ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Bài tốn diện tích D: a ≤ x ≤ b, y nằm f(x) y = f ( x) D a S ( D) = ∫ b a b f ( x) dx Bài tốn diện tích D: a ≤ x ≤ b, y nằm f1(x) f2(x) y = f ( x) y = f1 ( x ) b a S ( D) = ∫ b a f ( x) − f1 ( x ) dx Bài tốn diện tích d D: c ≤ y ≤ d, x nằm f(y) S ( D) = ∫ d c x = f ( y) f ( y ) dy c Bài tốn diện tích D: c ≤ y ≤ d, x nằm f1(y) f2(y) c d x = f1 ( y ) x = f2 ( y) S ( D) = ∫ d c f ( y ) − f1 ( y ) dy Lưu ý Có thể vẽ hình đường cong đơn giản tìm hồnh độ(tung độ giao điểm) để xác định cận tích phân •Tính hồnh độ giao điểm ⇒ tích phân tính theo biến x(ngược lại tính theo y) Lưu ý tính đối xứng Nếu miền D đối xứng qua Ox, D1 phần phía Ox D S ( D) = S ( D1 ) Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi: y = x ( x − 2), y = Hoành độ giao điểm: 0, S ( D) = = ∫ 2 ∫0 x ( x − 2) − dx 16 x (2 − x)dx = 15 Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi: y = x , y = 0, x + y = Ví dụ S ( D) = ∫ b a f ( x) − f1 ( x ) dx S ( D) = ∫ x dx + ∫ (2 − x)dx Hoặc S ( D) = ∫ (2 − y ) − y  dy  0 = Ví dụ Tính thể tích D quay quanh Ox −x D : y = xe , y = 0, x = Vx = π ∫0 ( xe ) −x dx Ví dụ Tính thể tích D quay quanh Ox, Oy D : y = − x , y = 0, −1 ≤ x ≤ y = − x2 Vx = π -1 V y = 2π ∫ ∫ ( −1 = 2π x − x dx 1− x ) dx ( − x ) dx ∫0 Ví dụ Tính thể tích D quay quanh Ox, Oy 2 D : x + y ≤ 2y Pt đường tròn giới hạn C: x = ± y − y2 hay y = 1± 1− x Tính thể tích D quay quanh Ox, Oy D : y = x − x, y = 0,0 ≤ x ≤ Tính thể tích D quay quanh Ox, Oy D : y = x − x, y = 3,0 ≤ x ≤ Bài tốn diện tích, thể tích với đường cong tham số D giới hạn trục hoành, đường thẳng x=a, x=b đường cong tham số x = x(t ), y = y (t ), x(t1 ) = a, x(t2 ) = b Nếu S ( D) = Vx = π ∫ t2 t1 ∫ t2 t1 y (t ) x′(t )dt y (t ) x′(t )dt , V y = 2π ∫ t2 t1 x(t ) y (t ) x′(t ) dt Ví dụ Tính diện tích miền D giới hạn bởi: 3 x = cos t , y = sin t ,0 ≤ t ≤ π trục hoành t ∈ [0, π ] ⇒ x ∈ [−1,1] S ( D) = ∫ −1 ydx = ∫π sin t.3cos t.( − sin t ) dt π (sin t = 6∫ 3π − sin t )dt = 16 Ví dụ 3 D: x = cos t , y = sin t ,0 ≤ x ≤ π trục hồnh Tính thể tích tạo D quay quanh Ox, Oy Nhận xét: D đối xứng qua Oy (thay x π - x ) t ∈ [0, π / 2] ⇒ x ∈ [0,1]  Vx = 2. π  ∫ ∫ = 2π  y dx ÷  π 2 y (t ) x′(t )dt Vx = 2π = ∫ π sin t.3cos t.( − sin t ) dt π (sin t − sin t ) dt 6π V y = 2π = 2π ∫ ∫ ∫ x y dx π cos 3 t sin t 3cos t ( − sin t ) dt Độ dài đường cong phẳng Diện tích mặt trịn xoay Cho đường cong C: y= f(x), a ≤ x ≤ b Độ dài đường cong C: L = ∫ b a + [ f ′( x) ] dx Khi C quay quanh Ox tạo thành diện tích : S x = 2π ∫ b a f ( x) + [ f ′( x) ] dx Ví dụ x ( x − 12),0 ≤ x ≤ 12 Cho đường cong C: y = Tính độ dài đường cong diện tích mặt tạo C quay quanh Ox  x − 12  y′ =  + x 6 x  ( x − 4) + y′ = + 16 x x − 12 x − = = x x ( x − 4) + y′ = + 16 x L= ∫ 12 ′2 dx = 1+ y S x = 2π = 2π ∫ 12 ∫ 12 x + x + 16 ( x + 4) = = 16 x 16 x ∫ 12 x + 4 x y + y′ dx x x+4 x − 12 dx x dx Ví dụ Cho đường cong C: y = ln x, ≤ x ≤ Tính diện tích mặt trịn xoay tạo C quay quanh Oy y y = ln x, ≤ x ≤ ⇔ x = e ,0 ≤ y ≤ ln S y = 2π ∫0 f ( y ) + [ f ′( y ) ] dy ln y e = 2π ∫ 2y + e dy ln y e S y = 2π ∫ = 2π ∫ 2y + e dy + x dx ( = 5− + ln(2 + 5) − ln(1 + 2) 2 ) Bài toán độ dài cung diện tích mặt trịn xoay với đường cong tham số Cho đường cong C: x = x(t), y = y(t), t1≤ t ≤ t2 L=∫ t2 [ x′(t )] t1 t2 S x = 2π ∫ y (t ) t1 + [ y′(t ) ] dt [ x′(t )] 2 + [ y′(t ) ] dt ... Có thể vẽ hình đường cong đơn giản tìm hồnh độ(tung độ giao điểm) để xác định cận tích phân •Tính hồnh độ giao điểm ⇒ tích phân tính theo biến x(ngược lại tính theo y) Lưu ý tính đối xứng Nếu miền... Ox Bài tốn thể tích D: a ≤ x ≤ b, y nằm f(x) Vật thể tạo có dạng trịn xoay Quay D xung quanh Ox Bài tốn thể tích D: a ≤ x ≤ b, y nằm f(x) y = f ( x) D a Vx = π ∫ b a b f ( x)dx Bài tốn thể tích. . .Bài tốn diện tích D: a ≤ x ≤ b, y nằm f(x) y = f ( x) D a S ( D) = ∫ b a b f ( x) dx Bài tốn diện tích D: a ≤ x ≤ b, y nằm f1(x) f2(x) y = f ( x)