Trần Sĩ Tùng Lượng giác VẤN ĐỀ 6: Công thức nhân Công thức nhân đôi sin2 2sin .cos α α α = 2 2 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin α α α α α = − = − = − 2 2 2tan cot 1 tan2 ; cot 2 2cot 1 tan α α α α α α − = = − Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*) 2 2 2 1 cos2 sin 2 1 cos2 cos 2 1 cos2 tan 1 cos2 α α α α α α α − = + = − = + 3 3 3 2 sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos 3tan tan tan3 1 3tan α α α α α α α α α α = − = − − = − Bài 1. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết: a) khi 5 3 cos2 , sin2 , tan2 cos , 13 2 π α α α α π α = − < < b) khicos2 , sin2 , tan2 tan 2 α α α α = c) khi 4 3 sin , cos sin2 , 5 2 2 π π α α α α = − < < d) khi 7 cos2 , sin2 , tan2 tan 8 α α α α = Bài 2. Tính giá trị của biểu thức sau: a) o o o o A cos20 .cos40 .cos60 .cos80= ĐS: 1 16 b) o o o B sin10 .sin50 .sin70= ĐS: 1 8 c) C 4 5 cos .cos .cos 7 7 7 π π π = ĐS: 1 8 d) D 0 0 0 cos10 .cos50 .cos70= ĐS: 3 8 e) o o o o E sin6 .sin42 .sin66 .sin78= ĐS: 1 16 f) G 2 4 8 16 32 cos .cos .cos .cos .cos 31 31 31 31 31 π π π π π = ĐS: 1 32 h) o o o o o H sin5 .sin15 .sin25 sin75 .sin85= ĐS: 2 512 i) I 0 0 0 0 0 cos10 .cos20 .cos30 cos70 .cos80= ĐS: 3 256 k) K 96 3 sin .cos .cos cos cos 48 48 24 12 6 π π π π π = ĐS: 9 l) L 2 3 4 5 6 7 cos .cos .cos .cos .cos .cos .cos 15 15 15 15 15 15 15 π π π π π π π = ĐS: 1 128 Trang 67 Lượng giác Trần Sĩ Tùng m) M sin .cos .cos 16 16 8 π π π = ĐS: 2 8 Bài 3. Chứng minh rằng: a) n n n a a a a a P a 2 3 sin cos cos cos cos 2 2 2 2 2 .sin 2 = = b) n n Q n n n 2 1 cos .cos cos 2 1 2 1 2 1 2 π π π = = + + + c) n R n n n 2 4 2 1 cos .cos cos 2 1 2 1 2 1 2 π π π = = − + + + Bài 4. Chứng minh các hệ thức sau: a) x x 4 4 3 1 sin cos cos4 4 4 + = + b) x x x 6 6 5 3 sin cos cos4 8 8 + = + c) x x x x x 3 3 1 sin .cos cos .sin sin4 4 − = d) x x x x 6 6 2 1 sin cos cos (sin 4) 2 2 4 − = − e) x x 2 1 sin 2sin 4 2 π   − = −  ÷   f) x x x 2 2 1 sin 1 2cot .cos 4 4 π π − =     + −  ÷  ÷     g) x x x 1 cos 2 tan . 1 4 2 sin 2 π π π   + +  ÷     + =  ÷     +  ÷   h) x x x 1 sin2 tan 4 cos2 π   + + =  ÷   i) x x x cos cot 1 sin 4 2 π   = −  ÷ −   k) x x x x x x 2 2 2 2 tan 2 tan tan .tan3 1 tan .tan 2 − = − l) x x xtan cot 2cot= − m) x x x 2 cot tan sin2 + = n) x x vôùi x 1 1 1 1 1 1 cos cos , 0 . 2 2 2 2 2 2 8 2 π + + + = < < Bài 5. a) VẤN ĐỀ 7: Công thức biến đổi 1. Công thức biến đổi tổng thành tích cos cos 2cos .cos 2 2 a b a b a b + − + = cos cos 2sin .sin 2 2 a b a b a b + − − = − sin sin 2sin .cos 2 2 a b a b a b + − + = sin sin 2cos .sin 2 2 a b a b a b + − − = sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b + + = sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b − − = sin( ) cot cot sin .sin a b a b a b + + = b a a b a b sin( ) cot cot sin .sin − − = Trang 68 Trần Sĩ Tùng Lượng giác sin cos 2.sin 2.cos 4 4 π π α α α α     + = + = −  ÷  ÷     sin cos 2sin 2 cos 4 4 π π α α α α     − = − = − +  ÷  ÷     2. Công thức biến đổi tích thành tổng Bài 1. Biến đổi thành tổng: a) a b a b2sin( ).cos( )+ − b) a b a b2cos( ).cos( )+ − c) x x x4sin3 .sin2 .cos d) x x x 13 4sin .cos .cos 2 2 e) o o x xsin( 30 ).cos( 30 )+ − f) 2 sin .sin 5 5 π π g) x x x2sin .sin2 .sin3 . h) x x x8cos .sin2 .sin3 i) x x xsin .sin .cos2 6 6 π π     + −  ÷  ÷     k) a b b c c a4cos( ).cos( ).cos( )− − − Bài 2. Chứng minh: a) x x x x4cos .cos cos cos3 3 3 π π     − + =  ÷  ÷     b) x x x x4sin .sin sin sin3 3 3 π π     − + =  ÷  ÷     Áp dụng tính: o o o A sin10 .sin50 .sin70= o o o B cos10 .cos50 .cos70= C 0 0 0 sin20 .sin 40 .sin80= D 0 0 0 cos20 .cos40 .cos80= Bài 3. Biến đổi thành tích: a) x2sin 4 2+ b) x 2 3 4cos− c) x 2 1 3tan− d) x x xsin2 sin4 sin6 + + e) x x3 4cos4 cos8+ + f) x x x xsin5 sin6 sin7 sin8+ + + g) x x x1 sin2 –cos2 –tan2+ h) o o x x 2 2 sin ( 90 ) 3cos ( 90 )+ − − i) x x x xcos5 cos8 cos9 cos12 + + + k) x xcos sin 1 + + Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau: a) x x x x A x x x x cos7 cos8 cos9 cos10 sin7 sin8 sin9 sin10 − − + = − − + b) x x x B x x x sin2 2sin3 sin4 sin3 2sin4 sin5 + + = + + c) x x x C x x 2 1 cos cos2 cos3 cos 2cos 1 + + + = + − d) x x x D x x x sin4 sin5 sin6 cos4 cos5 cos6 + + = + + Bài 5. Tính giá trị của các biểu thức sau: a) A 2 cos cos 5 5 π π = + b) B 7 tan tan 24 24 π π = + c) o o o C 2 2 2 sin 70 .sin 50 .sin 10= d) o o o o D 2 2 sin 17 sin 43 sin17 .sin43= + + Trang 69 Lượng giác Trần Sĩ Tùng e) o o E 1 2sin70 2sin10 = − f) o o F 1 3 sin10 cos10 = − g) o o o o o o G tan80 cot10 cot25 cot75 tan25 tan75 = − + + h) H 0 0 0 0 tan9 tan27 tan63 tan81= − − + ĐS: A 1 2 = B 2( 6 3)= − C 1 64 = D 3 4 = E = 1 F = 4 G = 1 H = 4 Bài 6. Tính giá trị của các biểu thức sau: a) 7 13 19 25 sin sin sin sin sin 30 30 30 30 30 π π π π π ĐS: 1 32 b) o o o o o 16.sin10 .sin30 .sin50 .sin70 .sin90 ĐS: 1 c) o o o o cos24 cos48 cos84 cos12+ − − ĐS: 1 2 d) 2 4 6 cos cos cos 7 7 7 π π π + + ĐS: 1 2 − e) 2 3 cos cos cos 7 7 7 π π π − + ĐS: 1 2 f) 5 7 cos cos cos 9 9 9 π π π + + ĐS: 0 g) 2 4 6 8 cos cos cos cos 5 5 5 5 π π π π + + + ĐS: –1 h) 3 5 7 9 cos cos cos cos cos 11 11 11 11 11 π π π π π + + + + ĐS: 1 2 Bài 7. Chứng minh rằng: a) o o o o tan9 tan27 tan63 tan81 4− − + = b) o o o tan20 tan40 tan80 3 3− + = c) o o o o tan10 tan50 tan60 tan70 2 3− + + = d) o o o o o 8 3 tan30 tan40 tan50 tan60 .cos20 3 + + + = e) o o o o o tan20 tan40 tan80 tan60 8sin40+ + + = f) o o o6 4 2 tan 20 33tan 20 27tan 20 3 0− + − = Bài 8. Tính các tổng sau: a) S n k 1 cos cos3 cos5 cos(2 1) ( ) α α α α α π = + + + + − ≠ b) n S n n n n 2 2 3 ( 1) sin sin sin sin . π π π π − = + + + + c) n S n n n n 3 3 5 (2 1) cos cos cos cos . π π π π − = + + + d) S vôùi a a a a a a a 4 1 1 1 , . cos .cos2 cos2 .cos3 cos4 .cos5 5 π = + + + = e) n S x x x x 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 cos cos2 cos3 cos2 −       = + + + +  ÷ ÷ ÷  ÷       Trang 70 Trần Sĩ Tùng Lượng giác ĐS: n S 1 sin2 2sin α α = ; S n 2 cot 2 π = ; S n 3 cos π = − ; a a S a 4 tan5 tan 1 5 sin − = = − ; n x S x 1 5 tan2 tan 2 − = Bài 9. a) Chứng minh rằng: x x x 3 1 sin (3sin sin3 ) (1) 4 = − b) Thay n n n n a a a a x vaøo tính S 3 3 1 3 2 (1), sin 3sin 3 sin . 3 3 3 3 − = = + + + ĐS: n n n a S a 1 3 sin sin . 4 3   = −  ÷   Bài 10. a) Chứng minh rằng: a a a sin2 cos 2sin = . b) Tính n n x x x P 2 cos cos cos . 2 2 2 = ĐS: n n n x P x sin . 2 sin 2 = Bài 11. a) Chứng minh rằng: x x x 1 cot cot sin 2 = − . b) Tính n n S k 1 1 1 1 1 (2 ) sin sin2 sin2 α π α α α − − = + + + ≠ ĐS: n S 1 cot cot 2 2 α α − = − Bài 12. a) Chứng minh rằng: x x x x 2 tan .tan2 tan2 2tan= − . b) Tính n n n n a a a a a S a 2 2 1 2 2 1 tan .tan 2tan .tan 2 tan .tan 2 2 2 2 2 − − = + + + ĐS: n n n a S atan 2 tan 2 = − Bài 13. Tính x 2 sin 2 , biết: x x x x 2 2 2 2 1 1 1 1 7 tan cot sin cos + + + = ĐS: 8 9 Bài 14. Chứng minh các đẳng thức sau: a) x x x xcot tan 2tan2 4cot 4− − = b) x x x x 2 1 2sin 2 1 tan2 1 sin4 1 tan2 − + = − − c) x x x x 2 6 6 2 1 3tan tan 1 cos cos − = + d) x x x x x x 1 sin2 cos2 tan4 cos4 sin2 cos2 − − = + e) x x x x x xtan6 tan4 tan2 tan2 .tan4 .tan6− − = f) x x x x x sin7 1 2cos2 2cos4 2cos6 sin = + + + g) x x x x x xcos5 .cos3 sin7 .sin cos2 .cos4+ = Bài 15. a) Cho a b bsin(2 ) 5sin+ = . Chứng minh: a b a 2tan( ) 3 tan + = Trang 71 Lượng giác Trần Sĩ Tùng b) Cho a b atan( ) 3tan+ = . Chứng minh: a b a bsin(2 2 ) sin2 2sin2+ + = Bài 16. Cho tam giác ABC. Chứng minh: a) A B C A B Csin sin sin 4cos cos cos 2 2 2 + + = b) A B C A B Ccos cos cos 1 4sin sin sin 2 2 2 + + = + c) A B C A B Csin2 sin2 sin2 4sin .sin .sin+ + = d) A B C A B Ccos2 cos2 cos2 1 4cos .cos .cos+ + = − − e) A B C A B C 2 2 2 cos cos cos 1 2cos .cos .cos+ + = − f) A B C A B C 2 2 2 sin sin sin 2 2cos .cos .cos+ + = + Bài 17. Tìm các góc của tam giác ABC, biết: a) B C vaø B C 1 sin .sin . 3 2 π − = = ĐS: B C A, , 2 6 3 π π π = = = b) B C vaø B C 2 1 3 sin .cos . 3 4 π + + = = ĐS: A B C 5 , , 3 12 4 π π π = = = Bài 18. Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC vuông: a) A B Ccos2 cos2 cos2 1+ + = − b) A B Ctan2 tan2 tan2 0+ + = c) b c a B C B Ccos cos sin .sin + = d) B a c b cot 2 + = Bài 19. Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC cân: a) A B a A b B a btan tan ( )tan 2 + + = + b) B C B C 2 2tan tan tan .tan+ = c) A B A B A B sin sin 1 (tan tan ) cos cos 2 + = + + d) C A B C 2sin .sin cot 2 sin = Bài 20. Chứng minh bất đẳng thức, từ đó suy ra điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC đều: a) A B C 3 3 sin sin sin 2 + + ≤ HD: Cộng sin 3 π vào VT. b) A B C 3 cos cos cos 2 + + ≤ HD: Cộng cos 3 π vào VT. c) A B Ctan tan tan 3 3+ + ≥ (với A, B, C nhọn) d) A B C 1 cos .cos .cos 8 ≤ HD: Biến đổi A B C 1 cos .cos .cos 8 − về dạng hằng đẳng thức. Bài 21. a) Trang 72