Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng tổng giao không gian véc tơ con
KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP. HCM — 2013. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 1 / 53 Nội dung 1 Không gian véc-tơ con: bao tuyến tính, không gian nghiệm của hệ thuần nhất 2 Tổng và giao của các không gian véc-tơ con TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 2 / 53 Số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau= n. ∀ tập có số véctơ lớn hơn n đều PTTT 1 tập ĐLTT thì số véctơ n ∀ tập có số véctơ nhỏ hơn n đều không là tập sinh của E . 1 tập là tập sinh của E thì số véctơ n. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 3 / 53 1 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của E . 1 tập gồm n véctơ sinh ra E đều là cơ sở của E . M = {x 1 , x 2 , . . . , x k } (k < n) ĐLTT, x không là THTT của k véctơ của M khi đó M ∪ {x} ĐLTT Nếu M = {x 1 , x 2 , . . . , x m } (m > n) là tập sinh của E , x i là THTT của những véctơ còn lại của M thì khi bỏ x i ta được M = M\{x i } là tập sinh của E . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 4 / 53 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Định nghĩa không gian véctơ con Định nghĩa Giả sử E là một K −kgv, F ⊂ E. Ta nói F là một không gian véctơ con của E khi và chỉ khi 1 F = ∅ 2 ∀x, y ∈ F , x + y ∈ F 3 ∀λ ∈ K , ∀x ∈ F , λx ∈ F . Ký hiệu F là một K -kgvc của E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 5 / 53 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Định nghĩa không gian véctơ con Định lý Giả sử E là một K -kgv, F ⊂ E. Nếu F là một K -kgvc của E thì F là một K −kgv với luật 1 + : F × F → F (x, y ) −→ x + y 2 • : K × F → F (λ, x) −→ λ.x cảm sinh bởi các luật của E . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 6 / 53 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ Ví dụ F = R × {0} = {(x 1 , x 2 ) : x 1 ∈ R, x 2 = 0} là 1 không gian véctơ con của R−kgv R 2 . Ta có F ⊂ R 2 , (0, 0) ∈ F ⇒ F = ∅. Với mọi x = (x 1 , 0), y = (y 1 , 0) ∈ F thì x+y = (x 1 +y 1 , 0) ∈ F , ∀λ ∈ R, λx = (λx 1 , 0) ∈ F . Vậy F là không gian véctơ con của R 2 . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 7 / 53 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ Ví dụ F = {(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 : 2x 1 − 2x 2 + x 3 = 0} là 1 không gian véctơ con của R−kgv R 3 . Ta có F ⊂ R 3 , (0, 0, 0) ∈ F ⇒ F = ∅. ∀x = (x 1 , x 2 , x 3 ), y = (y 1 , y 2 , y 3 ) ∈ F ⇒ 2x 1 − 2x 2 + x 3 = 0 và 2y 1 − 2y 2 + y 3 = 0. Từ đó, suy ra x + y = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , x 3 + y 3 ), 2(x 1 + y 1 ) − 2(x 2 + y 2 ) + (x 3 + y 3 ) = (2x 1 −2x 2 +x 3 )+(2y 1 −2y 2 +y 3 ) = 0 ⇒ x +y ∈ F , TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 8 / 53 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ ∀λ ∈ R, λx = (λx 1 , λx 2 , λx 3 ), khi đó 2λx 1 − 2λx 2 + λx 3 = λ(2x 1 − 2x 2 + x 3 ) = 0 ⇒ λx ∈ F. Vậy F là không gian véctơ con của R 3 . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 9 / 53 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ Ví dụ F = {(x 1 , x 2 , x 3 ) : x 1 , x 2 , x 3 ∈ R, x 1 +2x 2 +x 3 = 1} không là 1 không gian véctơ con của R−kgv R 3 . Thật vậy, với x = (x 1 , x 2 , x 3 ), y = (y 1 , y 2 , y 3 ) ∈ F thì x + y = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , x 3 + y 3 ) và (x 1 + y 1 ) + 2(x 2 + y 2 ) + (x 3 + y 3 ) = (x 1 + 2x 2 + x 3 ) + (y 1 + 2y 2 + y 3 ) = 1 + 1 = 2. Do đó x + y /∈ F . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 10 / 53 [...]... −kgv, F1, F2 là 2 không gian véctơ con của E Ta ký hiệu F = F1 + F2 = = {x ∈ E , ∃(x1, x2) ∈ F1 × F2, x = x1 + x2} được gọi là tổng của F1 và F2 Định lý Tổng F = F1 + F2 là một không gian véctơ con của E TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG— 2013 TP HCM GIAN VÉCTƠ CON 32 / 53 Tổng và giao các không gian con Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con Định nghĩa Giả... −c b=0 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG— 2013 TP HCM GIAN VÉCTƠ CON 17 / 53 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ Vậy p(x) = c(−x 2 + 1) Do đó {−x 2 + 1} là tập sinh của F −x 2 + 1 = 0 nên luôn độc lập tuyến tính Như vậy, −x 2 + 1 là 1 cơ sở của F và số chiều dim(F ) = 1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG— 2013 TP HCM GIAN VÉCTƠ CON 18... không gian con Phần bù của không gian con Định nghĩa Hai không gian véctơ con F1, F2 của K -kgv E được gọi là bù nhau trong E ⇔ F1 + F2 = E ⇔ F1 ⊕ F2 = E F1 F2 = {0} Ví dụ K = R, E = R2, các không gian véctơ con F1 = R × {0}, F2 = {0} × R có F1 F2 = {0} và F1 ⊕ F2 = R × R = R2 = E TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG— 2013 TP HCM GIAN VÉCTƠ CON 34 / 53 Tổng và giao. .. của không gian nghiệm Số chiều của không gian nghiệm của hệ này là 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG— 2013 TP HCM GIAN VÉCTƠ CON 23 / 53 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính Số chiều của bao tuyến tính < M > và hạng của hệ véctơ Định lý Giả sử M = {x1, x2, , xp } ⊂ E có hạng r và W =< M > là không gian véctơ con. .. họ các không gian véctơ con của E , thế thì giao Fi là i∈I một không gian véctơ con của E Chứng minh Đặt F = Fi i∈I 1 2 3 F = ∅ vì ∀i ∈ I , 0 ∈ Fi ⇒ 0 ∈ F ∀x, y ∈ F ⇒ ∀i ∈ I , x, y ∈ Fi ⇒ x + y ∈ Fi ⇒x +y ∈F ∀i ∈ I , x ∈ Fi ⇒ ∀λ ∈ K , λx ∈ Fi ⇒ λx ∈ F TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG— 2013 TP HCM GIAN VÉCTƠ CON 31 / 53 Tổng và giao các không gian con Định... không gian véctơ con của E Ta nói rằng, F1, F2 có tổng trực tiếp khi và chỉ khi F1 F2 = {0} Khi đó ta ký hiệu F1 ⊕ F2 là tổng trực tiếp của F1, F2 Ví dụ K = R, E = R3, các không gian véctơ con F1 = R × {0} × {0}, F2 = {0} × R × {0} có F1 F2 = {0} và F1 ⊕ F2 = R × R × {0} TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG— 2013 TP HCM GIAN VÉCTƠ CON 33 / 53 Tổng và giao các không. .. giao các không gian con Phần bù của không gian con Số chiều của phần bù của không gian con Định lý Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, dim(E ) = n, F là một không gian véctơ con của E , dim(F ) = p(p n) Khi đó F có ít nhất một phần bù trong E Mọi phần bù của F trong E đều có số chiều là n − p 1 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG— 2013 TP HCM GIAN VÉCTƠ CON 35... con độc lập tuyến tính tối đại của M Chứng minh Mr sinh ra W TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG— 2013 TP HCM GIAN VÉCTƠ CON 24 / 53 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính Vì Mr độc lập tuyến tính tối đại nên mỗi véctơ thuộc M đều là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của Mr ⇒ mọi véctơ của W là tổ hợp tuyến tính của các véctơ... ∀x ∈ F đều là tổ hợp tuyến tính của những véctơ của B ⇒ B là tập sinh của F TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG— 2013 TP HCM GIAN VÉCTƠ CON 16 / 53 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv P2(x) cho không gian con F = {p(x) ∈ P2(x) : p(1) = 0, p(−1) = 0} Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con F ∀p(x) = ax 2 + bx + c ∈ F , ta có p(1)... VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG— 2013 TP HCM GIAN VÉCTƠ CON 35 / 53 Tổng và giao các không gian con Phần bù của không gian con Hệ quả Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, F và G là 2 không gian véctơ con của E có tổng trực tiếp Khi đó dim(F ⊕ G ) = dim(F ) + dim(G ) Ta có F và G là 2 không gian véctơ con của E nên H = F ⊕ G cũng là không gian véctơ con của E ⇒ dim(H) = p n Mặt khác H = F ⊕ G nên G là phần bù . Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 4 / 53 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Định nghĩa không gian véctơ con Định nghĩa Giả. F là không gian véctơ con của R 3 . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 9 / 53 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con. một không gian véctơ con của E . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 12 / 53 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví