SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO 10 - THPT TỈNH LÀO CAI NĂM HỌC: 2013 – 2014 MÔN: TOÁN (Chuyên) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I: (2,0 điểm) 1. Rút gọn biểu thức: ( ) ( ) ( ) 3 3 x y 2x x y y x y 3 xy y P x y x x y y − + + + − = + − + . (với x > 0; y > 0; x ≠ y). 2. Tính x biết x 3 = 3 3 1 3 4 3 2 − + Câu II: (2,0 điểm). Cho f(x) = x 2 – (2m+1)x + m 2 + 1 (x là biến, m là tham số) 1. Giải phương trình f(x) = 0 khi m = 1. 2. Tìm tất cả các giá trị m ∈ Z để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 sao cho biểu thức P = 1 2 1 2 x x x x+ có giá trị là số nguyên. Câu III: (2,0 điểm). 1. Giải hệ phương trình sau : ( ) ( ) 1 4 2 3x y 2x y 12y 4x 7 2x y 3x y  + =  − +   + = + −  2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 5x 2 + y 2 = 17 + 2xy Câu IV: (3,0 điểm). Cho đường tròn (O ; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy một điểm M (M không trùng với O và không trùng với hai đầu mút A và B). Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn (O) ở điểm P. Chứng minh rằng : 1. Tứ giác OMNP nội tiếp đường tròn. 2. Tứ giác CMPO là hình bình hành. 3. Tích CM.CN không đổi. 4. Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì điểm P chạy trên một đoạn thẳng cố định. Câu V: (1,0 điểm). Tìm hai số nguyên a và b để M = a 4 + 4b 4 là số nguyên tố. Hết Giải C©u 4 (3 ®iÓm): ĐỀ CHÍNH THỨC p n m a O D C B A (Bi ny l cõu 5 thi 2007-2008 TS Lo Cai) 1) Chứng minh rằng tứ giác OMNP nội tiếp đợc đờng tròn. ã ã 0 0 2 OMP 90 (do MP AB) ONP 90 (t / ct ) = = M, N cùng nhìn PO dới 1 góc không đổi bằng 90 0 nên tứ giác OMNP nội tiếp đợc đờng tròn đờng kính OP. 2) Chứng minh rằng OP // a. Tam giác OCN cân tại O nên ã ã OCN ONC= (1) MP // CP nên ã ã OCN PMN= (2) Do tứ giác OMNP nội tiếp nên ã ã PON PMN= (3) Từ (1), (2), (3) suy ra ã ã ONC PON= , hai góc này ở vị trí so le trong nên OP // a do ú T giỏc CMPO l hỡnh bỡnh hnh. 3) hai tam giỏc COM v CND vuụng cú gúc C chung nờn ng dng suy ra CM CO CD CN = do ú CM.CN=CO.CD=R.2R=2R 2 khụng i. 4) Tìm tập hợp những điểm P khi M di động. Tứ giác MODP là hình chữ nhật nên P luôn cách AB một khoảng không đổi bằng bán kính (O) do đó P thuộc đờng thẳng d // AB cách AB một khoảng không đổi OD Giới hạn: P thuộc đoạn thẳng nằm giữa hai tiếp tuyến tại A và B của (O). d . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO 10 - THPT TỈNH LÀO CAI NĂM HỌC: 2013 – 2014 MÔN: TOÁN (Chuyên) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I: (2,0 điểm) 1 điểm). Tìm hai số nguyên a và b để M = a 4 + 4b 4 là số nguyên tố. Hết Giải C©u 4 (3 ®iÓm): ĐỀ CHÍNH THỨC p n m a O D C B A (Bi ny l cõu 5 thi 200 7-2 008 TS Lo Cai) 1) Chứng minh rằng tứ. đường tròn (O ; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy một điểm M (M không trùng với O và không trùng với hai đầu mút A và B). Đường thẳng CM cắt đường tròn (O)