) 2 l`a gi´a tri . biˆen nhˆa . n du . o . . c t`u . b`ai to´an 2. Bu . ´o . c 4: Diˆe ` u chı ’ nh gi´a tri . trˆen c´ac biˆen chung ξ (k+1) 1 = θ 1 ξ (k) 1 +(1− θ 1 ) ∂u (k) 3 ∂y     Γ 1 , ξ (k+1) 2 = θ 2 ξ (k) 2 − (1 − θ 2 ) ∂u (k) 3 ∂y     Γ 2 . Kˆe ´ t qua ’ : K´ıch thu . ´o . c miˆe ` n a = b = 1 , lu . ´o . i chia 64 × 64 . 224 D ˘ A . NG QUANG ´ A, V ˜ U VINH QUANG u ∗ =10x(1-x)y(1-y) u ∗ =10x(1-x)y 2 (1-y) u ∗ = sin x sin y Tham sˆo ´ Sai Sˆo ´ lˆa ` n Tham sˆo ´ Sai Sˆo ´ lˆa ` n Tham sˆo ´ Sai Sˆo ´ lˆa ` n θ 1 = θ 2 sˆo ´ l˘a . p θ 1 = θ 2 sˆo ´ l˘a . p θ 1 = θ 2 sˆo ´ l˘a . p 0.3 Khˆong 0.3 Khˆong 0.3 Khˆong hˆo . i tu . hˆo . i tu . hˆo . i tu . 0.4 2.10 −5 30 0.4 7.10 −4 19 0.4 8.10 −6 30 0.5 2.10 −6 15 0.5 8.10 −4 8 0.5 8.10 −6 13 0.6 2.10 −6 13 0.6 8.10 −4 8 0.6 8.10 −6 14 0.7 2.10 −6 20 0.7 8.10 −4 13 0.7 8.10 −6 20 0.8 7.10 −6 30 0.8 8.10 −4 20 0.8 8.10 −6 30 0.9 0.0045 30 0.9 0.002 30 0.9 3.10 −4 30 Kˆe ´ t luˆa . n: So . dˆo ` l˘a . p gia ’ i b`ai to´an trˆen hˆo . i tu . v´o . i c´ac gi´a tri . tham sˆo ´ l˘a . p du . o . . c cho . n trong khoa ’ ng (0.4, 0.9) , gi´a tri . tˆo ´ i u . u trong khoa ’ ng (0.5, 0.6) . B`ai to´an 4. MiÒn rçng 0 Γ 4 b y 0 0 0 0 1 1 a Ω 1 Ω 3 x 1 Γ 3 Ω 2 Γ 1 1 Ω 4 Γ 2 MiÒn rçng 0 Γ 4 b y 0 0 0 0 1 1 a Ω 1 Ω 3 x 1 Γ 3 Ω 2 Γ 1 1 Ω 4 Γ 2 H`ınh 4 1 - Biˆen Neumann; 0 - Biˆen Dirichlet X´et b`ai to´an                    −∆u = f trˆen miˆe ` n Ω, u = ϕ, trˆen biˆen {−a  x  2a, y = −b} ∪ {−a  x  2a, y = 2b} ∪{x = −a, −b  y  2b} ∪ {x = 2a, −b  y  2b}, ∂u ∂y = β(x) trˆen {0  x  a, y = 0} ∪ {0  x  a, y = b}, ∂u ∂x = g(y) trˆen {x = 0, 0  y  b} ∪ {x = a, 0  y  b}, (H`ınh 4). Chia Ω th`anh 4 miˆe ` n Ω 1 , Ω 2 , Ω 3 , Ω 4 bo . ’ i 4 biˆen chung Γ 1 = {a  x  2a, y = 0}, Γ 2 = {a  x  2a, y = b}, Γ 3 = {−a  x  0, y = b} v`a Γ 4 = {−a  x  0, y = 0} , k´y hiˆe . u u i l`a NGHI ˆ EN C ´ U . U THU . . C NGHI ˆ E . M M ˆ O . T PHU . O . NG PH ´ AP CHIA MI ˆ E ` N 225 nghiˆe . m trong 4 miˆe ` n Ω i , (i = 1, . . . , 4), ξ 1 = ∂u 1 ∂y     Γ 1 , ξ 2 = ∂u 3 ∂y     Γ 2 , ξ 3 = ∂u 3 ∂y     Γ 3 , ξ 4 = ∂u 1 ∂y     Γ 4 . Viˆe . c gia ’ i b`ai to´an du . o . . c thu . . c hiˆe . n bo . ’ i qu´a tr`ınh l˘a . p sau dˆay: Kho . ’ i dˆo . ng ξ (0) 1 = 0, ξ (0) 2 = 0, ξ (0) 3 = 0, ξ (0) 4 = 0 . V´o . i k = 0, 1, . . . thu . . c hiˆe . n c´ac bu . ´o . c sau: Bu . ´o . c 1: Gia ’ i b`ai to´an 1 trong miˆe ` n Ω 1 T`ım nghiˆe . m u (k) 1 = U0001(. . . ) trong d´o b1, b2, b3 l`a c´ac gi´a tri . trˆen c´ac phˆa ` n biˆen d˜a biˆe ´ t, b4 =      ξ (k) 1 , a  x  2a, y = 0, β(x), 0  x  a, y = 0, ξ (k) 4 , −a  x  0, y = 0. Bu . ´o . c 2: Gia ’ i b`ai to´an 2 trong miˆe ` n Ω 2 T`ım nghiˆe . m u (k) 3 = U0010(. . . ) trong d´o b1, b2, b4 l`a gi´a tri . trˆen c´ac phˆa ` n biˆen d˜a biˆe ´ t, b3 =      ξ (k) 3 , −a  x  0, y = b, β(x), 0  x  a, y = b, ξ (k) 2 , a  x  2a, y = b. Bu . ´o . c 3: Gia ’ i b`ai to´an trong miˆe ` n Ω 2 T`ım nghiˆe . m u (k) 2 = U 1000(. . . ) trong d´o b1, b2 l`a gi´a tri . trˆen c´ac phˆa ` n biˆen d˜a biˆe ´ t, b3 = u (k) 1 l`a gi´a tri . biˆen nhˆa . n du . o . . c t`u . b`ai to´an 1, b4 = u (k) 3 l`a gi´a tri . biˆen nhˆa . n du . o . . c t`u . b`ai to´an 2. Bu . ´o . c 4: Gia ’ i b`ai to´an trong miˆe ` n Ω 4 T`ım nghiˆe . m u (k) 4 = U 0001(. . . ) trong d´o b1, b2 l`a gi´a tri . trˆen c´ac phˆa ` n biˆen d˜a biˆe ´ t, b3 = u (k) 1 l`a gi´a tri . biˆen nhˆa . n du . o . . c t`u . b`ai to´an 1, b4 = u (k) 3 l`a gi´a tri . biˆen nhˆa . n du . o . . c t`u . b`ai to´an 2. Bu . ´o . c 5: Diˆe ` u chı ’ nh c´ac gi´a tri . trˆen c´ac biˆen chung ξ (k+1) 1 = θ 1 ξ (k) 1 + (1 − θ 1 ) ∂u (k) 2 ∂y     Γ 1 , ξ (k+1) 2 = θ 2 ξ (k) 2 − (1 − θ 2 ) ∂u (k) 2 ∂y     Γ 2 , ξ (k+1) 3 = θ 3 ξ (k) 3 − (1 − θ 3 ) ∂u (k) 4 ∂y     Γ 3 , ξ (k+1) 4 = θ 4 ξ (k) 4 + (1 − θ 4 ) ∂u (k) 4 ∂y     Γ 4 , Kˆe ´ t qua ’ : K´ıch thu . ´o . c miˆe ` n a = b = 1 , lu . ´o . i chia 64 × 64 . [...]... Giai b`i to´n 1 trong miˆn 1 (k) ´ biˆt, e ` T` nghiˆm u1 = U 0001( ) trong d´ b1, b2, b3 l` c´c gi´ tri trˆn c´c phˆn biˆn d˜ ım e o a a a e a a e a  (k) ξ1 , −a x 0, y = 0,    β(x), 0 x a, y = 0,   (k) b4 = ξ2 , a x 2a, y = 0,   β(x), 2a x 3a, y = 0,    (k)  ξ3 , 3a x 4a, y = 0 ` ’ a a o e Bu.´.c 2: Giai b`i to´n 2 trong miˆn 3 (k) ´ T` nghiˆm u3 = U 0010( ) trong d´ b1, b2,... a a Bu.´.c 3: Giai b`i to´n trong miˆn 2 o e (k) (k) ´ T` nghiˆm u2 = U 1000( ) trong d´ b1, b2 l` gi´ tri trˆn biˆn d˜ biˆt, b3 = u1 ım e o a a e e a e (k) l` gi´ tri biˆn nhˆn du.o.c t` b`i to´n 1, b4 = u3 l` gi´ tri biˆn nhˆn du.o.c t` b`i to´n 2 a a e a a a e a u a a u a a ` ’ a a Bu.´.c 4: Giai b`i to´n trong miˆn 4 o e (k) (k) ´ T` nghiˆm u4 = U 0100( ) trong d´ b1, b2 l` gi´ tri trˆn... dˆ l˘p giai b`i to´n trˆn hˆi tu v´.i gi´ tri tham sˆ l˘p du.o.c chon trong e a o a a e o o u trong khoang (0.5, 0.6) ´ ’ ’ a o khoang (0.4, 0.9), gi´ tri tˆi u B`i to´n 5 a a y 0 Ω3 Γ6 Γ5 b Γ4 1 Ω4 1 MiÒn rçng 1 1 Ω5 a 0 1 Ω2 Γ2 0 x 1 1 Γ1 0 MiÒn rçng Γ3 Ω1 0 H` 5 ınh 1 - Biˆn Neumann; 0 - Biˆn Dirichlet e e  ` e − u = f trong miˆn ,     u = ϕ trˆn biˆn {−a x 4a, y = −b} ∪ {−a x 4a, y =... ∪ {2a x 3a, y = 0}    ∪{0 x a, y = b} ∪ {2a x 3a, y = b}(H` 5) ınh ˆ ´ ˆ ˆ ´ ˆ NGHIEN CU U THU C NGHIEM MOT PHU O NG PHAP CHIA MI` N E 227 ` ’ e Chia th`nh 6 miˆn 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 bo.i 6 biˆn chung Γ1 , Γ2 , Γ3 , Γ4 , Γ5 , Γ6 , k´ hiˆu a e y e ` ui l` nghiˆm trong 6 miˆn i , (i = 1, , 6), k´ hiˆu a e e y e ξ1 = ∂u1 ∂y , ξ2 = Γ1 ∂u1 ∂y , ξ3 = Γ2 ∂u1 ∂y , ξ4 = Γ3 ∂u3 ∂y , ξ5 = Γ4... e e a e (k) l` gi´ tri biˆn nhˆn du.o.c t` b`i to´n 1, b4 = u3 l` gi´ tri biˆn nhˆn du.o.c t` b`i to´n 2 a a e a a a e a u a a u a a ` ’ a a Bu.´.c 5: Giai b`i to´n trong miˆn 5 o e (k) (k) ´ T` nghiˆm u5 = U 1000( ) trong d´ b1, b2 l` gi´ tri trˆn biˆn d˜ biˆt, b3 = u1 ım e o a a e e a e (k) l` gi´ tri biˆn nhˆn du.o.c t` b`i to´n 1, b4 = u3 l` gi´ tri biˆn nhˆn du.o.c t` b`i to´n 2 a... v´.i gi´ tri tham sˆ l˘p du.o.c chon trong e a o a a e o o ´ ´ ’ ’ ng (0.6, 0.8), gi´ tri tˆi u.u xˆ p xı 0.7 a o a khoa ´ ˆ ´ ˆ ` 4 NHAN XET CUOI CUNG ´ ’ e ’ Trˆn co so kˆt qua thu.c nghiˆm d˜ thu du.o.c, ch´ng tˆi c´ mˆt sˆ kˆt luˆn v` nhˆn x´t e e u o o o o e a ´ ´ a a a e a sau dˆy: ˜ ` ´ + Dˆi v´.i b`i to´n biˆn elliptic v´.i diˆu kiˆn biˆn hˆn ho.p trong c´c miˆn h` hoc ph´.c e o `... phu.o.ng ph´p chia miˆn l` kha thi v` luˆn du.a vˆ du.o.c mˆt sˆ h˜.u han a e ı o e o o tap th` viˆc su ı e ’ c´c b`i to´n dang co ban a a a ˜ ´ + Dˆi v´.i diˆu kiˆn biˆn hˆn ho.p th` phu.o.ng ph´p su dung l˘p dao h`m trˆn biˆn to ra ı a ’ a o o ` e e e o e e ’ a u hiˆu ho.n phu.o.ng ph´p su dung l˘p gi´ tri h`m trˆn biˆn e a ’ a a a e e h˜ u ´ ´ ´ ’ + Viˆc lu.a chon tham sˆ tˆi u.u trong viˆc... tham sˆ tˆi u.u trong viˆc hiˆu chınh c´c dao h`m trˆn biˆn nhˆ t l` trong e o o e e a a e e a a `.ng ho.p c`ng mˆt l´c su dung nhiˆu d˜y l˘p chu.a kh˘ng dinh b˘ ng l´ thuyˆt, nhu.ng qua ’ ` ` ´ ’ o u e a a a a ı e tru o u ´ ´ a ´ ’ a a kˆt qua thu.c nghiˆm cho thˆ y r˘ ng phu.o.ng ph´p hˆi tu v´.i tham sˆ θ nhˆn gi´ tri trong e e a ` a o o o ´ ’ ng (0.4, 0.8) v` gi´ tri tˆi u.u phu... v´.i o a a ` a o ’ a e o e ´ e a a a p trong c´c miˆn h` hoc rˆ t ph´.c tap ˜ ` ´ ` a e ınh a u diˆu kiˆn biˆn hˆn ho e e e o ’ ` ˆ TAI LIEU THAM KHAO [1] Dang Q A., Vu V Quang, Domain decomposition method for solving an elliptic boundary value problem, Proceedings of the ICAM Ha Noi, 2004, (to appear) ˆ ´ ˆ ˆ ´ ˆ NGHIEN CU U THU C NGHIEM MOT PHU O NG PHAP CHIA MI` N E 229 [2] Saito N., Fujita... (k+1) Γ3 (k) ∂u − (1 − θ5 ) 5 ∂y Γ5 , ξ4 (k+1) , ξ6 (k) (k) = θ4 ξ4 − (1 − θ4 ) = (k) θ 6 ξ6 ∂u2 ∂y , Γ4 (k) ∂u − (1 − θ6 ) 4 ∂y , Γ6 k = k + 1 ` ´ ’ o e o Kˆt qua: K´ thu.´.c miˆn a = b = 1 , lu.´.i chia 64 × 64 e ıch u∗ =10x(1-x)y(1-y) ´ a Tham Sai Sˆ lˆn o ` ´ ´ sˆ θk o sˆ o l˘p a 0.5 Khˆng o hˆi tu o 0.6 0.0032 13 0.7 1.10−6 30 0.8 0.001 30 0.9 Khˆng o hˆi tu o u∗ =10x(1-x)y2 (1-y) ´ a Tham . t˘a ´ t. Trong b`ai b´ao n`ay ch´ung tˆoi dˆe ` xuˆa ´ t mˆo . t phu . o . ng ph´ap chia miˆe ` n gia ’ i c´ac b`ai to´an biˆen elliptic v´o . i c´ac diˆe ` u kiˆe . n biˆen hˆo ˜ n ho . . p trong. C ´ U . U THU . . C NGHI ˆ E . M M ˆ O . T PHU . O . NG PH ´ AP CHIA MI ˆ E ` N 217 trong d´o Ω l`a miˆe ` n gi´o . i nˆo . i trong R 2 v´o . i biˆen Lipschitz ∂Ω cˆa ´ u th`anh t`u . c´ac phˆa ` n. c´u . u c´ac phu . o . ng ph´ap chia miˆe ` n kh´ac nhau (xem, ch˘a ’ ng ha . n [ 2, 5]). M´o . i dˆay trong [1] ch´ung tˆoi d˜a dˆe ` xuˆa ´ t mˆo . t phu . o . ng ph´ap chia miˆe ` n m´o . i du . . a