Chuyên đề: MỘT SỐ KỸ THUẬT CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Biên soạn: HUỲNH CHÍ HÀO Kỹ thuật 1: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI Kết hợp thủ thuật : Tách, ghép phân nhóm Bài 1: Cho a, b,c ba số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh rằng: a3 b3 c3 + + ≥ (a + b)(a + c) (b + c)(b + a ) (c + a )(c + b) (1) Hướng dẫn: + Dự đoán dấu "=" xảy + Sử dụng giả thiết biến đổi bđt bđt đồng bậc + Sử dụng kỹ thuật tách ghép phân nhóm Bổ sung thêm số số hạng để sau sử dụng bđt Cô-si ta khử mẫu số biểu thức phân thức Bài giải: Sử dụng giả thiết a + b + c = để đưa bđt bđt đồng bậc hai vế (a + b + c) a3 b3 c3 (1) ⇔ + + ≥ (a + b)(a + c) (b + c)(b + a ) (c + a )(c + b) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: ⎛ ⎞ ⎛ a + b ⎞ ⎛ a + c ⎞ 3a a3 a+b a+c a3 ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎟ + + ≥ 33 ⎜ ⎜ ⎟⎝ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎜(a + b)(a + c)⎠ ⎜ ⎠ ⎜ ⎠ 8 (a + b ) ( a + c ) ⎝ Chứng minh tương tự ta được: ⎛ ⎞ ⎛ b + c ⎞⎛ b + a ⎞ 3b b3 b+c b+a b3 ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ + + ≥ 33 ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎜(b + c)(b + a )⎠ ⎜ ⎠⎝ ⎠ 8 (b + c)(b + a ) ⎝ ⎛ ⎞ ⎛ c + a ⎞ ⎛ c + b ⎞ 3c c3 c+a c+b c3 ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ + + ≥ 33 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎟ ⎜(c + a )(c + b)⎠ ⎜ ⎠⎝ ⎠ = ⎟ ⎜ ( c + a ) (c + b) 8 ⎝ Cộng vế với vế bđt biến đổi ta bđt: a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ = (đpcm) 4 (a + b)(a + c) (b + c)(b + a ) (c + a )(c + b) Đẳng thức xảy ⇔ a = b = c = Bài tập tương tự: Bài 1: Cho a, b,c ba số dương thỏa mãn điều kiện abc = Chứng minh rằng: a3 b3 c3 + + ≥ (1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a ) (1 + a )(1 + b) Bài 2: Cho a, b,c ba số dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ a + bc b + ca c + ab Bài 3: Cho a, b,c ba số dương thỏa mãn điều kiện abc = Chứng minh rằng: a2 b2 c2 + + ≥ b+c c+a a+b Bài tốn có liên quan: Cho a, b,c ba số dương thỏa mãn điều kiện abc = Chứng minh rằng: 1 + + ≥ a ( b + c ) b ( c + a ) c (a + b ) Bài 4: Cho a, b,c ba số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh rằng: a3 b3 c3 + + ≥ 2 (c + a ) (a + b) (b + c) Bài 2: Cho a, b,c ba số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh rằng: a3 b3 c3 + + ≥ (1) b (2c + a ) c (2a + b) a (2b + c) Hướng dẫn: + Dự đoán dấu "=" xảy + Sử dụng giả thiết biến đổi bđt bđt đồng bậc + Sử dụng kỹ thuật tách ghép phân nhóm Bổ sung thêm số số hạng để sau sử dụng bđt Cô-si ta khử mẫu số biểu thức phân thức Bài giải: Sử dụng giả thiết a + b + c = để đưa bđt bđt đồng bậc hai vế a3 b3 c3 a+b+c (1) ⇔ + + ≥ b (2c + a ) c (2a + b) a (2b + c) Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có: ⎛ 9a ⎞ 9a ⎟ ⎟ + 3b + (2c + a ) ≥ 3 ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ b (2c + a )⎠ (3b)(2c + a ) = 9a ⎟ b (2c + a ) ⎝ Chứng minh tương tự ta được: ⎛ 9b3 ⎞ 9b3 ⎟ ⎜ ⎟ + 3c + (2a + b) ≥ 3 ⎜ ⎟ ⎜ c (2a + b)⎠ (3c)(2a + b) = 9b ⎟ ⎜ c (2a + b) ⎝ ⎛ 9c3 ⎞ 9c ⎟ ⎜ ⎟ + 3a + (2b + c) ≥ 3 ⎜ ⎟ ⎜ a (2b + c)⎠ (3a )(2b + c) = 9c ⎟ ⎜ a (2b + c) ⎝ Cộng vế với vế bđt ta bđt: ⎡ ⎤ a3 b3 c3 ⎥ + (a + b + c) ≥ (a + b + c) 9⎢ + + ⎢ b (2c + a ) c (2a + b) a (2b + c) ⎥ ⎣ ⎦ a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ =1 b (2c + a ) c (2a + b) a (2b + c) Đẳng thức xảy ⇔ a = b = c = ⇒ Bài 3: Cho a, b,c ba số dương thỏa mãn điều kiện a + b2 + c2 = Chứng minh rằng: a3 b3 c3 + + ≥ b + 2c c + 2a a + 2b Bài giải: Sử dụng giả thiết a + b2 + c2 = để đưa bđt bđt đồng bậc hai vế a3 b3 c3 a + b2 + c + + ≥ (1) ⇔ b + 2c c + 2a a + 2b Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có: 9a 9a + a ( b + 2c ) ≥ a (b + 2c) = 6a b + 2c (b + 2c) Chứng minh tương tự ta được: 9b 9b3 + b (c + 2a ) ≥ b (c + 2a ) = 6b2 c + 2a (c + 2a ) 9c3 9c3 + c (a + 2b) ≥ c (a + 2ab) = 6c2 (a + 2b) (a + 2b) Cộng vế với vế bđt ta bđt: ⎛ a3 b3 c3 ⎞ ⎟ ⎜ 9⎜ + + ⎟ + (ab + bc + ca ) ≥ (a + b2 + c2 ) ⎟ ⎜ b + 2c c + 2a a + 2b ⎠ ⎝ ⎛ a3 b3 c3 ⎞ ⎟ ⎜ ⇒ 9⎜ + + ⎟ ≥ (a + b2 + c2 ) − (ab + bc + ca ) ≥ (a + b2 + c2 ) ⎟ ⎜ b + 2c c + 2a a + 2b ⎠ ⎝ a3 b3 c3 a + b + c2 + + ≥ = b + 2c c + 2a a + 2b 3 Đẳng thức xảy ⇔ a = b = c = Bài tập tương tự Cho a, b,c ba số dương thỏa mãn điều kiện a + b2 + c2 = Chứng minh rằng: a3 b3 c3 + + ≥ a+b b+c c+a ⇒ Bài 4: Cho a, b,c ba số dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = Chứng minh rằng: a b c + + ≤ (1) 2 2 1+a 1+b 1+c Hướng dẫn: + Sử dụng giả thiết biến đổi bđt bđt đồng bậc + Sử dụng kỹ thuật đánh giá biểu thức đại diện Bài giải: Sử dụng giả thiết ab + bc + ca = để đưa bđt bđt đồng bậc hai vế Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: a a = = 2 1+a a + ab + bc + ca Chứng minh tương tự ta được: b 1⎛ b b ⎞ ⎟ ⎜ ≤ ⎜ + ⎟ ⎟ ⎝ ⎜b + c b + a⎠ 1+b a a 1⎛ a a ⎞ ⎟ ≤ ⎜ + ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ a+b a+c ⎜a + b a + c⎠ 1⎛ c c ⎞ ⎟ ≤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜c + a + a + b⎠ 2⎝ 1+c Cộng vế với vế bđt ta bđt: a b c ⎛a + b b + c c + a ⎞ ⎟= + + ≤ ⎜ + + ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎜a + b b + c c + a ⎠ 1+a 1+ b 1+ c c Đẳng thức xảy ⇔ a = b = c = 3 Bài 5: Cho ba số dương a, b,c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: ab bc ac S= + + 2c + ab 2a + bc 2b + ac Bài giải: Ta có: ⎧ ⎪ ab ab ab ab ⎛ 1 ⎞ ⎪ ⎟ ⎜ ⎪ ⎟ ⎪ 2c + ab = c (a + b + c) + ab = (c + a )(c + b) ≤ ⎜ c + a + c + b ⎠ ⎟ ⎜ ⎝ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛ ⎪ bc bc bc bc ⎜ 1 ⎞ ⎪ ⎟ = = ≤ + ⎨ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ 2a + bc ⎝ ⎜a + b a + c⎠ a (a + b + c) + bc (a + b)(a + c) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ca ca ca ca ⎛ 1 ⎞ ⎪ ⎟ ⎜ ⎪ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ 2b + ac = b (a + b + c) + ca = (b + c)(b + a ) ≤ ⎜ b + c + b + a ⎠ ⎝ ⎪ ⎪ ⎩ a+b+c bc + ca bc + ab ca + ab ⇒S≤ + + = =1 2 (a + b) (c + a ) (c + b) Đẳng thức xảy ⇔ a = b = c = Vậy Max S = Bài tập tương tự Cho ba số dương a, b,c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: ab bc ac + + ≤ c + ab a + bc b + ac Kỹ thuật 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỒNG BẬC DẠNG CỘNG MẪU SỐ Dạng 1: 1) ∀x, y > ta ln có: ⎛1 1⎞ ⎟ ⎜ ( x + y)⎜ + ⎟ ≥ ⎟ ⎜x y⎠ ⎝ Đẳng thức xảy ⇔ x = y 2) ∀x, y, y > ta có: ⎛1 1⎞ ( x + y + x )⎜ + + ⎟ ≥ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝x y y⎠ Đẳng thức xảy ⇔ x = y = z Dạng 2: 1) ∀x, y > ta ln có: 1 + ≥ x y x+y Đẳng thức xảy ⇔ x = y 2) ∀x, y, z > ta ln có: 1 + + ≥ x y z x+y+z Đẳng thức xảy ⇔ x = y = z Bài 1: Cho a,b,c số dương.Chứng minh rằng: ab bc ca a+b+c + + ≤ a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b Bài giải Biến đổi áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được: ab 1⎛ 1 ⎞ ⎟ = ab ≤ ab ⎜ + ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ (a + c) + (b + c) a + b + 2c ⎜a + c b + c⎠ Tương tự ta được: bc 1⎛ 1 ⎞ ⎟ = bc ≤ bc ⎜ + ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ b + c + 2a ⎜b + a c + a ⎠ (b + a ) + (c + a ) ca 1⎛ 1 ⎞ ⎟ ⎜ = ca ≤ ca ⎜ ⎟ ⎟ ⎜c + b + a + b⎠ c + a + 2b 4⎝ (c + b) + (a + b) Cộng vế với vế bđt ta bđt ab bc ca ⎛ bc + ca ca + ab ab + bc ⎞ a + b + c ⎟= + + ≤ ⎜ + + ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b ⎜ a + b b+c a+c ⎠ Dấu đẳng thức xảy ⇔ a = b = c > Bài 2: Cho a,b,c số dương.Chứng minh rằng: ab bc ca a+b+c + + ≤ a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b Bài giải Biến đổi áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được: ab 1⎛ 1 1⎞ ⎟ = ab ≤ ab ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a + c + b + c + 2b ⎠ (a + c) + (b + c) + 2b a + 3b + 2c 9⎝ Tương tự ta được: bc 1⎛ 1 1⎞ ⎟ = bc ≤ bc ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ b + a + c + a + 2c ⎠ b + 3c + 2a 9⎝ (b + a ) + (c + a ) + 2c ca 1⎛ 1 1⎞ ⎟ ⎜ = ca ≤ ca ⎜ + + ⎟ ⎟ ⎝ c + 3a + 2b ⎜ c + b a + b 2a ⎠ (c + b) + (a + b) + 2a Cộng vế với vế bđt ta bđt ⎛ ab bc ca ⎜ a + b + c bc + ca ca + ab ab + bc ⎞ a + b + c ⎟ + + ≤ ⎜ + + + ⎟= ⎟ ⎝ a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b ⎜ a+b b+c a+c ⎠ Dấu đẳng thức xảy ⇔ a = b = c > Bài 3: 1 + + = Chứng minh rằng: a b c 1 + + ≤1 2a + b + 2c a + 2b + c a + b + 2c Cho a,b,c số dương thỏa mãn Bài giải: Biến đổi áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được: 1 1⎛ 1 ⎞ ⎟ ≤ ⎛ + + 1⎞ ⎟ ⎜ ⎜ = ≤ ⎜ + ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ 2a + b + c (a + b) + (a + c) ⎝ a + b a + c ⎠ 16 ⎜ a b c ⎠ 1 1⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ = ≤ ⎜ + ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ≤ 16 ⎝ a + b + c ⎠ a + 2b + c (a + b) + (b + c) ⎝ a + b b + c ⎠ ⎛ 1 1⎜ 1 ⎞ ⎛ 1 2⎞ ⎟ ⎟ ⎜ = ≤ ⎜ + ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ≤ 16 ⎜ a + b + c ⎠ ⎝ a + b + 2c (a + c) + (b + c) ⎝ a + c b + c ⎠ Cộng vế với vế bđt ta bđt 1 1 ⎛ 1 1⎞ ⎟ ⎜ + + ≤ ⎜ + + ⎟ = = ⎟ 2a + b + 2c a + 2b + c a + b + 2c ⎝ a b c ⎠ Dấu đẳng thức xảy ⇔ a = b = Bài 4: Cho a,b số dương thỏa mãn a + b < Chứng minh rằng: 1 + + ≥ 1−a 1− b a + b Nhận xét : (1 − a ) + (1 − b) + (a + b) = Áp dụng bất đẳng thức dạng ta được: 1 + + ≥ = (đpcm) − a − b a + b (1 − a ) + (1 − b) + (a + b) Dấu đẳng thức xảy ⇔ a = b = Bài tốn có liên quan: Cho a,b số dương thỏa mãn a + b < Tìm giá trị nhỏ biểu thức a2 b2 S= + +a+b+ 1−a 1− b a+b Kết quả: S = Bài 5: Cho a, b, C số dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: 1 + + ≥ 1+a 1+b 1+c Nhận xét : (1 + a ) + (1 + b) + (1 + c) = Áp dụng bất đẳng thức dạng ta được: 1 9 + + ≥ = (đpcm) + a + b + c (1 + a ) + (1 + b) + (1 + c) Dấu đẳng thức xảy ⇔ a = b = Bài tốn có liên quan: Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức a b c S= + + a +1 b +1 c +1 Kết quả: Max S = Kỹ thuật 3: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG DÃY BẤT ĐẲNG THỨC BẬC BA Dãy bất đẳng thức đồng bậc bậc ba: 3 (a + b)(a + ab + b2 ) a + b3 (a + b2 ) ab (a + b) ⎛ a + b ⎞ ⎟ ≤ ≤⎜ ≤ ≥ ⎟ ⎜ ⎠ ⎟ ⎝ (a + b) Dấu xảy ⇔ a = b Bài 1: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: b+c c+a a+b + + ≤2 3 3 a + (b + c ) b + (c + a ) c + (a + b3 ) Bài giải: Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có (b + c ) ≥ b + c Do đó: (b + c ) ≥ b + c ⇒ a + (b + c ) ≥ a + b + c ⇒ a + (b + c ) ≤ b+c b+c ⇒ ≤ a+b+c a + (b + c ) a + b + c Chứng minh tương tự ta được: c+a c+a ≤ 3 b + (c + a ) a + b + c a+b c + (a + b 3 ) ≤ a+b a+b+c (1) Cộng vế với vế bất đẳng thức ta bđt (a + b + c ) b+c c+a a+b + + ≤ =2 a+b+c a + (b3 + c ) b + (c3 + a ) c + (a + b3 ) Dấu đẳng thức xảy ⇔ a = b = c > Bài 2: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: 1 1 + + ≤ 3 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc Bài giải Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có a + b3 ≥ ab (a + b) Do đó: a + b3 + abc ≥ ab (a + b + c) ⇒ 1 ≤ a + b + abc ab (a + b + c) Chứng minh tương tự ta được: 1 ≤ 3 b + c + abc bc (a + b + c) 1 ≤ 3 c + a + abc ca (a + b + c) Cộng vế với vế bất đẳng thức ta bđt ⎛1 1 1 1⎞ ⎟ ⎜ + + + ≤ ⎟ ⎜ ab bc + ca ⎠ = abc 3 3 ⎟ ⎝ a + b + abc b + c + abc c + a + abc a + b + c Dấu đẳng thức xảy ⇔ a = b = c > Bài tốn có liên quan: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 S= + + 3 a + b + b + c + c + a3 + Kết quả: Max S = Bài 4: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = Chứng minh rằng: a + b3 b3 + c3 c3 + a + + ≥2 a + ab + b2 b + bc + c2 c + ca + a Bài giải: Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có Suy ra: a + b2 a+b ≥ 2 a + ab + b a + b3 b3 + c3 c3 + a a+b b+c c+a 2 + + ≥ + + = (a + b + c) ≥ 3 abc = 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a 3 3 Dấu đẳng thức xảy ⇔ a = b = c = Bài tốn có liên quan: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = Chứng minh rằng: x + y9 y + z9 z9 + x + + ≥2 x + x y + y9 y + y z3 + z6 z + z3 x + x Kỹ thuật 4: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ TRỢ Bài 1: Cho số dương a, b,c thỏa mãn điều kiện abc = Chứng minh rằng: + a + b2 + b2 + c + c2 + a + + ≥3 ab bc ca Bài giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có: + a + b3 ≥ 3 1.a b3 = 3ab (Tạm gọi bđt phụ trợ) Suy ra: + a + b3 ≥ 3 1.a b3 = 3ab ⇒ Chứng minh tương tự ta được: + b3 + c3 ≥ bc + a + b3 ≥ ab ab bc + c3 + a 3 ≥ ca ca Cộng vế với vế bất đẳng thức ta bđt + a + b2 + b2 + c + c2 + a 3 + + ≥ + + ≥ 33 ab bc ca ab bc ca Dấu đẳng thức xảy ⇔ a = b = c = Bài 2: Cho ba số dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức: a b c 1 + + ≤ + + 2 a +b b +c c +a a b c Bài giải Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có: a + b2 ≥ a b2 = 2ab b a Suy ra: a + b2 ≥ a b2 = 2ab b ⇒ ≤ a +b ab Chứng minh tương tự ta được: 3 =3 ab bc ca b ≤ b +c bc c ≤ c +a ca Cộng vế với vế bất đẳng thức ta bđt a b c 1 1 1 + + ≤ + + ≤ + + 2 a +b b +c c +a ab bc ca a b c Dấu đẳng thức xảy ⇔ a = b = c > Bài 3: Cho ba số dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức: a2 b2 c2 + + ≥1 a + 2bc b + 2ca c + 2ab Bài giải: Áp dụng bất đẳng thức : b2 + c2 ≥ 2bc Ta có : b2 + c2 ≥ 2bc ⇒ a + 2bc ≤ a + b2 + c2 ⇒ 1 a2 a2 ≥ ⇒ ≥ a + 2bc a + b2 + c2 a + 2bc a + b2 + c2 Chứng minh tương tự ta được: b2 b2 ≥ b2 + 2ca a + b2 + c2 c2 b2 ≥ c2 + 2ab a + b2 + c2 Cộng vế với vế bất đẳng thức ta bđt a2 b2 c2 a2 b2 c2 + + ≥ + + =1 a + 2bc b + 2ca c + 2ab a + b2 + c2 a + b2 + c2 a + b2 + c2 Dấu đẳng thức xảy ⇔ a = b = c > Bài 4: Chứng minh bất đẳng thức: a + 3b + b + 3c + c + 3a ≤ Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = Bài giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có : a + 3b = (a + 3b).1.1 ≤ a + 3b + + a + 3b + = 3 Chứng minh tương tự ta được: b + 3c + b + 3c ≤ c + 3a + c + 3a ≤ Cộng vế với vế bất đẳng thức ta bđt a + 3b + b + 3c + c + 3a ≤ (a + b + c ) + =3 Dấu đẳng thức xảy ⇔ a = b = c = Bài 5: Cho ba số dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức: ab bc ca a+b+c + + ≤ a+b b+c c+a Bài giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có : a + b ≥ ab ⇒ (a + b) ≥ 4ab ⇒ ab a+b ≥ a+b Chứng minh tương tự ta được: bc b+c ≥ b+c ca c+a ≥ c+a Cộng vế với vế bất đẳng thức ta bđt ab bc ca a+b b+c c+a a+b+c + + ≤ + + = a+b b+c c+a 4 Dấu đẳng thức xảy ⇔ a = b = c > Bài toán có liên quan: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức ab bc ca S= + + a+b b+c c+a Kết quả: Max S = Bài 6: Cho ba số dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức: a3 b3 c3 + + 3 ≥1 b3 + (c + a )3 a + (b + c ) c + (a + b ) Bài giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có : + x ≥ (1 + x )(1 − x + x ) ≤ + x + − x − x2 x2 = 1+ 2 Vận dụng bđt ta được: a3 = a + (b + c) ⎛b + c⎞ ⎟ ⎜ 1+⎜ ⎟ ⎟ ⎝ a ⎠ Chứng minh tương tự ta được: ≥ 1 a2 ≥ 2 = b +c a + b2 + c ⎛b + c⎞ ⎟ 1+ 1+ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ a 2⎜ a ⎠ b3 b2 ≥ b3 + (c + a )3 a + b2 + c c3 c2 ≥ a + b2 + c c + (a + b ) Cộng vế với vế bất đẳng thức ta bđt: a3 b3 c3 a2 b2 c2 + + ≥ + + =1 3 b3 + (c + a )3 a + b + c a + b + c a + b + c2 a + (b + c ) c + (a + b) Ngày soạn 30/04/2009 -Hết ... b, c số dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức a b c S= + + a +1 b +1 c +1 Kết quả: Max S = Kỹ thuật 3: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG DÃY BẤT ĐẲNG THỨC BẬC BA Dãy bất đẳng thức. .. b2 + c2 Dấu đẳng thức xảy ⇔ a = b = c > Bài 4: Chứng minh bất đẳng thức: a + 3b + b + 3c + c + 3a ≤ Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = Bài giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si... 5: Cho ba số dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức: ab bc ca a+b+c + + ≤ a+b b+c c+a Bài giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có : a + b ≥ ab ⇒ (a + b) ≥ 4ab ⇒ ab a+b ≥ a+b Chứng minh tương