Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyển động song song của vật rắn
-99Chơng Chuyển động song phẳng Của vật rắn 8.1 Phơng trình chuyển động, vận tốc gia tốc vật 8.1.8.Định nghĩa phân tích chuyển động song phẳng Chuyển động song phẳng vật rắn chuyển động điểm thuộc vật luôn chuyển động mặt phẳng cố định song song với mặt phẳng quy chiếu đà chọn trớc ( mặt phẳng sở ) Nói cách khác chuyển động song phẳng chuyển động vật điểm trình chuyển động có khoảng cách đến mặt phẳng sở không đổi Trong kỹ thuật có nhiều chi tiết máy chuyển động song phẳng nh bánh xe lăn đờng thẳng, biên cấu biên tay quay, ròng rọc động v v Xét vật rắn A chuyển động song a y phẳng có mặt phẳng sở (hình 8.1 ) (s) Đờng thẳng ab thuộc vật vuông góc M' x O với mặt phẳng sở, thực chuyển thẳng có chuyển động nh đợc đặc trng chuyển động điểm M năm b động tịnh tiến Mọi điểm nằm đờng Hình 8.1 y y1 ab Nếu xem vật tập hợp vô số đờng ab nh suy chuyển động B vật đợc đặc trng tiết diện S mặt A phẳng oxy Mô hình toán chuyển động song phẳng vật rắn đợc đa nghiên O xA cứu chuyển động tiết diện (S) mặt phẳng oxy (hình 8.2) gọi tắt (S) Hình 8-2 x1 x -100chuyển động phẳng cđa tiÕt diƯn S VÞ trÝ cđa tiÕt diƯn (S) mặt phẳng oxy đợc xác định ta biết đợc vị trí đoạn thẳng AB thuộc tiết diƯn (S) XÐt chun ®éng cđa tiÕt diƯn (S) tõ B'1 (S) đến vị trí (2) xác định vị trí đoạn thẳng A2B2 ( hình 8.3) B2 B1 vị trí (1) xác định vị trí đoạn thẳng A1B1 A'1 A1 ϕ2 ϕ A2 DƠ dµng thÊy r»ng ta cã thĨ thay thÕ chun ®éng cđa tiÕt diện (S) hai Hình 8-3 chuyển động sau : Cho tiết diện (S) chuyển động tịnh tiến theo cùc A hay cùc B tõ vÞ trÝ A1B1 ®Õn vÞ trÝ A'1B2 hay A2B'1 TiÕp theo ta quay tiÕt diÖn S quanh A2 hay B2 mét gãc hay Vì A2B'1//A'1B2 nên = ϕ2 = ϕ Cã thĨ ®i ®Õn kÕt ln ; chuyển động tiết diện (S) mặt phẳng (chuyển động song phẳng ) luôn phân tích thành hai chuyển động: tịnh tiến theo tâm cực chuyển động quay quanh tâm cực Chuyển động tịnh tiến phụ thuộc vào tâm cực nhng chuyển động quay không phụ thuộc vào tâm cực Nh chuyển động song phẳng chuyển động tổng hợp vật rắn đồng thời tham gia hai chuyển động quay quanh trục có phơng không đổi tịnh tiến theo phơng vuông góc với trục quay 8.1.2 Phơng trình chuyển động, vận tốc gia tèc cđa vËt XÐt tiÕt diƯn (S) chun ®éng mặt phẳng oxy chứa Nếu chọn A tâm y cực dựng đoạn thẳng AB tiết diƯn ta B sÏ thÊy vÞ trÝ cđa tiÕt diƯn (S) mặt phẳng yA oxy đợc xác định ta biết vị trí cực A phơng AB so với trục ox Nói khác đi, thông số định vị tiết diện (S) mặt phẳng oxy xA, yA, (hình 8.4) A (S) ϕ xA O H×nh 8-4 x -101Trong thêi gian chun động thông số biến đổi theo thời gian ta cã : xA = xA(t) yA = yA(t) (8.1) ϕ = ϕ(t) BiÕt quy lt biÕn ®ỉi (8.1) ta xác định vị trí tiết diện (S) bất kỹ thời điểm Các phơng trình (8.1) phơng trình chuyển động tiết diện phẳng (S) mặt phẳng (phơng trình chuyển động song phẳng ) Từ phơng trình chuyển động (8.1) ta thấy vận tốc gia tốc vật đợc biểu diễn hai thành phần : vận tốc gia tốc chuyển động tịnh tiến theo r r tâm cực A lµ : v A , w A VËn tèc gãc vµ gia tèc gãc cđa tiÕt diƯn chuyển động quay quanh tâm cực A , Vì chuyển động tịnh tiến phu thuộc tâm cực A nên vận tốc gia tốc chuyển động tịnh tiến phụ thuộc vào tâm cực A Ta có : r r r v A1 ≠ v A ≠ v Ai r r r w A1 ≠ w A w Ai Chuyển động quay không phụ thuộc vào tâm A nên có : A1 = ωA2 = ωAi = ω εA1 = εA2 = εAi = ε O π S A H×nh 8.5 VËn tèc gãc ω vµ gia tèc gãc ε cã thĨ biĨn diễn véc tơ vuông góc với tiết diện (S) nh hình( 8.5) Khi hai véc tơ chiều ta có chuyển động quay nhanh dần chúng ngợc chiều có chuyển động quay chậm dần -1028.2 Phơng trình chuyển động, vận tốc gia tốc điểm Trên vật chuyển động song phẳng 8.2.1 Phơng trình chuyển động Xét điểm M tiết diện Giả thiết chọn tâm cực A có toạ độ xAyA (hình 8-6) Ký hiệu góc hợp AM với phơng y M r' ox khoảng cách AM = b.Toạ độ A điểm M chuyển động tut ®èi so víi hƯ ϕ r quy chiÕu oxy xác định : rA xM = xA +b.cos ; O x H×nh 8.6 yM =yA + b.sinϕ ; Các thông số xA, yA hàm cđa tthêi gian, nghÜa lµ : xA = xA(t) yA = yA(t) ϕ = ϕ(t) Do ®ã xM, yM cịng lµ hµm cđa thêi gian Ta cã : xM =xM(t) = xA (t)+b.cosϕ(t) ; yM =yM(t)=yA (t)+ b.sinϕ (t); (8.2) (8.2) phơng trình chuyển động điểm M Cũng thiết lập phơng trình chuyển động điểm M dới dạng véc tơ Trên hình 8-6 có : r =r(t)=rA + r' (8.2a) r' =AM có độ lớn không đổi b, quay quanh trục A với vận tốc góc 8.2.2 Các định lý vận tốc điểm 8.2.2.1 Các định lý vận tốc điểm vật chuyển động song phẳng Định lý 8-1: Vận tốc điểm tiết diện chuyển động song phẳng tổng hình học vận tốc tâm cực A vận tốc gãc cđa ®iĨm ®ã chun ®éng cđa tiÕt diƯn quay quanh trơc A víi vËn tèc gãc ω Ta cã : -103r r r v M = v A + v MA Chứng minh định lý : Từ phơng trình chuyển động (8-2a) ta có : r r r d r d rA d r ' r = + vM = dt dt dt r d rA r dr ' r r r = vA ; = v MA = ω × AM Thay dt dt r r r Ta sÏ cã v M = v A + v MA , định lý đợc chứng minh Cần ý véc tơ vận r tốc điểm M quay quanh A ký hiệu v AM có phơng vu«ng gãc víi AM, cã chiỊu h−íng theo chiỊu quay vận tốc (hình 8-6) Định lý 8-2 : Định lý hình chiếu vận tốc hai điểm Trong chuyển động song phẳng tiết diện S (chuyển động song phẳng) hình chiếu vận tốc hai điểm tiết diện lên phơng nối hai điểm lu«n lu«n b»ng r r (v A )AB = (v B )AB Chứng minh định lý : Theo định lý 8-1, chọn A làm tâm cực vận tốc điểm B xác định theo biểu thức : r r r r v B = v A + v BA víi v BA vu«ng gãc vB AB ChiÕu biĨu thức lên phơng AB ta r r r có : (v B )AB = (v A )AB + (v BA )AB Trong ®ã : r (v BA )AB = v× r v BA ⊥AB vBA 90 vA A a B vA b Định lý đà đợc chứng minh Ta minh họa định lý Hình 8.7 hình vẽ( 8-7) Trên h×nh vÏ ta cã : Aa = Bb hay vAcosα = vBcos 8.2.2.2 Tâm vận tốc tức thời - Xác định vận tốc điểm tiết diện chuyển động phẳng theo tâm vận tốc tức thời - Tâm vận tốc tức thời điểm thuộc tiết diện có vận tốc tức thời -104bằng không Nếu gọi P tâm vận tốc tức thời : vP = Định lý 8-3 : Trong chuyển động song phẳng vật rắn thời điểm luôn tồn tâm vận tốc tức thời Chứng minh ®Þnh lý : r XÐt tiÕt diƯn (S) chun ®éng phẳng với vận tốc tâm cực A v A vận tốc góc chuyển động quay Quay véc tơ V góc 90 theo chiều quay ta dựng đợc tia Trên tia lấy điểm P cách A đoạn AP = vA A A vA (h×nh 8.8) Theo biĨu thøc (8-2) ta cã d : v r r r v P = v A + v PA v PA = .PA = ω A ω (S) P vA ∆ H×nh 8.8 vPA = vA r Phơng v PA vuông góc víi AP r h−íng theo chiỊu quay vßng cđa ω nghĩa v PA có độ lớn với độ lớn r vA, phơng nhng ngợc chiều với v A r Thay vµo biĨu thøc tÝnh v P ta đợc vP = vA - vA = tâm vận tốc tức thời Chứng minh tính tâm vận tốc tức thời : Giả thiết thời điểm vật có hai tâm vận tèc tøc thêi P1 vµ P2 víi vP1 = vP2 = r r r r Theo định lý 8-1 ta cã : v P = v P1 + v P P1 hay = + v P P1 Thay vP2P1 = ω P2P1 ta thÊy vP2P1 = ω = P2P1 = Vì vật chuyển động song phẳng nên P2P1 = Điều có nghĩa P1 trùng với P2 Không thể có hai tâm vận tốc tức thời khác tồn thời điểm -105- Xác định vận tốc vật chuyển động song phẳng theo tâm vận tốc tức thời P Xét vật chuyển động song phẳng có vận tốc góc tâm vận tèc tøc thêi P Theo biÓu thøc (8-2) nÕu lÊy P làm tâm cực ta viết biểu thức vận tốc cđa ®iĨm M nh− sau : r r r v M = v P + v MP A r r Thay vP = ta cã : v M = v MP Nh− vËy vËn tèc tøc thêi cđa ®iĨm M đợc 900 P a b vA B (S) tÝnh nh− vËn tèc cđa ®iĨm M chun ®éng cđa vËt quay tøc thêi quanh t©m vËn tèc tøc thêi P 900 vB H×nh 8.9 r v M cã phơng vuông góc với PM, hớng theo chiều quay vòng cđa ω quanh P, cã ®é lín vM =PM ω Ta cã kÕt ln : vËn tèc cđa ®iĨm vật chuyển động song phẳng luôn hớng vuông góc tỷ lệ thuận với khoảng cách từ tâm vận tốc tức thời đến điểm Quy luật phân bố vận tốc điểm biểu diễn hình ( 8-9.) Trong thực hành xác định tâm vËn tèc tøc thêi P theo mét sè tr−êng hỵp sau : Trờng hợp : Vật chuyển động lăn không trợt đờng thẳng hay đờng cong phẳng cố đ ịnh (hình 8-10a) xác định điểm tiếp xúc tâm vận tốc tức thời điểm có vận tốc không Trờng hợp 2: Khi biết phơng vận tốc hai điểm hay quỹ đạo chuyển động hai điểm vật chuyển động song phẳng tâm vận tốc tức thời giao điểm hai đờng thẳng kẻ vuông góc với hai ph−¬ng vËn tèc hay hai ph−¬ng tiÕp tun cđa quỹ đạo hai điểm (hình 8-10b) Trong trờng hợp hai đờng song song với có nghĩa tâm P xa vô cùng, ta nói vật tức thời chuyển động tịnh tiến (hình 8-10b) Trờng hợp 3: Khi biết độ lớn phơng chiều vận tốc hai điểm nằm đờng thẳng vuông góc với vận tốc hai điểm (hình 8-10c), tâm P -106giao điểm đờng thẳng qua hai mút véc tơ vận tốc đờng thẳng qua hai ®iĨm ®ã S vA vA vB vB P a) vA A B vB vB P P P B c) P ∞ b) vA A H×nh 8.10 r r ThÝ dụ 8.1: Cơ cấu phẳng biểu diễn hình (8-11) cã vËn tèc v A , v B cña hai trợt A B đà biết Xác định vận tốc khớp C Bài giải: Khi cấu hoạt động biên K AC BC chuyển động song phẳng Để xác định vận tốc điểm C ta áp dụng định lý hình chiếu vận tốc cho AC BC Vì vA vB C1 C a đà biết nên dễ dàng xác định đợc hình chiếu chúng lên phơng AC BC Aa vµ Bb vc C2 b vB vA A B Tại C kéo dài đoạn thẳng AC BC, Trên Hình 8.11 lấy điểm C1, C2 với CC1 = Aa, CC2 = Bb Các đoạn hình chiêú VC lên hai phơng AC BC Ta vẽ tứ giác vuông góc C1 C2 (hình 8-11) đờng chéo CC' tứ giác chÝnh lµ vËn tèc VC ThÝ dơ 8-2 : Tay quay OA quay quanh trơc O víi vËn tèc góc A O không đổi n =60 vòng / phút dẫn động cho biên AB gắn với bánh xe (hình 8-12) Bánh xe B truyền chuyển động cho bánh xe Hình 8.12 -1071 không gắn víi tay quay OA nh−ng quay quanh trơc O X¸c định vận tốc trợt B; Vận tốc góc bánh xe thời điểm tay quay OA song song vuông góc với phơng ngang Cho biết cấu nằm mặt phẳng r1 = 50 cm ; r2 = 20 cm; AB = 130 cm Bài giải : Cơ cấu có khâu : bánh xe chuyển động quay quanh trục O; trợt B chuyển động tịnh tiến theo phơng ngang; Thanh AB chuyển động song song phẳng; Bánh xe chuyển động song phẳng; tay quay OA chuyển động quay quanh O 1) XÐt tr−êng hỵp tay quay OA ë vị trí song song với phơng ngang (hình 8-12a) Vận tèc gãc OA lµ : ω= πn 60π = = 2π1 / s 30 30 VËn tèc ®iĨm A : vA =OA ω = 2π (r1 - r2) = 60π = 188,5 cm / s Trªn AB có phơng vận tốc hai điểm A B đà biết nên xác định đợc tâm vận tốc tøc thêi P1 (h×nh 8-12a) vC vA vC II O ωI I C A ω2 vA P2 C A O II PAB I a) B H×nh 8.12 b) vB B -108Từ hình vẽ xác định đợc : P2B = r1 = 50cm P2 A = AB − PAB B = 130 + 50 = 120cm P2C = PAB - r2 = 120 - 20 = 100cm Xác định vận tốc điểm A, B, C theo tâm vận tốc tức thời P2 vận tốc ω1 cña AB ta cã ; VA = ω2 P2A; VB = ω2 P2B; Vc = ω2 P2C; Trong ®ã : ω2 = VA 60π π = = (1 / s) P2 A 120 Thay vµo biểu thức VB VC ta có : π VB = 50 = 25π(cm / s) π VC = 100 = 50(cm / s) Vì bánh xe ăn khớp với bánh xe nên vận tốc điểm C xác định theo công thøc : VC = ω1 r1 suy : ω1 = VC =π r1 (1/s) 2) Tay quay OA vị trí thẳng đứng (hình 8-12b) Tại vị trí vận tốc hai điểm A B song song với theo định r r lý hình chiÕu ta cã : VAcosα = VBcosα suy VA = VB Thanh AB tức thời chuyển động tịnh tiến Mọi điểm bánh xe gắn víi nã cã chun ®éng nh− Ta cã : -109- VB = VC = VA = 60π = 188,5(cm / s) 50 Phơng chiều vận tốc biểu diễn hình vẽ Vận tốc góc bánh xe dễ dàng tìm đợc : r = v c 60π = = π r1 50 (rad/s) ThÝ dô 8-3: tay quay OA quay quanh O với vận tốc góc oA, truyền chuyển động cho bánh I ăn khớp với bánh II cố định Hai bánh có bán kính nh R Thanh truyền BD có đầu B liên kết với bánh xe I khớp lề đầu D nèi II I b»ng khíp b¶n lỊ víi tay quay CD P (hình 8-13) A O Xác định vận tốc góc vA P truyền BD thời điểm cã B 450 gãc BDC = 45 Cho BD = (cm) 450 vB C 900 Bài giải : P1 45 Trong cấu bánh I truyền BD chuyển động song D 900 phẳng Bánh có tâm vận tốc tức thời P Vận tốc điểm A đợc Hình 8.13 tính nh sau : VA=ωOA 2R r VA h−íng vu«ng gãc víi OA theo chiỊu quay vßng cđa ωOA Suy vËn tốc góc bánh : = VA 2R.ωOA = = 2ωOA R R VËn tèc ®iĨm B cã ®é lín : -110VB = PB.ω1 = 2R.ω1 = 2ROA VB Có phơng vuông góc với với PB có chiều theo chiều quay bánh quanh P (hình vẽ 8-13) Thanh BD chuyển động song phẳng, Đầu B có vận tốc đà xác định, đầu D có phơng vận tốc vuông góc với CD nhận đợc tâm vận tốc thức thời P1 nh hình vẽ Trên hình ta có P1B = Vận tốc điểm B đợc xác ®Þnh theo P1: VB = P1.B.ωBD suy : ωBD = VB R = ωOA P1B ChiÒu quay cđa ωBD nh− h×nh vÏ 8.2.3 Gia tèc cđa điểm 8.2.3.1 Định lý 8-3 : Gia tốc điểm M bÊt kú thc tiÕt diƯn (S) chun ®éng song phẳng, tổng hình học gia tốc tâm cực A gia tốc điểm M chuyển động cđa tiÕt diƯn quay quanh A (h×nh 8-14) r r r w M = w A + w MA (8-4) r r r Trong ®ã : w MA = w τ + w n MA MA Víi : WτMA = .AM WnMA = 2.AM Chứng minh định lý : Đạo hàm bậc hai theo thời gian phơng trình chuyển ®éng (8-2) ta cã : r r r d r d rA d r ' r wM = = + dt dt dt r r d rA r d2 r' d r r = w A = ì AM = w MA Thay dt dt dt ( w MA ) r r r d r dω = × AM + ω × AM = ε × AM + VMA dt dt -111Với ý AM có độ lớn không ®ỉi nªn ( ) r r d AM = ω × AM = VMA dt r r r r r Ta cã : w M = w A + ε × AM + ω × VMA r ε × AM gia tốc pháp tuyến M chuyển động cđa (S) quay quanh A r r ω × VMA gia tốc pháp tuyến M chuyển động (S) quay quanh A Ta đà chứng minh đợc : r r rτ r w M = w A + w MA + w n MA Vì véc tơ có phơng vuông góc với mặt phẳng tiết diện nghĩa r vuông góc với AM VMA nên dễ dàng tìm đợc : WMA = AM ε cßn WMAn = AM ω2 Suy : w MA = AM ε + ω4 ε r Véc tơ w MA có phơng hợp với AM góc với tgà = (hình 8.14) 8.2.3.2 Tâm gia tốc tức thời Điểm tiết diện có gia tốc tức thời không gọi tâm gia tèc tøc thêi Ký hiƯu t©m gia tèc tøc thêi lµ J Ta cã : Wj = Định lý 8-4 : Tại thời điểm tiết diện chuyển động song phẳng tồn chØ mét t©m gia tèc tøc thêi J Chøng minh tính tồn tâm gia tốc tức thời : giả thiết tiết diện chuyển động song phẳng với vận tèc gãc vµ gia tèc gãc lµ ω vµ ε Trên tiết diện có điểm A biết gia tốc WA (h×nh 8-15) Xoay WA theo chiỊu quay cđa ε quanh A góc với tgà = Dựng nửa đờng thẳng Ax theo phơng đó.và lấy Ax -112một điểm J cách A đoạn AJ = wA + Điểm J cã gia tèc : r r r w J = w A + w JA Trong ®ã WJA cã ®é lín b»ng w JA = AJ ε + ω4 ' Thay AJ = wA ε + ω4 Ta đợc : w JA = w A + ω4 ε + ω4 = wA ε r w JA hợp với AJ góc với tgµ = h−íng theo chiỊu quay cđa ε ω r r quanh A Nh hình vẽ (8-15) ta thấy hai véc tơ gia tốc w A w JA có độ lớn song song ngợc chiỊu ®ã : r r r w J = w A + w JA = x wM ε A wA wM wA wM M Hình 8.14 wA J wB µ A wC B µ C wA A wA Hình 8.15 x J Hình 8.16 Điểm J tâm gia tốc tøc thêi cđa tiÕt diƯn TiÕp theo ta chøng minh tÝnh nhÊt cđa t©m gia tèc tøc thêi J : giả thiết thời điểm tiết diện có hai tâm gia tốc tức thời J1 J2 Khi WJ1 = WJ2= Theo biểu thøc (4-8) ta cã thÓ viÕt : r r r w J = w J1 + w J J1 Thay WJ1 = vµ WJ2= vµo biểu thức ta đợc WJ2J1= -113Vì w J J1 = J J1 ε + ω4 0 nên WJ2J1 không J2J1 = nghĩa J2 trùng với J1 Không thể có hai tâm gia tốc thời điểm tiết diện chuyển động phẳng Nếu tiết diện có tâm gia tốc tức thời J chọn J tâm cực gia tốc điểm M tiết diện xác ®Þnh theo biĨu thøc : r r r w M = w J + w MJ V× wJ = nªn cã thĨ viÕt : r r r r w M = w MJ = w τ + w n MJ MJ VỊ trÞ sè w M = MJ + có phơng hợp với MJ mét gãc µ víi tgµ = ε theo chiỊu quay cđa ε quanh J (h×nh 8-16) Nh− vËy ta nhËn thấy gia tốc điểm tiết diện chuyển động song phẳng luôn hợp với phơng nối từ điểm đến tâm gia tốc tức thời góc có độ lớn tỷ lệ với khoảng cách từ điểm đến tâm gia tốc tức thời J Vì tính chất quy luật phân bố gia tốc điểm tiết diện biểu diễn nh hình (8-16) Cũng từ tính chất xác định tâm gia tốc tức thời số trờng hợp biểu diễn hình (8-17), (8-18) , (8-19), (8-20), (8-21), (8-22) ε ε ε A α B α wB wA J A wB α wA α J A B B J wB wA H×nh 8.17 H×nh 8.18 H×nh 8.19 -114- ε wB α J ε ε B µ J wA Hình 8.20 A A wA B wB wA wB J > ∞ B H×nh 8.22 H×nh 8.21 Trên hình (8-17) (8-18) 0