Đang tải... (xem toàn văn)
Hệ sinh cực tiểu của đại số đa thức xem như Môđum trên đại số Steenrod và các ứng dụng
Hệ sinh cực tiểu của đại số đa thức xem như môđun trên đại số Steenrod và các ứng dụng Trần Ngọc Nam 28–10–2006 Mở đầu 1 Bài toán “hit” Đối đồng điều cùng với cấu trúc tích của nó là một bất biến cơ bản để phân loại đồng luân các không gian tôpô. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, bất biến này chưa đủ tinh tế. Chẳng hạn, cái treo của mặt phẳng xạ ảnh phức ΣCP 2 và tổng S 3 ∨ S 5 của các mặt cầu 3 và 5 chiều có cùng vành đối đồng điều với cấu trúc tích bằng không, nhưng không có cùng kiểu đồng luân. Một trong những công cụ làm tinh tế đối đồng điều là toán tử đối đồng điều. Nói một cách sơ lược, một toán tử đối đồng điều (sơ cấp) là một họ các ánh xạ Φ X : H ∗ X −→ H ∗ X giao hoán với các đồng cấu cảm sinh trên đối đồng điều b ởi các ánh xạ liên tục giữa các không gian tôpô. Trong phát biểu này, các ánh xạ Φ X không nhất thiết bảo toàn chiều đối đồng điều và không nhất thiết tuyến tính, còn H ∗ X = H ∗ (X; F 2 ) trong mối quan tâm của luận án này ký hiệu đối đồng điều kỳ dị môđulô 2 của không gian tôpô X. Ví dụ đơn giản về toán tử đối đồng điều là ánh xạ bình phương của H ∗ X. Để giải quyết bài toán phân loại đồng luân các ánh xạ liên tục từ một phức n +1chiều vào mặt cầu S n , năm 1942 Steenrod đưa ra một lớp toán tử đối đồng điều, ngày nay mang tên ông, và được ký hiệu Sq i : H ∗ X −→ H ∗+i X (với i nguyên không âm). Các toán tử này sau đó được Thom và Wu sử dụng để nghiên cứu các lớp đặc trưng của phân thớ véctơ, và nhanh chóng trở thành một trong những công cụ hàng đầu trong nghiên cứu tôpô đại số. Tác động của các toán tử Steenrod lên tích đối đồng điều thỏa mãn công thức Cartan: Sq i (u 1 u 2 )= i 1 +i 2 =i Sq i 1 (u 1 )Sq i 2 (u 2 ), còn liên hệ nội tại của chúng được thể hiện qua các quan hệ Adem: Sq a Sq b = 0≤j≤[a/2] b − j − 1 a − 2j Sq a+b−j Sq j 1 nếu a<2b. Cấu trúc của tập hợp các toán tử đối đồng điều được làm rõ bởi Serre vào năm 1952. Serre chứng minh rằng với phép cộng thông thường và phép hợp thành của các ánh xạ, các toán tử Steenro d sinh ra tất cả các toán tử đối đồng điều ổn định (theo nghĩa “giao hoán với đồng cấu treo”). Ngày nay, đại số các toán tử đối đồng điều ổn định với hệ số F 2 được gọi là đại số Steenrod môđulô 2 và thường được ký hiệu là A. Như vậy, đại số Steenrod có thể được định nghĩa một cách thuần túy đại số như là thương của F 2 -đại số kết hợp sinh tự do bởi các ký hiệu Sq i (i nguyên không âm) chia cho iđêan hai phía sinh bởi hệ thức Sq 0 =1và các quan hệ Adem. Đại số A có một cấu trúc phân bậc tự nhiên xác định bởi deg(Sq i 1 Sq i 2 ···Sq i k )=i 1 + i 2 + ···+ i k với mọi i 1 ,i 2 , ,i k ≥ 0. Hơn nữa, nó là một đại số phân bậc có bổ sung, nghĩa là có một toàn cấu F 2 -đại số phân bậc tự nhiên ε : A−→F 2 thỏa mãn ε(Sq i )= 1 nếu i =0, 0 nếu i>0. Là một tập hợp các toán tử đối đồng điều, A tác động một cách tự nhiên lên đối đồng điều của mọi không gian tôpô. Do đó, đối đồng điều của các không gian tôpô không chỉ là một F 2 -đại số mà còn là một A-môđun. Cấu trúc A-môđun tinh tế hơn cấu trúc F 2 -đại số. Chẳng hạn, nhờ cấu trúc này ta có thể thấy các không gian ΣCP 2 và S 3 ∨ S 5 không có cùng kiểu đồng luân, vì toán tử Sq 2 tác động tầm thường trên H 3 (S 3 ∨ S 5 ) nhưng không tầm thường trên H 3 (ΣCP 2 ). Nguyên nhân của sự kiện Sq 2 tác động không tầm thường trên H 3 (ΣCP 2 ) là như sau: mặt phẳng xạ ảnh phức CP 2 có thể thu được bằng cách dán một ngăn 4 chiều vào mặt cầu S 2 nhờ ánh xạ Hopf h : S 3 → S 2 ; ánh xạ này không đồng luân tầm thường. Gọi P = H ∗ (RP ∞ ) k là đại số đối đồng điều môđulô 2 của tích trực tiếp k không gian xạ ảnh thực vô hạn chiều. Theo công thức K¨unneth, P là một F 2 -đại số đa thức phân bậc của k biến (hay phần tử sinh), trong đó mỗi biến có bậc bằng 1. Tác động của A lên P được mô tả bởi công thức Cartan và các hệ thức Sq i x j = x j nếu i =0, x 2 j nếu i =1, 0 nếu i>1. Bài toán chúng tôi quan tâm là tìm một hệ sinh cực tiểu cho A-môđun phân bậc P. Nói cách khác, điều này có nghĩa là tìm một cơ sở cho không gian véctơ phân bậc F 2 ⊗ A P ∼ = P/ ¯ AP,ởđây ¯ A =kerε là iđêan bổ sung của đại số Steenrod. Bài toán này thường được gọi là bài toán “hit.” 2 2 Một số động cơ nghiên cứu bài toán “hit” 2.1 Số hạng E 2 của dãy phổ Adams Để tiếp cận bài toán nổi tiếng khó là việc tính các nhóm đồng luân ổn định của mặt cầu, trên cơ sở “dán các dãy phổ Serre vào với nhau,” năm 1958 Adams đã đưa ra một dãy phổ hội tụ đến thành phần 2-xoắn 2 π S ∗ (S 0 ) của các nhóm này với số hạng E 2 là Ext ∗ A (F 2 , F 2 ). Kể từ đó, việc tính Ext ∗ A (F 2 , F 2 ) trở thành một trong những bài toán quan trọng hàng đầu của lý thuyết đồng luân ổn định. Ý nghĩa của F 2 ⊗ A P được thiết lập lần đầu tiên (có lẽ) trong một công trình của Singer, trong đó ông sử dụng lý thuyết bất biến để tìm hiểu nhóm xoắn Tor A ∗ (F 2 , F 2 ), tức là không gian véctơ đối ngẫu của Ext ∗ A (F 2 , F 2 ). Singer viết công trình này vào quãng năm 1980 và nó được lưu hành ở dạng tiền ấn phẩm. Ông chính thức công b ố nó vào năm 1989. Bằng những công cụ đại số đồng điều thuần túy, Singer xây dựng một ánh xạ tuyến tính Tor A k (F 2 , F 2 ) −→ F 2 ⊗ A P. Ông chứng minh rằng ảnh của ánh xạ này bất biến dưới tác động chính quy của nhóm tuyến tính tổng quát GL = GL(k, F 2 ). Ánh xạ đối ngẫu Tr k : Hom ((F 2 ⊗ A P) GL , F 2 ) −→ Ext k A (F 2 , F 2 ) được gọi là đồng cấu chuyển Singer. Singer chứng tỏ giá trị không tầm thường của đồng cấu chuyển bằng cách chỉ ra rằng Tr k là đẳng cấu khi k =1, 2, và rằng k≥0 Tr k là một đồng cấu đại số (bảo toàn phép nhân). Công trình của Singer phần lớn dựa trên những tính toán cụ thể về không gian véctơ (F 2 ⊗ A P) GL . Có thể nói công trình của Singer là một trong những công trình đầu tiên đặt nhu cầu nghiên cứu bài toán “hit.” Một thập kỷ sau khi Singer xây dựng đồng cấu chuyển, đến năm 1991 Boardman một lần nữa khẳng định giá trị của nó, cũng như của F 2 ⊗ A P, đối với nghiên cứu các nhóm Ext ∗ A (F 2 , F 2 ). Boardman chứng minh rằng Tr 3 cũng là một đẳng cấu. Công trình của ông dựa trên những tính toán cụ thể về không gian véctơ F 2 ⊗ A P cho k =3của Kameko. 2.2 Lý thuyết cobordism Bài toán “hit” có liên hệ mật thiết với lý thuyết cobordism thông qua những khảo sát của Peterson trong lý thuyết này. Giả sử M là một đa tạp d chiều trơn, compact và không có biên. Giả sử mọi tích của nhiều hơn k lớp Stiefel–Whitney của phân thớ véctơ pháp 3 tuyến của M đều bằng 0. Điều kiện này được thỏa mãn (chẳng hạn) nếu M có phạm trù Lusternik–Schnirelmann không lớn hơn k, nghĩa là nếu M có thể viết dưới dạng hợp của không quá k +1 tập con mở và co rút được trong M. Peterson khẳng định rằng khi đó, nếu α( d) >k(ở đây α(d) là số chữ số 1 trong biễu diễn nhị phân của d), thì M là biên của một đa tạp trơn và compact nào đó. Để thiết lập kết quả này, Peterson đã đưa ra giả thuyết nổi tiếng nói rằng nếu α(d) >k, thì không gian véctơ phân bậc F 2 ⊗ A P bằng 0 tại bậc d − k. Giả thuyết của ông được Wood chứng minh năm 1988. 2.3 Biểu diễn modular của nhóm tuyến tính tổng quát Sau khi chứng minh giả thuyết của Peterson về sự kiện không gian véctơ phân bậc F 2 ⊗ A P bằng 0 tại những bậc nào đó, Wood tiếp tục khai thác cấu trúc của không gian véctơ này xem như một biểu diễn môđula của nhóm tuyến tính tổng quát. Gọi M là vị nhóm nhân các ma trận vuông cấp k với hệ số thuộc F 2 . Nhóm tuyến tính tổng quát GL chính là nhóm con các phần tử khả nghịch của M. Gọi P d là thành phần bậc d của không gian véctơ phân bậc P. Khi đó M tác động một cách tự nhiên lên P d bằng các phép thế biến tuyến tính. Do đó P d là một biểu diễn môđula của M và của GL. Một kết quả cổ điển của lý thuyết biểu diễn nói rằng mọi biểu diễn bất khả quy của M hay của GL đều là một nhân tử hợp thành của P d với d>0 nào đó. Tác động của M và của A lên P d giao hoán với nhau, nên (F 2 ⊗ A P) d ∼ = (P/ ¯ AP) d cũng là một biểu diễn môđula của M và của GL. Nhận xét của Wood là: mọi biểu diễn bất khả quy của M hay của GL đều là một nhân tử hợp thành của (F 2 ⊗ A P) d với d>0 nào đó. Nhận xét này chỉ ra vai trò quan trọng của F 2 ⊗ A P đối với nghiên cứu các biểu diễn môđula của nhóm tuyến tính tổng quát cũng như vai trò quan trọng của biểu diễn nhóm tuyến tính tổng quát trong nghiên cứu F 2 ⊗ A P. 2.4 Giả thuyết cổ điển về lớp cầu Không gian khuyên vô hạn Q(−) := lim n→∞ Ω n Σ n (−) có liên hệ chặt chẽ với lý thuyết các phổ, cũng như với các lý thuyết đồng điều và đối đồng điều suy rộng. Nếu X là một không gian tôpô có điểm gốc, thì các nhóm đồng luân của thành phần liên thông đường Q 0 X của điểm gốc trong QX chính là các nhóm đồng luân ổn định của X. Giả thuyết cổ điển về lớp cầu (được đưa ra vào quãng 1970), nói rằng đồng cấu Hurewicz môđulô 2 π ∗ (Q 0 S 0 ) −→ H ∗ (Q 0 S 0 ; F 2 ) 4 chỉ phát hiện được các phần tử của π ∗ (Q 0 S 0 ) ∼ = π S ∗ (S 0 ) có bất biến Hopf bằng 1 hoặc bất biến Kervaire bằng 1. Một số người cho rằng giả thuyết này là của Curtis, còn một số khác lại cho rằng nó là của Madsen. Trong dãy phổ Adams của S 0 , các phần tử của π S ∗ (S 0 ) có bất biến Hopf bằng 1 ứng với các chu trình vĩnh cửu h 1 ,h 2 ,h 3 ∈ Ext 1 A (F 2 , F 2 ), còn các phần tử có bất biến Kervaire bằng 1 ứng với các chu trình vĩnh cửu giả định h 2 i ∈ Ext 2 A (F 2 , F 2 ). Do đó, nói riêng, giả thuyết cổ điển về lớp cầu khẳng định rằng các phần tử của 2 π S ∗ (S 0 ) ứng với các chu trình vĩnh cửu trong Ext k A (F 2 , F 2 ) với k>2 đều nằm trong hạch của đồng cấu Hurewicz môđulô 2 của Q 0 S 0 . Giả thuyết này có liên quan bất ngờ đến bài toán “hit” nhờ các công trình của Lannes–Zarati, Goerss và N. H. V. Hưng. Trước hết, vào năm 1983 Lannes–Zarati xây dựng một ánh xạ tuyến tính LZ : Ext k A (F 2 , F 2 ) −→ Hom(F 2 ⊗ A P GL , F 2 ). Họ chứng minh rằng ánh xạ này tương thích theo một nghĩa thích hợp với đồng cấu Hurewicz môđulô 2 của Q 0 S 0 nói trên thông qua dãy phổ Adams của S 0 . Muộn hơn họ một chút và với công cụ độc lập, Goerss cũng đã chứng minh được tính chất này. Dựa vào các kết quả đó, N. H. V. Hưng đã đưa ra một phát biểu đại số cho giả thuyết cổ điển về lớp cầu, nói rằng ánh xạ LZ bằng 0 tại các bậc dương nếu k>2. Ông đưa ra ý tưởng dùng đồng cấu chuyển của Singer Tr k : Hom(( F 2 ⊗ A P) GL , F 2 ) −→ Ext k A (F 2 , F 2 ), và vào năm 1995 ông tiên đoán rằng cái hợp thành LZ ◦ Tr k bằng 0 tại các bậc dương nếu k>2. Hơn nữa, ông chứng minh rằng khẳng định trên về LZ ◦ Tr k tương đương với sự kiện rằng ánh xạ F 2 ⊗ A P GL −→ F 2 ⊗ A P được cảm sinh bởi phép nhúng P GL →P bằng 0 tại các bậc dương với mọi k>2. Đây là một ý tưởng hiệu quả: tiên đoán đó của ông đã được chúng tôi chứng minh vào năm 1998. Lưu ý rằng tại thời điểm 1995, ánh xạ vừa nêu được tin là rất khác 0: có tác giả (chẳng hạn như Singer) dùng miền xác định của ánh xạ này để nghiên cứu miền giá trị của nó khi k ≤ 2. Như vậy, giả thuyết của N. H. V. Hưng về LZ ◦ Tr k đã chỉ rõ vai trò của bài toán “hit”; quan trọng hơn nữa, nó đặt ra vấn đề tính ảnh của đồng cấu chuyển. Công việc tính toán này được chúng tôi trình bày trong một công trình khác đã được nhận đăng. 2.5 Các ứng dụng khác Bài toán “hit” còn liên quan đến việc phân tích chẻ ra ổn định (stable splitting) của không gian phân loại các nhóm hữu hạn thông qua các công trình của Priddy. Nó còn đượ c sử dụng để nghiên cứu chu trình vĩnh cửu trong dãy phổ Adams thông qua công trình của Minami. 5 3 Các kết quả chính Luận án tổng kết những kết quả nghiên cứu xung quanh bài toán “hit” mà chúng tôi đã thu được từ năm 1998 đến nay. Một phần các kết quả này được công bố trong 5 bài báo [1],[2],[3],[4],[5]. Phần còn lại đã được in dưới dạng tiền ấn phẩm của Đại học Paris 13 và đã được nhận đăng. Hầu hết các nghiên cứu này đều đã được chúng tôi báo cáo tại các hội thảo trong nước và quốc tế: Hội thảo châu Âu về Lý thuyết đồng luân hiện đại (Đại học Paris 13, 11/2002, 60 phút), Hội nghị quốc tế về Lý thuyết bất biến và những tương tác của nó (Đại học G¨ottingen, 3/2003, 45 phút), Hội nghị quốc tế về Tôpô đại số (Hà Nội, 8/2004, 45 phút), Hội nghị toàn quốc về Đại số– Hình học–Tôpô (Đại học Đà lạt, 11/2003), Hội nghị thường niên của Khoa Toán–Cơ–Tin học (Trường đại học khoa học tự nhiên, Đại học quốc gia Hà Nội, 11/2004, báo cáo mời toàn thể), Xemina ĐAHITÔ (Hà nội, 5/2004), các xemina của Phòng Đại số thuộc Viện Toán học Hà nội (3/2000), của Khoa Toán các Đại học Nantes (1/2003), Lille I (3/2003), Paris 13 (10/2003) và của Bộ môn Đại số–Hình học–Tôpô (Khoa Toán–Cơ–Tin học, Trường đại học khoa học tự nhiên, Đại học quốc gia Hà Nội, 10/2004). Các kết quả chính của luận án gồm: bài toán “hit” cho đại số Dickson (được công bố trong các bài báo [1],[3]), bài toán “hit” cho các bất biến dưới tác động của các nhóm con parabôlíc của nhóm tuyến tính tổng quát (được công bố trong các bài báo [2],[4]), bài toán “hit” ở bậc đủ tổng quát (được công bố trong bài báo [5]). Tiếp nối đề tài của luận án, trong một công trình khác, chúng tôi chứng minh một số kết quả khác về các phần tử đối bất biến của đối ngẫu đại số đa thức 4 biến dưới tác động của nhóm tuyến tính tổng quát, số chiều một biểu diễn của nhóm tuyến tính tổng quát có được từ đại số đa thức đối ngẫu, và ảnh của đồng cấu chuyển Singer tại một số bậc nào đó. 3.1 Bài toán “hit” cho đại số Dickson Cấu trúc các phần tử của P bất biến dưới tác động tự nhiên của nhóm tuyến tính tổng quát GL đã được làm sáng tỏ b ởi Dickson vào năm 1908. Vì thế người ta ký hiệu D = P GL là tập hợp con của P gồm các phần tử bất biến này. D là một A-mô đun con của P. Định lý trung tâm của Chương I là Định lý C1. Ánh xạ F 2 ⊗ A D−→F 2 ⊗ A P, được cảm sinh bởi phép nhúng D →P, bằng 0 tại các bậc dương với mọi k>2. Định lý này (đồng thời là kết quả chính của hai bài báo [1],[3]) khẳng định một giả thuyết của N. H. V. Hưng và nằm trong bối cảnh sau. (i) Một mặt, các công trình Singer, Chen–Shen, Monks, Silverman, Cross- 6 ley, Karaca, Meyer, Janfada–Wood đều có mục đích tìm càng nhiều càng tốt các phần tử của P có ảnh bằng 0 trong F 2 ⊗ A P. Định lý C1 chỉ ra một họ lớn các phần tử như vậy, đó là họ các bất biến Dickson. Lưu ý rằng việc tìm càng nhiều càng tốt các đa thức phân tích được có thể đem lại những hệ sinh của P/ ¯ AP. Tuy nhiên, những hệ sinh này không phải là cực tiểu và do đó không cho lời giải của bài toán “hit.” (ii) Mặt khác, theo N. H. V. Hưng thì ánh xạ tự nhiên F 2 ⊗ A D−→ F 2 ⊗ A P phân tích thành Tr ∗ k ◦LZ ∗ , trong đó LZ ∗ : F 2 ⊗ A D−→ Tor A k (F 2 , F 2 ) là ánh xạ đối ngẫu của đồng cấu Lannes–Zarati, còn Tr ∗ k : Tor A k (F 2 , F 2 ) −→ F 2 ⊗ A P là ánh xạ đối ngẫu của đồng cấu chuyển Singer. Định lý C1 tương đương với sự kiện: cái hạn chế của LZ trên ảnh của đồng cấu chuyển bằng 0 tại các bậc dương nếu k>2. Thế mà việc LZ =0tại các bậc dương với mọi k>2 chính là một dạng phát biểu đại số của giả thuyết cổ điển về lớp cầu. Nhìn từ khía cạnh này, Định lý C1 đồng thời là một câu trả lời bộ phận cho dạng đại số của giả thuyết cổ điển về lớp cầu. Nói thêm rằng, sau khi đã gửi đăng [3], chúng tôi được Wood và Peterson thông báo rằng họ đã giải quyết được trường hợp k =4và có thể cả trường hợp k =5của Định lý C1. Chúng tôi cũng nhận được từ Tan–Xu một bài viết (Bulletin of the Korean Math. Soc. 37 (2000), pp. 779–790) chứng minh lại trường hợp k =3của Định lý C1. Chứng minh đầu tiên của trường hợp này đã được N. H. V. Hưng thực hiện dựa vào công trình của Boardman. Đóng góp của Tan–Xu chỉ là đưa ra một chứng minh mới, sơ cấp hơn. Tuy nhiên, cách tiếp cận của N. H. V. Hưng không thể áp dụng cho trường hợp k>5, vì ông đã phải sử dụng các kết quả của Hưng–Peterson về F 2 ⊗ A D với k ≤ 4. Cho đến nay, F 2 ⊗ A D mới chỉ được biết hoàn toàn với k ≤ 5. 3.2 Bài toán “hit” cho các bất biến parabôlíc Xét các bất biến của các nhóm con parabôlíc của GL, có dạng G k 1 , ,k m := { A 1 ∗ . . . 0 A m |A 1 ∈GL k 1 , ,A m ∈GL k m } trong đó k 1 + ··· + k m = k . Trên cơ sở kết quả của bài toán “hit” cho các bất biến Dickson, trực giác dẫn chúng tôi đến dự đoán rằng: ánh xạ F 2 ⊗ A P G k 1 , ,k m −→ F 2 ⊗ A P được cảm sinh bởi phép nhúng P G k 1 , ,k m −→ P bằng 0 tại các bậc dương nếu k 1 > 2. 7 Thật ra, kỹ thuật của chúng tôi cho phép chứng minh được một định lý mạnh hơn thế. Với n ≤ k, ký hiệu I k−n là ma trận đơn vị cấp k − n và GL n •I k−n := { A ∗ 0 I k−n |A ∈GL n }. Giả sử k 1 > 2. Để ý rằng GL 3 •I k−3 ⊂ GL k 1 • I k−k 1 ⊂ G k 1 , ,k m . Từ đó suy ra P GL 3 •I k−3 ⊃P GL k 1 •I k −k 1 ⊃P G k 1 , ,k m . Cấu trúc của P GL k 1 •I k−k 1 dễ dàng thu được từ các công trình của Dickson và của H. Mùi. Nhờ đó, chúng tôi chứng minh trong Chương II định lý sau đây. Định lý C2. Ánh xạ F 2 ⊗ A P GL 3 •I k−3 −→ F 2 ⊗ A P, được cảm sinh bởi phép nhúng P GL 3 •I k−3 →P, bằng 0 tại các bậc dương với mọi k>2. Từ định lý này chúng tôi thu được hệ quả: ánh xạ F 2 ⊗ A P G k 1 , ,k m −→ F 2 ⊗ A P được cảm sinh bởi phép nhúng P G k 1 , ,k m −→ P bằng 0 tại các bậc dương nếu k 1 > 2. Định lý C2 cũng là kết quả chính của 2 bài báo [2],[4]. Vì đại số Dickson là một trường hợp đặc biệt của P G k 1 , ,k m , từ kết quả trên chúng tôi thu được một chứng minh mới cho Định lý C1. Điều đáng nói là, trong khi các phần tử sinh của đại số Dickson có bậc lớn dần cùng với k, thì bậc của các phần tử sinh của đại số P GL 3 •I k−3 đều không vượt quá 8 và không phụ thuộc vào k. Do đó, lớp các đa thức phân tích được đã nêu trong Định lý C2 lớn hơn rất nhiều so với lớp các đa thức phân tích được nêu trong Định lý C1. 3.3 Bài toán “hit” ở bậc đủ tổng quát Đặc thù các kỹ thuật sử dụng để giải bài toán “hit” là chứa rất nhiều tính toán đại số khiến việc nhận ra những tính chất mấu chốt trở nên khó khăn. Tuy nhiên, nhờ được dẫn dắt bởi những trực giác nào đó, người ta vẫn có thể tìm được những kết quả tổng quát. Như đã nói, Peterson phát biểu giả thuyết nói rằng không gian véctơ phân bậc F 2 ⊗ A P bằng 0 tại các bậc d thỏa mãn điều kiện α(d +k) >k, trong đó α(d +k) là số chữ số 1 trong khai triển nhị phân của d + k. Được chứng minh bởi Wood vào năm 1988, giả thuyết này, nay được gọi là định lý Wood, cho phép rút gọn nghiên cứu bài toán “hit” về các bậc có dạng d =2 m 1 + ···+2 m k − k với m 1 ≥···≥m k ≥ 0. Việc tính toán cụ thể F 2 ⊗ A P là rất khó khiến người ta quan tâm đến việc đánh giá số chiều của không gian véctơ này. Sử dụng khéo léo định lý của Wood, Carlisle–Wood đã chứng minh số chiều này bị chặn trên đều. Phương pháp này được Crossley mở rộng từ trường F 2 sang trường có đặc số lẻ. Từ một khía cạnh khác, xuất phát từ trực giác rằng nhóm con Borel G 0 của nhóm tuyến tính tổng quát GL phải đóng một vai trò nào đó, trong luận án của mình, Kameko đã đi đến giả thuyết rằng dim(F 2 ⊗ A P) d ≤|GL/G 0 | = 8 k i=1 (2 i − 1). Được gợi ý bởi định lý Wood và giả thuyết Kameko, Crabb– Hubbuck vào năm 1994 đã chứng minh được rằng dim(F 2 ⊗ A P) d ≥|GL/G 0 | nếu 2 m 1 −m 2 >k, 2 m 2 −m 3 >k− 1, ,2 m k −1 −m k > 2. Crabb–Hubbuck gọi những giá trị của d trong định lý của họ là “đủ tổng quát.” Một kết quả tương tự, nhưng được phát biểu một cách ít tường minh hơn, cũng đã được Repka–Selick tìm ra vào năm 1995. Họ chứng minh rằng dim(F 2 ⊗ A P) d ≥|GL/G 0 | nếu m 1 m 2 ···m k , trong đó họ xem rằng điều kiện này được thỏa mãn nếu m 1 −m 2 ≥ k,m 2 −m 3 ≥ k, ,m k−1 −m k ≥ k. Repka–Selick cũng gọi những giá trị của d trong định lý của họ là “đủ tổng quát.” Định lý của chúng tôi là kết quả gần đây nhất theo hướng này. Với cùng các ký hiệu như trên, chúng tôi chứng minh trong Chương III định lý sau đây. Định lý C3. Nếu m 1 − m 2 ≥ 2,m 2 − m 3 ≥ 3, ,m k−1 − m k ≥ k, thì dim(F 2 ⊗ A P) d = |GL/G 0 | = k i=1 (2 i − 1). Phỏng theo Crabb–Hubbuck và Repka–Selick, chúng tôi gọi những giá trị d trong Định lý C3 là “đủ tổng quát.” Định lý này cũng là kết quả chính của bài báo [5]. Cần nói thêm rằng một định lý tương tự (trong đó giả thiết được thay thành m 1 − m 2 ≥ k,m 2 − m 3 ≥ k − 1, ,m k−1 − m k ≥ 2)đã được chứng minh bởi Wood và bởi Kameko. Chúng tôi biết được điều này khi tham dự Hội nghị quốc tế về lý thuyết bất biến được tổ chức tại G¨o ttingen (Đức) tháng 3/2003. Tại hội nghị này, Wood đã đọc bài giảng trong khuôn khổ một giáo trình ngắn về định lý của ông, còn Kameko đã trình bày dưới dạng thông báo ngắn cả Định lý C3 và cái tương tự vừa nêu của nó. 3.4 Các phần tử đối bất biến với k =4 Peterson khởi đầu việc giải bài toán “hit” bằng việc tính F 2 ⊗ A P với k =1, 2 và phát biểu giả thuyết nổi tiếng của ông về tính phân tích được của các đa thức với bậc nào đó có số biến k bất kỳ. Giả thuyết này được Wood chứng minh năm 1988. Với k =3, không gian véctơ phân bậc F 2 ⊗ A P rất phức tạp và đã được xác định bởi Kameko trong luận án tiến sĩ của anh tại Đại học Johns Hopkins (Baltimore, Mỹ) vào năm 1990. Khoảng 6 tháng sau, kết quả của Kameko được xác nhận lại bằng một phương pháp đối ngẫu với những kỹ thuật độc lập bởi Alghamdi–Crabb–Hubbuck tại Đại học Aberdeen. Bản thân chúng tôi cũng đã tìm lại được kết quả của Kameko với kỹ thuật chứng minh độc 9 [...]... một định lý của Lin chỉ rõ cấu trúc của H 4 (A), chúng tôi xác định ảnh của đồng cấu chuyển ứng với k = 4 tại hầu hết các bậc, qua đó khẳng định một phần giả thuyết về tính đơn ánh của đồng cấu này Kết quả này cùng với các kết quả trước đó của Bruner–Hà–Hưng, N H V Hưng, và L M Hà chứng minh một phần giả thuyết của N H V Hưng về ảnh của đồng cấu chuyển với k = 4 Mặt khác, xem như hệ quả của các định lý... hiệu |I| là số phần tử của nó, còn min I là phần tử bé nhất của nó Ngoài ra, nếu I = {i0 > · · · > ir } và m > r, ta đặt m −2r Xi2 )Xi2 r X(I, m) := ( 0≤ 2 Điều này tương đương với việc chứng minh ¯ rằng mọi đơn thức Dickson có bậc... {Ψ(¯ ) | ω ∈ Ω} là một hệ sinh ¯ ω ¯ cực tiểu của A-môđun P ở bậc d Vì vậy ¯ dim (P/AP)d = 2 (2 − 1) 3≤ ≤k 20 Kết luận Các kết quả chính của luận án gồm 3 định lý sau: Định lý C1 Ánh xạ F2 ⊗A D −→ F2 ⊗A P, được cảm sinh bởi phép nhúng D → P, bằng 0 tại các bậc dương với mọi k > 2 Định lý C2 Ánh xạ F2 ⊗A P GL3 •Ik−3 −→ F2 ⊗A P, được cảm sinh bởi phép nhúng P GL3 •Ik−3 → P, bằng 0 tại các bậc dương với mọi... Crabb–Hubbuck nói trong mục trước Sử dụng các ký hiệu này, chúng tôi chứng minh trong [6] khẳng định rằng nếu m1 − m2 ≥ k2 , m2 − m3 ≥ k3 − k1 , , mr−1 − mr ≥ kr − kr−2 , mr ≥ k − kr−1 , thì GL aω ∼ F2 GL/Gω Kết quả của chúng tôi thật ra tổng quát = hơn Nó cho các đánh giá về cận dưới của dim GL aω và được sử dụng trong các trường hợp sau đây 10 (i) Chúng tôi đã chứng minh trong [5] rằng dim(F2 ⊗A... dương đều thuộc AP Tác động của đại số Steenrod trên các bất biến Dickson được mô tả một cách tường minh bởi Định lý I.1 Qk,r Qk,r Qk,t i Sq (Qk,s ) = Q2 k,s 0 nếu nếu nếu nếu i = 2s − 2r , r ≤ s, i = 2k − 2t + 2s − 2r , r ≤ s < t, i = 2k − 2s , trái lại Để thuận tiện, trong chương này chúng ta ký hiệu Qs thay cho Qk,s i Gọi In (n ≥ 0) là iđêan phải của A sinh bởi các toán tử Sq 2 với i =... thuộc vào In P Ta quy ước R1 ≡ R2 (mod In ) nghĩa là R1 = R2 với n < 0 Đây là một quan hệ tương đương Ta có Bổ đề I.3 Giả sử k > 1 và S là một tập con khác rỗng của {0, , k − 1} sao cho 1 ∈ S Khi đó QR2 ≡ 0 (mod I0), trong đó Q = s∈S Qs và R là một đa thức bất kỳ của P 13 Giả sử Q là một đơn thức Dickson khác không Nếu Q = 1, thì nó có thể viết dưới dạng i Q= A2 , i 0≤i≤n trong đó n là một số nguyên . Hệ sinh cực tiểu của đại số đa thức xem như môđun trên đại số Steenrod và các ứng dụng Trần Ngọc Nam 28–10–2006 Mở đầu 1 Bài toán “hit” Đối đồng điều cùng với cấu trúc tích của nó là. với hệ số F 2 được gọi là đại số Steenrod môđulô 2 và thường được ký hiệu là A. Như vậy, đại số Steenrod có thể được định nghĩa một cách thuần túy đại số như là thương của F 2 -đại số kết hợp sinh. thể), Xemina ĐAHITÔ (Hà nội, 5/2004), các xemina của Phòng Đại số thuộc Viện Toán học Hà nội (3/2000), của Khoa Toán các Đại học Nantes (1/2003), Lille I (3/2003), Paris 13 (10/2003) và của Bộ