KHÔNG GIAN VÉCTƠ Bài giảng điện tử TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP. HCM — 2013. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 1 / 111 Nội dung 1 Định nghĩa không gian véc-tơ 2 Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính 3 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ 4 Tọa độ của véctơ, ma trận chuyển cơ sở TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 2 / 111 Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Số thực 1 + : R × R → R (x, y) → x + y 2 • : R → R (λ, x) → λ.x Số phức 1 + : C × C → C (x, y) → x + y 2 • : C → C (λ, x) → λ.x Đa thức có bậc không lớn hơn n 1 + : P n (x) × P n (x) → P n (x) (p(x), q(x)) → p(x) + q(x) 2 • : R × P n (x) → P n (x) (λ, p(x)) → λ.p(x) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 3 / 111 Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Véc-tơ trong mặt phẳng 1 + : R 2 × R 2 → R 2 ( −→ x , −→ y ) → −→ x + −→ y ( −−→ OM, −−→ ON) → −−→ OM + −−→ ON 2 • : R × R 2 → R 2 (λ, −→ x ) → λ. −→ x (λ, −−→ OM) → λ. −−→ OM Véc-tơ trong không gian 1 + : R 3 × R 3 → R 3 ( −→ x , −→ y ) → −→ x + −→ y ( −−→ OM, −−→ ON) → −−→ OM + −−→ ON 2 • : R × R 3 → R 3 (λ, −→ x ) → λ. −→ x (λ, −−→ OM) → λ. −−→ OM KHÔNG GIAN VÉCTƠ TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 4 / 111 Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Cho E = ∅ và trường K (R hoặc C) với 2 phép toán 1 + : E × E → E (x, y) −→ x + y 2 • : K × E → E (λ, x) −→ λ.x sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau: ∀x, y, z ∈ E , ∀λ, µ ∈ K 1 x + y = y + x 2 x+(y +z) = (x+y)+z 3 ∃0 ∈ E : x + 0 = x 4 ∃(−x) ∈ E : x + (−x) = 0 5 (λ + µ)x = λx + µx 6 λ(x + y ) = λx + λy 7 λ(µx) = (λ.µ)x 8 1.x = x thì E được gọi là một K -không gian véctơ.(K-kgv) Nếu K = R thì ta có không gian véctơ thực, nếu K = C thì ta có không gian véctơ phức. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 5 / 111 Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ Ví dụ không gian véctơ R n = {x = (x 1 , . . . , x n ), x i ∈ R, i = 1, n} + : R n × R n → R n , (x, y) → x + y = (x 1 + y 1 , . . . , x n + y n ) • : R × R n → R n (λ, x) → (λx 1 , . . . , λx n ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 6 / 111 Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ C n = {x = (x 1 , . . . , x n ), x i ∈ C, i = 1, n} + : C n × C n → C n , (x, y) → x + y = (x 1 + y 1 , . . . , x n + y n ) • : C × C n → C n (λ, x) → (λx 1 , . . . , λx n ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 7 / 111 Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ X = ∅, E − K − kgv , E X = {f : X → E } + : E X × E X → E X , (f , g) → (f + g )(x) = f (x) + g(x), ∀x ∈ X • : K × E X → E X (λ, f ) → (λf )(x) = λf (x), ∀x ∈ X M m ×n (K ) + : M m ×n (K ) × M m ×n (K ) → M m ×n (K ), (A, B) → A + B = (a ij + b ij ) • : K × M m ×n (K ) → M m ×n (K ) (λ, A) → λA = (λa ij ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 8 / 111 Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ C [a,b] những hàm số liên tục trên đoạn [a, b] + : C [a,b] × C [a,b] → C [a,b] , (f , g) → f + g = f (x) + g(x) • : K × C [a,b] → C [a,b] (λ, f ) → λf = λf (x) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 9 / 111 Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ E = R 2 , + : E × E → E , • : R × E → E ((x 1 , x 2 ), (y 1 , y 2 )) → (x 1 y 1 , x 2 y 2 ) λ(x 1 , x 2 ) → (x λ 1 , x λ 2 ). Chứng minh. Rõ ràng, ∀x, y ∈ E ⇒ x + y ∈ E, ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K ⇒ λx ∈ E . Kiểm tra 8 tiên đề 1 x + y = (x 1 y 1 , x 2 y 2 ) = y + x, ∀x, y ∈ E. 2 x + (y + z) = (x 1 y 1 z 1 , x 2 y 2 z 2 ) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ E. 3 ∃0 = (1, 1) ∈ E : x + 0 = 0 + x = (x 1 , x 2 ) = x, ∀x ∈ E 4 ∀x ∈ E , ∃(−x) = ( 1 x 1 , 1 x 2 ) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 = (1, 1) 5 (λ + µ)x = (x λ+µ 1 , x λ+µ 2 ) = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E. 6 λ(x + y ) = ((x 1 y 1 ) λ , (x 2 y 2 ) λ ) = λx + λy, ∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E. 7 λ(µx) = (x λµ 1 , x λµ 2 ) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 8 1.x = (x 1 1 , x 1 2 ) = x, ∀x ∈ E TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 10 / 111 [...]... 7 −5 0 véctơ x = (4, 3, 5) không là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 19 / 111 Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xét xem véctơ x = (4, 3, 10) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) hay không? TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM... λ = 0 và λ = 1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 12 / 111 Cấu trúc không gian véctơ Định lý Một số tính chất đầu tiên của không gian véctơ Định lý Giả sử E làm một K − kgv , ∀λ, µ ∈ K , ∀x, y ∈ E ta có λx = 0 ⇔ λ = 0 ∨ x = 0 (λ − µ)x = λx − µx λ(x − y ) = λx − λy phần tử 0 ∈ E là duy nhất 1 2 3 4 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 13 / 111 Sự phụ thuộc và...Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ VÍ DỤ TẬP HỢP KHÔNG PHẢI LÀ KGVT Đa thức có bậc đúng bằng n > 0 + : Pn (x) × Pn (x) → Pn (x), (p(x), q(x)) → p(x) + q(x) • : R × Pn (x) → Pn (x) (λ, p(x)) → λ.p(x) Tuy nhiên, ∀p(x) ∈ Pn (x) thì 0.p(x) = 0 ∈ Pn (x) / TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 11 / 111 Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ E = R2 , + : E × E → E , ((x1,... cho 2 véc tơ x, y cùng phương: x = k.y ⇐⇒ 1.x − k.y = 0 Suy ra x, y PTTT Ngược lại x, y ĐLTT khi và chỉ khi x, y không cùng phương Tương tự trong R3, 3 véctơ x, y , z PTTT khi và chỉ khi chúng đồng phẳng Ngược lại, 3 véctơ ĐLTT khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 24 / 111 Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Thuật toán Kiểm tra các véctơ x1, x2,... 0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 21 / 111 Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Hệ tương ứng có vô số nghiệm (λ1, λ2, λ3) = (9 + 9t, −5 − 7t, t), t ∈ R Vậy véctơ x = (4, 3, 10) là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) và x = (9 + 9t)x1 + (−5 − 7t)x2 + tx3, t ∈ R TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 22 / 111 Sự... TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 16 / 111 Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính  Ví dụ     2 −1 1 λ1 1 ⇔  1 1 1   λ2  =  4  ⇔ 1 −1 −2 λ3 −3   λ1 = 1 λ =2  2 λ3 = 1 Vậy véctơ x = (1, 4, −3) là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (2, 1, 1), x2 = (−1, 1, −1), x3 = (1, 1, −2) và x = x1 + 2x2 + x3 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 17 / 111 Sự phụ... K không đồng thời bằng 0 {x1, x2, , xm } là phụ thuộc tuyến tính m λi xi = λ1x1 + sao cho i=1 λ2x2 + + λm xm = 0 m λi xi = i=1 λ1x1 + λ2x2 + + λm xm = 0 ⇒ λ1 = λ2 = = λm = 0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) {x1, x2, , xm } là độc lập tuyến tính KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 23 / 111 Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Véctơ ĐLTT, PTTT trong mặt phẳng, trong không gian Trong R2, cho 2 véc. .. TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 15 / 111 Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xét xem véctơ x = (1, 4, −3) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (2, 1, 1), x2 = (−1, 1, −1), x3 = (1, 1, −2) hay không? Giải λ1x1 + λ2x2 + λ3x3 = x ⇔ (2λ1, λ1, λ1) + (−λ2, λ2, −λ2) + (λ3, λ3, −2λ3) = (1, 4, −3)   2λ1 − λ2 + λ3 = 1 ⇔ λ + λ2 + λ3 = 4  1 λ1 − λ2 − 2λ3 = −3 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG... TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 26 / 111 Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Thuật toán Trường hợp đặc biệt m = n Ta có thể tính det(A) thay cho r (A) Nếu det(A) = 0 thì x1, x2, , xm độc lập tuyến tính Nếu det(A) = 0 thì x1, x2, , xm phụ thuộc tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 27 / 111 Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xác định tập hợp các véctơ... Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 28 / 111 Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xác định tập hợp các véctơ x1 = (1, 2, 3), x2 = (4, 5, 6), x3 = (7, 8, 9) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải  1 4 7 T T T Đặt A = x1 x2 x3 =  2 5 8  3 6 9 Ta thấy det(A) = 0 nên x1, x2, x3 phụ thuộc tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM)  KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 29 . -không gian véctơ.(K-kgv) Nếu K = R thì ta có không gian véctơ thực, nếu K = C thì ta có không gian véctơ phức. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 5 / 111 Cấu trúc không. TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 1 / 111 Nội dung 1 Định nghĩa không gian véc- tơ 2 Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính 3 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ 4 Tọa độ của véctơ,. λ. −→ x (λ, −−→ OM) → λ. −−→ OM KHÔNG GIAN VÉCTƠ TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 4 / 111 Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Cho E = ∅ và trường K (R hoặc C)