WWW.ToanCapBa.Net Chuyên đề phương trình lượng giác 1 LTĐH Năm 2012-2013 Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1:Các điều kiện biểu thức có nghĩa: * A có nghĩa khi 0A  . * A 1 có nghĩa khi 0A  . * A 1 có nghĩa khi 0A  Đặt biệt: *   2 2 1sin kxx  *  kxx   0sin *   2 2 1sin kxx  *  21cos kxx  *   kxx  2 0cos *   21cos kxx  . *Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng. 2:Công thức của phương trình lượng giác cơ bản: *          2 2 sinsin kx kx x *         2arcsin 2arcsin sin kax kax ax ( với 1a và a không phải là giá trị đặt biệt) *        000 00 0 360180 360 sinsin kx kx x    *          2 2 coscos kx kx x *         2arccos 2arccos cos kax kax ax ( với 1a và a không phải là giá trị đặt biệt) *        00 00 0 360 360 coscos kx kx x    *    kxx  tantan *  kaxax  arctantan (với a không phải là giá trị đặt biệt) * 000 180tantan kxx   *    kxx    cotcot *  kaarcxax     cotcot (với a không phải là giá trị đặt biệt) * 000 180cotcot kxx   3: Công thức lượng giác cơ bản: * 1cossin 22   *   2 2 cos 1 tan1  *   2 2 sin 1 cot1  * 1cot.tan    4: Công thức đối: *   cos)cos(   *   sin)sin(    *   tan)tan(    *   cot)cot(    5: Công thức bù: *    sin)sin(   *    cos)cos(    *    tan)tan(    *    cot)cot(    6:Công thức phụ: *   cos) 2 sin(  *   sin) 2 cos(  *   cot) 2 tan(  *   tan) 2 cot(  7:Công thức hơn kém :  *    sin)sin(    *    cos)cos(    *    tan)tan(   *    cot)cot(   8:Công thức cộng: * bababa sin.sincos.cos)cos(    * bababa sin.sincos.cos)cos(    * bababa sin.coscos.sin)sin(    * bababa sin.coscos.sin)sin(    * ba ba ba tan.tan1 tantan )tan(    * ba ba ba tan.tan1 tantan )tan(    9:Công thức nhân đôi: * 22 2 cos 2 cos sin 2cos 1aaa a    a 2 sin21  . * aaa cos.sin22sin  *    2 tan1 tan2 2tan   WWW.ToanCapBa.Net Chuyên đề phương trình lượng giác 2 LTĐH Năm 2012-2013 Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net 10. Công thức nhân ba: *  3 sin4sin33sin  *  cos3cos43cos 3  11:Công thức hạ bậc: * 2 2cos1 cos 2 a a   2 2cos1 sin 2 a a   *    2cos1 2cos1 tan 2    12:Công thức biến đổi tích thành tổng: *  )cos()cos( 2 1 cos.cos bababa   )cos()cos( 2 1 sin.sin bababa   )sin()sin( 2 1 cos.sin bababa  13:Công thức biến đổi tổng thành tích: * 2 cos 2 cos2coscos baba ba   2 sin 2 sin2coscos baba ba   2 cos 2 sin2sinsin baba ba   2 sin 2 cos2sinsin baba ba   ba ba ba cos.cos )sin( tantan   0 6  4  3  2  sin 0 2 1 2 2 2 3 1 cos 1 2 3 2 2 2 1 0 tan 0 3 1 1 3 KXĐ cot KXĐ 3 1 3 1 0 Các phương trình lượng giác thường gặp: 1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: * 0 b aX b X a    Trong đó là một hàm số lượng giác 2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: * Dạng 0sinsin 2  cxbxa Đặt sin , 1 1tx t  . * Dạng 0coscos 2  cxbxa Đặt cos , 1 1tx t   . * Dạng 0tantan 2  cxbxa Đặt x t tan  . * Dạng 0cotcot 2  cxbxa Đặt x t co t  . 3. Phương trình dạng cxbxa   cossin (1): *Cách giải: + Chia hai vế của phương trình (1) cho 22 ba  ta được: 222222 cossin ba c x ba b x ba a      22 cossinsincos ba c xx    22 )sin( ba c x    4. Phương trình dạng: dxcxxbxa  22 coscossinsin (1) Cách giải: + Thay 2 cos 0( sin 1) 2 xxk x        vào (1) để kiểm tra có phải là nghiệm không? Nếu thỏa thì kết luận 2 x k    là nghiệm của phương trình. + Với cos 0 ( ) 2 x xk    , chia hai vế của (1) cho x 2 cos ta được phương trình: WWW.ToanCapBa.Net Chuyên đề phương trình lượng giác 3 LTĐH Năm 2012-2013 Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net 5: Phương trình : * Dạng cxxbxxa  cossin)cos(sin Đặt 2,)) 4 sin(2(cossin  txxxt  Ta có : 2 1 cossin 2   t xx . Thay vào phương trình ta được phuơng trình theo biến t. * Dạng cxxbxxa  cossin)cos(sin Đặt 2,)) 4 sin(2(cossin  txxxt  Ta có : 2 1 cossin 2 t xx   . Thay vào phương trình ta được phương trình theo biến t. MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG TỪ NĂM 2002 ĐẾN 2012 Giải các phương trình sau: 1. (1 2 sin x ) cos x 3 (1 2 sin x )(1 sin x )    ( ĐH KHỐI A-2009 ) 2. 3 sin x cos x sin 2x 3 cos3x 2(cos 4x sin x) ( ĐH KHỐI B-2009 ) 3. 3cos5x 2sin3xcos2x sinx 0 (ĐH KHỐI D-2009 ) 4.          x x x 4 7 sin4 ) 2 3 sin( 1 sin 1   ( ĐH KHỐI A-2008 ) 5. xxxxxx cossin3cossincos3sin 2233  ( CĐ KHỐI B -2008 ) x dcxbxa 2 2 cos 1 .tantan  )tan1.(tantan 22 xdcxbxa  6. xxxx cos212sin)2cos1(sin2    ( ĐH KHỐI D-2008 ) 7. xxx 2sin23cos33sin  ( CĐ KHỐI A, B, D-2008 ) 8. xxxxx 2sin1sin)cos1(cos)sin1( 22  ( ĐH KHỐI A-2007 ) 9. xxx sin17sin72sin2 2  ( ĐH KHỐI B-2007 ) 10. 2cos3 2 cos 2 sin 2         x xx ( ĐH KHỐI D-2007 ) 11.   0 sin22 cossinsincos2 66    x xxxx ( ĐH KHỐI A-2006) 12. 4) 2 tantan1(sincot  x xxx ( ĐH KHỐI B-2006 ) 13. 01cos2cos3cos   xxx ( ĐH KHỐI D-2006 ) 14. 0cos2cos3cos 22  xxx ( ĐH KHỐI A-2005 ) 15. 02cos2sincossin1     xxxx ( ĐH KHỐI B-2005 ) WWW.ToanCapBa.Net Chuyên đề phương trình lượng giác 4 LTĐH Năm 2012-2013 Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net 17. xxx 2 tan)sin1(32sin5  ( ĐH KHỐI B-2004 ) 18. xx x x x 2sin 2 1 sin tan1 2cos 1cot 2    ( ĐH KHỐI A-2003) 19. x xxx 2sin 2 2sin4tancot  ( ĐH KHỐI B-2003 ) 20. 0 2 costan 42 sin 222         x x x  ( ĐH KHỐI D-2003 ) 21. Tìm nghiệm thuộc khoảng   2;0 của phương trình: 32cos 2sin21 3sin3cos sin5           x x xx x ( ĐH KHỐI A-2002 ) 22. xxxx 6cos5sin4cos3sin 2222  ( ĐH KHỐI B-2002 ) 23. Tìm x thuộc đoạn  14;0 nghiệm đúng phương trình: 04cos32cos43cos  xxx ( ĐH KHỐI D-2002 ) 24. xxxx cos3 2 3cos 2 2cos 2 cos 222                        ( CĐ KT-KTCN I KHỐI A-2006 ) 25. 1)cos(sin2cossin 33  xxxx ( CĐ KT-KTCN II KHỐI A-2006 ) 16. 0 2 3 4 3sin 4 cossincos 44                 xxx ( ĐH KHỐI D-2005 ) 26. 024sin)cos(sin4 44  xxx ( CĐ XD số 2 -2006 ) 27.                       4 sin2 2sin1 2sin 2 sin 2 cos 2 44  x x x xx ( CĐ XD số 3 - Khối A -2006 ) 28. 3 1sincos2 2sincos 2    xx xx ( CĐ GTVT III - Khối A -2006 ) 29.   xxxx sin3coscossin4 33  ( CĐ SP Hưng Yên - Khối A -2006 ) 30. xxxx cossin3sincos 23  ( CĐ SP Hưng Yên - Khối B -2006 ) 31. xx 22 sin 2 1 2sin  ( CĐ SP Hưng Yên - Khối D 1 , M -2006 ) 32. 07cos2sin 2 5 cos 2 sin 2 3 cos 2 7 sin  xx xxxx ( CĐ BC Hoa Sen -2006 ) 33.                x x x sin sin1 2 2 tan3 2  ( CĐ Sài Gòn -2007 ) 34. xx 2cos 2 1 4 sin 2          WWW.ToanCapBa.Net Chuyên đề phương trình lượng giác 5 LTĐH Năm 2012-2013 Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net 35.     xxxxx sin2sincossin21cos2    ( ĐH KHỐI D-2004 ) WWW.ToanCapBa.Net Chuyên đề phương trình lượng giác 6 LTĐH Năm 2012-2013 Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net I. Phương trình lượng giác cơ bản: Ví dụ 1: Giải phương trình: a. sin 2 sinxx  b. sin 2 2cos x x c. os3 sinxcx  d. osx=-sin 2 x c e. 2 3 24 x sin  f. sin4x 2sin . os4x 3 c   g. 3 os 42 x c  Giải: a. 2 22 sin 2 sinx sin2x=sin(-x) 3 22 2 xxk xk x xxk x k                      b.  2cos 0 2sin .cos 2cos 0 2cos sinx 1 0 sinx 1 0 x pt x x x x         cos 0 2 sinx 1 2 2 2 xk x x k xk                      c. 3242 22 os3 sinx cos3 os 2 3222 22 xxk xk cx xc x x xk x k                            82 4 x k x k               d. 2 2 osx=-sin osx sin osx cos 22 2 2 2 x xk xx x cc c x x k                           24 2 2 24 3 2 33 2 x xk k x xk k                        e. 2 31cos 3 1 2 2 2 cos 3 2cos 1 cos cos os 24 2 4 2 3 xx sin x x x x c         2 2 3 2 2 3 xk x k               WWW.ToanCapBa.Net Chuyên đề phương trình lượng giác 7 LTĐH Năm 2012-2013 Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net f. 3sin4 sin4x 2sin . os4x sin4x=2. . os4 sin 4 3 os4 3 32 os4 x ccxxcx cx    tan 4 3 tan 4 tan 4 33 124 x xxkxk     g. 510 28 35 46 3 os os os 510 42 4 6 28 46 3 x kxk xx ccc x kx k                          Ví dụ 2: Giải phương trình 33 sin .sin 3 os .cos3 1 8 tan .tan 63 xxcx x xx         Giải: Điều kiện: 62 k x    Ta có tan .tan tan .cot tan .cot 1 63 66 66 xx x x xx            Phương trình tương đương với: 33 sin .sin 3 os .cos 3 1 18 xxcx x   33 2 2 11 sin .sin 3 os .cos3 sin .sinx.sin 3 os .cos . os3 88 xxcx x x xcxxcx    1 os2 os2 os4 1 os2 os2 os4 1 22 228 1 2 os2 os2 . os4 2 cxcxcx cxcxcx cxcxcx     3 11 os os2 82 cx c x   ai 6 , 6 xklo kZ xk               . Vậy : 6 x k     WWW.ToanCapBa.Net Chuyên đề phương trình lượng giác 8 LTĐH Năm 2012-2013 Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net Ví dụ 3: Giải phương trình: x xx xx 2 32 2 cos 1coscos tan2cos   Giải: Điều kiện: cosx ≠ 0 222 cos 1 cos 2 tan 1 cos (1 tan ) 2cos cos -1 0 1 cos 2 2() 2 2() 3 x pt x x x x x x x xk n xkn                        Ví dụ 4: Tìm các nghiệm trên  0; 2  của phương trình : sin 3x sin x sin 2x cos2x 1cos2x    Giải: ĐK : 22 1 cos2x 0 2sin x 0 sin x 0 sinx 0 x  pt 2cos2x.sin x 2cos 2x 4 2sinx      Khi  x0;thì sinx > 0 nên : (1) 2 cos2x = 2 cos 2x 4      x 16 2     Do  x0; nên 9 xhayx 16 16   Khi  x;2  thì sinx < 0 nên : (1) 2 cos2x = 2 cos 2x 4       cos -2x = cos 2x- 4      5 x 16 2     Do  x;2  nên 21 29 xhayx 16 16   Ví dụ 5: Giải phương trình : 5 22os sin 1 12 cxx       Giải: WWW.ToanCapBa.Net Chun đề phương trình lượng giác 9 LTĐH Năm 2012-2013 Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net 5 22os sin 1 12 cxx      55 2 sin 2 sin 1 12 12 x         551 5 5 sin 2 sin sin sin 2 sin sin 12 12 4 12 4 12 2 2cos sin sin 312 12 xx                     5 22 5 6 12 12 sin 2 sin 513 3 12 12 22 12 12 4 xk xk xk xk xk                                  Ví dụ 6: Giải phương trình: 12(cossin) tan cot 2 cot 1 x x xx x    Giải: Điều kiện:sinx.cosx  0 và cotx  1 Phương trình đã cho tương đương với 12(cossin) sin cos 2 cos 1 cos sin 2 sin x x xx x xx x    1 2(cos s inx) 1 2sinx sin 2 sin os2 cos cos s inx cos cos sin 2 sinx cos sin 2 sinx 0 ( ) sin 2 2 sinx 0 2sin cos 2 s inx 0 2 cos 2 x xxcx x x x xx xx loai xxx x               cosx = 2 2 x = 2 4 k    Đối chiếu điều kiện pt có 1 họ nghiệm x = 2 4 k    II. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lương giác: Phương trình dạng : a.f 2 (x) + b.f(x) + c = 0 , trong đó f(x) là hàm số lượng giác. Và a, b, c là các hệ số a 0. Cách giải : Đặtë t = f(x) ( nếu f(x) là sinx hoặc cosx thì 1t  ) + Giải phương trình at 2 + bt + c = 0 và chọn t thoả mãn điều kiện. WWW.ToanCapBa.Net Chuyên đề phương trình lượng giác 10 LTĐH Năm 2012-2013 Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net + Giaûi phöông trình f(x) = t. Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a. 22 sin 3cos 2cos 3cos 2 2xx x x   b. 22 5sin 2cos 3sin 10 2cos 2 x xx x c. os3 .cos 1cx x Giải: a. pt 222 1 os 3cos 2cos 3(2 cos 1) 2cx x x x      2 cos 1 5cos 3cos 2 0 2 cos 5 x xx x        2 2 arccos 2 5 2 arccos 2 5 xk xk x k                         b. 22 2 5sin 2(1 sin ) 3sin 10 2(1 2sin ) p tx xx x 2 sinx 1 11sin 3sin 14 11 sinx ( ) 4 xx VN        2 2 x k     c.  2 1 os4 os2 1 os4 os2 2 2cos 2 1 os2 2 2 pt cxcx cxcx x cx    2 os2 1 2cos 2 os2 3 0 os2 1 2 2 3 os2 ( ) 2 cx x cx cx xk cx VN x k            Ví dụ 2. Giaûi các phương trình sau: a. 2 2cos4 6 s 1 3cos2 0 cos xcox x x   (1) b. 1 cos1 sin2)1cos2(cos1    x xxx (2) c. 2 323(1).cotcosx cosx x  (3) d. 66 2 sin 2 1 x cos x cos x   (4) Giải: a. Đk   mx  2 . Ta có (1)   02cos312cos1(312cos22 2  xxx [...]... cos 3x  sin x 17 cos 2 2 x 16 11) Giải phương trình : sin 6 x  cos 6 x  2cos 2 x  1 10) Giải phương trình : sin 8 x  cos8 x  (đẳng cấp bậc 3) (đẳng cấp bậc 3) (đẳng cấp bậc 6) (đẳng cấp bậc 3) (đẳng cấp bậc 3) (đẳng cấp bậc 4) (đẳng cấp bậc 3) (đẳng cấp bậc 8) (đẳng cấp bậc 6) V Phương trình chứa tổng (hoặc hiệu) và tích của sin và cơssin cùng một cung: 1) Phương trình chứa tổng và tích (còn... tích đa thức thành nhân tử của mỗi học sinh).Khơng có thuật tốn như cách 1 Sau đây là một số ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: tan x  sin x cos x  cos 2 x (1) Giải cách 1: +ĐK: x   2  m Chun đề phương trình lượng giác 21 Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình LTĐH Năm 2012-2013 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net +(1)  sin x  sin x cos 2 x  cos 3 x (*) (đẳng cấp bậc 3) +cosx = 0 khơng... Phương trình đẳng cấp thuần nhất theo sin và côsin cùng một cung: 1) Phương trình đẳng cấp thuần nhất bậc hai theo sin và côsin cùng một cung: *Phương trình có dạng : asin2x + bsinxcosx + ccos2x + d = 0 (1) *Cách giải 1: (Dùng cơng thức hạ bậc và cơng thức nhân đơi đưa về PT bậc nhất theo sin2x và cos2x ) (1)  a 1  cos 2 x b 1  cos 2 x  sin 2 x  c d 0 2 2 2 Chun đề phương trình lượng giác 19 Nguyễn...  0  x  k sin x  0  x  k     x     k sin x  3 cos x  0 tan x   3   3  Chun đề phương trình lượng giác 22 Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình LTĐH Năm 2012-2013 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Ví dụ 4 : Giải phương trình 3cos4x – 4sin2xcos2x + sin4x = 0 (4) (đẳng cấp bậc 4) Giải cách 1: + cosx = 0 thì sinx =  1 khơng nghiệm đúng ptrình Vậy cosx  0 + Chia hai... đúng PT đẳng cấp bậc 6 nên: x  2  k cũng là nghiệm PT Kết hợp nghiệm thì được x = k Phù hợp với mọi cách 2 giải BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Có thể giải lại các bài trong các ví dụ và bài tập tương tự ở phân PT đưa về PT bậc nhất theo sin và cơsin cùng một cung như : 1) Giải phương trình sinxsin2x + sin3x = 6cos3x (đẳng cấp bậc 3) 2) Giải phương trình sin3x + cos3x + 2cosx = 0 (đẳng cấp bậc 3) Chun đề phương... Chun đề phương trình lượng giác 20 Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình LTĐH Năm 2012-2013 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: 1) Giải phương trình : 3sin2x - 5 3 sinxcosx – 6cos2x = 0 2) Giải phương trình : sin2x + (1  3) sin x cos x  3cos 2 x  0 3) Giải phương trình : 2sin2x + sinxcosx – 5cos2x = 1 4) Giải phương trình : cos2x – 3sin2x – 4sinxcosx = 0 2) Phương trình đẳng. ..  0 5) cos 2 x(1  sin x cos x)  cos x  sin x  0 4) 3  sin x 3  sin 2 x   8(2  cos x) 6) sin 3 x  3 sin 2 x  6 cos x  6  0  3 4 2 1 2 VI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHƠNG MẪU MỰC 1 Phương pháp 1: Dùng các cơng thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích Ví dụ 1 Giải phương tình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1) Giải Phương trình (1) tương đương với: 1  cos 2 x 1  cos 6 x 1  cos... sinx = 2   cosx = 0 hay sin  x    1   4 x=      k 2 (k  Z) 4 Ví dụ 19 Giải phương trình sin 2 x cos x  sin x cos x  cos 2 x  sin x  cos x 2  k hay x = ( ĐỀ TSĐH KHỐI B NĂM 2011) Giải: Chun đề phương trình lượng giác 35 Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình LTĐH Năm 2012-2013 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Phương trình đã cho tương đương : 2sinxcos2x + sinxcosx = 2cos2x...  cosx = 0 hay cos( x  )  cos 3 3 2 2 2  2  x =  k hay x  k 2 hay x   k 2 3 2  cosx = 0 hay Ví dụ 22 ( ĐỀ TSĐH KHỐI B NĂM 2012) Giải phương trình 2(cos x  3 sin x) cos x  cos x  3 sin x  1 Giải 2(cos x  3 sin x) cos x  cos x  3 sin x  1 Chun đề phương trình lượng giác 36 Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình LTĐH Năm 2012-2013 WWW.ToanCapBa.Net ... 5 Giải phương trình sin(2x  )  16  2 3.s inx cos x  20sin 2 (  ) 2 2 12 Giải:  1 3  sin 2x  5c os(x  )  3  0 pt  c os2x  3 sin 2x  10cos(x  )  6  0  c os2x  6 2 2 6 Chun đề phương trình lượng giác 12 Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình LTĐH Năm 2012-2013 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net      cos(2x  )  5cos(x  )  3  0  2cos 2 (x  )  5cos(x  )  2  0 3 . trình lượng giác thường gặp: 1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: * 0 b aX b X a    Trong đó là một hàm số lượng giác 2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng. 2 1 cossin 2 t xx   . Thay vào phương trình ta được phương trình theo biến t. MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG TỪ NĂM 2002 ĐẾN 2012 Giải các phương trình sau: 1. (1 2 sin x ) cos x 3 (1 2. ) WWW.ToanCapBa.Net Chuyên đề phương trình lượng giác 6 LTĐH Năm 2012-2013 Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net I. Phương trình lượng giác cơ bản: Ví dụ 1: