Đang tải... (xem toàn văn)
Các phép biến đổi ảnh (phần 2)
Xử lý ảnh số Các phép biến đổi ảnh Chương trình dành cho kỹ sư CNTT Nguyễn Linh Giang Các phép biến đổi ảnh •Biến đổi đơn nguyên ( unitary ) •Biến đổi Fourier •Biến đổisin, cosin •Biến đổi Hadamar •Biến đổiHaar •Biến đổiK-L Biến đổi đơn nguyên ( unitary ) •Ma trận Unitar và ma trậntrựcgiao –Ma trậnA làtrựcgiaonếu A -1 = A T hay AA T = I •Vídụ: –Ma trận A là ma trận đơn nguyên ( unitary ) nếu A -1 = A* T hay AA* T = I •Vídụ: –Ma trậnA làthực thì A = A * , tính trực giao và tính đơn nguyên trùng nhau. –Ma trậnA *T còn gọilàA H –ma trận Hermitian 11 11 2 1 − =A 11 11 2 1 − =A 1 1 2 1 j j A = Biến đổi đơnnguyên( unitary ) •Biến đổi unitar mộtchiều ( 1D-unitary ) – A ma trận đơn nguyên, AA *T =I – s(n) = { s(0), s(1), , s(n-1)} –S = (s 0 , s 1 , , s n-1 ) T –Biến đổi đơn nguyên mộtchiều: ⎩ ⎨ ⎧ = = VAS ASV T* S = A -1 V = A *T V = Σ i a i *T v i trong đó a i *T = (a * i,0 , …, a * i,N-1 ) T – là cộithứ i củama trậnA *T và là hàng thứ i củama trậnA * – a i *T gọilàvector cơ sở củaphépbiến đổi đơn nguyên A – Phép biến đổi đơn nguyên A phân tích vector S thành tổ hơp tuyến tính của các vector cơ sở vớivector hệ số phântíchlàV Biến đổi đơnnguyên( unitary ) –Vídụ: •với A = I = ( , E i , ) , ta có s = ∑ i a i v i = ∑ i E i v i , trong đóE i là vector đơnvị cơ sở và bằng: E i = ( 0, , 0, 1, 0, , 0 ) •Tínhchấtcủa phép biến đổi đơn nguyên: –Làphépbiến đổituyến tính: S 1 ⇒ V 1 S 2 ⇒ V 2 a, b: const S = aS 1 + bS 2 ⇒ V = aV 1 +bV 2 – Định thứcvàcácgiátrị riêng củaA bằng 1; – Phép quay: phép biến đổi đơn nguyên là phép quay vector trong không gian N chiều hay nói cách khác là phép quay hệ trụctọa độ quanh gốctọa độ trong không gian; Biến đổi đơnnguyên( unitary ) –Bảotoànnăng lượng ( đẳng thứcParseval): ||s|| 2 = ||v|| 2 –Năng lượng tập trung: • Đốivới ảnh thông thường, năng lượng phân bố không đều; •Cácthànhphầnbiến thiên nhanh chiếmnăng lượng nhỏ trong tín hiệu; •Nhiều phép biến đổi đơn nguyên tậptrungnăng lượng ảnh vào một vài thành phầnhệ số biến đổi; –Giảitương quan ( decorrelation ) • Đầu vào là vector có các thành phầntương quan mạnh, qua phép biến đổinhận được các thành phầntương quan yếu; •Ma trậnhiệpbiến: E[ ( x – E(x))( x – E(x)) *T ] –Cácthànhphầnnhỏ cách xa đường chéo có tương quan yếu. Biến đổi đơnnguyên( unitary ) •Biến đổi đơn nguyên hai chiều(2D unitary transform ) –A -ma trận đơn nguyên: AA *T = I – s(m, n ): ma trận ảnh S; – v(k, l): ma trậnhệ số biến đổi V; –Biến đổi đơn nguyên hai chiều: – Điềukiệntrựcchuẩn: – Điềukiện đầy đủ của hệ cơ sở: –Khaitriểnbiến đổi hai chiều: ⎩ ⎨ ⎧ = = ** VAAS ASAV T T ∑∑ − = − = −−= 1 0 1 0 ''* , , ),(),(),( '' N m N n lk lk llkknmanma δ ∑∑ − = − = −−= 1 0 1 0 * ,, )','()','(),( N k N l lklk nnmmnmanma δ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = ∑∑ ∑∑ − = − = − = − = 1 0 1 0 * , 1 0 1 0 , ),(),(),( ),(),(),( N k N l lk N m N n lk nmalkvlks nmanmslkv Biến đổi đơnnguyên( unitary ) – Độ phứctạp: •CầnN 2 phép toán nhân số phức; •CầnN 2 phép cộng số phức; • Độ phứctạpO(N 4 ) đốivới ảnh NxN – Khi ma trận A có các phầntử phân tách được: •a k,l (m,n) = a k (m) b l (n) , hay là a k,l (m,n) = a(k,m) b(l,n) •{a k (m)} k và {b l (n)} l là tậphợp đầy đủ các vector cơ sở trựcchuẩn1-D –Sử dụng các vector này làm các hàng của các ma trận đơn nguyên A=|a(k,m)| và B=|b(l,n)| •Ápdụng vào các hàng và cộtcủa V , ta có: V = A X B T • Trong nhiềutrường hợp, A và B đượcchọn trùng nhau. • Đốivới ảnh vuông NxN: V = AXA T ; S = A H YA* • Đốivới ảnh chữ nhậtMxN: V = A M XA N T ; S = A M H YA N * • Độ phứctạptínhtoán: ~ O(N 3 ) Biến đổi đơnnguyên( unitary ) • Các hình ảnh cơ sở –S = A H VA * , sau khi khai triển, ta sẽ có: s(m, n) =∑ k ∑ l a*(k,m)a*(l,n)v(k,l) –Dướidạng ma trận: •a* k cộtthứ k củama trậnA H •a* l cộtthứ l củama trậnA H •A k,l = a* k (a* l ) T : ma trậnhìnhảnh cơ sở •S = ∑ k ∑ l A k,l v(k, l): khai triểnhìnhảnh S thành tổ hợp tuyến tính các hình ảnh cơ sở vớicáchệ số khai triểnbằng phầntử tương ứng củama trậnV. Biến đổi đơnnguyên( unitary ) [...].. .Phép biến đổi Fourier đơn nguyên • Phép biến đổi Fourier đơn nguyên một chiều: – S = (s0, s1, , sN-1)T: vector tín hiệu – Ma trận Fourier đơn nguyên trong đó WN=e-j2kπn/N: vector cơ sở – Biến đổi Fourier đơn nguyên 1D: 1 kn F= WN N ⎧ V = FS ⎨ *T ⎩S = F V – Khai triển phép biến đổi Fourier đơn nguyên 1D: ⎧ 1 N −1 nk v(k ) = s( n )WN ∑ ⎪ ⎪ N n =0 ⎨ 1 N −1 − ⎪ s(n ) = v (k )WN nk ∑ ⎪ N k =0 ⎩ N ×N Phép. .. )WN ∑ ⎪ ⎪ N n =0 ⎨ 1 N −1 − ⎪ s(n ) = v (k )WN nk ∑ ⎪ N k =0 ⎩ N ×N Phép biến đổi Fourier đơn nguyên – Ví dụ: s(n) = 1 với 0≤ n ≤64 các hệ số Fourier N=128 điểm: Phép biến đổi Fourier đơn nguyên • Phép biến đổi Fourier đơn nguyên hai chiều – – – – Ma trận đơn nguyên: F = FT; F* = F*T; F* = F-1 V = FSF S = F*VF* Khai triển phép biến đổi 2D Fourier đơn nguyên ⎧ 1 ⎪ v(k, l ) = N ∑ ⎪ n=0 ⎨ 1 N −1 ⎪s(m, n)... =0 l Phép biến đổi Fourier đơn nguyên • Tính chất của phép biến đổi Fourier đơn nguyên – Tính tuyến tính; – Biến đổi Fourier của tín hiệu bị dịch – Phép quay: khi tín hiệu bị quay một góc θ, phổ của tín hiệu cũng bị quay đi cùng một góc; – Khai triển: ⎧ ⎪ g (m ' , n' ) = ⎨ ⎪0, ⎩ ⎛m n ⎞ f⎜ , ⎟ ⎜ p p⎟ , m, nM p ⎝ ⎠ otherwise G(k , l ) = F (k mod N , l mod N ), (u, v) ∈ [(0,0), (nN , nN )] Phép biến đổi. .. f⎜ , ⎟ ⎜ p p⎟ , m, nM p ⎝ ⎠ otherwise G(k , l ) = F (k mod N , l mod N ), (u, v) ∈ [(0,0), (nN , nN )] Phép biến đổi Fourier đơn nguyên • 2D UDFT của một số ảnh đơn giản – – – – Hàm hình sin Tín hiệu chữ nhật Hàm Gauss Lọc thông thấp Phép biến đổi Fourier đơn nguyên . Xử lý ảnh số Các phép biến đổi ảnh Chương trình dành cho kỹ sư CNTT Nguyễn Linh Giang Các phép biến đổi ảnh Biến đổi đơn nguyên ( unitary ) Biến đổi Fourier Biến đổisin, cosin Biến đổi Hadamar Biến. ) •Tínhchấtcủa phép biến đổi đơn nguyên: –Làphépbiến đổituyến tính: S 1 ⇒ V 1 S 2 ⇒ V 2 a, b: const S = aS 1 + bS 2 ⇒ V = aV 1 +bV 2 – Định thứcvàcácgiátrị riêng củaA bằng 1; – Phép quay: phép biến đổi. 1D: NN kn N W N F × = 1 ⎩ ⎨ ⎧ = = VFS FSV T* ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = ∑ ∑ − = − − = 1 0 1 0 )( 1 )( )( 1 )( N k nk N N n nk N Wkv N ns Wns N kv Phép biến đổiFourier đơnnguyên –Vídụ: s(n) = 1 với0≤ n ≤64 các hệ số Fourier N=128 điểm: Phép biến đổiFourier đơnnguyên •Phépbiến đổi Fourier đơn nguyên hai chiều –Ma