SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI CỤM TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH – TÂY HỒ ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2011-2012 Môn Toán học - Lớp 11 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề thi gồm có 01 trang. Câu 1 (7 điểm): a) Giải phương trình lượng giác: 4 4 3 2(sin cos ) tan cot x x x x     b) Tính các giới hạn sau: 3 2 lim 3 n n n A   , 3 2 3 2 0 3( 2 3) 3 1 lim x x x x x B x        . Câu 2 (4 điểm): Cho dãy số * ( ), n u n  xác định bởi: 1 2 1, 2 u u   và 2 1 2 2012 . n n n u u u a n       với tham số  a R . a) Khi 0 a  . Xét dãy số ( ) n v với 1 n n n v u u    , *  n N . Chứng minh rằng dãy số ( ) n v là một cấp số cộng. Tính tổng 2012 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. b) Xác định số hạng tổng quát của dãy số ( ) n u . Câu 3 (7 điểm): Trong không gian, cho 3 tia , , Ox Oy Oz đôi một vuông góc với nhau. A, B, C lần lượt là các điểm di động trên các tia , , Ox Oy Oz sao cho: 2 2 2 1 1 1 k OA OB OC    với k là một hằng số dương. a) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác nhọn và trực tâm H của tam giác ABC luôn cách O một khoảng không đổi. b) Chứng minh rằng: 2 2 2 2 ABC OAB OBC OCA S S S S        trong đó , , , ABC OAB OBC S S S    OCA S  lần lượt là diện tích các tam giác , , ABC OAB , OBC OCA . c) M là điểm thuộc miền trong tam giác ABC (M không thuộc các cạnh của tam giác). Gọi , ,    lần lượt là các góc hợp bởi đường thẳng OM và các đường thẳng OA, OB, OC. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos cos 3 4 sin sin sin sin sin sin                Câu 4 (2 điểm): Cho dãy số   n a với *  n N , gồm các số tự nhiên, được xác định như sau: 1 2  a , 1 ( 1) 1     n n a n a , *   n N . Với mỗi *  n N , xét 1 n a  điểm khác nhau cùng nằm trên một mặt phẳng, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Mỗi đoạn thẳng nối hai trong 1 n a  điểm này được tô bằng một trong n màu khác nhau. Chứng minh rằng, tồn tại tam giác có đỉnh là ba trong 1 n a  điểm đã cho và các cạnh đều được tô cùng một màu. HẾT Họ và tên Thí sinh: ……………………………………… Số Báo danh: …………………… . NỘI CỤM TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH – TÂY HỒ ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2 011 -2012 Môn Toán học - Lớp 11 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề thi gồm có 01 trang. Câu 1 (7.   . Câu 2 (4 điểm): Cho dãy số * ( ), n u n  xác định bởi: 1 2 1, 2 u u   và 2 1 2 2012 . n n n u u u a n       với tham số  a R . a) Khi 0 a  . Xét dãy số ( ) n v với. 1 n n n v u u    , *  n N . Chứng minh rằng dãy số ( ) n v là một cấp số cộng. Tính tổng 2012 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. b) Xác định số hạng tổng quát của dãy số ( ) n u . Câu