Đại học Quốc gia TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Khoa: Khoa Học Ứng Dụng Bộ mơn: Tốn Ứng Dụng TỐN Tốn CHƯƠNG : MA TRẬN Slide Toán CHƯƠNG : MA TRẬN Slide NỘI DUNG : I/ LÝ THUYẾT : Một số định nghĩa Các phép toán ma trận II/ BÀI TẬP : III/ ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN : Toán CHƯƠNG : MA TRẬN Slide I/ LÝ THUYẾT Toán CHƯƠNG : MA TRẬN Slide MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA Một số định nghĩa : a/ Một ma trận A cỡ m x n trường K (K thực hay phức) bảng chữ nhật gồm m hàng, n cột có dạng sau: Am x n  a11 a12 a1n  a a22 … a2 n ÷ ÷ =  21 … ÷ a am … am n ÷  m1  Người ta thường ký hiệu A m x n = ( j ) Toán CHƯƠNG : MA TRẬN Slide MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA Ở : Các số a i j ( i = 1, 2, … , m ; j = 1, , … , n ) phần tử nằm hàng thứ i, cột thứ j ma trận A b/ Tập hợp ma trận A cỡ m x n trường K ký hiệu M m x n ( K ) c/ Ma trận không ma trận mà phần tử Tốn CHƯƠNG : MA TRẬN Slide MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA  x1  x ÷ A n x =  ÷ gọi ma trận cột d/ M ÷ x ÷  n e/ A x n = ( x1 x2 … xn ) gọi ma trận hàng f/ Nếu m = n A gọi ma trận vuông Ký hiệu : M n ( K ) tập hợp ma trận vuông cỡ n x n , gọi chung tập hợp ma trận vng cấp n Tốn CHƯƠNG : MA TRẬN Slide MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA g/ Ma trận A n x n (a ij  a11  a 22  = …  0  = ∀i ≠ j … …  ÷ ÷ ÷ ÷ … an n  i , j = 1, 2, … , n ) gọi ma trận chéo Toán CHƯƠNG : MA TRẬN Slide MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA h/ Ma trận I n x n  … 0  … 0÷ ÷ = … ÷  0 … 1÷    a i j = ∀i = j , a i j = ∀i ≠   i , j = 1, 2, … , n j ÷  gọi ma trận đơn vị cấp n Toán CHƯƠNG : MA TRẬN Slide MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA i/ Ma trận A n x n  a11 a12 … a1n   a … a2 n ÷ 22 ÷ = … ÷  ÷ … an n   gọi ma trận tam giác Toán CHƯƠNG : MA TRẬN Slide 10 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN ∗ VD : Cho A x 1 2  3 = ÷ , B x = 1 4÷ 3 4   Tính A.B B.A Tốn A.B = C x B A = D x Ta có :  11  = ÷ 10 25   11 16  = 13 18 ÷   CHƯƠNG : MA TRẬN Slide 24 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN ∗ VD : Cho A x 1 2 1  = ÷ , B x = 1 ÷ 3 4   Tính A.B B.A Ta có : A.B = C x  10 15  = 22 33 ÷   B.A khơng tồn Tốn CHƯƠNG : MA TRẬN Slide 25 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN ∗ Nhận xét : ∗ Phép nhân ma trận khơng có tính giao hốn ∗ Nếu A.B = B.A ta nói tích hai ma trận có tính giao hoán ∗ Nếu A I hai ma trận vng cấp n A.I = I.A = A Toán CHƯƠNG : MA TRẬN Slide 26 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN ∗ Phép nhân ma trận có tính chất sau : ∗ ( A.B ) C = A.( B.C ) = A.B.C ∗ A.( B + C ) = A.B + A.C ∗ ( B + C ) A = B A + C A ( A.B ) = BT AT ∗ T Toán CHƯƠNG : MA TRẬN Slide 27 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN ∗ Từ phép nhân ma trận ta định nghĩa lũy thừa ma trận vuông sau: Cho A ∈ M n ( K ) Ta định nghĩa : nxn = Inxn ∗ ∗ Ak = 14 2… A A A 43 ∗ A p Aq = A p + q ∗ A k lần (A Tốn ) p q , p, q ∈ N = A p q CHƯƠNG : MA TRẬN Slide 28 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN ∗ VD : Cho ma trận A x a 1 =   Tính An với n = 2, 3, … Ta có :  a2 A2 = A A =  0 2a   a 3a  , A3 = A2 A =  ÷ ÷ a3  a    an An =  Dễ dàng quy nạp 0 Toán CHƯƠNG : MA TRẬN n.a n−1  n ÷ a  Slide 29 CÁC PHÉP TỐN TRÊN MA TRẬN ∗ VD : Cho A x  −1  = −2 ÷   Tính f ( A ) f ( x ) = x3 − 3x + x + với Toán CHƯƠNG : MA TRẬN Slide 30 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN f ( A ) = A3 − A2 + A + I Ta có :  −1   −1   −1    f ( A) =  ÷ −  −2 ÷ +  −2 ÷+  ÷  −2         −1   0  −1   0 =  −  − 3  + 4 −  + 2                  11 −6  = 18 −13 ÷   Tốn CHƯƠNG : MA TRẬN Slide 31 II/ BÀI TẬP Toán CHƯƠNG : MA TRẬN Slide 32 II/ BÀI TẬP MA TRẬN  i  i −1 BÀI : Cho A =  ÷ , B =  −1 −i ÷  −i    Tính AB BA 1 1 BÀI : Cho A =  Tính An 1÷    12 BÀI : Cho A =  −1   ÷  −1 Tính A2 , A3 , A2 n , A2 n+1 Toán CHƯƠNG : MA TRẬN Slide 33 II/ BÀI TẬP MA TRẬN BÀI : Cho A B hai ma trận đối xứng  −2  A =  −1 ÷ ,  ÷  −2 −1 ÷    −1  B =  −1 −2 ÷  ÷  −2 ÷   a/ A.B B.A có phải ma trận đối xứng b/ Có nhận xét A.B B.A Toán CHƯƠNG : MA TRẬN Slide 34 II/ BÀI TẬP MA TRẬN BÀI : Giải phương trình ma trận  −2   −1  a/ X  ÷ =  −5 ÷  −4     −1  b/  ÷ X  −2  Toán   14 16   ÷ =  10 ÷     CHƯƠNG : MA TRẬN Slide 35 III/ ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN Toán CHƯƠNG : MA TRẬN Slide 36 III/ ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN  2i −2  , BA =  −2 −2i ÷   BÀI : 0 0 AB =  0÷   BÀI :  2n−1 2n−1  An =  n−1 n −1 ÷  2 BÀI : An = A Toán , ∀n = 1, 2, 3, … CHƯƠNG : MA TRẬN Slide 37 III/ ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN BÀI : a/ A.B B.A ma trận đối xứng b/ AB = ( BA ) T BÀI :  −2  a/ X =  −4 ÷   Tốn 1 2 b/ X =  4÷   CHƯƠNG : MA TRẬN Slide 38 ... gọi ma trận đơn vị cấp n Toán CHƯƠNG : MA TRẬN Slide MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA i/ Ma trận A n x n  a11 a 12 … a1n   a … a2 n ÷ 22 ÷ = … ÷  ÷ … an n   gọi ma trận tam giác Toán CHƯƠNG : MA TRẬN... = 1, 2, … , m j = 1, 2, … , n Toán CHƯƠNG : MA TRẬN Slide 13 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN b/ Ma trận chuyển vị : Cho ma trận A m x n = ( j ) Ta gọi ma trận A T ma trận chuyển vị T ( ) ma trận A... B = 3. ÷ + 2.  ÷  1    9 ? ?2  =  ÷ +  12 ÷  12 18     11 15  =  12 20 15 ÷   Toán CHƯƠNG : MA TRẬN Slide 22 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN d/ Nhân hai ma trận : Cho ma trận A m x