CHƯƠNG 4: TÍCH PHÂN Tích phân bất định Tích phân xác định Tích phân suy rộng Ứng dụng hình học tích phân Tích phân bất định Nguyên hàm: Hàm F(x) gọi nguyên hàm hàm f(x) khỏang (a,b) điểm x thuộc (a,b) ta có F’(x) = f(x) Từ định nghĩa nguyên hàm ta suy ra: Nếu F(x) nguyên hàm f(x) F(x)+C nguyên hàm hàm f(x) Mọi nguyên hàm f(x) có dạng F(x)+C Định lý: Mọi hàm liên tục [a,b] (liên tục ∀x ∈ (a, b) liên tục trái b, liên tục phải a) có ngun hàm [a,b] Tích phân bất định Định nghĩa tích phân bất định : Nếu hàm F(x) nguyên hàm hàm f(x) F(x)+C (C: số) gọi tích phân bất định hàm f(x), kí hiệu ∫ f ( x)dx = F ( x) + C Tính chất: ∫ f ′( x)dx = f ( x) + C d ∫ f ( x)dx = f ( x) dx ∫ a f ( x)dx = a.∫ f ( x)dx ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx Tích phân bất định Bảng tích phân hàm α +1 x α ∫ dx = tan x + C x dx = + C , α ≠ −1 ∫ cos x α +1 1 ∫ dx = − cot x + c ∫ x dx = ln x + C sin x 1 x ax x ∫ 2 dx = a arctan a + C ∫ a dx = ln a + C a +x ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ cos xdx = sin x + c 1 x+a ∫ 2 dx = 2a ln x − a + C a −x dx x ∫ sin x = ln tan + C dx x π ∫ cos x = ln tan  + ÷ + C   Tích phân bất định Bảng tích phân hàm x ∫ 2 dx = arcsin a + c a −x ∫ x2 ± a2 dx = ln x + x ± a + C a2 x x a2 − x2 a − x dx = arcsin + +C ∫ a dx ∫ = thx + C ch x ∫ shxdx = chx + C dx ∫ chxdx = chx + C ∫ = −cthx + C sh x Tích phân bất định Phương pháp đổi biến: Định lý: Nếu ∫ f ( x)dx = F ( x) + C Thì: ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t ) dt = F (ϕ (t )) + C Với φ(t) hàm khả vi Ta kiểm tra lại cách tính đạo hàm vế phải: ( F (ϕ (t )) + C ) ′ = F ′(ϕ (t )).ϕ ′(t ) = f (ϕ (t )).ϕ ′(t ) Ta hàm dấu tích phân vế trái tức định lý chứng minh Định lý sở cách đổi biến thường gặp sau Tích phân bất định Phương pháp đổi biến 1: Đặt x = φ(t), φ(t) hàm khả vi có hàm ngược t= φ-1(x) ta có ∫ f ( x)dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt Nếu nguyên hàm f(φ(t))φ’(t) G(t) f ( x)dx = G (t ) + C = G (ϕ −1 ( x)) + C ∫ Ví dụ: Tính tích phân I1 = ∫ − x dx Đặt x = sint dx = cos tdt   − x = cos t   t = arcsin x   sin2t = x − x   I1 = ∫ cos tdt + cos 2t 1 arcsin x x − x =∫ dt = t + sin2t + C = + +C 2 4 Tích phân bất định Phương pháp đổi biến 2: Đặt u = φ(x), du=φ(x)dx giả sử ∫ f ( x)dx = ∫ g (ϕ ( x ))ϕ ′( x)dx với ∫ g ( x)dx = G ( x) + C Thì ∫ f ( x)dx = G (ϕ ( x)) + C dx Ví dụ: Tính I = ∫ x2 + a2 x Đặt u = ⇒ du = dx ⇒ dx = adu a a adu 1 x I2 = ∫ = arctan u + C = arctan + C a a a u +1 a Tích phân bất định Ví dụ: Tính I = ∫ e x + e x dx 2udu Đặt u = + e ⇒ e = u − ⇒ e dx = 2udu ⇒ dx = u −4 2udu 2 I = ∫ (u − 4)u (e x + 4)3 + C = ∫ 2u du = u + C = 3 u −4 dx Ví dụ: Tính I = ∫ x +1 x dx  x  I4 = ∫ x x = ∫ x − x ÷2 dx = ∫ dx − J (2 + 1) +1 2 x x du dx du ln(2 − 1) x x = dx ⇒ J = ∫ x =∫ = Đặt u = +1 ⇒ ln u ln ln 2 +1 x ln(2 − 1) ⇒ I4 = x − +C ln x x x Tích phân bất định Phương pháp tích phân phần: Định lý: Cho hàm u(x), v(x) khả vi u(x), v’(x) có nguyên hàm (a,b) Khi hàm u’(x), v(x) có nguyên hàm (a,b) ta có ∫ u′( x)v( x)dx = u ( x)v( x) − ∫ u ( x)v′( x)dx Đẳng thức tương đương với: ∫ ( u′( x)v( x) + u ( x)v′( x) ) dx = u ( x)v( x) Đẳng thức hiển nhiên theo cơng thức đạo hàm tích Ta cịn viết CT dạng ∫ udv = uv − ∫ vdu Tích phân bất định Tích phân số hàm vô tỉ ax + b )dx cx + d Đặt: t = n ax + b 1.∫ f cx + d Để đưa thành hàm hữu tỉ ( x, n x + dx I11 = ∫ x − ( x − 1)3 x +1 −6t 2dt Đặt: t = Ta được: ⇒ x − = , dx = x −1 t −1 (t − 1)  t7 t4  −6t dt (t − 1)3 I11 = ∫ t = −6 ∫ t (t − 1)dt = −6  − ÷+ C (t − 1) 7 4 Ví dụ: Tính −6  x +   x +1 =  ÷ +  ÷ +C  x −1   x −1  Tích phân bất định dx Ví dụ: Tính I11 = ∫ x + 3( x + − 1) Đặt: t = x + ⇒ x = t − 3, dx = 4t 3dt 4t 3dt ⇒ I11 = ∫ t (t − 1)   I11 = ∫ 1 + ÷dt  t −1  = 4t + 4ln t − + C = 4 x + + ln x + −1 + C Tích phân bất định Ví dụ : Tính I12 = ∫ x Đặt: t = ⇒ I12 x −1 dx x +1 x −1 1+ t 4tdt ⇒x= , dx = x +1 1− t (1 − t ) 4t dt   =∫ = ∫ + − dt 2 2÷ (1 − t )(t + 1) 1− t 1+ t 1+ t  = ln t + − ln − t − 2arctan t + C = ln x +1 + x −1 x −1 − 2arctan +C x +1 x +1 − x −1 Tích phân bất định b 2.∫ f ( x, ax + bx + c )dx Đặt u = a ( x + 2a ) Đưa tam thức bậc dạng u2+a2, u2-a2, a2-u2 dùng cách đổi biến cụ thể: a Dạng u2+a2: đặt u=a.tant u=a.cotant b Dạng u2-a2: đặt u=a/cost u=a/sint c Dạng a2-u2: đặt u=a.cost u=a.sint Ví dụ: Tính I13 = ∫ I13 = ∫ d ( x − 1) ( x − 1) + 22 dx x2 − x + = ln ( x − 1) + ( x − 1) + 22 + C Tích phân bất định Ví dụ: Tính I14 = ∫ x − 1dx x sin udu dx sin udu Đặt x = ⇒ x − = tan u, dx = , = cos u cos u cos u x I14 tan u.sin u.du 2 =∫ = ∫ tan udu = ∫ (tan u + 1)du − ∫ du cos u − cos u = tan u − u + C = −u +C cos u 1 = x − − arccos + C x x Tích phân bất định Trong số trường hợp cụ thể, nên nhớ cách riêng sau mx + n TH 1: ∫ dx Tính hàm hữu tỉ ax + bx + c ( x + 4)dx Ví dụ: Tính I15 = ∫ − x − x2 d (x + ) −1 (−2 x − 1)dx I15 = ∫ + ∫ 2 − x − x 2 − ( x + )2 d (x + ) −1 d (2 − x − x ) = ∫ + ∫ 2 ( )2 − ( x + )2 − x − x2 2 2x +1 = − x − x + arcsin +C 2 TH : ∫ Tích phân bất định dx ( x − α ) ax + bx + c Đặt (x-α)=1/t để đưa dạng dx Ví dụ: Tính I16 = ∫ ( x + 2) x + x Đặt − dt 1  1  x + = ⇒ dx = , x + 2x =  − ÷ +  − ÷= − t t  t  t2 t t −dt d (1 − 2t ) I16 = ∫ = − 2t =∫ − 2t − 2t = 1− +C x+2 Tích phân bất định ( x − 1)dx Ví dụ: Tính I17 = ∫ ( x + 1) x + dx dx I17 = ∫ − 2∫ = ln x + x + + J x2 + ( x + 1) x + − dt 2 1  x + = ⇒ dx = , x + =  − 1÷ + = − + 2 t t  t t2 t Đặt J =∫ dt =∫ 2t − 2t + d (t − ) 1 = ln t − + t − t + + C 2 )2 + 2 (t − 2 1− x I17 = ln x + x + + ln + 2( x + 1) x2 + +C Tích phân bất định Tích phân Trebushep dạng ∫ x m (a + bx n ) p dx m, n, p số hữu tỉ a Nếu p ∈ Z , đặt x = ts, s=BCNN(m,n) m +1 b Nếu ∈ Z , đặt a+bxn=ts, s mẫu số p n m +1 c Nếu + p ∈ Z , đặt ax-n+b=ts, s mẫu số p n Tích phân bất định Ví dụ: Tính I18 = ∫ dx x ( x + 1)10 Ta viết lại hàm dấu dạng −1   −10 −1 1+ x x  ÷ , m = , n = , p = −10   Đặt x = t4 → dx = 4t3dt I18 = ∫ = 4t 3dt 10 t (1 + t ) 9(1 + x ) = 4∫ − dt (1 + t ) − 4∫ 8(1 + x ) dt 10 (1 + t ) +C = 9(1 + t ) − 8(1 + t ) +C Tích phân bất định Tích phân hàm lượng giác ∫ f (cos x,sin x)dx a Nếu f(-sinx,cosx) = - f(sinx,cosx): đặt t=cosx b Nếu f(sinx,-cosx) = - f(sinx,cosx): đặt t=sinx c Nếu f(-sinx,-cosx) = f(sinx,cosx): đặt t=tanx d Tổng quát: đặt t=tan(x/2) x 2dt 1− t2 2t t = tan ⇒ dx = ,cos x = ,sin x = 2 1+ t 1+ t 1+ t2 t = tan x ⇒ dx = dt 1+ t ,sin x = t 1− t2 ,cos x = 1− t2 Tích phân bất định x 2dx Ví dụ: Tính I19 = ∫ x2 ( x + 1) Đặt: x −2 ( x + 1) = x (1 + x ) −5 , m = 2, n = 2, p = −5 +1 = t ⇒ x = t −1 , dx = −tdt (t + 1)3  t2 −1  −dt I19 = ∫  ÷ =∫ = +C 2 ÷  t t − (t − 1)3  t 3t  −tdt  x2  =  ÷ +C  x2 + ÷   Tích phân bất định dx Ví dụ: Tính I 20 = ∫ 4sin x + 3cos x + x Đặt: t = tan ⇒ x = 2arctan t I 20 = ∫ 2dt 1+ t2 + t 4.2t + 3(1 − t ) + 5(1 + t ) d (t + ) =∫ = ∫ 4t + 4t + (t + ) + ( ) 2 2t + = arctan +C 3 tan x + 1 = arctan +C 3 dt Tích phân bất định dx Ví dụ: Tính I 21 = ∫ 2 2sin x − sin2x + 3cos x Hàm dấu chẵn với sinx, cosx nên ta đặt t = tan x ⇒ x = arctan t I 21 = ∫ dt 1+ t2 + t 2t − 2t + dt (t − ) = ∫ (t − ) + ( ) 2 2t − 1 tan x − = arctan + C = arctan +C 5 Tích phân bất định 3sin x + 4cos x Ví dụ: Tính I 22 = ∫ dx 2cos x − 5sin x Ta viết tử số dạng a.MS+b.(MS)’ Giả sử: 3sin x + 4cos x = a (2cos x − 5sin x) + b(2cos x − 5sin x)′ a =  −29 2a − 5b = ⇔ ⇔ −5a − 2b = b = 26 −29   −7 26 d (2cos x − 5sin x) I 22 = ∫ dx − ∫ 29 29 2cos x − 5sin x −7 26 = x − ln 2cos x − 5sin x + C 29 29 ... f(x) có dạng F(x)+C Định lý: Mọi hàm liên tục [a,b] (liên tục ∀x ∈ (a, b) liên tục trái b, liên tục phải a) có ngun hàm [a,b] Tích phân bất định Định nghĩa tích phân bất định : Nếu hàm F(x) nguyên... a (x + a ) 2a  x + a Tích phân bất định Tích phân phân thức đơn giản lọai 1: d x+b M M M a dx = ∫ = x+b ∫ k a a (ax + b) k a 1− k b x+ a ( ( ) ) ( ) 1− k +C Tích phân phân thức đơn giản lọai... ′(ϕ (t )).ϕ ′(t ) = f (ϕ (t )).ϕ ′(t ) Ta hàm dấu tích phân vế trái tức định lý chứng minh Định lý sở cách đổi biến thường gặp sau Tích phân bất định Phương pháp đổi biến 1: Đặt x = φ(t), φ(t)