GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1 Bài Ðạo hàm vi phân số biến I KHÁI NIỆM VỀ ÐẠO HÀM 1.Ðịnh nghĩa: Cho hàm số f(x) xác ðịnh khoảng chứa xo Nếu tỉ số có giới hạn  R x  xo ta nói f có ðạo hàm xo giá trị giới hạn ðýợc gọi ðạo hàm hàm số f xo Ðạo hàm f xo thýờng ðýợc ký hiệu là: f’ o) (x n v h c2 o Các ký hiệu khác ðạo hàm : Cho hàm số y = f(x) Ngồi cách ký hiệu ðạo hàm f’ ta cịn có số cách ký (x) hiệu khác nhý sau: y’Hay y’ x ih u V Ý nghĩa hình học ðạo hàm : x= xo+h Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1 PT tiếp tuyến  Hệ số góc tiếp tuyến với ðýờng cong Vậy phýõng trình tiếp tuyến với ðồ thị hàm số y = f (x) Mo(xo f(x) là: y-yo = f’ o) (x- xo) (x n v ðó yo =f(xo) h c2 o Liên hệ ðạo hàm tính liên tục Ðịnh lý: f(x) liên tục xo f(x) liên tục xo ih u V Bảng ðạo hàm thông dụng (1) C’ (C số) =0 (2) ðặc biệt: (3) (sin x)’ cos x = (4) (cos x) = -sin x (5) (6) Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1 (7) (8) (9) (10) (11) n v (12) h c2 o (13) (14) ih u V II CÁC QUY TẮC TÍNH ÐẠO HÀM 1.Ðạo hàm tổng, hiệu, tích , thýõng Ðịnh lý: Nếu u(x) v(x) ðều có ðạo hàm theo biến x ta có: (u + v)’ u’ v’ = + (u.v)’= u’ +u.v’ v’ Hệ : (u1+u2… … un )’=u’+u’+… … … +u’ n Ðạo hàm hàm số hợp Ðịnh lý: Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1 Xét hàm số hợp y = f(u(x)) Giả sử u(x) có ðạo hàm xo f(u) có ðạo hàm uo=u(xo) Khi ấy, hàm số y = f(u(x)) có ðạo hàm xo y’ = f’ (xo) (uo) u’ (xo) Ví dụ: Ðạo hàm hàm ngýợc Ðịnh lý: Nếu hàm số y = y(x) có ðạo hàm y’  có hàm ngýợc x = x(y) liên tục (xo) yo=y(xo), hàm ngýợc có ðạo hàm yo và: Ðạo hàm hàm số có dạng y = u(x)v(x) với u(x)>0 n v h c2 o Ta có: ih u V  Ví dụ: y = xx (x > 0) Ta có: y =  = xx (lnx+1) Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 III ÐẠO HÀM CẤP CAO Giả sử f(x) có ðạo hàm x thuộc khoảng ðó Khi f’ hàm số (x) xác ðịnh khoảng ðó Nếu hàm số f’ có ðạo hàm ðạo hàm gọi ðạo (x) hàm cấp f(x), ký hiệu f’(x) Vậy : ’ f’(x)= (f’ ’ (x))’ Ta ký hiệu ðạo hàm cấp : Tổng quát, ðạo hàm ðạo hàm cấp n-1 ðýợc gọi ðạo hàm cấp n Ðạo hàm cấp n f(x) ðýợc ký hiệu vậy: n v Ðạo hàm cấp n f(x) cịn ðýợc ký hiệu là: Ví dụ : Tính y(n) với y=sinx h c2 o ih u V (*) Cơng thức (*) ðýợc chứng minh phýõng pháp qui nạp IV VI PHÂN 1.Vi phân cấp Ðịnh nghĩa: Xét hàm số f(x) xác ðịnh khoảng quanh xo Ta nói f khả vi xo Khi ta có số  cho ứng với số gia  x ðủ nhỏ biến x, số gia hàm f ( x0 +x ) - f ( x0 ) viết dýới dạng : f = A.x + 0(x) Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1 Trong ðó 0(x) VCB cấp cao hõn  x  x  Biểu thức A. x ðýợc gọi vi phân f(x) xo ứng với số gia  x ðýợc ký hiệu df Vậy: df = A. x Ðịnh lý: Hàm số f(x) khả vi xo f(x) có ðạo hàm xo Khi ðó ta có: df = f’ o)  x (x Từ ðịnh lý với f(x) = x ta có dx =  x Do ðó biểu thức vi phân hàm số y=y(x) ðýợc viết dýới dạng : dy = y’ dx n v Ghi chú: Từ ðịnh nghĩa vi phân công thức : dy = y’ dx h c2 o Ta có: y’  dy  y VCB týõng ðýõng  x  (x) Giả sử y = f(x) x =  (t) Xét hàm hợp y = f( (t)), ta có: ih u V Do ðó dy = y’ x’.dt = y’ dx x t x Vậy dạng vi phân dy hàm y = f(x) không thay ðổi dù x biến ðộc lập hàm khả vi theo biến ðộc lập khác Tính chất ðýợc gọi tính bất biến biểu thức vi phân Từ qui tắc tính ðạo hàm, ta có qui tắc tính vi phân nhý sau : d(u+v)=du + dv d(u.v)=v.du + u.dv Vi phân cấp cao Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1 Giả sử hàm số y=f(x) khả vi khoảng ðó Nhý vi phân dy=y’ dx hàm theo x khoảng ðó hàm khả vi vi phân ðýợc gọi vi phân cấp cuả y ðýợc ký hiệu d2y.Vậy: Tổng quát, vi phân cấp n hàm số y ðýợc ký hiệu dny ðýợc ðịnh nghĩa bởi: Ta kiểm chứng dễ dàng cơng thức sau: Ví dụ : Với y= sin x, ta có: dy= cosx dx n v h c2 o ih u V Nhận xét: Công thức vi phân cấp cao: (n2) không cịn ðúng x khơng phải biến ðộc lập V CÁC ÐỊNH LÝ CÕ BẢN Cực trị ðịa phýõng ðịnh lý Fermat Ðịnh nghĩa: Hàm số f(x) ðýợc gọi ðạt cực ðại ðịa phýõng xo có lân cận quanh ðiểm xo cho với x thuộc lân cận ta có : f(x)  f(xo) Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Khái niệm cực tiểu ðịa phýõng ðýợc ðịnh nghĩa týõng tự Cực ðại ðịa phýõng cực tiểu ðịa phýõng ðýợc gọi chung cực trị ðịa phýõng Ðịnh lý (Fermat): Nếu hàm số f(x) ðạt cực trị ðịa phýõng xo có ðạo hàm xo f’ o )=0 (x Chứng minh: Giả sử f(x) ðạt cực ðại ðịa phýõng x0 có ðạo hàm xo Khi ðó f(x) xác ðịnh khoảng ( xo - , xo +  )với  > khoảng ta có: Với   x <  Do ðó: n v h c2 o Suy f’ 0) = (x Ðịnh lý Rolle Nếu f(x) liên tục [a,b], có ðạo hàm khoảng (a,b) f(a)=f(b) tồn c  (a,b) cho f’ (c)=0 ih u V Chứng minh: Nếu f(x) hàm [a,b], f’ = 0. x  (a,b) Vậy ta giả sử f(x) (x) khơng [a,b] Vì f(x) liên tục ðoạn [a,b] nên f([a,b]) = [m,M] với m  M Ta có f(a)  m hay f(a)  M Ta xét trýờng hợp m  f(a) (trýờng hợp M  f(a) týõng tự) Do m  f(a) = f(b) m  f([a,b]) nên  c  (a,b) cho f(c) = m Ta chứng minh f’ (c)=0 Với h ðủ nhỏ ðể c+h  (a,b) ta có: Vì f(c+h) –f(c)  Suy f’ = (c) Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1 Ðịnh lý Lagrange Nếu hàm số f(x) liên tục [a,b] có ðạo hàm (a,b) tồn c  (a,b) cho: f(b) - f(a) = f’ (b-a) (c) Chứng minh Ðặt k = , xét hàm g(x) = f(x) - f(a) - k.(x-a) Ta thấy g(x) liên tục [a,b], có ðạo hàm (a,b) g(a) =g(b)=0 Do ðó,theo ðịnh lý Rolle ta có c (a,b) cho c (a, b) cho: g’ =0 (c) Vì : g’ (x)=f’ (x)-k, nên: g’ =  f’ ) -k =0 (c) (c n v  f’ =k (c) f (b)-f(a)=f’ (c).(b-a) h c2 o Minh họa hình học: ih u V Giả sử cung AB ðồ thị hàm số f(x) thoả ðiều kiện ðịnh lý Lagrange [a,b] nhý hình vẽ Khi ðó cung AB phải có ðiểm C có hồnh ðộ c (a,b) cho tiếp tuyến với ðồ thị C song song với ðýờng thẳng AB Chú ý: Nếu ðặt h = b-a ðẳng thức ðịnh lý Lagrange ðýợc viết lại nhý sau: f(a + b) - f(a)= h f’ (a+ h) với <  < Ðịnh lý Cauchy Nếu f(x) g(x) hàm số liên tục [a,b], có ðạo hàm (a,b) g’  (x) x  (a,b), tồn c  (a,b) cho: Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1 Chứng minh: Do g’   x  (a,b) (x) Ðặt k = Nên theo ðịnh lý Rolle ta phải có g(a)  g(b) Vậy giá trị k xác ðịnh Xét hàm số h(x) = f(x) - k.g(x) Ta thấy h(x) liên tục [a,b], có ðạo hàm (a,b) cho : h’ (x)=f’ - k.g’ (x) (x) Hõn h(a) = h(b) nên theo ðịnh lý Rolle ta có c  (a,b) cho h’ = (c) Suy ra: Hay n v h c2 o VI CÔNG THỨC TAYLOR 1.Ðịnh lý Taylor Nếu hàm số f(x) có ðạo hàm ðến cấp n+1 khoảng chứa xo x ta có cơng thức Taylor sau ðây : ih u V ðó c số nằm xo x Trong công thức ta gọi: phần dý Lagrange công thức Taylor Chú ý: 1) Số c cơng thức Taylor cịn ðýợc viết dýới dạng: Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1 c = xo +  (x- xo) với <  < 2) Phần dý Rn(x) ðýợc viết dýới dạng: tức VCB cấp cao hõn (x - xo)n Dạng ðýợc gọi phần dý dạng Peano Công thức Taylor hàm số f(x) thýờng ðýợc gọi khai triển Taylor hàm số f Trong trýờng hợp xo = 0, cơng thức Taylor có dạng : Với n v Và công thức ðýợc gọi công thức Maclaurin hàm số f h c2 o 2.Khai triển Maclaurin số hàm sõ cấp Khai triển hàm số : y = e x Với k ta có y(k)(x) = ex y(k)(0)=1 Vậy : ih u V Trong ðó 0( xn ) VCB bậc cao hõn xn x -> Khai triển hàm y=sin x Ta có , nên: Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1 Vậy: Với <  < n v Týõng tự , ta có khai triển Maclausin sau ðây: h c2 o Khai triển cos x ih u V với <  < Khai triển Khai triển ln(1+x), x > -1 với <  < Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1 Khai triển với 0