Đang tải... (xem toàn văn)
Ứng dụng phương pháp điểm bất động trong sự tồn tại nghiệm của phương trình
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LÊ THỊ PHƯƠNG NGỌC ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 1. 01. 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2007 Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh WX Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. LÊ HOÀN HOÁ Phản biện 1: GS. TSKH. PHẠM KỲ ANH Trường Đại học KHTN, Đại học Quốc gia Hà Nội Phản biện 2: GS. TSKH. NGUYỄN CANG Đại học Quốc gia Thành Phố Hồ Chí Minh Phản biện 3: PGS. TSKH. ĐỖ HỒNG TÂN Viện Toán Học Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Nhà nước họp tại Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh vào lúc giờ ngày tháng năm 2007 Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: - Thư viện Khoa học Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh. - Thư viện Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh. MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động là một trong những lý thuyết quan trọng của Giải tích, với rất nhiều thành tựu mà nổi bật là các nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912), Banach (1922), Schauder (1930). Đây là một lý thuyết phong phú, đa dạng bao gồm nhiều định lý điểm bất động của các ánh xạ như ánh xạ co, nén, ánh xạ không giãn, ánh xạ tăng, v.v., cùng nhiều mở rộng của các nguyên lý điểm bất động cho ánh xạ đa trị, với sự phát triển không ngừng trong mối liên hệ chặt chẽ với nguyên lý biến phân Ekland, lý thuyết KKM, lý thuyết bậc tôpô, v.v. Chính từ sự phát triển đó mà lý thuyết điểm bất động luôn được xem là công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu định lượng và định tính nhiều lớp phương trình xuất phát từ vật lý học, hoá học, sinh học, cơ học. Việc ứng dụng lý thuyết này để chứng minh tồn tại ng hiệm của các phương trình vi phân và tích phân được mở đầu bằng những kết quả nổi tiếng của Picard và Peano vào cuối thế kỷ 19, trong đó xét bài toán Cauchy cho phương trình vi phân với vế phải thoả mãn điều kiện Lipschitz (định lý Picard) hoặc điều kiện liên tục (định lý Peano). Ứng với hai bài toán vừa nêu, hai định lý điểm bất động Bana ch và Schauder thật sự là công cụ hữu hiệu. Kết hợp hai định lý đó, Krasnosel’skii đã chứng minh định lý Krasnosel’skii và từ đó các định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii được nghiên cứu và ứng dụng trong nhiều công trình, như [Avramescu, Electronic J. Qualitative Theory of Diff. Equat., 5 (2003), 1-15], [Hoá, Schmitt, Results in Math., 25 (1994), 290-314]. Áp dụng định lý Schauder, Leray và Schauder đã chứng minh các định lý điểm bất động kiểu Leray-Schauder, trong đó nguyên lý loại trừ là công cụ quan trọng để thiết lập các nguyên lý tồn tại nghiệm của một số bài toán giá trị biên [Donal O’Regan, Theory of singular boundary problems, 1994]. Ý nghĩa quan trọng của các định lý điểm bất động trong ứng dụng đã được trình bày ở nhiều tài liệu, như [Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its Applica- tions I], và được thể hiện qua nhiều công trình nghiên cứu của nhiều tác giả như: Avramescu, Burton, Liu, Raffoul, Sehie Park, Đ. H. Tân (nguồn MathSciNet), v.v., trong đó các tác giả hoặ c nghiên cứu sâu sắc về lý thuyết điểm bất động, hoặc đã vận dụng các định lý điểm bất động để giải các bài toán đặt ra. Còn có thể tìm thấy nhiều công trình khác đăng trên các tạp chí Toán học trong và ngoài nước đã sử dụng phương pháp điểm bất động để chứng minh tồn tại nghiệm của các phương trình. Để dễ truy cập, chúng tôi xin nêu các bài số 06/2000, 24/2001, 71/2002, 04/2003, 22/2004, 79/2005, hay 3, 8, 19, 21, 22, 24 thuộc Vol. 2006, trong "Electronic J. Dif- ferential Equations" làm ví dụ, ở đó các định lý ánh xạ co, định lý Schauder, định lý Krasnosel’skii trên một nón, định lý Darbo, v.v., được áp dụng. Ngoài ra, còn có các tạp chí chuyên về lĩnh vực này mới được xuất bản gần đây, như "Fixed Point Theory and Applications" năm 2004 của nhà xuất bản Hindawi, "Journal of Fixed Point Theory and Applications" năm 2007 của nhà xuất bản Springer. Chính vì vậy, đề tài luận án của chúng tôi nghiên cứu là cần thiết và có ý nghĩa về mặt lý thuyết và áp dụng. 1 Trong luận án này, chúng tôi áp dụng phương pháp điểm bất động kết hợp với lý luận về tính compact thô ng dụng để khảo sát sự tồn tại nghiệm và các vấn đề liên quan đến nghiệm cho ba bài toán thuộc lý thuyết phương trình tích phân, vi phân và đạo hàm riêng sau đây: Bài toán liên quan đến phương trình tích phân phi tuyến dạng Volterra; Bài toán giá trị biên và giá trị đầu cho phương trình vi phân hàm cấp hai có đối số chậm; Bài toán hỗn hợp cho phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff trên màng tròn đơn vị. Cấu trúc của luận án gồm phần mở đầu, 3 chương chính (1-3), kết luận, danh mục các công trình của tác giả luận án và tài liệu tham khảo. Kết quả chúng tôi thu được cho ba bài toán nêu trên sẽ được trình bày lần lượt trong các chương 1, 2 và 3 với nội dung tóm tắt như sau: Chương 1 trình bày một định lý điểm bất động kiểu Krasno sel’skii và định lý này được áp dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm, sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của phương trình tích phân dạng Volterra. Kết quả đạt được mạnh hơn những kết quả trước đó, điều này được minh họa bởi một ví dụ, đồng thời vẫn còn đúng trong trường hợp tổng quát. Mặt khác, tính compact, liên thông của tập nghiệm của phương trình tích phân nói trên cũng được đề cập và một ví dụ được nêu ra về phương trình có ít nhất hai nghiệm, khi đó sẽ có một lực lượng continuum của các nghiệm chứa hai nghiệm này. Trong chương 2, áp dụng định lý điểm bất động Leray-Schauder và nguyên lý ánh xạ co, chúng tôi chứng minh sự tồn tại, sự duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm của bài toán ba điểm biên cho phương trình vi phân hàm cấp hai có đối số chậm. Cũng với phương pháp này, sự tồn tại nghiệm của bài toán giá trị biên với điều kiện biên hỗn hợp và bài toán giá trị đầu cho phương trình đang xét cũng được nghiên cứu. Đối với bài toán giá trị đầu, sự duy nhất nghiệm, sự phụ thuộc liên tục của nghiệm cũng được thiết lập và hơn nữa, với các điều kiện đã cho, tập nghiệm không những khác rỗng, mà còn là tập compact và liên thông. Trong chương 3, sử dụng một hệ quả của nguyên lý á nh xạ co và phương pháp xấp xỉ Galerkin, chúng tôi chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán hỗn hợp cho phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff đồng thời xây dựng được dãy lặp tuyến tính (hoặc phi tuyến) hội tụ mạnh cấp một ( hoặc cấp hai) về nghiệm đó trong các không gian Sobolev có trọng thích hợp. Ngoài ra, một khai triển tiệm cận của nghiệm theo một tham số nhiễu xuất hiện trong số hạng Kirchhoff ở vế trái và số hạng phi tuyến ở vế phải của phương trình sóng đến một cấp phụ thuộc vào cấp của tính trơn của dữ kiện cũng được chỉ ra. Các kết quả trên đây của luận án được công bố trong [N2-N6] và gửi công bố trong [N7, N8]. Ngoài ra, các nội dung và phương pháp nghiên cứu trong luận án cũng được thể hiện và vận dụng cho các phương trình dạng khác trong [N1, N9, N10]. Một phần kết quả của luận án và các kết quả liên quan đã được báo cáo trong các hội nghị: - Hội nghị khoa học khoa Toán-Tin học ĐHSP Tp. HCM, 22/12/2002, - The International Conference on Diff. Equat. and Appl., HCM City 22-25/08/2004, - Hội nghị toàn quốc lần thứ hai về Ứng dụng Toán học, Hà Nội 23-25/12/2005. 2 Chương 1 ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ KIỂU KRASNOSEL’SKII VÀO PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN 1.1 Giới thiệu. Trong chương này, chúng tôi xét phương trình tích phân Volterra phi tuyến: x(t) = q(t) + f(t, x(t)) + t 0 V (t, s, x(s))ds + t 0 G(t, s, x(s))ds, t ∈ R + , (1.1.1) ở đây E là không gian Banach với chuẩn |.|, R + = [0, ∞), q : R + → E; f : R + ×E → E; G, V : ∆ ×E → E được giả sử là liên tục và ∆ = {(t, s) ∈ R + ×R + , s ≤ t}. Đây là bài toán tổng quát hoá các bài toán đã được nghiên cứu bởi Hoá-Schmitt (1994), với f = 0, V (t, s, x) = V (s, x), và Avramescu-Vladimirescu (E. J. Diff. Equat., 2005, 126, 1-10), với E = R d và hàm V (t, s, x) tuyến tính theo biến thứ ba. Chương 1 gồm 6 mục. Trong mục 1.2, một định lý điểm bất động kiểu Kras- nosel’skii được chứng minh. Áp dụng định lý này, các mục 1.3, 1.4 nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1). Trong mục 1.5, với giả thiết như ở mục 1.3, tập nghiệm của (1.1.1) được chứng tỏ là tập compact, liên thông. Các ví dụ minh hoạ đã được nêu. Cuối cùng, trong mục 1.6, một sự mở rộng của bài toán đang xét cũng được nghiên cứu. Chúng tôi chứng tỏ sự tồn tại nghiệm của phương trình: x(t) = q(t) + f(t, x(t), x(π(t))) + t 0 V (t, s, x(s), x(σ(s)))ds + t 0 G(t, s, x(s), x(χ(s)))ds , t ∈ R + , (1.1.2) và với π(t) = t, sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận đồng thời tính compact, liên thông của tập nghiệm của (1.1.2) cũng được trình bày. Nội dung của chương được công bố trong [N4], riêng kết quả về cấu trúc tập nghiệm thì được công bố trong [N3] như một trường hợp riêng và gửi công bố trong [N8]. 1.2 Định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii. Định lý 1.2.1. Giả sử (X, |.| n ) là không gian Fréchet và U, C : X → X là hai toán tử thoả mãn các điều kiện: (i) U là toán tử co, ứng với họ nửa chuẩn ||.|| n tương đương với họ nửa chuẩn |.| n . 3 (ii) C hoàn toàn liên tục nghĩa là C liên tục và biến các tập bị chặn thành tập compact tương đối. (iii) lim |x| n →∞ |Cx| n |x| n = 0, ∀n ∈ N ∗ . Khi đó U + C có điểm bất động. 1.3 Sự tồn tại nghiệm. Giả sử X = C(R + ; E) là không gian gồm tất cả các hàm liên tục từ R + vào E. Trên X xét họ nửa chuẩn |x| n = sup t∈[0,n] {|x(t)|}, n ≥ 1. Khi đó (X, |x| n ) là không gian metric đầy đủ với metric d(x, y) = ∞ n=1 2 −n |x−y| n 1+|x−y| n và (X, |x| n ) là không gian Fréchet. Xét trên X một họ nửa chuẩn khác là ||x|| n được định nghĩa như sau: ||x|| n = |x| γ n + |x| h n , n ≥ 1, ở đây |x| γ n = sup t∈[0,γ n ] {|x(t)|}; |x| h n = sup t∈[γ n ,n] {e −h n (t−γ n ) |x(t)|}, γ n ∈ (0, n) và h n > 0 là các số tuỳ ý. Hai họ nửa chuẩn |x| n , ||x|| n là tương đương. Ta thiết lập các g iả thiết sau: (A 1 ) Tồn tại hằng số L ∈ [0, 1) sao cho |f(t, x) −f(t, y)| ≤ L|x −y|, ∀x, y ∈ E, ∀t ∈ R + . (A 2 ) Tồn tại hàm liên tục ω 1 : ∆ → R + thoả mãn |V (t, s, x) − V (t, s, y)| ≤ ω 1 (t, s)|x −y|, ∀x, y ∈ E, ∀(t, s) ∈ ∆. (A 3 ) G là hoàn toàn liên tục sao cho G(t, ., .) : I × J → E liên tục đều theo t trên mỗi đoạn bị chặn tuỳ ý, với bất kỳ các tập bị chặn I ⊂ [0, ∞) và J ⊂ E; nghĩa là: Trên mỗi đoạn bị chặn tuỳ ý của [0, ∞), với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0, sao cho với mọi t 1 , t 2 cùng thuộc đoạn bị chặn đó, |t 1 − t 2 | < δ ⇒ |G(t 1 , s, x) − G(t 2 , s, x)| < ε, ∀(s, x) ∈ I × J. (A 4 ) Tồn tại hàm liên tục ω 2 : ∆ → R + sao cho lim |x|→∞ |G(t,s,x)|−ω 2 (t,s) |x| = 0, đều theo (t, s) trên mỗi tập con bị chặn tuỳ ý của ∆. Định lý 1.3.1. Giả sử (A 1 ) − (A 4 ) đúng. Khi đó phương trình (1.1.1) có ít nhất một nghiệm trên [0, ∞). 1.4 Nghiệm ổn định tiệm cận. Định nghĩa: Một hàm ξ được gọi là một nghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1) nếu với bất kỳ nghiệm x của (1.1.1), lim t→∞ |x(t) − ξ(t)| = 0. Chú ý 1.1. (i) Trong định nghĩa trên, nghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1) không nhất thiết là nghiệm của (1.1.1). 4 (ii) Nếu có một hàm ξ là nghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1) thì mọi nghiệm x của (1.1.1) đều là nghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1). Trong mục này, giả sử (A 1 ) −(A 4 ) đúng và giả sử thêm các điều kiện (A 5 ) V (t, s, 0) = 0, với mọi (t, s) ∈ ∆. (A 6 ) Tồn tại hai hàm số liên tục ω 3 , ω 4 : ∆ → R + sao cho |G(t, s, x)| ≤ ω 3 (t, s) + ω 4 (t, s)|x|, ∀(t, s) ∈ ∆. Định lý 1.4.1. Giả sử (A 1 ) −(A 6 ) đúng. Nếu lim t→∞ 2a 2 (t) + b(t)e t 0 b(s)ds t 0 2e − s 0 b(u)du a 2 (s) ds = 0, (1.4.1) ở đây a(t) = 1 1 −L t 0 ω 1 (t, s) + ω 4 (t, s) |ξ(s)|ds + 1 1 −L t 0 ω 3 (t, s)ds, b(t) = 2 (1 −L) 2 t 0 ω 1 (t, s) + ω 4 (t, s) 2 ds, thì tồn tại hàm ξ là nghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1). Hơn nữa, mỗi nghiệm của (1.1.1) cũng là một nghiệm ổn định tiệm cận. Chú ý 1.2. Với các giả thiết sau thì điều kiện (1.4.1) đúng. (H 1 ) +∞ 0 |q(s)| 2 ds < +∞, +∞ 0 |f(s, 0)| 2 ds < +∞; (H 2 ) lim t→∞ t 0 ω 3 (t, s)ds = 0, +∞ 0 s 0 ω 3 (s, u)du 2 ds < +∞; (H 3 ) Tồn tại các hàm số g i , h i : R + → R + , i = 1, 4 sao cho: (i) ω i (t, s) = g i (t)h i (s), ∀(t, s) ∈ ∆, (ii) lim t→∞ g i (t) = 0, (iii) +∞ 0 g 2 i (s)ds < +∞, +∞ 0 h 2 i (s)ds < +∞. Chú ý 1.3. Nếu g i : R + → R + , i = 1, 4 liên tục đều thì H 3 (ii) : lim t→∞ g i (t) = 0, được suy ra từ H 3 (iii) 1 : +∞ 0 g 2 i (s)ds < +∞. Chú ý 1.4. Chúng tôi xin nêu ví dụ minh hoạ về sự tồn tại nghiệm và tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1) trong đó f = 0, V (t, s, x) không tuyến tính theo biến thứ ba và E là không gian Ba nach tổng quát, cho thấy kết quả đạt được mạnh hơ n kết quả trước đó. Ví dụ. Giả sử E = C([0, 1]; R) với chuẩn thông thường |u| E = sup ζ∈[0,1] {|u(ζ)|}. Xét phương trình (1.1.1) với các hàm q, f, V, G được cho như sau: 5 Với mỗi x ∈ X = C R + ; E , với mọi t, s ≥ 0 (s ≤ t), ∀ζ ∈ [0, 1], q(t)(ζ) ≡ q(t, ζ) = 1 −k e t + ζ e −2t ; f(t, x)(ζ) = k e t + ζ e −2t sin π 2 (e t + ζ)x(ζ) ; V (t, s, x)(ζ) = 1 e t + ζ e −2s (e s + ζ)|x(ζ)|; G(t, s, x)(ζ) = 1 e t + ζ e −2s √ e s |x| E , ở đây k < 2 π là một hằng số dương. Rõ ràng q, f, V, G thoả (A 1 ) −(A 6 ), trong đó ω 1 (t, s) = e −t e −2s (e s + 1), ω 2 (t, s) = 0, ω 3 (t, s) = ω 4 (t, s) = 1 2 e −t e −2s √ e s . Hơn thế nữa, (H 1 ) − (H 3 ) đúng. Từ đó ta nhận được các kết quả như trong phát biểu của hai định lý 1.3.1 và 1.4.1. Chẳng hạn, (1.1.1) có ít nhất một nghiệm là x, với: x(t)(ζ) = 1 e t +ζ , ∀ζ ∈ [0, 1], ∀t ∈ R + . Đây cũng chính là một nghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1). 1.5 Tính compact, liên thông của tập hợp nghiệm. Tính chất này của tập nghiệm đã được xét trong [N3] cho phương trình tích phân xem như là một trường hợp riêng của (1.1.1), trong đó lý thuyết bậc tôpô của trường vectơ compact được vận dụng. Với phương pháp tương tự, mục này đề cập đến tính compact, liên thông của tập nghiệm của phương trình (1.1.1). Áp dụng định lý Krasnosel’skii - Perov và các bổ đề 1.5.1, 1.5.2, chúng tôi chứng minh định lý 1.5 .3. Kết quả thu được đã gửi công bố trong [N8]. Định lý Krasnosel’skii - Perov:(Krasnosel’skii, Zabreiko, Geometrical Methods of Nonlinear Analysis, 1984) Cho (E, | · |) là không gian Banach thực, D là tập con mở và bị chặn của E với biên ∂D và bao đóng D . Giả sử T : D → E là toán tử hoàn toàn liên tục thoả các điều kiện: (i) T không có điểm bất động trên ∂D và deg(I − T, D, 0) = 0. (ii) Với mọi ε > 0, tồn tại toán tử hoàn toàn liên tục T ε sao cho |T ε (x) −T(x)| < ε, với mọi x ∈ D, và sao cho với mỗi h mà |h| < ε, phương trình x = T ε (x) + h có nhiều nhất một nghiệm trên D. Khi đó tập hợp các điểm bất động của T là khác rỗng, compact và liên thông. Bổ đề 1.5.1. (Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its Applications, I, 1986) Giả sử M là tập con đóng khác rỗng của không gian metric X, Y là một không gian định chuẩn và f : M → Y là toán tử liên tục. Khi đó tồn tại một toán tử liên tục g : X → Y sao cho (i) g(X) ⊂ cof(M), ở đây cof(M) là bao lồi của f(M); (ii) g(x) = f(x), ∀x ∈ M. 6 Bổ đề 1.5.2. (Deimling, Nonlinear Functional Analysis, 1985) Giả sử E, F là các không gian Banach, D là một tập con mở của E và f : D → F liên tục. Khi đó với mỗi ε > 0, tồn tại một ánh xạ Lipschitz địa phương f ε : D → F sao cho |f(x) − f ε (x)| < ε, ∀x ∈ D và f ε (D) là tập con của bao lồi đóng của f(D). Định lý 1.5.3. Giả sử (A 1 ) −(A 4 ) đúng. Khi đó tập hợp nghiệm của phương trình (1.1.1) trên [0, ∞) khác rỗng, compact và liên thông. Chú ý 1.5. Từ chứng minh của định lý 1.5.3 ta suy ra rằng nếu cho thêm giả thiết G là Lipschitz địa phương thì (1.1.1) có duy nhất nghiệm. Chú ý 1.6. Chúng tôi trình bày một ví dụ thoả các điều kiện của định lý 1.5.3 và có ít nhất hai nghiệm, ở đây G không là Lipschitz địa phương. Trong trường hợp này có một continuum các nghiệm khác nhau của (1.1.1) chứa hai nghiệm đã cho. Ví dụ. Cho E = R. Xét phương trình (1.1.1), trong đó q(t) = 0; V (t, s, x) = − 3 2 x; G(t, s, x) = x 1 3 ; f(t, x) = 1 2 xsin(t −ln 3 2 ), nếu 0 ≤ t ≤ ln 3 2 , 0, nếu t > ln 3 2 . Khi đó (1.1.1) có dạng: x(t) = f(t, x(t)) − 3 2 t 0 x(s)ds + t 0 [x(s)] 1 3 ds, t ∈ R + . Rõ ràng, (1.1.1) có các nghiệm x 1 , x 2 , với x 1 (t) = − e −t + 2 3 3 2 , nếu t > ln 3 2 , 0, nếu 0 ≤ t ≤ ln 3 2 , và x 2 (t) = −x 1 (t). Dễ thấy x 1 , x 2 = 0. Ngo ài ra, x 3 = 0 cũng là một nghiệm của phương trình đã cho. 1.6 Một trường hợp tổng quát. Xét phương trình sau x(t) = q(t) + f(t, x(t), x(π(t))) + t 0 V (t, s, x(s), x(σ(s)))ds + t 0 G(t, s, x(s), x(χ(s)))ds , t ∈ R + , (1.6.1) ở đây q : R + → E; f : R + ×E ×E → E; G, V : ∆ ×E ×E → E là các hàm liên tục và ∆ = {(t, s) ∈ R + ×R + , s ≤ t}, đồng thời các hàm số π, σ, χ : R + → R + cũng là các hàm liên tục. Ta thành lập các giả thiết: (I 1 ) Tồn tại một hằng số L ∈ [0, 1) sao cho | f(t, x, u) − f(t, y, v)| ≤ L 2 |x −y| + |u −v| , ∀x, y, u, v ∈ E, ∀t ∈ R + . (I 2 ) Tồn tại hàm liên tục ω 1 : ∆ → R + sao cho |V (t, s, x, u)−V (t, s, y, v)| ≤ ω 1 (t, s) |x−y|+|u−v| , ∀x, y, u, v ∈ E, ∀(t, s ) ∈ ∆. 7 (I 3 ) G hoàn toàn liên tục sao cho G(t, ., ., .) : I × J 1 × J 2 → E liên tục đều theo t trên mọi đoạn bị chặn tuỳ ý, với bấ t kỳ các tập con bị chặn I ⊂ [0, ∞) và J 1 , J 2 ⊂ E. (I 4 ) Tồn tại một hàm liên tục ω 2 : ∆ → R + sao cho lim |x|+|u|→∞ |G(t,s,x,u)|−ω 2 (t,s) |x|+|u| = 0, đều theo (t, s) trên mỗi tập con bị chặn tuỳ ý của ∆. (I 5 ) 0 ≤ π(t) ≤ t, 0 ≤ σ(t) ≤ t, 0 ≤ χ(t) ≤ t, ∀t ∈ R + . Định lý 1.6.1. Giả sử (I 1 ) −(I 5 ) đúng. Khi đó (1.6.1) có nghiệm trên [0, ∞). Tiếp theo, ta xét sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của (1.6.1) được định nghĩa như trong mục 1.4. Ở đây, g iả sử (I 1 ) −(I 5 ) đúng và giả sử thêm (I 6 ) π(t) = t, ∀t ∈ R + . (I 7 ) V (t, s, 0, 0) = 0, ∀(t, s) ∈ ∆. (I 8 ) Tồn tại hai hàm liên tục ω 3 , ω 4 : ∆ → R + sao cho |G(t, s, x, u)| ≤ ω 3 (t, s) + ω 4 (t, s)(|x| + |u|), ∀(t, s ) ∈ ∆, ∀x, u ∈ E. Định lý 1.6.2. Giả sử (I 1 ) −(I 8 ) đúng. Giả sử thêm lim t→∞ 2e 2 (t) + p(t)e t 0 p(s)ds t 0 2e − s 0 p(u)du e 2 (s) ds = 0, (1.6.2) ở đây p(t) = 2 (1 −L) 2 t 0 ω 1 (t, s) + ω 4 (t, s) + ω 1 (σ(t), s) + ω 4 (σ(t), s) + ω 1 (χ(t), s) + ω 4 (χ(t), s) 2 ds, e(t) = t 0 θ(t, s) |ξ(s)| + |ξ(σ(s))| + |ξ(χ(s))| ds + 1 1 −L t 0 ω 3 (t, s)ds + ω 3 (σ(t), s) + ω 3 (χ(t), s) ds, θ(t, s) = 1 1 −L ω 1 (t, s) + ω 4 (t, s) + ω 1 (σ(t), s) + ω 4 (σ(t), s) + ω 1 (χ(t), s) + ω 4 (χ(t), s) . Khi đó tồn tại hàm ξ là nghiệm ổn định tiệm cận của (1.6.1). Hơn nữa mọi nghiệm của (1.6.1) cũng là nghiệm ổn định tiệm cận. Cuối cùng, ta cũng có kết quả sau đây về cấu trúc tập nghiệm của (1.6.1). Định lý 1.6.3. Giả sử (I 1 ) − (I 6 ) đúng. Khi đó tập hợp nghiệm của phương trình (1.6.1) trên [0, ∞) khác rỗng, compact và liên thông. Ta có lưu ý rằng định lý Krasnosel’skii -Perov là một công cụ mạnh để nghiên cứu đặc trưng tôpô của tập nghiệm trong trường hợp tổng quát. Tuy nhiên nó chưa đủ tinh để nhận được các tính chất đẹp hơn như tính liên thông đường, liên thông đường gấp khúc hoặc tính lồi của tập nghiệm trong trường hợp cụ thể. 8 [...]... được sự tồn tại nghiệm, sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận và tính compact, liên thơng của tập nghiệm của phương trình tích phân phi tuyến dạng Volterra trong trường hợp tổng qt hơn như sau t x(t) = q(t) + f (t, x(t), x(π(t))) + V (t, s, x(s), x(σ(s)))ds 0 t G(t, s, x(s), x(χ(s)))ds , t ∈ R+ + 0 2 - Chứng minh sự tồn tại nghiệm, sự duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm của bài tốn ba điểm. .. hợp nghiệm của bài tốn giá trị đầu (2.1.1)(2.1.4) khác rỗng, compact và liên thơng Ta có lưu ý rằng, phương pháp điểm bất động và các kỹ thuật trong hai chương 1 và 2 có thể vận dụng để khảo sát bài tốn giá trị đầu cho phương trình vi phân hàm cấp một có chậm Chẳng hạn trong [N10], áp dụng định lý Schauder và định lý ánh xạ co, sự tồn tại và duy nhất nghiệm, sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của bài... rằng, phương pháp điểm bất động thường được áp dụng để tìm nghiệm xấp xỉ Galerkin của các bài tốn biên phi tuyến và tuỳ theo dạng cụ thể của các yếu tố phi tuyến xuất hiện trong bài tốn mà các định lý điểm bất động Brouwer, Banach, Schauder, v.v sẽ được lựa chọn thích hợp Bằng phương pháp này, ngồi việc xét sự tồn tại và duy nhất nghiệm như trong chương 3, ta còn có thể xét cấu trúc tập nghiệm của bài... thuộc liên tục của nghiệm cũng được thiết lập Các mục 2.4, 2.5 được xem như là một áp dụng của các phương pháp đã sử dụng trong các chứng minh của mục 2.3, ở đây chúng tơi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình (2.1.1) với điều kiện biên hỗn hợp (2.1.3) hoặc với một điều kiện đầu (2.1.4) Đối với bài tốn giá trị đầu (2.1.1)-(2.1.4), sự duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm cũng được... của bài tốn này được chứng minh Sự tồn tại nghiệm tuần hồn cũng được chỉ ra nhờ áp dụng hệ quả của định lý điểm bất động Schauder- Tychonoff và một định lý điểm bất động của ánh xạ đa trị Mặt khác, tiếp tục áp dụng định lý Krasnosel’skii -Perov, tính compact và liên thơng của tập hợp nghiệm cũng được xem xét 13 Chương 3 ỨNG DỤNG NGUN LÝ ÁNH XẠ CO VÀO BÀI TỐN HỖN HỢP CHO PHƯƠNG TRÌNH SĨNG PHI TUYẾN CHỨA... sự tồn tại nghiệm, sự duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục 23 của nghiệm của bài tốn giá trị đầu sau đây cho phương trình vi phân hàm cấp hai có đối số chậm u + f (t, ut , u (t)) = 0, u0 = φ, u (0) = 0, 0 ≤ t ≤ 1, trong đó φ ∈ C - Chỉ ra cấu trúc của tập nghiệm của bài tốn giá trị đầu Đó là tập hợp khác rỗng, compact và liên thơng 3 - Chứng minh sự tồn tại nghiệm, sự duy nhất nghiệm của bài tốn... điểm bất động kiểu Krasnosel’skii - Áp dụng định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii ở trên để chứng minh sự tồn tại nghiệm và hơn nữa là sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của phương trình tích phân phi tuyến dạng Volterra sau đây t x(t) = q(t) + f (t, x(t)) + V (t, s, x(s))ds 0 t G(t, s, x(s))ds, t ∈ R+ + 0 - Chứng tỏ tập nghiệm của phương trình tích phân đang xét là tập compact, liên thơng - Minh... hạn, áp dụng định lý Schauder và định lý Krasnosel’skii - Perov, chúng tơi đã chứng minh được tập các nghiệm của các bài tốn giá trị biên-ban đầu cho phương trình sóng trong [N3, N9] là tập khác rỗng, compact và liên thơng 22 KẾT LUẬN Trong luận án này, chúng tơi sử dụng phương pháp điểm bất động kết hợp với lý luận về tính compact thơng dụng để khảo sát các bài tốn thuộc lý thuyết phương trình vi... cho phương trình vi phân hàm cấp hai có đối số chậm u + f (t, ut , u (t)) = 0, u0 = φ, u(1) = u(η), 0 ≤ t ≤ 1, trong đó φ ∈ C, 0 < η < 1 - Chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài tốn giá trị biên với điều kiện biên hỗn hợp cho phương trình vi phân hàm cấp hai có đối số chậm thuộc dạng u + f (t, ut , u (t)) = 0, 0 ≤ t ≤ 1, u0 = φ, u(1) = α[u (η) − u (0)], với φ ∈ C, 0 < η < 1, α ∈ R - Chứng minh sự tồn tại. .. bài tốn ba điểm biên và hai điểm biên được nghiên cứu bởi Ntouyas (1995) và Zhang (1995) Chương 2 gồm có 5 mục Mục 2.2 trình bày các ký hiệu và các kiến thức chuẩn bị Áp dụng định lý của Leray-Schauder "Nonlinear alternative", các định lý về sự tồn tại nghiệm của bài tốn ba điểm biên (2.1.1)-(2.1.2) được trình bày trong mục 2.3 Ngồi ra, tính duy nhất nghiệm - dựa trên ngun lý ánh xạ co và sự phụ thuộc . HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LÊ THỊ PHƯƠNG NGỌC ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã. hai nghiệm này. Trong chương 2, áp dụng định lý điểm bất động Leray-Schauder và nguyên lý ánh xạ co, chúng tôi chứng minh sự tồn tại, sự duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm của. mục. Trong mục 1.2, một định lý điểm bất động kiểu Kras- nosel’skii được chứng minh. Áp dụng định lý này, các mục 1.3, 1.4 nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của