Tài Liệu Ôn Thi Đại Học Phần Bất đẳng thức

15 418 4
  • Loading ...
1/15 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 30/03/2014, 23:02

tuyển chọn các bài toán bất đẳng thức www.MATHVN.com www.mathvn.com 1 BT NG THC VÀ CC TR (Chuyên đ LTH 2011)  chng minh các BT ta có th s dng mt s bt đng thc hoc dùng phng pháp đánh giá. I.S dng mt s BT c bn: Các BT c bn  đây là BT Cô-Si: Vi n s không âm bt kì: 1 2; ; ( 2)na a a n³ta luôn có: 1 21 2 ( )nnna a aa a a In+ + +³ ; du bng xy ra khi và ch khi: 1 2 na a a= = =. BT Bunhiacôpxki: Vi hai b s thc bt kì 1 2 1 2( ; ; ),( ; ; )n na a a b b b ta luôn có: 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2( ) ( )( )( )n n n na b a b a b a a a b b b II+ + + £ + + + + + + ; du bng xy ra khi và ch Khi: 1 21 2 nnaa ab b b= = =. BT: 2 2 2( )a b c ab bc ca III+ + ³ + + ; du bng xy ra khi .a b c= = BT: 21 2 1 21 1 1 ( ) n nnIVa a a a a a+ + + ³+ + +; trong đó 1 2, , na a a là các s dng; du bng xy ra khi và ch khi các s này bng nhau. Bài 1: Cho 0a b> >. Chng minh: 2 21 4 1/ 3; / 3; / 2 2.( ) ( )( 1) ( )a a b a c ab a b a b b b a b+ ³ + ³ + ³- - + - Gii: a/ Theo BT (I) ta có: 31 1( ) 3 .( ). 3( ) ( )b a b b a bb a b b a b+ - + ³ - =- - (đpcm). Du bng xy ra khi 1; 2.b a= = Bài 2: Cho a > 1; b > 1. Chng minh: 1 1 .a b b a ab- + - £ www.MATHVN.com www.mathvn.com 2 Gii: Theo BT (I) ta có: ( 1) 11 ( 1).1 .2 2b aba b a b a- +- = - £ =; tng t ta cng có: 12abb a - £. Cng các v ca các BT này li ta s đc đpcm. Du bng xy ra khi a = b = 2. Bài 2’: a,b,c là ba s không âm có tng bng 1. Chng minh: 8/ 27ab bc ca abc+ + - £. Gii: Theo BT (I) ta có: 3(1 ) (1 ) (1 ) 2(1 )(1 )(1 )3 3a b ca b c- + - + -- - - £ = 1 8/ 27a b c ab bc ca abc ab bc ca abcÛ - - - + + + - = + + - £(đpcm). Du bng xy ra khi a = b = c =1/3. Bài 3: Cho ba s không âm a,b,c. Chng minh: 3 3 3 2 2 2a b c a bc b ca c ab+ + ³ + +. Gii: Theo BT (I) ta có: ( )43 3 3 3 3 3 264 6 6a b c a b c a bc+ + ³ =; tng t ta cng có: 3 3 3 2 3 3 3 24 6 ;4 6b c a b ca c a b c ab+ + ³ + + ³ cng các v ca các BT này li ri đn gin ta s đc BT cn chng minh. Du bng xy ra khi a = b = c. Bài 3’: Cho ba s dng x,y,z. Chng minh: 6 2 3( ) / 432x y z xy z+ + ³. Bài 4: Tìm GTNN ca biu thc 9 3 6( ) /P x y x y= +trong đó x,y là các s dng. Gii: Theo BT (I) ta có: 3 69 9 993 6 3 6 6( ) 9 33. 6. 9.3 6 3 6 3 6 2x y x y x yx y Px y+æ ö æ ö+ = + ³ Û = ³ =ç ÷ ç ÷è ø è ø Vy GTNN ca P bng 9 63 / 2 khi y = 2x. Bài 5: Ba s thc a,b,c tha mãn h thc: 6 6 63a b c+ + =. Hãy tìm GTLN ca biu thc 2 2 2S a b c= + + Gii: Theo BT (I) ta có: 6 2 6 2 6 21 1 3 ; 1 1 3 ; 1 1 3 9 3 3a a b b c c S S+ + ³ + + ³ + + ³ Þ ³ Û ³ Vy GTLN ca S bng 3 khi a = b = c = 1. Bài 6: x,y là các s thc tha mãn các điu kin: 0 3;0 4x y£ £ £ £. Tìm GTLN ca biu thc: www.MATHVN.com www.mathvn.com 3 (3 )(4 )(2 3 )A x y x y= - - +. Gii: Theo BT (I) ta có: 3(6 2 ) (12 3 ) (2 3 )2(3 ).3(4 ).(2 3 ) 63x y x yx y x y- + - + +- - + £ = 36 6 36A AÛ £ Û £. Vy GTLN ca A bng 36 khi x = 0 và y = 2. Bài 7: x,y,z là các s không âm có tng bng 1. Tìm GTLN ca biu thc: ( )( )( )P xyz x y y z z x= + + +. Bài 8: a,b,c là các s dng. Chng minh: *( , )m n m n m nn n nm m ma b ca b c m n Nb c a+ + ++ + ³ + + Î Gii: Theo BT (I) ta có: ( ) ( ) ( )nm n m nn n m nm nm ma an mb m n b m n ab b+ ++æ ö+ ³ + = +ç ÷è ø. Tng t ta cng có: ( ) ; ( )m n m nn n n nm mb cn mc m n b n ma m n cc a+ ++ ³ + + ³ + . Cng các BT này li ri đn gin ta s đc BT cn chng minh. Du bng xy ra khi a = b = c. Chú ý: Nu 1m n= = thì ta đc BT: 2 2 2.a b ca b cb c a+ + ³ + + Bài 9: Cho 3 s thc dng a,b,c. Chng minh: 3 3 3.( ) ( ) ( ) 2a b c a b cb c a c a b a b c+ ++ + ³+ + + Gii: Theo BT (I) ta có: 3 3333( ) 2 4 ( ) 2 4 2a b c a a b c a ab c a b c a+ ++ + ³ =+ +. Tng t ta cng có: 3 33 3;( ) 2 4 2 ( ) 2 4 2b c a b b c a b c cc a b a b c+ ++ + ³ + + ³+ +. Cng các v ca các BT này li ri đn gin ta s đc BT cn chng minh. Du bng xy ra khi a = b = c. Bài 10: Các s thc dng x,y,z tha mãn điu kin: 6x y z+ + ³. Tìm GTNN ca biu thc: 3 3 3x y zSy z x z y x= + ++ + +. www.MATHVN.com www.mathvn.com 4 Bài 11: Cho ba s thc dng a,b,c tha mãn h thc: 6a b c+ + =. Tìm GTNN ca biu thc: 3 3 31 1 1(1 )(1 )(1 )Pa b c= + + +. Bài 12: Cho x,y,z là ba s thc tho mãn h thc: 0x y z+ + =. Chng minh: 3 4 3 4 3 4 6x y zS= + + + + + ³ Gii: Theo BT (I) ta có: 4/ 43 4 1 1 1 4 4 4 2.2x x x x+ = + + + ³ =. Tng t ta cng có: 3/ 4 /4 / 4 /4 / 4 ( )/ 43 4 2.2 ; 3 4 2.2 2(2 2 2 ) 2.3 2 6y y z z x y z x y zS+ ++ ³ + ³ Þ ³ + + ³ = (đpcm) Du bng xy ra khi 0x y z= = =. Bài 13: Cho hai s thc dng x,y có tng bng 1. Tìm GTNN ca biu thc: 1 1x ySy x= +- -. Gii: D thy S dng. Theo BT (I) ta có: 2 222 2x yS x y xy xyy x+ + ³ + + + ³ 2 22333. 3. 3( ) 2 2x yxy xy x y S Sy x+ = + Þ ³ Û ³. Vy 2MinS = khi x = y = 1/2. Bài 14: Cho ba s dng a,b,c tha mãn điu kin: 3a b c+ + ³. Tìm GTNN ca biu thc: a b cSb c a= + +. Bài 15: Cho 3 s dng a,b,c tha mãn h thc: 2 2 21.a b c+ + = Chng minh: 3ab bc caSc a b= + + ³. Bài 16: Cho 3 s dng x,y,z có tng bng 1. Chng minh BT: 32xy yz zxxy z yz x zx y+ + £+ + +. www.MATHVN.com www.mathvn.com 5 Gii: Do ( ) ( )( )xy z xy z x y z x z y z+ = + + + = + + nên theo BT (I) ta có: 1.2xy x y x yxy z x z y z x z y zæ ö= £ +ç ÷+ + + + +è ø. Tng t ta cng có: 12yz y zyz x x y x zæ ö£ +ç ÷+ + +è ø ; 12xz x zxz y x y y zæ ö£ +ç ÷+ + +è ø Cng các BT trên ta s đc BT cn chng minh. Du bng xy ra khi 1/3x y z= = =. Bài 17: Cho hai s thc dng x,y tha mãn điu kin: 6x y+ ³. Tìm GTNN ca biu thc: 6 83 2P x yx y= + + + . Gii: Theo BT (I) ta có: 3 6 8 3 3 3 6 8 32. . 2. . .62 2 2 2 2 2 2x y x y x yPx y x y= + + + + + ³ + + 6 4 9 19= + + =. Vy MinP = 19 khi x = 2 và y = 4. Bài 18: Cho 3 s thc dng x,y,z tha mãn điu kin: 2 1xy xz+ =. Tìm GTNN ca biu thc: 3 4 5yz xz xySx y z= + + . Gii: Theo BT (I) ta có: 2 3 2 4 6yz xz yz xy xy xzS z y xx y x z z yæ ö æ öæ ö= + + + + + ³ + + =ç ÷ç ÷ ç ÷è øè ø è ø 2( ) 4( ) 4 8 4x z x y xz xy+ + + ³ + =. Vy MinS = 4 khi x = y = z = 1/3. Bài 19: Cho hai s thc không âm x,y tha mãn các điu kin: 4;3 6x y x y+ £ + £. Tìm GTLN ca biu thc: 39. 4P x y= + . Gii: Theo BT (I) ta có: 32 23.3 .1.1 .2 .3 3( 2) ( 3)3 3P x y x y= + £ + + + www.MATHVN.com www.mathvn.com 6 2 3 3 9 2 3( ) (3 ) 6 2 3 4 6 6 2 3 4. 6. 6 2 32 6a x y b x y a b- -= + + + + + Ê + + + = + + + 9 4 3= + . ( Do 3 3& 2/ 3 (2 3 3)/ 2 & (9 2 3)/ 6a b a b a b+ = + = ị = - = - ). Vy 9 4 3MaxP = + khi 1& 3x y= =. Bi 20: Cho 3 s dng a,b,c. Chng minh BT: 1 1 1 1 1 1 12 2 2 4a b c a b c a b c a b cổ ử+ + Ê + +ỗ ữ+ + + + + +ố ứ. Gii: Theo BT (IV) ng vi n =2 ta cú: 1 1 1 1 12 ( ) ( ) 4a b c a b a c a b a cổ ử= Ê +ỗ ữ+ + + + + + +ố ứ 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 14 4 4 16a b a c a b cộ ựổ ử ổ ử ổ ửÊ + + + = + +ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữờ ỳố ứ ố ứ ố ứở ỷ. Tng t ta cng cú: 12a b c+ +1 1 2 116a b cổ ửÊ + +ỗ ữố ứ; 12a b c+ +1 1 1 216a b cổ ửÊ + +ỗ ữố ứ.Cng cỏc v ca cỏc BT ny li ri n gin ta s c BT cn chng minh. Du bng xy ra khi .a b c= = Bi 21: Cho hai s dng a,b cú tng bng 1. Chng minh cỏc BT sau: 2 2 2 21 1 2 3/ 6; / 14.a bab a b ab a b+ + + + Gii: a/ Theo BT (IV) ng vi n =2 ta cú: 2 2 2 21 1 1 1 12 2ab a b ab ab a b+ = + + + + 2 2 22 42 4 6( ) 2a b ab a b+ = + =+ + + (pcm). Du bng xy ra khi 1/2.a b= = 1/2.a b= = Bi 22: Cho a,b,c l cỏc s thc dng tha món iu kin: 3/ 2.a b c+ + Ê Chng minh: 1/ 1/ 1/ 15/ 2.a b c a b c+ + + + + Bi 23: Ba s dng x,y,z cú tớch bng 1. Chng minh: 2 2 2x y z x y z+ + + +. www.MATHVN.com www.mathvn.com 7 Gii: Áp dng BT (II) và (I) ng vi n = 3 ta có: 22 2 2( )( ).3x y zx y z x y z+ ++ + ³ = + + 3( ).3x y zx y z xyz x y z+ +³ + + = + + (đpcm). Du bng xy ra khi 1x y z= = =. Chú ý: T BT trên ta suy ra BT: 2 2 22 2 2a b c a b cb c a b c a+ + ³ + + vi a,b,c là các s dng. Bài 24: Cho 0; 0a c b c> > > >. Chng minh: ( ) ( )c b c c a c ab- + - £ . Gii: Áp dng BT (II) cho hai b s ( ; ) & ( ; )c a c b c c- - ta đc: 2( ( ) ( )) ( )( )c b c c a c c a c b c c ab- + - £ + - - + = t đó suy ra BT ccm. Du bng xy ra khi ( )ab c a b= + Bài 25: Cho 4 s dng x,y,a,b tha man các điu kin: ;a x a b x y> + > +. Chng minh: 2 2 2( )x a x ax y a b x y a b-+ ³+ + - - + . Gii: Áp dng BT (II) cho hai b s ; & ( ; )x a xx y a b x yx y a b x yæ ö-+ + - -ç ÷ç ÷+ + - -è ø ta đc: 2 22( )( ) ( )x a xx y a b x y x a xx y a b x yæ ö-+ + + + - - ³ + -ç ÷+ + - -è ø t đó suy ra BT ccm. Du bng xy ra khi bx = ay. Bài 26: Bn s thc a,b,c,d tha mãn h thc: 2 2 2 21a b c d+ + + =; x là s thc bt kì. Chng minh: 2 2 2 2 2 2( ) ( ) (2 1)x ax b x cx d x+ + + + + £ + Gii: Áp dng BT (II) ng vi n = 3 ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( 1 )( );x ax b x x x a b+ + £ + + + + www.MATHVN.com www.mathvn.com 8 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( 1 )( )x cx d x x x c d+ + £ + + + + Þ2 2 2 2( ) ( )x ax b x cx d+ + + + + £ 2 2 2 2 2 2 2 2 2(2 1)( ) (2 1)x x a b x c d x+ + + + + + = + (đpcm). Du bng xy ra khi b=d=1&x=a=c. Bài 27: Cho 5 s dng x,y,z,p,q bt kì. Chng minh: 3x y zpy qz pz qx px qy p q+ + ³+ + + +. Gii: Theo BT (III) ta có: ( ) ( ) ( ) ( )( )x py qz y pz qx z px qy p q xy yz zx+ + + + + = + + + £ 2( )( ) /3p q x y z+ + + (*). Áp dng BT (II) cho hai b s ; ;x y zpy qz pz qx px qyæ öç ÷+ + +è ø và ( ( ); ( ); ( ))x py qz y pz qx z px qy+ + + ta đc: [ ]2( ) ( ) ( ) ( )x y zx py qz y pz qx z px qy x y zpy qz pz qx px qyæ ö+ + + + + + + ³ + +ç ÷+ + +è ø Kt hp vi BT (*) ta s đc BT ccm. Du bng xy ra khi; py qz pz qx px qy+ = + = +. Bng cách gii tng t ta s chng minh đc các BT sau: 1/ 32a b cb c a c b a+ + ³+ + + vi a,b,c là các s dng bt kì. 2/ 2a b c db c d c d a a b+ + + ³+ + + + vi a,b,c,d là các s dng bt kì. 3/ 2 2 22a b c a b cb c a c b a+ ++ + ³+ + + vi a,b,c là các s dng bt kì. 4/ 2 2 2a b ca b cb c a a c b b a c+ + ³ + ++ - + - + - vi a,b,c là đ dài ba cnh ca mt tam giác. www.MATHVN.com www.mathvn.com 9 5/ 3a b cb c a a c b b a c+ + + - + - + - vi a,b,c l di ba cnh ca mt tam giỏc. Bi 28: Cho cỏc s thc x,y,u,v tha món iu kin: 2 2 2 21x y u y+ = + =. Chng minh: ( ) ( ) 2u x y v x y- + + Ê Gii: Theo BT (II) : []22 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) 2u x y v x y u v x y x y x yộ ự- + + Ê + - + + = + =ở ỷ T ú suy ra BT cn chng minh. Du bng xy ra khi ( ) ( ).u x y v x y+ = - Bi 29: Cho a,b,c l 3 s dng tha món iu kin: 2 2 21.a b c+ + Chng minh: 3 3 312a b cb c a c b a+ + + + + Gii: Theo BT (II) ta cú: [ ]3 3 3( ) ( ) ( )a b ca b c b a c c b ab c a c b aổ ử+ + + + + + + ỗ ữ+ + +ố ứ 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )a b c a b c ab bc ca+ + + + + + . T ú ta suy ra BT cn chng minh. Du bng xy ra khi 3 /3a b c= = =. Bi 30: Ba s x,y,z tha món iu kin: ( 1) ( 1) ( 1) 4/3.x x y y z z- + - + - Ê Chng minh: 1 4x y z- Ê + + Ê. Gii: T iu kin ta suy ra: 2 2 2( 1/ 2) ( 1/2) ( 1/ 2) 25/12x y z- + - + - Ê. p dng BT (II) ta c: []22 2 21.( 1/ 2) 1.( 1/ 2) 1.( 1/ 2) 3 ( 1/ 2) ( 1/ 2) ( 1/ 2) 25x y z x y zộ ự- + - + - Ê - + - + - Êở ỷ 3/ 2 5/ 2 5/ 2 3/2 5/ 2 1 4x y z x y z x y zị + + - Ê - Ê + + - Ê - Ê + + Ê (pcm). Du bng xy ra khi 4/3x y z= = =. Bi 31: Hai s a,b tha món iu kin: 2 216 8 6a b a b+ + = +. Chng minh: /10 4 3 40; / 7 24a a b b b aÊ + Ê Ê Gii: a/ T iu kin ta suy ra: 2 2( 4) ( 3) 9a b- + - =. p dng BT (II) ta c: www.MATHVN.com www.mathvn.com 10[]22 2 2 24( 4) 3( 3) ( 4) ( 3) (4 3 ) 9.25 4 3 25 15a b a b a bộ ự- + - Ê - + - + = + - Êở ỷ 15 4 3 25 15 10 4 3 40a b a b - Ê + - Ê Ê + Ê (pcm). Du bng xy ra khi a = 24/5,b = 24/3 hoc a = 16/5, b = 6/5. Bi 32: Ba s x,y,z tha món iu kin: 2 2 24 2 0.x y z x z+ + - + Ê Tỡm GTNN v GTLN ca biu thc: 2 3 2 .S x y z= + - Bi 33: Cho a,b,c l ba s khụng õm tha món h thc: 3.a b c+ + = Tỡm GTNN ca biu thc: 2 2 2 2 2 2S a ab b c cb b a ac c= + + + + + + + +. Gii: Theo BT (II) ta cú: 222 22 2 2 24 3 1( ). 1 ( )3 2 2 2 23b b b ba ab b a a a bộ ựộ ựổ ửổ ửổ ử ổ ửờ ỳ+ + = + + + + + = +ờ ỳỗ ữỗ ữ ỗ ữỗ ữờ ỳố ứ ố ứố ứờ ỳố ứở ỷở ỷ 2 23( ) /2a ab b a bị + + + . Tng t ta cng cú: 2 23( )/ 2c cb b c b+ + + ; 2 23( )/ 2 3( ) 3c ca a c a S a b c+ + + ị + + =. Vy MinS = 3 khi 3 /3a b c= = =. II.S dng phng phỏp ỏnh giỏ: Bi 34: Cho 3 s dng a,b,c. Chng minh cỏc BT sau: 3 3 3 3 3 32 2 21 1 1 1/ ;1 1 1/ .2aa b abc c b abc a c abc abca b cba bc b ac c ab abc+ + Ê+ + + + + ++ ++ + Ê+ + + Gii:a/Ta cú: 3 3 2 2( )( ) ( ) ( ) 0a b abc a b a ab b abc a b ab abc ab a b c+ + = + - + + + + = + + >
- Xem thêm -

Xem thêm: Tài Liệu Ôn Thi Đại Học Phần Bất đẳng thức, Tài Liệu Ôn Thi Đại Học Phần Bất đẳng thức, Tài Liệu Ôn Thi Đại Học Phần Bất đẳng thức

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn